第02讲 5.4三角函数的图象和性质(10大核心考）-【练透核心考点】2024-2025学年高一数学核心题型总结与突破（人教A版2019必修第一册）

第02讲 5.4三角函数的图象和性质 目录 题型一：重点考查用“五点法”作三角函数的图象 2 题型二：重点考查利用图象解三角不等式 7 题型三：重点考查利用图象求方程的解或函数零点的个数问题 8 题型四：重点考查三角函数的周期问题 11 题型五：重点考查三角函数的奇偶性和对称性 12 题型六：重点考查函数奇偶性与周期性、单调性，对称性的综合问题 13 题型七：重点考查三角函数的单调区间 15 题型八：重点考查利用单调性比较三角函数值的大小 16 题型九：重点考查已知三角函数的单调情况求参数问题 17 题型十：重点考查换元法求值域或最大(小)值(可化为一元二次函数型） 18 题型一：重点考查用“五点法”作三角函数的图象 典型例题 例题1．（23-24高一下·山西大同·阶段练习）已知函数 (1)试用“五点法”画出函数 在区间 的简图；    (2)若 时，函数 的最小值为 ，试求出函数 的最大值并指出 取何值时，函数 取得最大值．   例题2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数．    用五点法画出函数在上的大致图像 例题3．（2023·辽宁丹东）已知函数，． (1)若为的最小正周期，用“五点法”画在内的图象简图； (2)若在上单调递减，求． 精练核心考点 1．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）已知函数，. (1)在用“五点法”作函数在区间上的图象时，列表如下： 0 将上述表格填写完整，并在坐标系中画出函数的图象； (2)求函数的单调递增区间； (3)求函数在区间上的最值以及对应的的值. 2．（23-24高一下·北京·阶段练习）已知函数 (1)求的最小正周期； (2)用“五点法”画出在一个周期内的图象，并直接写出函数在区间上的取值范围. 3．（23-24高一上·黑龙江大庆·期末）已知函数，）函数关于对称. (1)求的解析式； (2)用五点法在下列直角坐标系中画出在上的图象； (3) 写出的单调增区间及最小值，并写出取最小值时自变量的取值集合． 题型二：重点考查利用图象解三角不等式 典型例题 例题1．（23-24高一下·江西景德镇·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高一上·甘肃定西·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 例题3．（24-25高一上·上海·课堂例题）求下列函数的定义域： (1)； (2). 精练核心考点 1．（23-24高一下·北京门头沟·期中）函数的定义域为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25高一上·上海·课后作业）函数的定义域为 . 3．（23-24高一下·江西赣州·阶段练习）函数的定义域为 . 题型三：重点考查利用图象求方程的解或函数零点的个数问题 典型例题 例题1．（23-24高一下·浙江杭州·阶段练习）已知函数的某一周期内的对应值如下表： x 1 3 1 (1)根据表格提供的数据求函数的解析式； (2)根据（1）的结果，若函数，的最小正周期为，当时，方程恰有两个不同的解，求实数m的取值范围． 例题2．（23-24高三上·安徽阜阳·阶段练习）已知函数（）的部分图象如图所示．    (1)求函数的解析式和单调递减区间； (2)若函数在上有两个不同的零点，求实数m的取值范围，并计算的值． 例题3．（23-24高一上·全国·课后作业）设函数),（为常数且的部分图象如图所示.    (1)求A，的值； (2)若存在使得等式m＝0成立，求实数m的取值范围. 精练核心考点 1．（23-24高一下·河南南阳·期中）某同学用“五点作图法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表： (1)请将上表数据补充完整，并求出函数的解析式； (2)若在上有两根，求的取值范围. 2．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）如图是函数，的部分图像，M、N是它与x轴的两个不同交点，D是M、N之间的最高点且横坐标为，点是线段DM的中点． (1)求函数的解析式； (2)若时，函数有两个零点，求实数a的取值范围． 3．（2024·山西·模拟预测）已知函数的图象是由的图象向右平移个单位长度得到的. (1)若的最小正周期为，求的图象与y轴距离最近的对称轴方程； (2)若在上有且仅有一个零点，求的取值范围. 题型四：重点考查三角函数的周期问题 典型例题 例题1．（23-24高二上·贵州铜仁·阶段练习）函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高一下·上海·期末）下列四个函数中，以为最小正周期的奇函数是（    ） A． B． C． D． 例题3．（23-24高一上·新疆巴音郭楞·期末）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 精练核心考点 1．（23-24高一下·上海·期中）下列函数中，最小正周期为的是（    ）. A． B． C． D． 2．（2024·天津·一模）下列函数中，以为周期，且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一·上海·随堂练习）已知函数（k为常数）的最小正周期为，求实数k的值． 题型五：重点考查三角函数的奇偶性和对称性 典型例题 例题1．（23-24高二下·云南楚雄·期末）已知直线和都是函数图象的对称轴，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高二下·福建福州·期末）已知函数，且，则（    ） A． B． C． D．2 例题3．（23-24高一下·北京·期末）已知函数为奇函数， 则符合条件的一个的取值可以为 . 精练核心考点 1．（23-24高三上·甘肃兰州·阶段练习）的部分图象大致是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·北京·阶段练习）下列函数中，是偶函数且其图象关于对称的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·贵州遵义·期中）函数图象的对称轴方程是 ． 题型六：重点考查函数奇偶性与周期性、单调性，对称性的综合问题 典型例题 例题1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，则（　　） A．2025 B． C． D． 例题2．（23-24高一下·山东济宁·期末）设函数（、、都是常数，，），若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 例题3．（23-24高二下·浙江金华·期末）已知函数的对称中心为，则能使函数单调递增的区间为（    ） A． B． C． D． 例题4．（多选）（23-24高二下·陕西汉中·期末）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．是的一个周期 B．的图象关于点对称 C．为奇函数 D．在区间上的最大值为3 精练核心考点 1．（23-24高二下·北京·期末）已知函数，，其中，．若的最小正周期为，且当时，取得最大值，则（    ） A．在区间上是减函数 B．在区间上是减函数 C．在区间上是增函数 D．在区间上是增函数 2．（23-24高一下·福建福州·期末）已知函数在区间上单调递减，，则（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（23-24高一下·甘肃白银·阶段练习）函数，则下列说法正确的是（    ） A．是它的最小正周期 B．是的一个对称中心 C．是的一条对称轴 D．是的一个单调减区间 4．（23-24高一下·江西景德镇·期中）已知函数，且，在区间上恰有4个不同的实数，使得对任意都满，且对任意角，在区间上均不是单调函数，则的取值范围是 . 题型七：重点考查三角函数的单调区间 典型例题 例题1．（23-24高一下·江西南昌·期末）已知函数的单调递增区间是，则（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高一下·陕西汉中·期末）已知函数，则函数的单调递减区间为 . 例题3．（24-25高二·上海·假期作业）求下列函数的单调区间： (1) ； (2). 精练核心考点 1．（23-24高一下·上海宝山·阶段练习） 单调增区间为 2．（23-24高一下·辽宁大连·期末）已知函数在上单调递增，则的最大值为 . 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数，.求函数的单调增区间和值域. 题型八：重点考查利用单调性比较三角函数值的大小 典型例题 例题1．（23-24高一下·辽宁大连·期中）设，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列不等式中成立的是 .（填编号） ① ② ③ ④ 例题3．（2024高一上·全国·专题练习）利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小． (1)与； (2)与； (3)与. 精练核心考点 1．（多选）（23-24高一下·四川绵阳·阶段练习）下列式子成立的有（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·课后作业）三个数，，的大小关系是 . 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）比较与的大小. 题型九：重点考查已知三角函数的单调情况求参数问题 典型例题 例题1．（23-24高一下·福建福州·期末）已知函数在区间上单调递减，，则（    ） A． B． C． D． 例题2．（多选）（23-24高一下·辽宁·期末）已知函数的最小正周期为，在上单调递增，且（    ） A． B． C． D． 例题3．（23-24高一下·广东潮州·阶段练习）若函数在上单调递增则的取值范围为 . 精练核心考点 1．（23-24高一下·江西南昌·期末）已知函数的单调递增区间是，则（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（23-24高一上·河北沧州·阶段练习）已知函数，若在区间内单调递增，则的可能取值是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知函数（为正整数）在上不单调，求的最小值． 题型十：重点考查换元法求值域或最大(小)值(可化为一元二次函数型） 典型例题 例题1．（24-25高一上·上海·课后作业）函数的最小值为 ，最大值为 . 例题2．（23-24高一下·福建莆田·期中）函数，的值域为 ． 例题3．（24-25高一上·上海·课后作业）求函数，的值域. 例题4．（24-25高一上·上海·课后作业）已知函数，. (1)求函数的最大值； (2)求函数的最小值. 精练核心考点 1．（24-25高一上·上海·课后作业）函数，值域是 . 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）求函数的最大值、最小值及值域. 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）求函数，的值域. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 5.4三角函数的图象和性质 目录 题型一：重点考查用“五点法”作三角函数的图象 2 题型二：重点考查利用图象解三角不等式 10 题型三：重点考查利用图象求方程的解或函数零点的个数问题 13 题型四：重点考查三角函数的周期问题 21 题型五：重点考查三角函数的奇偶性和对称性 24 题型六：重点考查函数奇偶性与周期性、单调性，对称性的综合问题 27 题型七：重点考查三角函数的单调区间 32 题型八：重点考查利用单调性比较三角函数值的大小 35 题型九：重点考查已知三角函数的单调情况求参数问题 39 题型十：重点考查换元法求值域或最大(小)值(可化为一元二次函数型） 43 题型一：重点考查用“五点法”作三角函数的图象 典型例题 例题1．（23-24高一下·山西大同·阶段练习）已知函数 (1)试用“五点法”画出函数 在区间 的简图；    (2)若 时，函数 的最小值为 ，试求出函数 的最大值并指出 取何值时，函数 取得最大值．   【答案】(1)答案见解析 (2) 时 最大，最大值为 【分析】（1）先列表，再描点连线，可得简图； （2）根据得，继而得，则可求得，进一步计算即可求解. 【详解】（1）先列表，再描点连线，可得简图．   0 0 1 0 0 （2） ，    ， ， ， ， ， ， 当 即 时 最大，最大值为 ． 例题2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数．    用五点法画出函数在上的大致图像 【答案】作图见解析 【分析】按五点作图法的步骤：列表，描点，连线（光滑的曲线）即可画出. 【详解】由，列表如下： 0 0 2 0 函数图像如图：    例题3．（2023·辽宁丹东）已知函数，． (1)若为的最小正周期，用“五点法”画在内的图象简图； (2)若在上单调递减，求． 【答案】(1)图象见解析 (2) 【分析】（1）根据五点法作图，列出表格，描点连线即可； （2）解法1：根据单调性知，解出的范围，根据范围有，再根据的范围得，最终确定的值； 解法2：根据和范围得，从而有，列出不等式组，用表示出的范围，最后求出值即可得到值. 【详解】（1），由，得． 列表如下： 0 2 0 0 描点连线，得f（x）在[0，π）内的图象简图： （2）解法1： 由f（x）在上是减函数知，因为，所以代入解得． 因为，，所以． 由得，， 由题意只能，从而． 解法2：因为，，所以． 由题设知，， 从而 解得． 因为，所以 故，因为，所以，于是． 精练核心考点 1．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）已知函数，. (1)在用“五点法”作函数在区间上的图象时，列表如下： 0 将上述表格填写完整，并在坐标系中画出函数的图象； (2)求函数的单调递增区间； (3)求函数在区间上的最值以及对应的的值. 【答案】(1)答案见解析 (2)，． (3)时，取最大值，时，取最小值， 【分析】（1）分别计算五点坐标，利用五点法即可画出图形． （2）利用整体法结合正弦函数的单调性即可得解． （3）利用正弦函数的性质即可得解． 【详解】（1） 0 0 0 2 0 描点，连线，可得图象如下： （2）令，，解得，， 可得函数的单调递增区间为，． （3）因为，可得， 故当时，即时，取最大值， 当时，即时，取最小值. 2．（23-24高一下·北京·阶段练习）已知函数 (1)求的最小正周期； (2)用“五点法”画出在一个周期内的图象，并直接写出函数在区间上的取值范围. 【答案】(1) (2)图象见解析， 【分析】（1）根据周期的定义可以求得； （2）根据正弦函数的性质及五点作图法列表作图，有图象直接写函数取值范围. 【详解】（1）设最小正周期为，则 所以，当时 故答案为： （2） 0 0 1 0 -1 0 易知函数在区间上的取值范围为： 3．（23-24高一上·黑龙江大庆·期末）已知函数，）函数关于对称. (1)求的解析式； (2)用五点法在下列直角坐标系中画出在上的图象； (3)写出的单调增区间及最小值，并写出取最小值时自变量的取值集合． 【答案】(1), (2)详见解析 (3)单调递增区间是，，最小值为，取得最小值的的集合. 【分析】（1）根据函数的对称轴，列式，求； （2）利用“五点法”列表，画图； （3）根据三角函数的性质，即可求解. 【详解】（1）因为函数关于直线对称，所以， ，因为，所以， 所以 （2）首先根据“五点法”，列表如下： （3）令， 解得：，， 所以函数的单调递增区间是，， 最小值为 令，得， 函数取得最小值的的集合. 题型二：重点考查利用图象解三角不等式 典型例题 例题1．（23-24高一下·江西景德镇·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意可得，根据正弦函数的性质计算可得. 【详解】对于函数， 令，即，解得， 所以函数的定义域为. 故选：A 例题2．（23-24高一上·甘肃定西·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，列出不等式求解，即可得到结果. 【详解】由题知，即，解得， 故函数的定义域为. 故选：B 例题3．（24-25高一上·上海·课堂例题）求下列函数的定义域： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）为使函数有意义，需满足，利用正弦函数的性质解出不等式即可； （2）为使函数有意义，需满足，将换为，利用正弦函数和对数函数的性质解出即可. 【详解】（1），利用正弦曲线可知，，， 所以定义域为. （2）为使函数有意义，需满足即.正弦函数图像和单位圆如图所示. ∴定义域为 精练核心考点 1．（23-24高一下·北京门头沟·期中）函数的定义域为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】依题意可得，根据正弦函数的性质计算可得. 【详解】对于函数，令，即， 解得，， 所以函数的定义域为，. 故选：C 2．（24-25高一上·上海·课后作业）函数的定义域为 . 【答案】（） 【分析】函数的定义域就是使得式子有意义的的取值所构成的集合，列出相应的不等式解得即可. 【详解】由题意，得，解得，即， 所以，函数的定义域为. 故答案为： 3．（23-24高一下·江西赣州·阶段练习）函数的定义域为 . 【答案】 【分析】依题意可得，根据余弦函数的性质计算可得. 【详解】对于函数，令，即， 所以， 所以函数的定义域为. 故答案为： 题型三：重点考查利用图象求方程的解或函数零点的个数问题 典型例题 例题1．（23-24高一下·浙江杭州·阶段练习）已知函数的某一周期内的对应值如下表： x 1 3 1 (1)根据表格提供的数据求函数的解析式； (2)根据（1）的结果，若函数，的最小正周期为，当时，方程恰有两个不同的解，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据表格提供数据依次求得的值，从而求得解析式； （2）先利用周期公式求n的值，利用换元法，结合三角函数的图象求得m的取值范围. 【详解】（1）设的最小正周期为T，则T＝2π，由得ω＝1， 又由，解得， 令， 即，解得， 因为，所以，所以. （2）， 因为函数的最小正周期为，且n>0，∴n＝3， 令，由得， 所以由恰有两个不同的解，得有两个交点， 如图所示，当时，且函数图象和有两个交点时， ， 解得：. 例题2．（23-24高三上·安徽阜阳·阶段练习）已知函数（）的部分图象如图所示．    (1)求函数的解析式和单调递减区间； (2)若函数在上有两个不同的零点，求实数m的取值范围，并计算的值． 【答案】(1)，单调递减区间是 (2)， 【分析】（1）根据题意，求得，结合三角函数的性质，即可求解； （2）由，可得，求得函数的单调区间，作出函数的图象，结合图象，即可求解. 【详解】（1）解：由函数的图象，可得，且，可得，所以， 令，可得，可得，即， 因为，所以，所以， 令，解得， 所以的单调递减区间是. （2）解：当，可得， 当时，即时，函数单调递增； 当时，即时，函数单调递减， 且，则函数的图象，如图所示， 要使得函数在上有两个不同的零点， 即函数与的图象有两个不同的交点， 结合图象，可得，即实数的取值范围， 又由关于对称，所以.   .   例题3．（23-24高一上·全国·课后作业）设函数),（为常数且的部分图象如图所示.    (1)求A，的值； (2)若存在使得等式m＝0成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1)，=2，； (2). 【分析】（1）根据最值以及周期即可求解的值； （2）利用三角函数的性质可得，然后结合二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）根据函数) (为常数，且)的部分图象， 可得 ，所以=2， 结合五点法作图可得， ，由于，求得 函数； （2）若存在 即存在即存在， 使得等式成立，即成立， 令，则，由， ，即实数m的范围为. 精练核心考点 1．（23-24高一下·河南南阳·期中）某同学用“五点作图法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表： (1)请将上表数据补充完整，并求出函数的解析式； (2)若在上有两根，求的取值范围. 【答案】(1)表格见解析， (2) 【分析】（1）根据表格数据可得A和周期，然后可得，带点可得； （2）令，将问题转化为在上有两个根，然后根据正弦函数的性质求解可得. 【详解】（1）补充表格: 由最大值为最小值为可知 又，故 再根据五点作图法，可得，得 故 （2） 令，则 所以=有两个根，转化为在上有两个根. 即在上有两个根. 由在的图像和性质可得：, 所以 故实数的取值范围为 2．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）如图是函数，的部分图像，M、N是它与x轴的两个不同交点，D是M、N之间的最高点且横坐标为，点是线段DM的中点． (1)求函数的解析式； (2)若时，函数有两个零点，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）点是线段DM的中点，得到，，从而得到，然后将点D坐标代入求解； （2）根据，得到，再将函数有两个零点，转化为方程有两个不等实数根求解. 【详解】（1）解：因为点是线段DM的中点， 所以，， 则，， 又因为，则， 所以， 由， 故，， 所以，， 又因为，则． 所以， （2）因为， 则， 所以， 即， 因为函数有两个零点，则方程有两个不等实数根， 即函数的图象与有两个交点. 又因为函数在单调递增，在单调递减，且，， 所以，即． 3．（2024·山西·模拟预测）已知函数的图象是由的图象向右平移个单位长度得到的. (1)若的最小正周期为，求的图象与y轴距离最近的对称轴方程； (2)若在上有且仅有一个零点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角函数的图象变换及对称性质即可判定； （2）利用整体代换求得零点，再根据已知区间确定范围即可. 【详解】（1）由，得， 所以， 令，，解得，， 取，得，取，得， 因为，所以与y轴距离最近的对称轴方程为. （2）由已知得， 令，，解得，. 因为在上有且仅有一个零点，所以 所以. 因为，所以，解得，，所以， 解得， 即的取值范围为. 题型四：重点考查三角函数的周期问题 典型例题 例题1．（23-24高二上·贵州铜仁·阶段练习）函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角函数的最小正周期公式求解. 【详解】函数的最小正周期为. 故选：D. 例题2．（23-24高一下·上海·期末）下列四个函数中，以为最小正周期的奇函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由三角函数的奇偶性、周期性即可逐一判断各个选项. 【详解】对于A，是以为最小正周期的奇函数，故A不符合题意； 对于B，是以为最小正周期的偶函数，故B不符合题意； 对于C，若，则，为偶函数，故C不符合题意； 对于D，若，显然其定义域为全体实数，且，所以是奇函数，且它的最小正周期为，故D符合题意. 故选：D. 例题3．（23-24高一上·新疆巴音郭楞·期末）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦型函数的周期性与单调性逐项判断，即可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，作出函数的图象如下图所示： 由图可知，函数的最小正周期为，且该函数在上单调递减，A满足条件； 对于B选项，函数的最小正周期为，且该函数在上单调递减，B不满足条件； 对于C选项，函数的最小正周期为， 当时，，则函数在上不单调，C不满足条件； 对于D选项，函数的最小正周期为， 当时，，则函数在上单调递增，D不满足条件. 故选：A. 精练核心考点 1．（23-24高一下·上海·期中）下列函数中，最小正周期为的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正余弦函数的最小正周期公式计算求解判断即可. 【详解】由题意知周期为，周期为， 周期为，周期为. 故选：C 2．（2024·天津·一模）下列函数中，以为周期，且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合函数周期性的定义与正弦函数及余弦函数的单调性逐项判断即可得. 【详解】对A：，，故不以为周期，故A错误； 对B：，故以为周期， 当时，，由在上单调递减， 且，故在上单调递减，故B错误； 对C：，，故不以为周期，故C错误； 对D：，故以为周期， 当时，，由在上单调递减， 但，故时，， 故在上单调递增，故D正确. 故选：D. 3．（24-25高一·上海·随堂练习）已知函数（k为常数）的最小正周期为，求实数k的值． 【答案】 【分析】利用正弦型函数的周期公式列出方程，计算即得. 【详解】因为函数（k为常数）的最小正周期为， 所以，解得. 故实数的值为 题型五：重点考查三角函数的奇偶性和对称性 典型例题 例题1．（23-24高二下·云南楚雄·期末）已知直线和都是函数图象的对称轴，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意当或时，取得最值，代入检验即可. 【详解】由题可知，当或时，取得最值； 对于A： ， ，符合题意，故A正确； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D错误. 故选：A 例题2．（23-24高二下·福建福州·期末）已知函数，且，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】利用求解． 【详解】因为， 故，而，故， 故选：B. 例题3．（23-24高一下·北京·期末）已知函数为奇函数， 则符合条件的一个的取值可以为 . 【答案】（答案不唯一，） 【分析】由正余弦型函数的奇偶性，结合诱导公式列式求解即得. 【详解】函数为奇函数，则， 所以符合条件的一个的取值可以为. 故答案为： 精练核心考点 1．（23-24高三上·甘肃兰州·阶段练习）的部分图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数的奇偶性和函数值的正负判断. 【详解】函数定义域为R 因为，所以函数是奇函数，故排除C,D， 又时，，排除B，选A. 故选：A. 2．（23-24高一下·北京·阶段练习）下列函数中，是偶函数且其图象关于对称的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式逐一化简可判断奇偶性，然后代入验证判断对称性即可. 【详解】对于A，为奇函数，A错误； 对于B，为偶函数， 因为，所以的图象关于点对称，B正确； 对于C，为偶函数， 因为，所以不是的对称中心，C错误； 对于D，为奇函数，D错误. 故选：B 3．（23-24高一下·贵州遵义·期中）函数图象的对称轴方程是 ． 【答案】 【分析】根据正弦函数的对称轴结合整体代换法计算即可. 【详解】令，解得 则图象的对称轴方程是. 故答案为：. 题型六：重点考查函数奇偶性与周期性、单调性，对称性的综合问题 典型例题 例题1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，则（　　） A．2025 B． C． D． 【答案】B 【分析】由周期性可得，即可利用周期求解. 【详解】由 得， 所以， 所以 故选：B. 例题2．（23-24高一下·山东济宁·期末）设函数（、、都是常数，，），若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】记函数的最小正周期为，根据正弦函数的单调性、对称性计算可得. 【详解】记函数的最小正周期为，则，可得． 又，且， 又，所以函数的一个对称中心为， 函数的一条对称轴为，又， ，解得． 故选：B． 例题3．（23-24高二下·浙江金华·期末）已知函数的对称中心为，则能使函数单调递增的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余弦函数的对称中心在其图象上，将代入解析式可求得，再利用余弦函数单调性求出单调递增区间即可的答案.. 【详解】由图象的一个对称中心是，所以， 则，，即，， 又，所以，得函数， 令，， 即，； 故的单调递增区间为，， 而当时，单调递增区间为，又， 所以C正确，其余区间都不符合题意. 故选：C 例题4．（多选）（23-24高二下·陕西汉中·期末）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．是的一个周期 B．的图象关于点对称 C．为奇函数 D．在区间上的最大值为3 【答案】BD 【分析】根据余弦函数的性质一一判断即可. 【详解】对于A：函数的最小正周期为，故A错误； 对于B：因为，所以的图象关于点对称，故B正确； 对于C：不是奇函数，故C错误； 对于D：当时，， 所以当，即时，取得最大值3，故D正确. 故选：BD 精练核心考点 1．（23-24高二下·北京·期末）已知函数，，其中，．若的最小正周期为，且当时，取得最大值，则（    ） A．在区间上是减函数 B．在区间上是减函数 C．在区间上是增函数 D．在区间上是增函数 【答案】C 【分析】由函数的最小正周期为求，且求，进而确定解析式，分别求出函数的单调增区间和减区间，结合选项验证即可. 【详解】函数的最小正周期为，根据周期公式可得， ， 当时，取得最大值， ，则， ， ， 由，得函数的单调增区间， 由，得函数的单调减区间， 结合选项知C正确， 故选：C． 2．（23-24高一下·福建福州·期末）已知函数在区间上单调递减，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在区间上单调递减，用周期公式，缩小范围．得出对称中心，求出，解出即可． 【详解】在区间上单调递减，， 由，得①. 又，图象关于点对称， 即②. 由②-①得，由于， 则，代入①，即， 由于，则． 故选：C. 3．（多选）（23-24高一下·甘肃白银·阶段练习）函数，则下列说法正确的是（    ） A．是它的最小正周期 B．是的一个对称中心 C．是的一条对称轴 D．是的一个单调减区间 【答案】ABC 【分析】利用函数的图象和性质逐项判断即可. 【详解】对于A，函数的最小正周期为，故A正确； 对于B，因为，所以是的一个对称中心，故B正确； 对于C，因为，所以是的一条对称轴，故C正确； 对于D，因为，所以，且在单调递减， 只能说在上递减，不能说是一个单调减区间，而是的一个单调减区间，故D错误. 故选：ABC 4．（23-24高一下·江西景德镇·期中）已知函数，且，在区间上恰有4个不同的实数，使得对任意都满，且对任意角，在区间上均不是单调函数，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由求出，根据对称性及正弦函数的零点、单调性可得的取值范围. 【详解】因为且， 所以，即，所以，故. 由可得的图象关于点对称， ，即，其中. 当时，， 因函数在上的前个零点依次为， 可得，解得， 又在上不是单调函数，，解得， 综上可得，即的取值范围是. 故答案为：. 题型七：重点考查三角函数的单调区间 典型例题 例题1．（23-24高一下·江西南昌·期末）已知函数的单调递增区间是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用整体法求解单调增区间，即可与题中单调区间比较求解. 【详解】令，解得， 故且，解得， 故选：C 例题2．（23-24高一下·陕西汉中·期末）已知函数，则函数的单调递减区间为 . 【答案】 【分析】利用整体代入法求单调递减区间，然后结合定义域可得答案. 【详解】由解得， 因为，所以的单调递减区间为. 故答案为： 例题3．（24-25高二·上海·假期作业）求下列函数的单调区间： (1) ； (2). 【答案】(1)单调递增区间为，，无单调递减区间 (2)单调递减区间为，，无单调递增区间 【分析】（1）直接根据正切函数的性质计算可得； （2）首先利用诱导公式将函数化简，再结合正切函数的性质计算可得. 【详解】（1）由题意得，， 解得， 所以函数的单调递增区间为，，无单调递减区间； （2）， 由题意得，， 解得， 所以函数的单调递减区间为，，无单调递增区间. 精练核心考点 1．（23-24高一下·上海宝山·阶段练习） 单调增区间为 【答案】 【分析】首先把函数的关系式，变形成正弦型函数，再利用正弦函数的性质求解. 【详解】解：函数 ， 令 ， 整理得 ， 所以函数的单调递区间为 故答案为： 2．（23-24高一下·辽宁大连·期末）已知函数在上单调递增，则的最大值为 . 【答案】 【分析】利用整体法结合正弦型函数的单调性即可求解. 【详解】因为，则， 由函数在区间上单调递增， 可得 ，求得，则，故的最大值为， 故答案为：. 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数，.求函数的单调增区间和值域. 【答案】单调增区间是和，值域为. 【分析】根据整体代入法即可求单调区间，根据单调区间即可求值域. 【详解】，. 由，，解得，. 当时，；当，. 又，所以函数的单调增区间是和 由单调区间可知，当时，，当时，， 所以函数的值域为. 所以函数的单调增区间是和，值域为. 题型八：重点考查利用单调性比较三角函数值的大小 典型例题 例题1．（23-24高一下·辽宁大连·期中）设，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由余弦函数的最值得，再根据正弦函数、余弦函数的单调性结合中间值法比较即可. 【详解】， 由函数在上单调递增得， 由函数在上单调递减得， 所以.即. 故选：D 例题2．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列不等式中成立的是 .（填编号） ① ② ③ ④ 【答案】①④ 【分析】结合诱导公式，再利用三角函数的单调性即可逐一判断 【详解】对于①，因为， 因为在上单调递增，所以，所以 即，故①正确； 对于②，因为在上单调递减，所以，故②错误； 对于③，因为，， 所以，故③错误； 对于④，， 因为在上单调递减，且，所以， 即，故④正确， 故答案为：①④. 例题3．（2024高一上·全国·专题练习）利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小． (1)与； (2)与； (3)与. 【答案】(1). (2). (3). 【分析】（1）利用正弦函数的单调性，比较正弦值的大小； （2）由诱导公式有，，利用正弦函数的单调性比较大小； （3）利用诱导公式和余弦函数的单调性比较大小 【详解】（1）由，函数在上单调递增， 所以. （2），， 由，有， 从而，即. （3）， ，且在上是减函数， 则，即. 精练核心考点 1．（多选）（23-24高一下·四川绵阳·阶段练习）下列式子成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据正弦函数、余弦函数的单调性，再结合诱导公式逐项判断即可求解. 【详解】A．由，，又因为，所以， 所以，故A正确； B．，，因为， 所以，故B错误； C．由，又因为，所以，故C错误； D．因为，所以，因为，所以， 所以，故D正确. 故选：AD. 2．（24-25高一上·上海·课后作业）三个数，，的大小关系是 . 【答案】 【分析】利用诱导公式及余弦函数的性质判断即可. 【详解】∵，， ∵，，， ∴. 又∵在上是减函数， ∴，即. 故答案为： 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）比较与的大小. 【答案】. 【分析】根据诱导公式结合正切函数的单调性即可得解. 【详解】， ， ∵，在上为严格增函数， ∴，即. 题型九：重点考查已知三角函数的单调情况求参数问题 典型例题 例题1．（23-24高一下·福建福州·期末）已知函数在区间上单调递减，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在区间上单调递减，用周期公式，缩小范围．得出对称中心，求出，解出即可． 【详解】在区间上单调递减，， 由，得①. 又，图象关于点对称， 即②. 由②-①得，由于， 则，代入①，即， 由于，则． 故选：C. 例题2．（多选）（23-24高一下·辽宁·期末）已知函数的最小正周期为，在上单调递增，且（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据最小正周期求出，再由求出，即可得到函数解析式，从而判断A、B；由的范围求出的范围，结合正弦函数的性质求出的范围，即可判断C，最后求出、，从而判断D. 【详解】因为函数的最小正周期为， 所以，解得，故A错误； 所以，又， 所以，则，又， 所以，故B正确； 所以， 又，则，因为在上单调递增， 所以，解得，故C正确； 因为，， 所以，故D错误. 故选：BC 例题3．（23-24高一下·广东潮州·阶段练习）若函数在上单调递增则的取值范围为 . 【答案】 【分析】由，得，再根据余弦函数的单调递增区间，即可求解. 【详解】由，得. 因为在上单调递增，所以， 得， 则， 解得，则，故的取值范围为. 故答案为： 精练核心考点 1．（23-24高一下·江西南昌·期末）已知函数的单调递增区间是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用整体法求解单调增区间，即可与题中单调区间比较求解. 【详解】令，解得， 故且，解得， 故选：C 2．（多选）（23-24高一上·河北沧州·阶段练习）已知函数，若在区间内单调递增，则的可能取值是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】结合正切型函数的单调性计算即可得. 【详解】因为，故， 由函数在区间内单调递增， 故，所以． 故选：BC． 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知函数（为正整数）在上不单调，求的最小值． 【答案】3 【分析】需要分单调递增和单调递减两种情况来讨论，然后利用三角函数中余弦函数的性质的单调性的应用，集合的对立关系的应用求出的最小值． 【详解】解：当函数严格增时，， 整理得（）． 若函数在上严格增， 则（）， 即，整理得． 当时，；① 当函数严格减时，（）， 整理得（）， 若函数在上严格减， 则（）， 即，整理得， 当时，．② 由于函数在上不单调，且为正整数， 所以的取值为①②所表示的不等式的补集， 所以的最小值为3． 题型十：重点考查换元法求值域或最大(小)值(可化为一元二次函数型） 典型例题 例题1．（24-25高一上·上海·课后作业）函数的最小值为 ，最大值为 . 【答案】 【分析】根据三角函数性质，与二次函数性质可得最值. 【详解】由已知， 设，即， 所以当，即，时，取最小值为； 当，即，时，取最大值为； 故答案为：，. 例题2．（23-24高一下·福建莆田·期中）函数，的值域为 ． 【答案】 【分析】首先确定的范围，结合二次函数值域的求法可求得结果. 【详解】当时，， ， 当时，；当时，； ，的值域为. 故答案为：. 例题3．（24-25高一上·上海·课后作业）求函数，的值域. 【答案】. 【分析】根据函数，使用换元法令得，然后根据二次函数求值域即可. 【详解】由题意，. 令，则. 当时，y取最小值； 当时，y取最大值. 故函数的值域为. 例题4．（24-25高一上·上海·课后作业）已知函数，. (1)求函数的最大值； (2)求函数的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）本题转化为关于的二次函数的最值问题，另外由于对称轴和区间的位置关系不确定，要分类讨论确定位置关系，进而可以求得最大值. （2）画出函数的图象，分析每段函数的最小值，找出图象最低点即可. 【详解】（1）依题意，函数， 令， 则函数为，， 当对称轴时， 函数y在上严格单调递减， 所以最大值在处取到， ； 当对称轴时， 函数在单调递增，在单调递减， 所以最大值在处取到，； 当对称轴时， 函数在上严格单调递增， 所以最大值在处取到，. 综上 （2）如图所示， 当时，函数单调递减，最小值为； 当时，函数在单调递减，在单调递增， 所以最小值为； 当时，函数单调递增，最小值为； 综上所述，的最小值为，此时.    精练核心考点 1．（24-25高一上·上海·课后作业）函数，值域是 . 【答案】 【分析】由题意可得，又，可求值域. 【详解】因为，所以， ， 所以函数，值域是. 故答案为： 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）求函数的最大值、最小值及值域. 【答案】最大值为5；最小值为，. 【分析】化简，运用整体思想，结合二次函数值域解题即可. 【详解】解：∵，， 函数在上是减函数， ∴当时，取最大值为； 当时，取最小值为， ∴， ∴所求函数的值域为. 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）求函数，的值域. 【答案】. 【分析】应用复合函数的单调性，结合正切函数及二次函数求值域即可. 【详解】. ∵，∴. 当，即时，y取最小值-1； 当，即时，y取最大值. ∴函数的值域为. 学科网（北京）股份有限公司 $$