四川省资阳市天立学校2024-2025学年高二上学期数学期末复习卷04

资阳天立高二数学上学期期末复习卷04 （时间：120分钟 试卷满分：150分） 组编人;向玮 审核：高二数学备课组 班级： 姓名： 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知经过点的直线的斜率为2，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 2．已知直线与圆相交于两点，则（   ） A． B．4 C． D．2 3．已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面的关系是（    ） A． B． C． D．或 4．“”是“直线与直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知点与关于直线对称，则（   ） A． B． C．0 D．3 6．下列对各事件发生的概率判断不正确的是（    ） A．某学生在上学的路，上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为 B．三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为 C．设两个独立事件和都不发生的概率为发生不发生的概率与发生不发生的概率相同，则事件发生的概率是 7．如图所示，点是抛物线的焦点，点分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在直三棱柱中，为线段的中点，为线段上一点，则面积的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．盒子里有2个红球和2个白球，从中不放回地依次取出2个球，设事件“两个球颜色相同”，“第1次取出的是红球”，“第2次取出的是红球”，“两个球颜色不同”.则下列说法正确的是（    ） A．A与相互独立 B．A与互为对立 C．与互斥 D．与相互独立 10．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐藏着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即某将军观望完烽火台之后从山脚的某处出发，先去河边饮马，再返回军营，怎样走能使总路程最短?在平面直角坐标系中有两条河流m，n，其方程分别为，，将军的出发点是点，军营所在位置为，则下列说法错误的是（    ） A．若将军先去河流m饮马，再返回军营，则将军在河边饮马的地点的坐标为 B．将军先去河流n饮马，再返回军营的最短路程是 C．将军先去河流m饮马，再去河流n饮马，最后返回军营的最短路程是 D．将军先去河流n饮马，再去河流m饮马，最后返回军营的最短路程是 11．已知椭圆：（）与双曲线：（，）有公共焦点，，与在第一象限的交点为，且，记，的离心率分别为，．下列结论正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．的最小值为1 D．记的内心为，的右顶点为，则轴 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．准线为的抛物线的标准方程是 13．已知圆与圆有条公切线，则实数的取值是 . 14．如图，在棱长为2的正方体中，点，分别在线段和上．给出下列四个结论：其中所有正确结论的有 ①．的最小值为2 ②．四面体的体积为 ③．有且仅有一条直线与垂直 ④．存在点，使为等边三角形 三、解答题：本题共5小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题13分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，．    (1)求证：平面； (2)求直线平面夹角的正弦值； (3)求点到平面的距离． 16．（本小题15分）已知圆经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆相交于，两点，若，求直线的方程. 17．（本小题15分）如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的正方形.再从条件①､条件②､条件③中选择两个能解决下面问题的条件作为已知. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)设是的中点，棱上是否存在点，使得平面？若存在，求线段的长；若不存在，说明理由. 条件①：； 条件②：； 条件③：平面平面. 注：如果选择多种方案分别解答，那么按第一种方案解答计分. 18．某高校的入学面试中有4道题目，第1题2分，第2题3分，第3题4分，第4题4分，每道题目答对得满分，答错得0分，小明答对第1，2，3，4题的概率分别为，，，，且每道题目是否答对相互独立. (1)求小明4道题目至少答错1道题的概率； (2)若该高校规定学生的面试分数不低于8分则面试成功，求小明面试成功的概率. 19．（本小题17分）已知椭圆的左顶点为，右顶点为，椭圆上不同于点的一点满足. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线交椭圆于两点，直线交于点，证明：点在定直线上. 资阳天立高二数学上学期期末复习卷04答案 1．【答案】D 【详解】因为经过点的直线的斜率为2， 所以，且，解得.故选：D. 2【答案】A 【详解】圆的圆心，半径， 圆心到直线的距离， 则弦的长故选：A 3．【答案】D 【详解】因为， 所以，则或.故选：D 4．【答案】D 【详解】当时，直线为，直线为，两直线重合； 当直线与直线平行时，， 解得或，而时，两直线重合， 当时，直线为，直线为，两直线平行， 因此直线与直线平行时，，则， 所以“”是“直线与直线平行”的既不充分也不必要条件.故选：D 5．【答案】B 【详解】由题可知，线段的中点在直线上，即， 所以，故选：B． 6．【答案】C【详解】对A：该生在第3个路口首次遇到红灯的情况为前2个路口不是红灯， 第3个路口是红灯，所以概率为，故A正确； 对B：用、、分别表示甲、乙、丙三人能破译出密码， 则，，， “三个人都不能破译出密码”发生的概率为， 所以此密码被破译的概率为，故B正确； 对C：由题意可得，即， 即，即， 又，故，∴，故C错误； 对D：从1，2，3，4中任取2个不同的数，有， 共6个结果，其中取出的2个数之差的绝对值为2的包含和两个样本点， 则概率，故D正确；故选：C 7．【答案】D【详解】 过点作准线的垂线，垂足为， 则的周长为， 由可得， 故，故的周长的取值范围为，故选：D. 8【详解】 由直三棱柱可得平面，而， 故建立如图所示的空间直角坐标系，， 设，其中，故， 而，， 故到直线的距离为， 因为，故，故，故选：B 9．【答案】ABD【详解】依题意可设2个红球为，2个白球为，则样本空间为： ，共12个基本事件. 事件A，共4个基本事件. 事件B，共6个基本事件. 事件C，共6个基本事件. 事件D， 共8个基本事件. 对于A选项，因， 则，故A与相互独立，故A正确； 对于B选项，注意到，得A与互为对立事件，故B正确； 对于C选项，注意到，则与不互斥，故C错误； 对于D选项，因，，， 则，故D与相互独立，故D正确.故选：ABD 10【答案】ABD 【详解】对于A，如图①所示，设点关于直线的对称点为， 由解得， 所以将军在河边饮马的地点的坐标为，故A错误； 对于B，如图②所示，因为点关于直线的对称点为， 将军先去河流饮马，再返回军营的最短路程是，故B错误； 对于C，如图③所示，因为点关于直线的对称点分别为，； 点关于直线的对称点为， 所以将军先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回军营的最短路程，故C正确； 对于D，如图④所示，设点关于直线的对称点分别为， 由解得；点关于直线的对称点为， 将军先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回军营的最短路程是，故D错误. 故选：ABD.             11．【答案】ABD 【详解】对于选项A，根据椭圆定义，已知，， 则，所以. 根据双曲线定义，则， 所以. 因为，根据勾股定理，将， 代入得，即，，解得. 双曲线的离心率，因为，，所以，故选项A正确.   对于选项B，设，，由椭圆定义，由双曲线定义， 解得，. 因为，所以，即，化简得. 已知，设，，代入得，解得. 双曲线的离心率，故选项B正确.   对于选项C，由，则. 根据均值不等式，所以，当且仅当时取等号， ，椭圆和双曲线离心率不可能取等，故选项C错误.   对于选项D，设的内切圆半径为. 根据三角形面积公式，. 又，，可得，，. ，. 设，的横坐标为，（，为，的横坐标）， 因为，，，所以轴，选项D正确. 故选：ABD 12．【答案】 【详解】由抛物线的准线为，故，则抛物线方程为. 所以抛物线标准方程为.故答案为： 13．【答案】 【详解】因为圆与圆有条公切线，所以圆与圆外切， 又圆的圆心为，半径为，的圆心为，半径为， 所以，得到，又，所以，故答案为：. 14．【答案】①②④ 【详解】对于①： 因为是正方体， 所以平面，平面， 又因为平面，平面， 所以，，即是与的公垂线段， 因为公垂线段是异面直线上两点间的最短距离， 所以当分别与重合时，最短为2，故①正确； 对于②： 因为是正方体， 所以平面平面，且平面， 所以平面， 可知，当点在上运动时，点到平面的距离不变，距离， 由可知，当点在上运动时，到的距离不变， 所以的面积不变， 所以，所以②正确； 对于③： 当分别与重合时，； 当为中点，与重合时，，所以③错误； 对于④：如图以点为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 设，， 则，，，， ， ， ， 因为为等边三角形， 由， 得，得，即， 由，得， 则，即，解得或， 即或，故④正确； 故选：①②④．    15．【详解】（1）因为底面为正方形，所以，...............................2分 因为平面，平面，...............................3分 所以平面；...............................4分 （2）因为平面，平面， 所以，...............................5分 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ，...............................6分 设平面的法向量为， 则，...............................7分 令，则，则，...............................8分    直线平面夹角的正弦值为；...............................10分 （3）由（2）知，平面的法向量为，...............................11分 点到平面的距离为................................13分 16．【详解】（1）直线的斜率为，线段的中点为，...............................2分 线段的中垂线方程为，即，..............................4分 联立，解得，..............................6分 所以圆心，半径，...............................7分 故圆的方程为；...............................8分 （2）设圆心到直线的距离为， 由，解得，...............................10分 当直线的斜率不存在时，其方程为，满足条件； 当直线的斜率存在时，设其斜率为， 直线的方程为，即，...............................12分 由，解得，故直线的方程为................................13分 综上，直线的方程为或................................15分 17．【详解】（1）因所求问题包括线面角大小，需要求出边长，故①必选， 选②缺垂直条件，因为，又四边形是边长为4的正方形，所以，，平面平面所以平面又平面所以，选①②无法证明平面； 故只能选择①③，理由如下： 因为平面平面，平面平面，四边形是边长为4的正方形，所以，所以平面，...............................2分 又因为平面，所以，，所以，...............................3分 又因为，所以，平面，，...............................4分 所以平面；..............................6分 （2） 由（1）知两两垂直，故以方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立空间直角坐标系，则，..............................7分 故，，设平面的方向量为， 则，即，...............................9分 令，得，故，设直线与平面所成角为， 则，...............................10分 故直线与平面所成角的正弦值为；...............................1分 （3） 假设存在设点，使得平面，则， 因为平面，所以，，...............................13分 所以，，...............................14分 解得，故，， 所以存在点，为中点，使得平面，此时................................15分 18．【答案】(1)；(2). 【详解】（1）小明同学4道题目至少答错1道题的对立事件为小明4道题全部答对， 所以小明同学4道题目至少答错1道题的概率为. （2）由题意得，要使得面试分数不低于8分，若只答对2题，则应是第3题和第4题；若只答对三题或全部答对，面试得分均不低于8分. 设事件A，B，C，D分别为小明答对第1，2，3，4题， 则小明面试成功的概率 . 19．【详解】（1）如图所示：    根据题意，，设点的坐标为，由于点在椭圆上， 所以，得， 则， 解得，所以椭圆的标准方程为................................5分 （2）解法一（非对称韦达）： 由题意如图所示：    设点，可设直线的方程为：，...............................6分 联立，得，...............................7分 由根与系数的关系，，...............................9分 直线的方程：，①...............................9分 直线的方程：，②...............................12分 ①②得，...............................13分 因为，...............................14分 所以，解得，...............................16分 因此，点在定直线上................................17分 解法二（齐次化）： 由题意如图所示：    设不过点的直线的方程为：，...............................6分 由于直线过，所以................................9分 设，点................................10分 椭圆的方程转化为，，代入直线的方程得， ，即，...............................12分 即，由根与系数的关系，，...............................14分 又由题意可得：，所以两式相除得：，...............................15分 即，解得，...............................16分 所以点在定直线上................................17分 学科网（北京）股份有限公司 $$