(新课预习衔接)8.1找次品 同步讲练测(讲义)-2024-2025学年五年级下册数学人教版

找次品 【知识精讲+夯实基础+进阶提升+应用拓展+答案解析】 编者的话：同学们，恭喜你已经开启了新内容的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为课前预习，课中巩固，课后提升而设计，对单元知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习常考易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用单元知识点解决问题！ 第一部分 知识精讲-知己知彼，方能熟能生巧 知识清单+方法技巧 一、概念 次品主要的特征是在重量上不符合标准，偏轻或偏重． 方法：一是把待测物品平均分成3份，二是要分的尽量平均，能够均分的平均分成3份，不能均分的，可以使多的一份与少的一份相差1，利用天平性质找出次品． 二、找次品的策略技巧： 1、分组原则：把待测物品分成3份。能够均分就平均分成3份；不能平均分的，应让多的与少的一分只相差1，这样才能保证称的次数最少就能找出次品。 2、画“次品树形”分组图，例如8个产品中有一个次品，第一次称：分成3、3、2三组，将天平两端放3个一组的，若一样重则次品在剩下的2个中，若不一样重则次品在轻的一组中；第二次称：若是2个的分别再天平两端放一个，轻的一端就是次品；若是3个的，随便取2个进行称，若一样重则次品就是没选取的，若不一样重则轻的一端是次品。 三、基本思路：把待测物品尽量平均分成三份、如果不能平均分，则使其中两份相等，第三份与这两份相差不超过一，依次进行，可用最少的次数找到次品。找次品是思维拓展中的主要类型，其基本题型是在若干个零件里面有一个零件和其它零件不同，这个零件比其它零件轻或重，用一个无砝码的天平，最少称几次能一定把次品找出来。一般是把零件总数平均分成三份，如果不能平均分，则分成a、a、b形式，a比b多1或者少1，不能多2后者少2。 四、归纳总结 物品数量 分成的份数 至少称几次就一定能找到这个次品 3 3（1，1，1） 1 5 5（2，2，1） 2 9 9（3，3，3） 2 …… …… …… 数目与测试的次数的关系： （1）2～3个物体，保证能找出次品需要测的次数是（1）次 （2）4～9个物体，保证能找出次品需要测的次数是（2）次 （3）10～27个物体，保证能找出次品需要测的次数是（3）次 （4）28～81个物体，保证能找出次品需要测的次数是（4）次 （5）82～243个物体，保证能找出次品需要测的次数是（5）次 第二部分 分层练习-逐级提升，顺利通关 一．选择题（共3小题） 1．（2023春•樊城区期末）有4个外观相同的零件，其中有一个略轻。用一架没有砝码的天平称了两次找出了这个次品，表示称的过程与结果的选项是（　　） A．①④ B．②③ C．②④ D．①③ 2．（2023•沁县）有10个零件，其中1个是次品。假如用天平秤，至少称（　　）次才能保证找到它。 A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2022•南开区）一箱糖果有18袋，其中17袋质量相同，另有一袋质量不足，用天平称，为保证能找出这袋糖果，需要称（　　）次． A．1 B．2 C．3 D．4 二．填空题（共3小题） 4．（2024•两江新区）有5瓶维生素，其中一瓶少了4片．如果用天平称，至少称 　 　次就保证能找到少药片的那瓶． 5．（2024春•呼和浩特期末）有15盒巧克力派，其中一盒中少了3块，用天平称，至少称 　 　次就能找出这盒巧克力派。 6．（2024春•曾都区期末）有10盒饼干，其中9盒质量相同，另有1盒少了几块，如果能用天平称，至少 　 　次可以保证找出这盒饼干． 三．判断题（共3小题） 7．（2024•黔西南州）11颗同样大小的珍珠，一颗较轻，用天平至少称3次能保证找到较轻珍珠。 　 　 8．（2024春•吉州区期末）30个零件中有一个偏重，用天平至少称3次能保证找出来。 　 　 9．（2023•扶风县）在16个零件中有一个是次品（轻一些），用天平秤至少秤3次能找出次品。 　 　 四．应用题（共1小题） 10．有8瓶矿泉水，编号是①至⑧，其中有6瓶一样重，是合格产品，另外2瓶都轻5g，是不合格产品，用天平称了3次，结果如下：第一次①+②比③+④重；第二次⑤+⑥比⑦+⑧轻；第三次：①+③+⑤与②+④+⑧一样重，那么这2瓶不合格产品分别是几号？ 一．选择题（共3小题） 1．（2024•蓝山县）有10个零件，其中有1个是不合格品，至少要称（　　）次才能保证找出这个不合格品。 A．4 B．3 C．5 D．2 2．（2024春•醴陵市校级期末）19盒牛奶片，有一盒少了3片。至少要称（　　）次才能保证找出这盒来。 A．3 B．4 C．5 3．（2024春•确山县期末）有29瓶水，其中28瓶质量相同，另有1瓶是盐水，比其他的水略重一些。假如用天平称，至少称（　　）次能保证找出这瓶盐水。 A．2 B．3 C．4 二．填空题（共3小题） 4．（2024•黄骅市）19个零件中有一个较轻的次品，用天平称，至少 　 　次可找出这个次品。 5．（2024春•萧山区期末）有36瓶外观一样的钙片，其中1瓶少了5片，用无砝码的天平称，至少称 　 　次才能保证找出少5片的那瓶。 6．（2024春•峡江县期末）有12瓶木糖醇，其中11瓶一样重，另有一瓶质量轻一些，用天平至少称 　 　次才能保证找出这瓶轻的木糖醇。 三．判断题（共3小题） 7．（2023•平谷区模拟）20瓶钙片有1瓶较轻的是次品，用天平至少称3次可以找出次品。 　 　 8．（2023秋•长安区期末）有9个大小、图案都完全一样的小球，其中有一个略轻一些。用天平称，至少称3次就一定能找出这个小球。 　 　 9．（2023春•伊犁州期末）在10个零件中有一个是次品（次品重一些），用天平称，至少3次就一定能找出次品。 　 　 四．应用题（共1小题） 10．（2024春•晋中期末）平遥牛肉是平遥县的特色名菜，中华老字号“冠云”牌平遥牛肉驰名中外。分管质检的张叔叔，发现在8袋外观相同的牛肉中有1袋质量较轻的次品。假如用天平称，至少称几次能保证找出次品？用你喜欢的方式记录找次品的过程。 一．选择题（共3小题） 1．（2024•邓州市）有25盒饼干，其中有1盒吃了两块，如果用天平称，至少要称（　　）次能保证找到这盒饼干。 A．5 B．4 C．3 D．2 2．（2024•渝北区）有8个同样的零件，其中有1个次品略轻一些，用天平称至少（　　）次能保证找到次品． A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2023秋•港南区期末）有15块巧克力，其中1块稍轻一些，用天平最少称（　　）次一定能找出稍轻的巧克力。 A．2 B．4 C．3 二．填空题（共3小题） 4．（2024春•北川县期末）有9瓶口香糖，其中1瓶少了几片，另外8瓶质量相同。如果用天平称，至少称 　 　次可以保证找到比较轻的这瓶口香糖。 5．（2024•冷水滩区开学）有7个乒乓球，其中6个质量相同，有1个是质量稍轻一些次品，用天平称，至少要称 　 　次，才能保证找出这个次品。 6．（2024春•博尔塔拉州期末）有15瓶钙片，其中1瓶少了3片，用天平秤，至少秤 　 　次能保证找出少的那一瓶。 三．判断题（共3小题） 7．（2024•任丘市）有20个零件，其中有1个是次品（稍重些），用天平称至少3次就能保证找出次品。 　 　 8．（2024•卧龙区）25个零件里面有1个是次品（次品重一些），如果用天平称，至少称3次才能保证找到这个次品。 　 　 9．（2024春•淮滨县期末）9瓶钙片中，有一瓶质量轻一些，用天平至少称2次才能找出次品。 　 　 四．应用题（共1小题） 10．（2024春•峡江县期末）六一儿童节到了，李老师给幼儿园的小朋友买了28盒饼干，其余27盒质量相同，有1盒少了几块，假如用天平称，至少称几次能保证找到这盒饼干？请写出称的过程。 第三部分 错题笔记-自我整理，有助于阶段复习 学科网（北京）股份有限公司 $$ 找次品 【知识精讲+夯实基础+进阶提升+应用拓展+答案解析】 编者的话：同学们，恭喜你已经开启了新内容的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为课前预习，课中巩固，课后提升而设计，对单元知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习常考易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用单元知识点解决问题！ 第一部分 知识精讲-知己知彼，方能熟能生巧 知识清单+方法技巧 一、概念 次品主要的特征是在重量上不符合标准，偏轻或偏重． 方法：一是把待测物品平均分成3份，二是要分的尽量平均，能够均分的平均分成3份，不能均分的，可以使多的一份与少的一份相差1，利用天平性质找出次品． 二、找次品的策略技巧： 1、分组原则：把待测物品分成3份。能够均分就平均分成3份；不能平均分的，应让多的与少的一分只相差1，这样才能保证称的次数最少就能找出次品。 2、画“次品树形”分组图，例如8个产品中有一个次品，第一次称：分成3、3、2三组，将天平两端放3个一组的，若一样重则次品在剩下的2个中，若不一样重则次品在轻的一组中；第二次称：若是2个的分别再天平两端放一个，轻的一端就是次品；若是3个的，随便取2个进行称，若一样重则次品就是没选取的，若不一样重则轻的一端是次品。 三、基本思路：把待测物品尽量平均分成三份、如果不能平均分，则使其中两份相等，第三份与这两份相差不超过一，依次进行，可用最少的次数找到次品。找次品是思维拓展中的主要类型，其基本题型是在若干个零件里面有一个零件和其它零件不同，这个零件比其它零件轻或重，用一个无砝码的天平，最少称几次能一定把次品找出来。一般是把零件总数平均分成三份，如果不能平均分，则分成a、a、b形式，a比b多1或者少1，不能多2后者少2。 四、归纳总结 物品数量 分成的份数 至少称几次就一定能找到这个次品 3 3（1，1，1） 1 5 5（2，2，1） 2 9 9（3，3，3） 2 …… …… …… 数目与测试的次数的关系： （1）2～3个物体，保证能找出次品需要测的次数是（1）次 （2）4～9个物体，保证能找出次品需要测的次数是（2）次 （3）10～27个物体，保证能找出次品需要测的次数是（3）次 （4）28～81个物体，保证能找出次品需要测的次数是（4）次 （5）82～243个物体，保证能找出次品需要测的次数是（5）次 第二部分 分层练习-逐级提升，顺利通关 一．选择题（共3小题） 1．（2023春•樊城区期末）有4个外观相同的零件，其中有一个略轻。用一架没有砝码的天平称了两次找出了这个次品，表示称的过程与结果的选项是（　　） A．①④ B．②③ C．②④ D．①③ 【考点】找次品． 【专题】应用意识． 【答案】C 【分析】有4个外观相同的零件，其中有一个略轻。先把4个零件分成平均2份，放在一架没有砝码的天平两边，再取翘起一端的两个，分别放在天平两边，翘起的一端那一个就是要找的零件。 【解答】解：根据分析，表示称的过程与结果的选项是②④。 故选：C。 【点评】天平秤的平衡原理是解答本题的依据，注意每次零件的个数。 2．（2023•沁县）有10个零件，其中1个是次品。假如用天平秤，至少称（　　）次才能保证找到它。 A．2 B．3 C．4 D．5 【考点】找次品． 【专题】推理能力． 【答案】B 【分析】把10个零件分别编号为1﹣10号，分成三组，A组：1﹣3号，B组：4﹣6号，C组：7﹣10号。 第一次，比较A和B。 若不平衡，次品范围缩小到A组和B组6个。 若平衡，则次品范围缩小到C组4个。 去掉运气成分，不平衡，A组重，范围缩小到6个且不知轻重。C组都是正品。 第二次，比较A组和C组的任意3个。 若平衡，则次品在B组，且次品轻。 若A组重，则次品在A组且次品重。 第三次，若次品在B组，且次品轻。将B组分成三份，1，1，1。比较前两个，若平衡，次品就是第三个。若不平衡，则轻的那一个为次品。 若次品在A组且次品重。将A组分成三份，1，1，1。比较前两个，若平衡，次品就是第三个。若不平衡，则重的那一个为次品。 【解答】解：把10个零件分别编号为1﹣10号，分成三组，A组：1﹣3号，B组：4﹣6号，C组：7﹣10号。第一次，比较A和B。 若不平衡，次品范围缩小到A组和B组6个。 若平衡，则次品范围缩小到C组4个。 去掉运气成分，不平衡，A组重，范围缩小到6个且不知轻重。C组都是正品。 第二次，比较A组和C组的任意3个。 若平衡，则次品在B组，且次品轻。 若A组重，则次品在A组且次品重。 第三次，若次品在B组，且次品轻。将B组分成三份，1，1，1。比较前两个，若平衡，次品就是第三个。若不平衡，则轻的那一个为次品。 若次品在A组且次品重。将A组分成三份，1，1，1。比较前两个，若平衡，次品就是第三个。若不平衡，则重的那一个为次品。 故选：B。 【点评】本题的关键是要去掉运气成份，把范围逐步缩小，以保证能找到次品。 3．（2022•南开区）一箱糖果有18袋，其中17袋质量相同，另有一袋质量不足，用天平称，为保证能找出这袋糖果，需要称（　　）次． A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】找次品． 【专题】优化问题． 【答案】C 【分析】第一次：把18袋糖果平均分成3份，每份6袋，任取2份，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则较轻的糖果即在未取的6袋中（再按下面方法操作），若不平衡；第二次：把天平秤中较高端的6袋糖果，平均分成3份，分别放在天平秤2端，若平衡则较轻的一袋在未取的一份中，若不平衡，找出较轻的一份；第三次：把天平秤中较高端的3袋糖果中的2袋分别放在天平秤2端，若天平平衡，则未取的一袋为较轻的糖果，若不平衡，可找出较轻的一袋，据此即可解答． 【解答】解：第一次：把18袋糖果平均分成3份，每份6袋，任取2份，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则较轻的糖果即在未取的6袋中（再按下面方法操作），若不平衡； 第二次：把天平秤中较高端的6袋糖果，平均分成3份，分别放在天平秤2端，若平衡则较轻的一袋在未取的一份中，若不平衡，找出较轻的一份； 第三次：把天平秤中较高端的3袋糖果中的2袋分别放在天平秤2端，若天平平衡，则未取的一袋为较轻的糖果，若不平衡，可找出较轻的一袋． 答：为保证能找出这袋糖果，需要称3次． 故选：C． 【点评】本题主要考查学生依据天平秤平衡原理解决问题的能力，注意每次取糖果的袋数． 二．填空题（共3小题） 4．（2024•两江新区）有5瓶维生素，其中一瓶少了4片．如果用天平称，至少称 　2　次就保证能找到少药片的那瓶． 【考点】找次品． 【专题】传统应用题专题． 【答案】见试题解答内容 【分析】将5瓶维生素分成1、4共2组，先称4瓶，将4瓶分成2、2称量，若一样重，则拿出的那瓶是次品，若不一样重，将轻的那两瓶再次称量，即可找出次品． 【解答】解：将5瓶维生素分成1、4共2组，先称4瓶，将4瓶分成2、2称量，若一样重，则拿出的那瓶是次品，若不一样重，将轻的那两瓶再次称量，即可找出次品； 这样最少需要2次即可保证找出次品． 故答案为：2． 【点评】解答此题的关键是，将5瓶维生素进行合理的分组，从而能逐步找出次品． 5．（2024春•呼和浩特期末）有15盒巧克力派，其中一盒中少了3块，用天平称，至少称 　3　次就能找出这盒巧克力派。 【考点】找次品． 【专题】压轴题；应用意识． 【答案】3。 【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。 【解答】解：将15盒巧克力派分成（5，5，5）3份； 第一次称重：在天平两边各放5盒，如果天平平衡，则少3块的那盒未称，如果天平不平衡，则少3块的那盒在升起的天平托盘中， 第二次称重：将少3块的那5盒巧克力派分成（2，2，1）3份，在天平两边各放2盒，手里留1盒，如果天平不平衡，则少3块的那盒在升起的天平托盘中，如果平衡，则少3块的那盒是手里留的； 第三次称重：将少3块的那2盒分别放在天平的两边，少3块的那盒在升起的天平托盘中； 所以至少称3次能保证找到这盒巧克力派。 故答案为：3。 【点评】本题考查找次品的问题，分3份操作找到最优方法。 6．（2024春•曾都区期末）有10盒饼干，其中9盒质量相同，另有1盒少了几块，如果能用天平称，至少 　3　次可以保证找出这盒饼干． 【考点】找次品． 【专题】推理能力． 【答案】3。 【分析】将10盒饼干分成（5，5）两组，天平每边各放一组，称第一次即可找到少几块的盒在哪组；再把少几块的一组分成（2，2，1）三组，天平每边放2盒，称第两次，此时出现两种情况：平衡：少几块的盒就是未称的一盒（这样称2次即可找到有少几块的这盒）；不平衡：少几块的那盒在轻的一边，再把少几块的2盒分成（1，1），称第三次，天平每边放一组，轻的那边就是少几块的那盒。 【解答】解：称第一次：把10盒分成（5，5）两组，天平每边各放一组，少几块的那盒在轻的一边。 称第二次：把少几块的那组5盒分成（2，2，1）三组，天平每边放2盒。平衡：少几块的那盒就是未称的一盒；不平衡：少几块的那盒在轻的一边。 称第三次：把少几块的一组2盒分成（1，1），天平每边各放1盒，少几块的那盒在轻的一边。 因此，即至少称3次可以保证找出这盒饼干。 故答案为：3。 【点评】用天平找次品的关键是把被测物品合理分组，分组不同，会导致称的次数不同。 三．判断题（共3小题） 7．（2024•黔西南州）11颗同样大小的珍珠，一颗较轻，用天平至少称3次能保证找到较轻珍珠。 　√　 【考点】找次品． 【专题】应用题；应用意识． 【答案】√ 【分析】因天平是一个等臂杠杆，所以如果左右两盘质量不一样，则天平会不平衡，利用此特点进行分组称量，据此即可解答问题。 【解答】解：根据找次品的方法，在用天平找次品时（只含一个次品，已知次品比正品重或轻），所测物品数目与测试的次数有一定的关系： 要辨别的物品数目 保证能找出次品需要测的次数 2～3 1 4～9 2 10～27 3 28～81 4 ⋯⋯ ⋯⋯ 所以11颗同样大小的珍珠，一颗较轻，用天平至少称3次能保证找到较轻珍珠，原题说法正确。 故答案为：√。 【点评】找次品的最优策略： （1）把待分物品分成3份； （2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 8．（2024春•吉州区期末）30个零件中有一个偏重，用天平至少称3次能保证找出来。 　×　 【考点】找次品． 【专题】压轴题；应用意识． 【答案】× 【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。 【解答】解：为了便于说明，把偏重的这个零件，看作次品。 第一次：30个零件平均分成三份，每份10个，取两份分别放在天平秤两端；若天平秤平衡，则次品在剩余的10个零件中；若不平衡，找到较重的一端（10个）继续称。 第二次：把含次品的10个零件分为（3，3，4），把（3、3）在放在天平两边，如果平衡次品在剩余的4个中，如果不平衡次品在下降的3个中； 第三次：①3个零件平均分成三份，每份1个，把（1、1）分别放在天平秤两端，若天平平衡，则次品是剩余的1个，若天平不平衡，次品在下降的一端； ②4个零件分成3份，即（1、1、2），把（1、1）分别放在天平秤两端，若天平平衡，则次品在剩余的2个中，再称一次（第四次）即可保证找到较重的次品；若天平不平衡，次品在下降的一端。 所以用天平至少称4次能保证找出来；所以原题说法错误。 故答案为：×。 【点评】解答此题的关键是将所给物品进行合理的分组，逐次称量，即可找出次品。 9．（2023•扶风县）在16个零件中有一个是次品（轻一些），用天平秤至少秤3次能找出次品。 　√　 【考点】找次品． 【专题】应用题；应用意识． 【答案】√ 【分析】因天平是一个等臂杠杆，所以如果左右两盘质量不一样，则天平会不平衡，利用此特点进行分组称量，据此即可解答问题。 【解答】解：根据找次品的方法，在用天平找次品时（只含一个次品，已知次品比正品重或轻），所测物品数目与测试的次数有一定的关系： 要辨别的物品数目 保证能找出次品需要测的次数 2～3 1 4～9 2 10～27 3 28～81 4 ⋯⋯ ⋯⋯ 所以在16个零件中有一个是次品（轻一些），用天平秤至少秤3次能找出次品，原题说法正确。 故答案为：√。 【点评】找次品的最优策略： （1）把待分物品分成3份； （2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 四．应用题（共1小题） 10．有8瓶矿泉水，编号是①至⑧，其中有6瓶一样重，是合格产品，另外2瓶都轻5g，是不合格产品，用天平称了3次，结果如下：第一次①+②比③+④重；第二次⑤+⑥比⑦+⑧轻；第三次：①+③+⑤与②+④+⑧一样重，那么这2瓶不合格产品分别是几号？ 【考点】找次品． 【专题】应用题；优化问题． 【答案】见试题解答内容 【分析】由①+②比③+④重可知①、②为合格产品，③、④中有一瓶是不合格产品（不能都是不合格产品，因为若都是不合格产品，就不会出现：⑤+⑥比⑦+⑧轻）． 由⑤+⑥比⑦+⑧轻可知⑦、⑧为合格产品，⑤、⑥中有一瓶不是合格产品（同理不能都是次品）． 这样会出现以下四种情况：A、③和⑤是不合格产品；B、③和⑥是不合格产品；C、④和⑤是不合格产品；D、④和⑥是不合格产品．根据：①+③+⑤与②+④+⑧一样重，A、B、D都不能使这个等式成立，只有C能使这个等式成立，即不合格产品是④和⑤． 【解答】解：因为①+②比③+④重 所以③、④中有一瓶是不合格产品（不能都是不合格产品，因为若都是不合格产品，就不会出现：⑤+⑥比⑦+⑧轻） 因为⑤+⑥比⑦+⑧轻 所以⑤、⑥中有一瓶不是合格产品（同理不能都是次品） 于是会出现以下四种情况： A、③和⑤是不合格产品 B、③和⑥是不合格产品 C、④和⑤是不合格产品 D、④和⑥是不合格产品． 因为：①+③+⑤与②+④+⑧一样重 所以A、B、D都不能使这个等式成立 所以不合格产品是④和⑤． 答：这2瓶不合格产品分别是④号和⑤号． 【点评】解答本题的关键是根据题干中前两次的称量，找出次品的可能性，进而根据第三次称量得出结论． 一．选择题（共3小题） 1．（2024•蓝山县）有10个零件，其中有1个是不合格品，至少要称（　　）次才能保证找出这个不合格品。 A．4 B．3 C．5 D．2 【考点】找次品． 【专题】推理能力． 【答案】B 【分析】找次品的公式计算规律： 2～3个物品称1次； 4～9个物品称2次； 10～27个物品称3次； 28～81个物品称4次（以上是知道次品轻重的，不知道次品轻重要称多一次）。 【解答】解：有10个零件，其中有1个是不合格品，至少要称3次才能保证找出这个不合格品。 故选：B。 【点评】解答此题的关键是将所给物品进行合理的分组，逐次称量，即可找出次品。 2．（2024春•醴陵市校级期末）19盒牛奶片，有一盒少了3片。至少要称（　　）次才能保证找出这盒来。 A．3 B．4 C．5 【考点】找次品． 【专题】推理能力． 【答案】A 【分析】找次品的公式计算规律： 2～3个物品称1次； 4～9个物品称2次； 10～27个物品称3次； 28～81个物品称4次（以上是知道次品轻重的，不知道次品轻重要称多一次）。 【解答】解：19盒牛奶片，有一盒少了3片。至少要称3次才能保证找出这盒来。 故选：A。 【点评】解答此题的关键是将所给物品进行合理的分组，逐次称量，即可找出次品。 3．（2024春•确山县期末）有29瓶水，其中28瓶质量相同，另有1瓶是盐水，比其他的水略重一些。假如用天平称，至少称（　　）次能保证找出这瓶盐水。 A．2 B．3 C．4 【考点】找次品． 【专题】推理能力． 【答案】C 【分析】找次品的公式计算规律： 2～3个物品称1次； 4～9个物品称2次； 10～27个物品称3次； 28～81个物品称4次（以上是知道次品轻重的，不知道次品轻重要称多一次）。 【解答】解：有29瓶水，其中28瓶质量相同，另有1瓶是盐水，比其他的水略重一些。假如用天平称，至少称4次能保证找出这瓶盐水。 故选：C。 【点评】解答此题的关键是将所给物品进行合理的分组，逐次称量，即可找出次品。 二．填空题（共3小题） 4．（2024•黄骅市）19个零件中有一个较轻的次品，用天平称，至少 　3　次可找出这个次品。 【考点】找次品． 【专题】推理能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】将19个零件分成7、6、6三组，然后利用天平平衡原理解答即可． 【解答】解：第一次：把19个零件分成3份：6个、6个、7个，取6个的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则次品在未取的一份，若天平不平衡，取较轻的一份继续； 第二次：取含有较轻的零件（6个或7个）分成3份：2个、2个、2个（或3个），取2个的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则次品在未取的一份中，若天平不平衡，取较轻的一份继续； 第三次；从含有较轻的一份（2个或3个）中取2个分别放在天平两侧，若天平平衡，则次品为未取的一个，若天平不平衡，较轻的为次品。 所以用天平称，至少3次可找出这个次品。 故答案为：3。 【点评】解答此题的关键是将零件进行合理的分组，逐次称量，进而找出次品． 5．（2024春•萧山区期末）有36瓶外观一样的钙片，其中1瓶少了5片，用无砝码的天平称，至少称 　4　次才能保证找出少5片的那瓶。 【考点】找次品． 【专题】推理能力． 【答案】4。 【分析】找次品的公式计算规律： 2～3个物品称1次； 4～9个物品称2次； 10～27个物品称3次； 28～81个物品称4次（以上是知道次品轻重的，不知道次品轻重要称多一次）。 【解答】解：有36瓶外观一样的钙片，其中1瓶少了5片，用无砝码的天平称，至少称4次才能保证找出少5片的那瓶。 故答案为：4。 【点评】解答此题的关键是将所给物品进行合理的分组，逐次称量，即可找出次品。 6．（2024春•峡江县期末）有12瓶木糖醇，其中11瓶一样重，另有一瓶质量轻一些，用天平至少称 　3　次才能保证找出这瓶轻的木糖醇。 【考点】找次品． 【专题】推理能力． 【答案】3 【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。 【解答】解：经分析得： 将12瓶分成3份：4，4，4；第一次称重，在天平两边各放4瓶，手里留4瓶； （1）如果天平平衡，则次品在手里，将这4瓶中的2瓶在天平两边各放1瓶，手里留2瓶； a.如果天平不平衡，则找到次品在升起的天平托盘中； b.如果天平平衡，则次品在手中的2瓶中，接下来，将这两瓶分别放在天平的两边就可以鉴别出次品。 （2）如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的4瓶中，将这4瓶中的2瓶在天平两边各放1瓶，手里留2瓶， a.如果天平不平衡，则找到次品在升起的天平托盘中； b.如果天平平衡，则次品在手中的2瓶中，接下来，将这两袋分别放在天平的两边就可以鉴别出次品。 故用天平至少称3次才能保证找出这瓶轻的木糖醇。 故答案为：3。 【点评】考查找次品的问题，分3份操作找到最优方法。 三．判断题（共3小题） 7．（2023•平谷区模拟）20瓶钙片有1瓶较轻的是次品，用天平至少称3次可以找出次品。 　√　 【考点】找次品． 【专题】推理能力． 【答案】√ 【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。 【解答】解：先把20瓶分成7瓶、7瓶和6瓶，先把2个7瓶放在天平的两端， 如果天平平衡，那么次品在剩下的6瓶中，把这6瓶分成2瓶、2瓶、2瓶，先把2个2瓶放在天平的两端，如果天平平衡，那么次品在剩下的2瓶，把这2瓶放在天平的两端，天平上升的一端是次品，如果天平不平衡，次品在天平上升的那端，把这2瓶放在天平的两端，天平上升的一端是次品； 如果天平不平衡，那么次品在天平上升的那端，把这7瓶分成2瓶、2瓶、3瓶，先把2个2瓶放在天平的两端，如果天平平衡，那么次品在剩下的3瓶，把这3瓶分成1瓶、1瓶、1瓶，先把2个1瓶放在天平的两端，如果天平平衡，那么次品是剩下的那瓶，如果不平衡，次品在天平上升的那端；如果天平不平衡，次品在天平上升的那端，把这2瓶放在天平的两端，天平上升的一端是次品。 综上，至少称3次可以找出次品。所以原题干表述正确。 故答案为：√。 【点评】解答此题的关键是将所给物品进行合理的分组，逐次称量，即可找出次品。 8．（2023秋•长安区期末）有9个大小、图案都完全一样的小球，其中有一个略轻一些。用天平称，至少称3次就一定能找出这个小球。 　×　 【考点】找次品． 【专题】推理能力． 【答案】× 【分析】找次品的公式计算规律： 2～3个物品称1次； 4～9个物品称2次； 10～27个物品称3次； 28～81个物品称4次（以上是知道次品轻重的，不知道次品轻重要称多一次）。 【解答】解：有9个大小、图案都完全一样的小球，其中有一个略轻一些。用天平称，至少称2次就一定能找出这个小球。所以题干表述错误。 故答案为：×。 【点评】解答此题的关键是将所给物品进行合理的分组，逐次称量，即可找出次品。 9．（2023春•伊犁州期末）在10个零件中有一个是次品（次品重一些），用天平称，至少3次就一定能找出次品。 　√　 【考点】找次品． 【专题】推理能力． 【答案】√ 【分析】找次品的公式计算规律： 2～3个物品称1次； 4～9个物品称2次； 10～27个物品称3次； 28～81个物品称4次（以上是知道次品轻重的，不知道次品轻重要称多一次）。 【解答】解：在10个零件中有一个是次品（次品重一些），用天平称，至少3次就一定能找出次品。表述正确。 故答案为：√。 【点评】解答此题的关键是将所给物品进行合理的分组，逐次称量，即可找出次品。 四．应用题（共1小题） 10．（2024春•晋中期末）平遥牛肉是平遥县的特色名菜，中华老字号“冠云”牌平遥牛肉驰名中外。分管质检的张叔叔，发现在8袋外观相同的牛肉中有1袋质量较轻的次品。假如用天平称，至少称几次能保证找出次品？用你喜欢的方式记录找次品的过程。 【考点】找次品． 【专题】推理能力． 【答案】2次。 【分析】结合分析可知：把8袋牛肉分成三份（3，3，2），称一次，无论次品是在3袋中还是在2袋中，只要再称一次即可找到次品。 【解答】解：第一次：把8袋牛肉分成三份（3，3，2），天平两端各放3份，如果平衡，次品就在剩下的2袋中，再把剩下的2袋放在天平上，一边1袋，如果不平衡，则再轻的一边，把轻的一边的3份再平均分成3份（1，1，1），天平两边各放1份，如果平衡，次品在比较轻的一端，如果不平衡，剩下的1个是次品，所以至少秤2次能保证找出次品。 答：至少称2次能找出次品。 【点评】通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力。 一．选择题（共3小题） 1．（2024•邓州市）有25盒饼干，其中有1盒吃了两块，如果用天平称，至少要称（　　）次能保证找到这盒饼干。 A．5 B．4 C．3 D．2 【考点】找次品． 【专题】推理能力． 【答案】C 【分析】可以把25分成（9，9，7），天平每边放9盒，若平衡，次品在7盒中；再把7分成（3，3，1），天平每边放3盒，若平衡，次品是剩下的1盒，若不平衡，把3分成（1，1，1）这样1次即可找出，一共需要称3次；若天平每边放9个，不平衡，把轻的一份9分成（3，3，3），再称1次即可确定在哪份，把3再分成（1，1，1）再称1次即可出结果，也是一共称3次；据此求解即可。 【解答】解：把2（5分）成（9，9，7）， ①天平每边放9盒，若平衡，次品在7盒中；再把（7分）成（3，3，1），天平每边放3盒，若平衡，次品是剩下的1盒，若不平衡，把（3分）成（1，1，1）这样1次即可找出，一共3需要称3次； ②若天平每边放9盒，不平衡，把轻的一份（9分）成（3，3，3），再称1次即可确定在哪份，把3再分成（1，1，1）再称1次即可出结果，也是一共称3次。 答：至少要称3次能保证找到这盒饼干。 故选：C。 【点评】天平秤的平衡原理，是解答本题的依据，关键是明确每次取饼干的盒数。 2．（2024•渝北区）有8个同样的零件，其中有1个次品略轻一些，用天平称至少（　　）次能保证找到次品． A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】找次品． 【专题】传统应用题专题． 【答案】B 【分析】把8个零件分成3个，3个，2个三份，第一次：把其中3个的两份分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则次品在未取的2个中，再称量剩余2个即可找出，若天平秤不平衡；第二次：从天平秤较高端的3个零件中，任取2个，分别放在天平秤两端，若平衡，则未取即为次品，若不平衡，较高端即为次品，据此即可解答． 【解答】解：把8个零件分成3个，3个，2个三份， 第一次：把其中3个的两份分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则次品在未取的2个中，把剩余2个分别放在天平秤两端，较高端的零件即为次品，若天平秤不平衡； 第二次：从天平秤较高端的3个零件中，任取2个，分别放在天平秤两端，若平衡，则未取即为次品，若不平衡，较高端即为次品． 故选：B． 【点评】本题主要考查学生依据天平秤平衡原理解决问题的能力． 3．（2023秋•港南区期末）有15块巧克力，其中1块稍轻一些，用天平最少称（　　）次一定能找出稍轻的巧克力。 A．2 B．4 C．3 【考点】找次品． 【专题】推理能力． 【答案】C 【分析】先把15平均分成3份（5，5，5），如果平衡的话，就从剩下的5个中找；把5分成3份（2，2，1），如果平衡的话，次品就是剩下的那个；如果不平衡，就把2分成（1，1），天平上升的那端就是次品了；据此解答。 【解答】解：①把15平均分成3份（5，5，5），如果平衡的话就从剩下的5个中找； ②把5分成3份（2，2，1），如果平衡的话，次品就是剩下的那个； ③如果不平衡，就把2分成（1，1），天平上升的那端就是次品了； 所以至少3次找出了次品。 答：用天平最少称3次一定能找出稍轻的巧克力。 故选：C。 【点评】天平秤的平衡原理是解答本题的依据，注意每次取巧克力的块数。 二．填空题（共3小题） 4．（2024春•北川县期末）有9瓶口香糖，其中1瓶少了几片，另外8瓶质量相同。如果用天平称，至少称 　2　次可以保证找到比较轻的这瓶口香糖。 【考点】找次品． 【专题】应用题；推理能力． 【答案】2。 【分析】根据天平的平衡原理对托盘两边的物品进行比较，把待测物品分成三份，要分得尽量平均，能够均分的就平均分成3份，不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 【解答】解：把9瓶口香糖平均分成3份，每份3瓶。 第一次：把两份分别放在天平两端，如果平衡，说明轻的在剩下的一份中；不平衡，哪端上扬就说明轻的在这一份中； 第二次：再把轻的那一份平均分成三份（1，1，1），天平两端各放1瓶，如果平衡，则没有称的那一份就是轻的这瓶，如果不平衡，天平上扬的那一端就是轻的这瓶。 故答案为：2。 【点评】熟悉找次品的方法和原理是解决本题的关键。 5．（2024•冷水滩区开学）有7个乒乓球，其中6个质量相同，有1个是质量稍轻一些次品，用天平称，至少要称 　2　次，才能保证找出这个次品。 【考点】找次品． 【专题】综合填空题；推理能力． 【答案】2。 【分析】把7个乒乓球分成（3，3，1）三组，把两个3个一组的放在天平上称，如平天平衡，则次品在1个的一组中；如不平衡，则把上升的一组3个乒乓球分成（1，1，1），任意两个放在天平上称，如平衡，没称的是次品，如不平衡，上升的是次品。据此解答。 【解答】解：第一次称量：把7个乒乓球分成3组：3、3、1，先在天平两边分别放3个乒乓球，会有两种情况出现： 情况一：左右平衡，则次品在剩下的1个中； 情况二：若左右不平衡，则次品在托盘上升的一边3个中，由此即可进行第二次称量，从上升一边的3个拿出2个，放在天平的两边一边1个，若天平 平衡，则剩下1个是次品；若天平不平衡，则托盘上升一边为次品。 综上所述，至少需要称2次，才能找到次品。 答：有7个乒乓球，其中6个质量相同，有1个是质量稍轻一些次品，用天平称，至少要称2次，才能保证找出这个次品。 故答案为：2。 【点评】本题考查了找次品的方法。 6．（2024春•博尔塔拉州期末）有15瓶钙片，其中1瓶少了3片，用天平秤，至少秤 　3　次能保证找出少的那一瓶。 【考点】找次品． 【专题】推理能力． 【答案】3。 【分析】把15瓶分成（5，5，5）三组，把其中的任意两组放在天平上称，如平衡，则轻的在没称的一组，再把它分成（2，2，1），再把2个一组的放在天平上称，如平衡，则轻的就是没称的，如不平衡，则把轻的一组分（1，1）放在天平上称可找出轻的，如不平衡，则把轻的一组分成（2，2，1），进行称量，如此下去只需3次可找出少的那一瓶。 【解答】解：（1）把15瓶钙片分成（5，5，5）三组，把其中的任意两组放在天平上称，如平衡，则轻的在没称的一组，再把它分成（2，2，1），再把2个一组的放在天平上称，如平衡，则轻的就是没称的，如不平衡，则把轻的一组分（1，1）放在天平上称可找出轻的； （2）如不平衡，则把轻的一组分成（2，2，1），再把2个一组的放在天平上称，如平衡，则轻的就是没称的，如不平衡，则把轻的一组分（1，1）放在天平上称可找出轻的； 所以至少秤3次能保证找出少的那一瓶。 故答案为：3。 【点评】本题主要考查学生依据天平秤平衡原理解决问题的能力。 三．判断题（共3小题） 7．（2024•任丘市）有20个零件，其中有1个是次品（稍重些），用天平称至少3次就能保证找出次品。 　√　 【考点】找次品． 【专题】推理能力． 【答案】√ 【分析】第一次：把20个零件分成（8，8，4），拿出2份8个的零件放在天平上称一称，如果天平平衡，没有称的4个零件里有重一些的那个，拿出再称；如果不平衡，重一些的8个里面有要找的那个零件，拿出再称；第二次，如果是4个的那一份，把（4分）成（2，2），拿出2份2个的零件放在天平上称一称，重一些的2个里面有要找的那个零件，拿出再称；如果是8个的那一份，把（8分）成（2，2，2），拿出2份2个的零件放在天平上称一称，如果天平平衡，没有称的2个零件里有重一些的那个，拿出再称；如果不平衡，重一些的2个里有要找的那个零件，拿出再称；第三次，把2个零件分成（1，1），称出要找的重一些的那个零件，据此解答即可。 【解答】解：根据分析可知，有20个零件，其中有1个数次品（稍重些），用天平称至少3次就能保证找出次品。原题干说法正确。 故答案为：√。 【点评】本题主要考查找次品，关键注意零件该如何分组。 8．（2024•卧龙区）25个零件里面有1个是次品（次品重一些），如果用天平称，至少称3次才能保证找到这个次品。 　√　 【考点】找次品． 【专题】推理能力． 【答案】√ 【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。 【解答】解：先把25个零件分成（8，8，9），把任意两组的放在天平上称，如平衡，则次品在没称的一组，如如不平衡，次品在重的一组； 同理再把9分成（3，3，3），可找出有次品的一组；再把3分成（1，1，1），可找出次品，共需3次。所以假如用天平称，至少称3次能保证找出次品。所以题干说法正确。 【点评】解答此题的关键是将所给物品进行合理的分组，逐次称量，即可找出次品。 9．（2024春•淮滨县期末）9瓶钙片中，有一瓶质量轻一些，用天平至少称2次才能找出次品。 　√　 【考点】找次品． 【专题】推理能力；模型思想． 【答案】√ 【分析】第一次称：把这9瓶钙片分成三份（3，3，3），在天平两边各放3瓶，若平衡，则次品在剩下的3瓶中；若不平衡，次品在上升的3瓶中。 第二次称：将包含次品的3瓶钙片分成（1，1，1），在天平两边各放1瓶，若平衡，则次品就是剩下的没有称重的1瓶；若不平衡，次品是上升的1瓶。 【解答】解：由分析可知： 9瓶钙片中，有一瓶轻一些。用天平称至少要称2次才能保证找出次品。原题干说法正确。 故答案为：√。 【点评】本题考查找次品，把待测物品尽量平均分成三份是解题的关键。 四．应用题（共1小题） 10．（2024春•峡江县期末）六一儿童节到了，李老师给幼儿园的小朋友买了28盒饼干，其余27盒质量相同，有1盒少了几块，假如用天平称，至少称几次能保证找到这盒饼干？请写出称的过程。 【考点】找次品． 【专题】应用题；推理能力． 【答案】4次，见详解。 【分析】根据找次品的办法，一般把饼干平均分，不平均可以让第三份少一些，然后进行称量，由此进行解答即可。 【解答】解：称第一次：把28盒分成两组，每组14盒，天平每边各放一组，少几块的那盒会在轻的一边； 称第二次：把有少几块盒的那组14盒分成两组，分别是7盒，7盒，少几块的那盒在轻的那一边； 称第三次：把有少几块盒的那组7盒分成三组，分别是2盒，2盒，3盒，天平每边放2盒，平衡则少几块的那盒就是未称的一盒；不平衡则是少几块的盒在轻的那一边； 称第四次：若少几块的那一盒在2盒中，把这2盒分成两组，天平每边各放1盒，少几块的那盒在轻的一边；若少几块的那一盒在3盒中，把这3盒平均分成3组，先称2盒，平衡则少几块的盒就是未称的一盒；不平衡则是少几块的盒在轻的那一边。 答：至少称4次可以保证找出这盒饼干。 【点评】本题考查找次品，解答本题的关键是掌握找次品的方法。 第三部分 错题笔记-自我整理，有助于阶段复习 学科网（北京）股份有限公司 $$