7.2.3 平行线的性质 课时2 平行线的判定与性质的综合应用 课件 2024-2025学年人教版 数学七年级下册

第七章 相交线与平行线 7.2 平行线 7.2.3 平行线的性质 课时2 平行线的判定与性质的综合应用 目 录 1. 学习目标 4. 知识点 平行线的判定与性质的综合应用 5. 课堂小结 6. 当堂小练 CONTENTS 3. 新课导入 8. 拓展与延伸 2. 知识回顾 7. 对接中考 1. 掌握平行线的性质与判定的综合运用. 2. 能用平行线的性质和判定进行简单的推理和计算. 学习目标 知识回顾 判定两直线平行的方法有哪些？ 定义法. 平行公理的推论. 同位角相等，两直线平行. 内错角相等，两直线平行. 同旁内角互补，两直线平行. 知识回顾 平行线的性质有哪些？ 两直线平行，同位角相等. 两直线平行，内错角相等. 两直线平行，同旁内角互补. 新课导入 前面我们学习了平行线的判定方法和平行线的性质，实际上，在实际应用中，两者是相互结合使用的，下面我们就来看看应用平行线的判定和性质能解决哪些问题吧！ 新课讲解 知识点 平行线的判定与性质的综合应用 例 1. 如图，若∠1 = ∠3，∠2 = 60° ，则 ∠4 的度数为( ) A.60° B.100° C.120° D.130° C 解：∵∠1 = ∠3， ∴a ∥ b(内错角相等，两直线平行). ∴∠2+∠5=180°(两直线平行，同旁内角互补). ∵∠4=∠5，∠2 = 60°， ∴∠4=∠5=180°-∠2=120°. a b 5 新课讲解 例 2. 如图，∠1 + ∠2 = 180°，∠4 = 35° ，则∠3 等于______°. 35 角之间的关系 平行 角之间的关系 性质 判定 新课讲解 例 答案：A a b c d 1 2 3 分析：由于∠2和∠3是直线c与d被直线b所截形成的同位角，所以如果能推出∠2=∠3，就可以判断直线c和d是平行的.而已知∠1=∠3，所以只需由直线a∥b,推出∠1=∠2. 3. 如图，已知直线a∥b，∠1=∠3，那么直线c与d平行吗？为什么？ 解：直线c与d平行.理由如下： ∵a∥b， ∴∠1=∠2(两直线平行，内错角相等). 又∠1=∠3， ∴∠2=∠3. ∴c∥d (同位角相等，两直线平行). 新课讲解 例 4. 如图，在三角形 ABC 中，D 是 AB 上一点，E 是 AC 上一点，∠ADE=60°，∠B = 60°，∠AED=40°. (1) DE 和 BC 平行吗？为什么？ (2)∠C 是多少度？为什么？ 解：(1) DE∥BC. 理由如下： ∵ ∠ADE=60°，∠B = 60°， ∴ ∠ADE=∠B. ∴ DE∥BC. (同位角相等，两直线平行) C A B D E (2) ∠C =40°. 理由如下： 由(1)得 DE∥BC，∴ ∠C=∠AED. (两直线平行，同位角相等） 又∵∠AED=40°，∴ ∠C=∠AED =40°. 新课讲解 例 5. 如图，AB∥CD，猜想∠A、∠P 与∠PCD 之间的关系，并说明理由. 解：如图，过点C作CE ∥ AP，交AB于点E. ∴ ∠AEC=∠A，∠PCE =∠P， ∴ ∠A+∠P=∠AEC+∠PCE. ∵AB∥CD， ∴ ∠ECD=∠AEC. ∴∠A+∠P =∠ECD+∠PCE=∠PCD. B C D P A E 还有其他作辅助线的方法吗？ 解法二：如图，过点P作PE ∥ AB. ∵AB∥CD，∴ PE ∥ AB ∥CD. ∴∠EPC=∠PCD,∠APE =∠A. ∴ ∠APE+∠APC=∠EPC= ∠PCD， ∴∠A+∠APC = ∠PCD. A B C D P E 新课讲解 例 6. 如图，若 AB//CD，你能确定∠B、∠D 与∠BED 之间的关系吗？说说你的看法. B D C E A 解：如图，过点 E 作 EF//AB. ∴∠B=∠BEF. ∵AB//CD,∴EF//CD. ∴∠D =∠DEF. ∴∠B＋∠D＝∠BEF＋∠DEF ＝∠DEB， 即∠B＋∠D＝∠DEB. F 新课讲解 A B C D E 当AB与CD之间有一个拐点时：∠A+∠C= ∠E. C A B D E F E1 C A B D E2 F1 模型总结1：如图，AB∥CD，则： 当AB与CD之间有两个拐点时：∠A+∠F= ∠E +∠D. 当AB与CD之间有三个拐点时：∠A+∠F1 +∠C = ∠E1 +∠E2. 新课讲解 C A B D E1 F1 E2 Em-1 F2 Fn-1 【思考】如下图，你能找到∠A，∠F1 ，∠F2 ,… , ∠Fn-1与∠E1 ，E2 ，…，∠Em-1，∠D之间的关系吗？ ∠A+∠F1 + ∠F2 +…+ ∠Fn-1= ∠E1 +∠E2 +…+ ∠Em-1+ ∠D 新课讲解 例 解：过点 E 作 EF//AB. ∴∠B+∠BEF＝180°. ∵AB//CD，∴EF//CD. ∴∠D +∠DEF＝180°， ∴∠B＋∠D+∠DEB＝∠B＋∠D+∠BEF＋∠DEF ＝360°， 即∠B＋∠D＋∠DEB＝360°. 7. 如图，AB//CD，试说明∠B+∠D +∠DEB=360°. F C A B D E 新课讲解 模型总结2：如图，AB∥CD，则： C A B D E A C D B E2 E1 当有一个拐点时： ∠A+∠E+∠C= 360°. A B C D E1 E2 E3 当有两个拐点时： ∠A+∠ E1 + ∠ E2 +∠C = 540°. 当有三个拐点时：∠A+∠ E1 + ∠ E2 +∠ E3 +∠C = 720°. 新课讲解 … A B C D E1 E2 En 当有 n 个拐点时：∠A+∠ E1 + ∠ E2 +…+∠ En +∠C =(n+1)×180°. 思考：若有 n 个拐点，你能找到规律吗？ 新课讲解 练一练 1. 如图，∠1=∠2，∠3=50°，∠ABC等于多少度？ B C A a 1 2 3 b 分析：由于∠3的大小是已知的，所以可以尝试推导∠ABC与∠3的大小关系. 而由已知条件∠1=∠2，可以推出a∥b，从而可以得到∠ABC=∠3. 解：∵∠1=∠2， ∴a∥b (内错角相等，两直线平行). ∴∠3=∠ABC (两直线平行，同位角相等). 又∠3=50°， ∴∠ABC=50°. 新课讲解 练一练 2. 如图，∠1=80°，∠2=100°，且AC∥DF，探索∠C与∠D的数量关系并说明理由． A B C D E F 1 2 解：∠C=∠D，理由如下： ∵∠1=80°，∠2=100°， ∴∠1+∠2=180°， ∴BD∥CE， ∴∠CEF=∠D， 又∵AC∥DF， ∴∠CEF=∠C， ∴∠C=∠D． 新课讲解 练一练 3. 如图，如果∠1=∠3，∠2= 60°，那么，∠4的度数为( ) A.60° B.100° C.120° D.130° C a//b ∠4与∠5互补 新课讲解 练一练 4. 如图，已知∠BEF+∠EFD=180°，EM 平分∠BEF，FN 平分∠EFC. 求证：∠M =∠N. 证明：∵ ∠BEF+∠EFD =180°(已知)， ∴ AB//CD (同旁内角互补，两直线平行)， ∴ ∠BEF=∠EFC (两直线平行，内错角相等). ∵ EM 平分∠BEF，FN 平分∠EFC (已知)， ∴ ∠MEF = ∠BEF，∠EFN= ∠EFC (角平分线的定义)， ∴ ∠MEF =∠EFN (等量代换)， ∴ EM//FN(内错角相等，两直线平行)， ∴ ∠M =∠N(两直线平行，内错角相等). AB//CD 新课讲解 练一练 5. 如图，∠1 = ∠2，∠E = ∠F ，判断 AB 与 CD 的位置关系 ，说明理由. M 解：AB∥CD，理由如下： 如图，延长 BE 交 DC 的延长线于点 M， ∵∠BEF = ∠F， ∴BM∥FC. ∴∠M = ∠2. ∵∠1 = ∠2， ∴∠M = ∠1. ∴AB∥CD. 新课讲解 练一练 6. 如图，∠1+∠2=180°. (1)试说明：AB//EF； (2)若CD平分∠ACB，∠DEF=∠A，∠BED=60°，求∠EDF的度数. 解：(1)∵∠1与∠EFD是邻补角， ∴∠1+∠EFD=180°. 又∠1+∠2=180°， ∴∠2=∠EFD， ∴AB//EF. (2)∵AB//EF， ∴∠DEF=∠BDE. 又∠DEF=∠A， ∴∠A=∠BDE, ∴DE//AC， ∴∠ACB=∠BED=60°， ∵CD平分∠ACB ∴∠ACD= ∠ACB= 30°， ∵DE//AC， ∴∠EDF=∠ACD=30°. 课堂小结 平行线的 判定 平行于同一条直线的两条直线平行 基本事实Ⅱ：同位角相等，两直线平行 内错角相等，两直线平行 同旁内角互补，两直线平行 同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 平行线的 性质 两直线平行，同位角相等 两直线平行，内错角相等 两直线平行，同旁内角互补 平行线 互逆 当堂小练 1. 如图，AE∥BD，∠A=∠BDC，∠AEC的平分线交CD的延长线于点F．那么AB与CD平行吗？ 解：∵AE∥BD， ∴∠A+∠ABD=180°. ∵∠A=∠BDC， ∴∠BDC+∠ABD=180°， ∴AB∥CD. 当堂小练 2. 把一副三角板放在同一水平桌面上，摆放成如图所示的形状，使两个直角顶点重合，两条斜边平行，则∠1的度数是( ) A. 45° B. 60° C. 75° D. 82.5° 解析：如图，过点 E 作 EF//AB， ∵ AB//CD，∴ EF//CD， ∴ ∠AEF =∠A=45°，∠FEC =∠C =30°， ∴ ∠1=∠AEF +∠FEC =45°+30°=75°. C A B C D E F 当堂小练 3. 国家倡导绿色出行，数数的爸爸给他买了一辆单车.图 (1)是该品牌单车放在水平地面的实物图，图 (2)是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠BCD=60°，∠BAC=55°，当∠MAC为多少时，AM∥CB. 55 ° 60 ° A B C D M 解：∵AB，CD都与地面l平行， ∴AB∥CD(平行线的基本事实I的推论)， ∴ ∠BAC+∠ACD=180 ° (两直线平行，同旁内角互补)， 即∠BAC+∠ACB+∠BCD=180°. ∵ ∠BCD=60°， ∠BAC=55°， ∴ ∠ACB=65°， ∴当∠MAC=∠ACB=65 °时，AM∥CB(内错角相等，两直线平行). 当堂小练 4. 如图，AE⊥BC，FG⊥BC，垂足分别是M，N，且∠1=∠2． （1）AB与CD平行吗？ （2）若∠CBD=70°，∠D-∠3=56°，求∠C的度数． C E F D A G B N M 2 1 3 解：(1)平行.理由： ∵AE⊥BC，FG⊥BC， ∴∠AMC=∠GNC=90°， ∴AE∥GF， ∴∠1=∠A， ∵∠1=∠2， ∴∠A=∠2， ∴AB∥CD. (2) ∵AB∥CD， ∴∠D+∠ABD=180°. ∵∠CBD=70°，∠ABD=∠CBD+∠3， ∴70°+∠3+∠D=180°. ∵∠D-∠3=56°，∴∠D=∠3+56°， ∴70°+∠3+∠3+56°=180°， ∴∠3=27°. ∵AB∥CD， ∴∠C=∠3=27°． 当堂小练 5. 已知 AB⊥BF，CD⊥BF，∠1 = ∠2，试说明∠3 = ∠E. 解：∵∠1 = ∠2 (已知)， ∴ AB∥EF (内错角相等，两直线平行). ∵ AB⊥BF，CD⊥BF， ∴ AB∥CD(垂直于同一条直线的两条直线平行). ∴ EF∥CD(平行于同一条直线的两条直线平行). ∴∠3 = ∠E (两直线平行，同位角相等). 当堂小练 6. 如图，已知CE⊥AB，MN⊥AB，∠EDC+∠ACB=180°.试说明：∠1=∠2. 解：∵CE⊥AB，MN⊥AB， ∴MN∥CE， ∴∠2=∠BCE. ∵∠EDC+∠ACB=180°， ∴ED//BC， ∴∠1=∠BCE， ∴∠1=∠2. 【方法点拨】本例中要说明两个角相等，可借助平行线的性质，通过第三个角进行等角转化. 当堂小练 7. 如图，C、D 是直线 AB 上的两点，∠1+∠2 = 180°，DE 平分∠CDF ，EF∥AB. (1) CE 与 DF 平行吗？为什么？ (2) 若∠DCE = 130°，求∠DEF 的度数. 解：(1) CE∥DF， ∵∠1 +∠2 = 180°， ∠1 +∠DCE = 180°， ∴∠2 = ∠DCE. ∴CE∥DF. (2) ∵CE∥DF，∠DCE = 130°， ∴∠CDF = 180°-∠DCE = 180°-130° = 50°. ∵DE 平分∠CDF， ∴∠CDE= ∠CDF = 25°. ∵EF∥AB， ∴∠DEF = ∠CDE = 25°. 对接中考 解： ∵ AB//CF，∠ABC =70°， ∴ ∠BCF=∠ABC= 70°. ∵ DE//CF，∴ ∠DCF+∠CDE =180°. 又∠CDE =130°，∴ ∠DCF =50°， ∴ ∠BCD =∠BCF -∠DCF =70°- 50° =20°. 1. 如图，已知 AB//DE//CF，若∠ABC= 70°，∠CDE= 130°，则∠BCD = . 20° 对接中考 2. 如图，点 E，F 分别在直线 AB，CD 上，点 G，H 在两直线之间，线段 EF 与 GH 相交于点 O，且有∠AEF + ∠CFE=180° ，∠AEF-∠1=∠2，则在图中相等的角共有( ) A.5对 B.6对 C.7对 D.8对 D 拓展与延伸 1. 如图，MN，EF 表示两面互相平行的镜面，光线 AB 照射到镜面 MN 上，反射光线为 BC，此时∠1=∠2；光线 BC 经过镜面 EF 反射后的光线为 CD，此时∠3=∠4.试判断 AB 与 CD 的位置关系，并说明理由. 判断两直线的位置关系，一般考虑平行或垂直，观察图形猜想AB∥CD. 解：AB//CD.理由如下： ∵ MN//EF(已知)， ∴ ∠2=∠3(两直线平行，内错角相等). ∵ ∠1=∠2，∠3=∠4(已知)， ∴ ∠1=∠2=∠3=∠4， ∴∠1+∠2=∠3+∠4. ∵ ∠ABC+∠1+∠2=180°， ∠BCD+∠3+∠4=180°(平角的性质)， ∴ ∠ABC=∠BCD(等量代换). ∴ AB//CD(内错角相等，两直线平行). 拓展与延伸 4. 如图①，AB∥CD，E 是射线 FD 上的一点，∠ABC = 140°，∠CDF = 40° . (1) 试说明：BC∥EF； (2) 连接 BD，如图②.若∠BAE = 110°，BD∥AE，则BD 是否平分∠ABC ？ 请说明理由 . 图① 解：(1)∵ AB∥CD， ∴∠ABC +∠BCD = 180°. ∵∠ABC = 140°， ∴∠BCD = 40°. ∵∠CDF = 40°， ∴∠BCD = ∠CDF. ∴BC∥EF. (2) BD 平分∠ABC.理由如下： ∵AE∥BD， ∴∠BAE +∠ABD = 180°. ∵∠BAE = 110°， ∴∠ABD = 70°. ∵∠ABC = 140°， ∴∠ABD = ∠ABC， ∴BD 平分∠ABC. 图② 拓展与延伸 ∠P+∠A+∠C=360° ∠P=∠A+∠C 2. 如图，AB//CD，分别探究下面四个图中∠P 与∠A，∠C之间的关系. E E E 1 ∠APC+∠A=∠C E 1 ( 4 ) ∠A=∠APC+∠C $$