专题三三角函数与解三角形的综合问题练习-2025届高三数学二轮专题复习

答案详解 专题三　三角函数与解三角形的综合问题讲义 二、回归真题 解　(1)由余弦定理得cos C=,又0<C<π,∴C=,∴,∴cos B=.又0<B<π,∴B=. (2)由(1)得A=π-B-C=,由正弦定理,得,∴a=c. ∴△ABC的面积S=acsin B=,解得c=2. 三、巩固提升 1.解　(1)在△ABC中,由正弦定理得,,因为,所以,化简得,b2+c2-a2=bc, 在△ABC中,由余弦定理得,cos A=,又因为0<A<π,所以A=. (2)由S△ABC=,得bc=3,由a2=b2+c2-2bccos A,得7=b2+c2-3,所以b2+c2=10. 又因为边BC的中点为D,所以(), 所以|==. 2.(1)证明　由条件b2-a2=ac,根据正弦定理可得sin2B-sin2A=sin Asin C,=sin Asin C,即cos 2A-cos 2B=2sin Asin C,cos 2A-cos 2B=cos[(A+B)+(A-B)]-cos[(A+B)-(A-B)]=-2sin(A+B)sin(A-B)=2sin Asin C, 又△ABC中sin(A+B)=sin(π-C)=sin C≠0,则sin(B-A)=sin A, 所以B-A=A,即B=2A或B-A=π-A,即B=π(舍去),所以B=2A. (2)解　若△ABC为锐角三角形,根据(1)B=2A,则得, 故=,==2cos 3A, 由,又易知函数y=cos x在内单调递减,所以cos 3A∈,故2cos 3A∈(-,0), 因此的取值范围是(-,0). 3.解　(1)由已知,AB=AC·cos∠BAC=10×=5,AD=AC·cos∠DAC=10×,因为∠BAD=∠BAC+∠DAC=, 所以cos∠BAD=cos=cos =, 所以在△ABD中由余弦定理可得BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cos∠BAD=25+50-2×5×5=50+25. (2)法一　因为sin∠BAD=sin=sin , 又因为S△ABD=S△ABE+S△ADE,所以·AE·AD·sin∠EAD, 即,解得AE=5-5. 法二　因为∠BAD+∠BCD=π,所以sin∠BAD=sin(π-∠BCD)=sin∠BCD,又AD=CD=5,BC=5, 所以==, 又因为AC=10,所以AE+EC=10,则AE+AE=10,所以AE=5-5. 4.解　(1)因为a=(cos x,2sin x),b=(2cos x,cos x),函数f(x)=a·b, 所以f(x)=2cos2x+2sin xcos x=cos 2x+1+sin 2x=2+1=2sin+1, 因为f(x0)=,所以2sin,所以sin,又x0∈,所以2x0+, 所以cos=-, 所以cos 2x0=cos =cos=-. (2)将f(x)图象上所有的点向右平移+1, 再将y=2sin, 最后将y=2sin, 即g(x)=sin, 由g(x)≥,即sin, 所以+2kπ,k∈Z, 解得+kπ,k∈Z, 令k=0可得x∈,令k=-1可得x∈, 又x∈,所以x∈, 即在x∈时不等式g(x)≥. 答案详解 专题三　三角函数与解三角形的综合问题练习 1.解　因为asin B=bsin,由正弦定理可得sin Bsin-sin Asin B=0, 因为B∈(0,π),故sin B≠0,则有sin=sin A,因为A∈(0,π),故A++A=π,A=. (2)因为AD为角平分线,所以S△DAB+S△DAC=S△ABC,所以AC·ADsin∠DAC=AB·ACsin∠BAC. 因为∠BAC=,∠DAB=∠DAC=,AD=,则AB·AC,即AB+AC=AB·AC,所以b+c=cb. 又由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos =(b+c)2-3bc,把a=3,b+c=cb分别代入化简得(b+c)2-3(b+c)-18=0, 解得b+c=6或b+c=-3(舍去),所以b+c=6. 2.解　(1)由题意得,则2sin B-sin Bcos A=sin Acos B,所以2sin B=sin Acos B+sin Bcos A=sin(A+B)=sin C, 由正弦定理,得AB=2AC,又AC=1,所以AB=2. (2)设∠BAD=θ,θ∈,因为S△ABC=S△ABD+S△ACD,所以AD·bsin θ, 又c=2,b=1,所以AD=,由余弦定理,BC==, 所以AD·BC==,当cos θ=时,AD·BC取到最大值. 3.解　(1)在△ABC中,A+B+C=π,所以sin C=sin(π-C)=sin(A+B). 因为sin(B-A)+sin A=sin C,所以sin(B-A)+sin A=sin(A+B),化简得sin A=2cos Bsin A. 因为A∈(0,π),所以sin A≠0,cos B=.因为0<B<π,所以B=. (2)法一　设BC=x,∠BAC=θ,则CM=2x. 由(1)知B=,又∠CAM=,所以在△ABM中,∠AMC=-θ.在△ABC中,由正弦定理得,即,① 在△ACM中,由正弦定理得,即,② ①÷②,得,即2sin θcos θ=,所以sin 2θ=.因为θ∈,2θ∈,所以2θ=,故θ=. 法二　设BC=x,则CM=2x,BM=3x. 因为∠CAM==B,所以△ACM∽△BAM,因此,所以AM2=BM·CM=6x2,AM=x. 在△ABM中,由正弦定理得,即,化简得sin∠BAM=. 因为∠BAM∈,所以∠BAM=,∠BAC=∠BAM-, 故∠BAC=. 4.解　(1)因为B=,△ABC的外接圆半径为4,所以=8,解得AC=4. 在△ABC中,BC=4,则=8,解得sin∠CAB=.又∠CAB∈,所以∠CAB=; 在△ACD中,AC=4,∠DAC=,AD=2,所以S△ACD==4. (2)设∠DAC=θ,θ∈.又D=,所以∠ACD=-θ.因为∠DAB=,所以∠CAB=-θ, 在△DAC中,AC=4,由正弦定理得,即, 解得AD===4cos θ-sin θ. 在△ABC中,AC=4,由正弦定理得,即,解得BC=8sin=8cos θ, 所以BC-AD=4=. 又θ∈,所以θ+,当且仅当θ+, 即θ=时,sin取得最大值1, 所以BC-AD的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题三　三角函数与解三角形的综合问题讲义 一、考情分析 高频考点 高考预测 三角函数的图象、性质与三角变换的综合问题 新结构高考解答题,可能继续考查利用正、余弦定理求解三角形边、角、面积、周长、中线、角平分线、高等,常涉及最值、范围问题 三角形中基本量的计算(涉及最值、范围问题) 解三角形在平面图形中的应用(三角形面积、中线、角平分线及四边形问题) 二、回归真题 (2024·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin C=cos B,a2+b2-c2=ab. (1)求B; (2)若△ABC的面积为3+,求c. 总结　1.本例主要考查利用正、余弦定理解三角形及三角形面积问题,应注意正、余弦定理的边角互化功能. 2.计算三角形的“三线”(高线、中线、角平分线)的长度,需注意利用三线的性质结合正、余弦定理求解. 3.多边形问题,常分割为三角形问题求解. 4.常把三角函数式经过三角变换化为Asin(ωx+φ)+B形式或者化为关于一个角一种函数的表达式,进而研究其性质.求最值或范围常用三角函数有界性,不等式或导数求解. 5.向量与三角函数的结合题,常通过向量的运算转化为三角函数问题解决. 三、巩固提升 1.(三角形边、角计算+中线、高线、角平分线长度计算)(2024·金丽衢十二校联考)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知. (1)求角A; (2)设边BC的中点为D,若a=,且△ABC的面积为,求AD的长. 2.(等式证明+最值、范围)(2024·河南五市联考)△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足b2-a2=ac. (1)求证:B=2A; (2)若△ABC为锐角三角形,求的取值范围. 3.(多边形问题) (2024·山东省实验中学检测)如图,两块直角三角形模具,斜边靠在一起,其中公共斜边AC=10,∠BAC=,∠DAC=,BD交AC于点E. (1)求BD2; (2)求AE. 4.(平面向量+三角恒等变换+三角函数的图象和性质)(2024·临沂模拟)已知向量a=(cos x,2sin x),b=(2cos x,cos x),函数f(x)=a·b. (1)若f(x0)=,且x0∈,求cos 2x0的值; (2)将f(x)图象上所有的点向右平移个单位长度,然后再向下平移1个单位长度,最后使所有点的纵坐标变为原来的,得到函数g(x)的图象,当x∈时,解不等式g(x)≥. 专题三　三角函数与解三角形的综合问题练习 (分值：60分) 1.(13分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝3，asin B＝bsin. (1)求角A的大小； (2)作角A的平分线与BC交于点D，且AD＝，求b＋c. 2.(15分)(2024·宁波九校联考)在△ABC中，已知AC＝1，tan B＝. (1)求AB的长； (2)若∠BAC的平分线AD交BC于点D，求AD·BC的最大值. 3.(15分)(2024·南京、盐城模拟)在△ABC中，sin(B－A)＋sin A＝sin C. (1)求B的大小； (2)延长BC至点M，使得2＝.若∠CAM＝，求∠BAC的大小. 4.(17分)(2024·漳州二检)如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝，B＝，且△ABC的外接圆半径为4. (1)若BC＝4，AD＝2，求△ACD的面积； (2)若D＝，求BC－AD的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $$