2025年苏科版九年级中考数学一轮复习课件 相似三角形中的六种基本模型

相似三角形中的六种基本模型 中考数学一轮复习专练 模型一    A字型 1.(2023四川内江中考)如图,在△ABC中,点D、E为边AB的三 等分点,点F、G在边BC上,AC∥DG∥EF,点H为AF与DG的 交点.若AC=12,则DH的长为 (　    ) A.1　    B. 　    C.2　    D.3 C 中考数学一轮复习专练 解析　∵点D、E为边AB的三等分点,∴AD=DE=EB,∴AB=3 BE,AE=2AD,∵EF∥AC,∴△BEF∽△BAC,∴EF∶AC=BE∶ AB,∵AC=12,∴EF=4,∵DG∥EF,∴△ADH∽△AEF,∴ DH∶EF=AD∶AE,∵EF=4,∴DH=2.故选C. 中考数学一轮复习专练 模型二    X(8)字型 2.(2024江苏南通如皋期末)如图,在边长为1的小正方形组成 的网格中,点A,B,C,D在小正方形的顶点处,AC与BD相交于点 O,则AO的长为(　    ) A. 　    B. 　    C. 　    D.  A 中考数学一轮复习专练 解析　如图,由网格图可知AG=2,BG=1,DH=2,CH=4,∴ =  =2,AB= = ,CD= = =2 ,∴  = ,∵∠AGB=∠CHD=90°,∴△AGB∽△CHD,∴∠ BAG=∠DCH.∵AG∥CH,∴∠GAC=∠HCA,∴∠BAO=∠ DCO.∵∠AOB=∠COD,∴△AOB∽△COD,∴ = = , ∴AO= OC,∴AO= AC.∵AC= = ,∴AO= .故 选A. 中考数学一轮复习专练   中考数学一轮复习专练 3.(2023山东济南高新区期末)如图,AD、BC相交于点P,连接 AC、BD,且∠1=∠2,AC=3,CP=2,DP=1,求BD的长.   解析　∵∠1=∠2,∠APC=∠BPD,∴△APC∽△BPD,∴  = ,∴BD= = = ,∴BD的长为 . 中考数学一轮复习专练 模型三    K字型(一线三等角型) 4.(2022黑龙江齐齐哈尔模拟)如图,正方形ABCD的边长为4, E是BC上一点,过点E作EF⊥AE,交BC于点F,连接AF,则AF的 最小值是 (　    ) A.5　    B. 　    C.2 　    D.3 A 中考数学一轮复习专练 解析　∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC=CD=AD=4,∠B= ∠C=∠D=90°,∴∠BAE+∠AEB=90°,设BE=x,则EC=BC-BE= 4-x,∵EF⊥AE,∴∠AEF=90°,∴∠AEB+∠FEC=180°-∠AEF =90°,∴∠BAE=∠FEC,∴△ABE∽△ECF,∴ = ,∴  = ,∴CF= =- x2+x=- (x-2)2+1,∴当x=2时,CF最大=1, 此时DF最小=DC-CF最大=3,在Rt△ADF中,AF= =  ,∴当DF取最小值3时,AF取得最小值,∴AF最小=  =5,∴AF的最小值是5,故选A. 中考数学一轮复习专练 5.(2024江苏南京鼓楼期末)如图,将等边三角形纸片ABC折 叠,使点A落在边BC上的D处,MN为折痕.若 = ,则 的 值为 (　    ) A. 　    B. 　    C. 　    D.  C 中考数学一轮复习专练 解析　∵△ABC是等边三角形,∴∠A=∠B=∠C=60°,由折叠 可知△AMN与△DMN关于MN对称,∴AM=DM,AN=DN,∠A= ∠MDN=60°,∴∠BDM+∠CDN=120°,∵∠BDM+∠BMD=12 0°,∴∠BMD=∠CDN,∵∠B=∠C,∴△BDM∽△CND,∴  = = ,∵ = ,∴设BD=x,CD=2x,∴BC=AB=AC=3x,设 AM=DM=k,∴BM=3x-k,∴ = = ,∴CN= ,DN=  ,∵DN+CN=AN+CN=AC=3x,∴ + =3x,∴k= 中考数学一轮复习专练  x,∴DN= = x,∴ = = × = ,故选C. 中考数学一轮复习专练 模型四　母子型 6.(2023江苏南通崇川田家炳中学四模)如图,已知P是等边△ ABC内的一点,且∠APB=120°,延长AP,BP,分别交BC,AC于点 D,E.若AB=3,BD=1,则△ABP的周长等于　　　    .     3+ 中考数学一轮复习专练 解析    如图,作AF⊥BC于点F,∵在等边△ABC中,AB=3,AF⊥ BC,∴BF= ,由勾股定理得,AF= = ,∵BD=1,∴ DF= ,在Rt△AFD中,AD= = ,∵P是等边△ABC 内的一点,且∠APB=120°,∴∠1+∠2=180°-120°=60°,∵∠1+∠3=60°,∴∠2=∠3,又∵∠ADB=∠BDP,∴△ABD∽△BPD,∴ = = ,即 = = ,解得BP= ,PD= ,∴AP =AD-PD= - = ,∴△ABP的周长=AB+BP+AP=3+  中考数学一轮复习专练 + =3+ .   中考数学一轮复习专练 模型五　旋转型 7.(2024上海普陀期末)已知:如图,在△ABC中,点D在边BC上, ∠ADE=∠ABC,∠EAF=∠FDC,DE与AC交于点F. (1)求证: = ; (2)连接BF,如果AB2=AF·AC,求证:AD·BC=AE·BF.   中考数学一轮复习专练 解析    证明    (1)∵∠EAF+∠AFE+∠E=∠FDC+∠CFD+ ∠C=180°,∠EAF=∠FDC,∠AFE=∠CFD,∴∠E=∠C, 又∵∠ADE=∠ABC, ∴△ADE∽△ABC,∴ = . (2)∵AB2=AF·AC,∴ = ,∵∠FAB=∠BAC,∴△AFB∽△ ABC,∴ = ,由(1)知 = ,∴ = ,∴AD·BC=AE· BF. 中考数学一轮复习专练 模型六　双垂直型 8.(2023山东济南高新区期末)如图,矩形ABCD为台球桌面, AD=280 cm,AB=140 cm,球目前在E点位置,AE=35 cm,如果小 丁瞄准BC边上的点F将球打过去,经过反弹后,球刚好弹到D 点位置. (1)求证:△BEF∽△CDF; (2)求CF的长. 中考数学一轮复习专练 解析    (1)证明:∵∠EFG=∠DFG,∴∠EFB=∠DFC,又∵∠B =∠C,∴△BEF∽△CDF. (2)∵△BEF∽△CDF,∴ = ,设FC=x cm,则 =  ,解得x=160,∴CF的长为160 cm. 中考数学一轮复习专练 9.(2024江苏南京鼓楼期末)如图,BD,CE是△ABC的两条高, 它们相交于点F,连接DE. (1)求证:△ADE∽△ABC. (2)下列结论中,所有正确结论的序号是　　　    . ①△ABD∽△ACE;②△EBF∽△DCF;③△BEC∽△CDB;④ △DEF∽△CBF. 中考数学一轮复习专练 解析    (1)证明:∵BD,CE是△ABC的高,∴∠AEC=∠ADB=90 °,又∵∠A=∠A,∴△ABD∽△ACE,∴ = ,∴ = , 又∠A=∠A,∴△ADE∽△ABC. (2)∵∠AEC=∠ADB,∠A=∠A,∴△ABD∽△ACE;∵∠BEF= ∠CDF,∠BFE=∠CFD,∴△EBF∽△DCF;在△BEC与△ CDB中,只有∠BEC=∠CDB=90°,故不能判定△BEC∽△ CDB;∵△EBF∽△DCF,∴ = ,∴ = ,又∵∠DFE =∠BFC,∴△DEF∽△CBF.故答案为①②④. 中考数学一轮复习专练 $$