精品解析：湖南省岳阳市岳阳县第一中学2024-2025学年高三上学期1月期末考试数学试题

2025年上学期高三数学期末考试试题 一、单选题（共40分） 1. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 3. 已知向量，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 设，，则（ ） A. B. C. D. 5. 下列函数在上单调递增是（ ） A. B. C. D. 6. 已知等差数列和的前n项和分别为，，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线和圆，则“”是“存在唯一k使得直线l与相切”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 曲线与曲线有公切线，则实数取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共20分） 9. 下列关于向量的说法错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若单位向量，夹角为，则向量在向量上的投影向量为 C. 若与不共线，且，则 D. 若且，则 10. 数学中有许多形状优美、寓意美好曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为，则下列说法正确的是（ ） A. 四叶草曲线有四条对称轴 B. 设为四叶草曲线上一点，且在第一象限内，过作两坐标轴的垂线，则两垂线与两坐标轴围成的矩形面积的最大值为 C. 四叶草曲线上的点到原点的最大距离为 D. 四叶草曲线的面积小于 11. 已知函数及其导函数的定义域均为R，记，若，均为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 12. 已知，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题（共20分） 13. 已知向量，，若，则_____． 14. 函数在上最大值为________. 15. 设等差数列的前项和为，已知，，设，则数列的前n项和为________. 16. 在等差数列中，数列的前n项和为，，，若，则的最小值为________. 四、解答题（共70分） 17. （1）已知，都是锐角，，，求的值. （2）已知，若在第三象限，求的值. 18. 已知锐角的内角的对边分别为，向量，且． （1）求； （2）若的面积为，求． 19. 如图，在三棱柱中，平面，是等边三角形，且D为棱AB的中点． （1）证明：平面． （2）若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 20. 已知数列的首项为，且满足 （1）求证为等差数列，并求出数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，求． （3）若数列的通项公式为，且对任意的恒成立，求实数的最小值． 21. 已知函数，其中为自然对数底数，. （1）当时，求函数的极值； （2）证明：恒成立； （3）证明：. 22. 已知数列的前项积为．定义：若存在，使得对任意的，恒成立，则称数列为“数列”． （1）若，且为“2数列”，求． （2）若，且为“数列”，的前项的平方和为，数列是各项均为正数的等比数列，满足，求的值和的通项公式． （3）若，，且为“数列”，的前项和为，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年上学期高三数学期末考试试题 一、单选题（共40分） 1. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简，再求得解. 【详解】由题得， 所以. 故选：B 2. 已知函数，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先对函数求导，然后令代入导函数中可求出 【详解】由，得 ， 令，则，解得， 故选：A 3. 已知向量，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量垂直的坐标表示可得，进而代入计算即可. 【详解】由，得，则， 所以. 故选：B. 4. 设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用完全平方公式、二倍角公式、同角三角函数平方关系及由三角函数值判断角的范围可求得结果. 【详解】因为， 所以， 所以， 因为， 所以， 又因为， 所以， 所以， 故选：A. 5. 下列函数在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】每个选项求导判断在上是否恒成立. 【详解】对于A，，，不符合题意； 对于B，在上恒成立，符合题意； 对于C，，，不符合题意； 对于D，，，不符合题意. 故选：B. 6. 已知等差数列和前n项和分别为，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的性质以及求和公式运算求解即可. 【详解】因为数列和均为等差数列， 所以. 故选：D. 7. 已知直线和圆，则“”是“存在唯一k使得直线l与相切”的（ ） A 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先由，点到直线距离公式列出方程，求出此时，充分性成立；求出所过定点，再由存在唯一k使得直线l与相切”，得到或定点在圆上，得到方程，求出相应的答案，必要性不成立. 【详解】时，到的距离为， 故，解得， 满足存在唯一k使得直线l与相切”，充分性成立， 经过定点， 若，，若，此时直线， 直线与相切，另一条切线斜率不存在， 故满足存在唯一k使得直线l与相切”， 当在上，满足存在唯一k使得直线l与相切， 故， 又，解得，必要性不成立， 故“”是“存在唯一k使得直线l与相切”的充分不必要条件. 故选：A 8. 曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出两曲线的切线方程，再构造函数，利用导数求得单调性和最值，即可求得的取值范围. 【详解】两个函数求导分别为， 设，图象上的切点分别为，， 则过这两点处的切线方程分别为，， 则，，所以， 设，，， 令，所以， 所以在上单调递增，且， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以，. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用公切线的定义得到，从而构造函数即可得解. 二、多选题（共20分） 9. 下列关于向量的说法错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若单位向量，夹角为，则向量在向量上的投影向量为 C. 若与不共线，且，则 D. 若且，则 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A：举反例说明即可；对于B：根据投影向量的定义分析判断；对于C：根据向量共线的判定定理分析判断；对于D：根据数量积的定义分析判断. 【详解】A：当时，若，，则与不一定平行，A错误； B：向量在向量上的投影向量为，B正确； C：若与不共线，且， 不妨假设，则，可知与共线，这与题设相矛盾，假设不成立， 所以，C正确； D：因为，则， 又，则，显然不能确定，D错误； 故选：AD. 10. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为，则下列说法正确的是（ ） A. 四叶草曲线有四条对称轴 B. 设为四叶草曲线上一点，且在第一象限内，过作两坐标轴的垂线，则两垂线与两坐标轴围成的矩形面积的最大值为 C. 四叶草曲线上的点到原点的最大距离为 D. 四叶草曲线的面积小于 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，将换为方程不变，换为方程不变，换为，换为方程不变，换为，换为方程不变，可知有四条对称轴；对于B，设曲线第一象限任意一点为，则围成矩形面积为，求最大值即可；对于C，设距离为，，即求的最大值即可；对于D，易得四叶草曲线在以原点为圆心，为半径的圆内，故四叶草面积小于即可判断. 【详解】对于A，将换为方程不变，所以曲线关于轴对称； 将换为方程不变，所以曲线关于轴对称； 将换为，换为方程不变，所以曲线关于对称； 将换为，换为方程不变，所以曲线关于对称.故A正确； 对于B，设曲线第一象限任意一点为，则围成矩形面积为， 则， 即，当且仅当时取得最大值，故B正确； 对于C，设距离为，，要求的最大值，即求的最大值， 显然，，又， 当且仅当时，等号成立， 所以曲线上的点到原点距离最大值为，故C错误； 对于D，由C可知，得四叶草曲线在以原点为圆心，为半径的圆内， 故四叶草面积小于，故D正确. 故选：ABD 11. 已知函数及其导函数的定义域均为R，记，若，均为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】对A，根据定义域为R的奇函数的满足在处的值为0判断即可；对B，根据题意不能求出的值；对C，根据奇函数的性质可得的关系；对D，根据为奇函数推导可得，再为奇函数可得的周期为2，再令可得，进而根据周期性判断即可 【详解】对A，因为为奇函数，且定义域为R，故，即，故A正确； 对B，为奇函数则，且无条件推出的值，故B错误； 对C，因为为奇函数，故，即，故C错误； 对D，因为为奇函数，则，故，故，所以，即关于对称. 又为奇函数，故关于对称，结合关于对称有，即. 故，又，所以，即的周期为2. 又，即，所以，即，故D正确； 故选：AD 12. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】将变为结合指数函数的性质，判断A;构造函数，求导，利用其单调性结合图象判断x,y的范围，利用余弦函数单调性，判断B;利用正弦函数的单调性判断C，结合余弦函数的单调性，判断D. 【详解】由题意，，得 ， ，，∴，∴，A对； ，令，即有， 令， 在上递减，在上递增， 因为 ，∴， 作出函数以及 大致图象如图： 则，∴，结合图象则， ∴，∴，B对； 结合以上分析以及图象可得，∴， 且 ， ∴，C对； 由C的分析可知，， 在区间 上，函数 不是单调函数，即不成立，即不成立，故D错误； 故选：ABC． 【点睛】本题综合考查了有条件等式下三角函数值比较大小问题，设计指数函数性质，导数的应用以及三角函数的性质等，难度较大，解答时要注意构造函数，数形结合，综合分析，进行解答. 三、填空题（共20分） 13. 已知向量，，若，则_____． 【答案】## 【解析】 【分析】由向量垂直可得其数量积为，再借助向量数量积公式计算即可得. 【详解】， 由，则有，解得. 故答案为：. 14. 函数在上的最大值为________. 【答案】0 【解析】 【分析】求导，得到函数单调性，结合，求出函数的最大值. 【详解】，， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 其中， 故在上的最大值为0. 故答案为：0 15. 设等差数列的前项和为，已知，，设，则数列的前n项和为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列的基本量计算可得，进而得到，再结合三角恒等变换化简可得，进而结合裂项相消法求和即可. 【详解】设等差数列的公差为， 由题意得，解得， 则， 则 ， 则数列的前项和为： . 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用三角恒等变换化简得到，进而结合裂项相消法求和即可. 16. 在等差数列中，数列的前n项和为，，，若，则的最小值为________. 【答案】17 【解析】 【分析】根据给定条件，求出数列的通项公式，再由求出的各组值，计算比较得解. 【详解】在等差数列中，，解得，而，则， 数列的公差，则，由，得， 而，则或或或， 所以当时，的最小值为. 故答案为：17 四、解答题（共70分） 17. （1）已知，都是锐角，，，求的值. （2）已知，若在第三象限，求的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）由题意利用同角三角函数的基本关系，两角和差的三角公式，求得的值． （2）利用两角和的正切公式，可求得，再利用两角和的正弦公式，二倍角公式，得到三角齐次式后弦化切，将代入，即可得到答案. 【详解】（1）因为，都是锐角，，所以， 因为，所以， 所以 . （2）由， 得， 解得，或. 又 ， 若在第三象限，则， 则上式， 所以， 18. 已知锐角的内角的对边分别为，向量，且． （1）求； （2）若的面积为，求． 【答案】（1）． （2）． 【解析】 【分析】（1）根据向量垂直结论得到三角函数式子，后运用正弦定理进行边角互化即可； （2）运用面积公式得到方程，结合条件,求出,再用余弦定理求即可. 【小问1详解】 由题意得， 由正弦定理得， 又，所以，则，即． 因为，所以． 小问2详解】 由， 得，结合，得． 由余弦定理得， 得． 19. 如图，在三棱柱中，平面，是等边三角形，且D为棱AB的中点． （1）证明：平面． （2）若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理可证； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解. 【小问1详解】 证明：由三棱柱的性质可知． 因为平面，所以平面． 因为平面，所以． 因为为的中点，且是等边三角形，所以． 因为平面，且， 所以平面． 【小问2详解】 取的中点，连接．由题意可得两两垂直，故以为坐标原点， 的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则， 故． 设平面的法向量为， 则令，得． 设平面的法向量为， 则令，得． 设平面与平面所成的锐二面角为， 则， 即平面与平面所成锐二面角的余弦值为． 20. 已知数列的首项为，且满足 （1）求证为等差数列，并求出数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，求． （3）若数列的通项公式为，且对任意的恒成立，求实数的最小值． 【答案】（1）证明见解析； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合等差数列的定义可得答案； （2）由（1）可知，利用裂项相消法运算求解； （3）整理可得，列式求的最大值，结合恒成立问题分析求解即可. 【小问1详解】 因为，故， 所以，即， 所以数列是以首项为，公差为4的等差数列， 可得，所以； 【小问2详解】 由（1）可知： ， 所以 ； 小问3详解】 因为， 即，可得， 令，解得， 且，可得，即， 可得，所以实数的最小值． 21. 已知函数，其中为自然对数的底数，. （1）当时，求函数的极值； （2）证明：恒成立； （3）证明：. 【答案】（1）有极小值，无极大值. （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，得到函数单调性，求出极值即可； （2）不等式恒成立，即恒成立，设，求导，由导数单调性进行分析，结合隐零点，即可证明结论. （3）由（2）知，，令，则，从而有，由的不同值，分别写出不等式，然后累加，结合等比数列求和进行放缩，分析得到结论. 【小问1详解】 当时，， ，令，解得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以有极小值，无极大值. 【小问2详解】 ， 不等式恒成立，即恒成立， 设，，则， 易知是定义域上的增函数，又， 则在上有一个根，即， 当时，，当时，， 此时在单调递减，在单调递增， 的最小值为， ∵，∴， ∵，∴， ∴恒成立，故结论成立. 【小问3详解】 证明：由（2）知，，令， 则. 由此可知，当时，， 当时，， 当时，， ……， 当时，， 累加得：， 又， 所以. 【点睛】方法点睛：导函数证明数列相关不等式，常根据已知函数不等式，用关于正整数的不等式代替函数不等式中的自变量，通过多次求和（常常用到裂项相消法求和）达到证明的目的，此类问题一般至少有两问，已知的不等式常由第一问根据特征式的特征而得到. 22. 已知数列的前项积为．定义：若存在，使得对任意的，恒成立，则称数列为“数列”． （1）若，且为“2数列”，求． （2）若，且为“数列”，的前项的平方和为，数列是各项均为正数的等比数列，满足，求的值和的通项公式． （3）若，，且为“数列”，的前项和为，证明：． 【答案】（1） （2）， （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据“2数列”的定义计算即可； （2）根据题意得到，然后结合“数列”的定义列方程得到，最后写通项即可； （3）根据“数列”的定义得到，然后构造函数得到，最后利用累加法证明即可. 【小问1详解】 由，且为“2数列”，得，即， 则， ， ， ． 【小问2详解】 设数列的公比为， 由，得， 即， 则． 两式相减得， 即． 因为是首项为2的“数列”，所以， 即， 所以， 即对任意的恒成立． 因为，， 则，即， 解得，． 又由，即，得，所以． 检验可知符合要求，故数列的通项公式为． 【小问3详解】 因为为“数列”，所以， 即对任意的恒成立， 因为，，所以． 再结合，，，反复利用， 可得对任意，． 设函数，则． 由，得． 当时，，所以在上单调递减． 所以当时，，即． 又，所以． 可得，，，， 累加可得， 即，即， 所以． 【点睛】关键点睛：本题为数列的新定义题型，准确理解“数列”的含义，紧扣题意将问题转化为熟悉的数学知识进行求解，同时构造函数，利用导数研究函数的单调性是证明不等式的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$