第01讲5.1&2任意角和弧度制、三角函数的概念(11大考点)-【练透核心考点】2024-2025学年高一数学核心题型总结与突破（人教A版2019必修第一册）

第01讲 5.1任意角和弧度制 +5.2.1三角函数的概念 + 5.2.2同角三角函数的基本关系 目录 题型一：重点考查区域角 2 题型二：重点考查确定角的终边所在的象限 4 题型三：重点考查弧长公式 4 题型四：重点考查扇形面积公式 5 题型五：重点考查扇形中的最值问题 6 题型六：重点考查利用三角函数的定义求三角函数值 7 题型七：重点考查由终边或终边上点求三角函数值 8 题型八：重点考查由三角函数值求终边上的点或参数 9 题型九：重点考查同角三角函数的基本关系 10 题型十：重点考查已知,求关于和的齐次式的值 11 题型十一：重点考查利用,与之间的关系求值 12 题型一：重点考查区域角 典型例题 例题1．（23-24高一下·河南·阶段练习）如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合是（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高一上·河北保定·期中）（1）已知角的终边与角重合，则 ． （2）用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内（含边界）的角的集合是 ．    例题3．（24-25高一上·上海·课堂例题）用弧度制表示顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分的角的集合（不包括边界），如图所示. (1) (2) 精练核心考点 1．（23-24高一下·广西钦州·阶段练习）集合中角表示的范围用阴影表示是图中的（      ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·课后作业）已知角x的终边落在图示阴影部分区域，写出角x组成的集合． 3．（23-24高一上·全国·课后作业）用弧度制表示终边落在下列阴影部分的角包含边界，请用集合形式表示 (1) (2) 题型二：重点考查确定角的终边所在的象限 典型例题 例题1．（2025·江苏苏州·模拟预测）所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 例题2．（多选）（23-24高一下·河北承德·开学考试）已知是锐角，则（    ） A．是第三象限角 B．是小于的正角 C．是第一或第二象限角 D．是锐角 例题3．（2024高一下·全国·专题练习）已知角的终边在第四象限，确定下列各角终边所在的象限： (1)；(2)； 精练核心考点 1．（23-24高一下·北京·期中）是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 2．（多选）（23-24高一下·江西吉安·期末）已知，，那么的终边可能位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）若是第一象限的角，则是第几象限的角？是第几象限的角？ 题型三：重点考查弧长公式 典型例题 例题1．（23-24高一上·云南曲靖·阶段练习）半径为，圆心角为210°的扇形的弧长为（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高一下·安徽铜陵·期末）若一个扇形的面积为6，扇形圆心角的弧度数是4，则该扇形的弧长为 . 例题3．（23-24高一下·上海奉贤·期中）在半径为1的圆中，弧度的圆心角所对的弧长为 . 精练核心考点 1．（23-24高一下·上海·阶段练习）若扇形的圆心角为，半径为6，则扇形的弧长为 . 2．（23-24高一下·上海闵行·期末）已知扇形的半径长为5cm，圆心角是2rad，则扇形的弧长是 cm． 3．（23-24高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知某扇形的圆心角为，半径为5，则该扇形的弧长为 . 题型四：重点考查扇形面积公式 典型例题 例题1．（2024·山东潍坊·三模）如图，半径为1的圆与轴相切于原点，切点处有一个标志，该圆沿轴向右滚动，当圆滚动到与出发位置时的圆相外切时(记此时圆心为)，标志位于点处，圆与轴相切于点，则阴影部分的面积是（    ）    A．2 B．1 C． D． 例题2．（23-24高一下·四川内江·阶段练习）一个扇形的周长是，这个当扇形的面积最大时，圆心角为 . 例题3．（23-24高一上·陕西西安·期末）某农户计划围建一块扇形的菜地，已知该农户围建菜地的篱笆的长度为24米. (1)若该扇形菜地的圆心角为4弧度，求该扇形菜地的面积； (2)当该扇形菜地的圆心角为何值时，菜地的面积最大，最大值是多少？ 精练核心考点 1．（23-24高一下·北京·期中）已知扇形的圆心角为2rad，所对的弦长为4，则扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·云南昆明·阶段练习）若扇形的圆心角为，半径为3，则该扇形的面积为 . 3．（23-24高一下·湖南益阳·期中）已知扇形的周长为30，当它的半径和圆心角各取何值时，扇形的面积最大？并求出扇形面积的最大值． 题型五：重点考查扇形中的最值问题 典型例题 例题1．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）已知扇形周长为2，则扇形面积最大时扇形的圆心角为（    ） A． B．60° C．1 D．2 例题2．（23-24高一上·云南曲靖·期末）已知一扇形的圆心角为（为正角），周长为，面积为，所在圆的半径为． (1)若，，求扇形的弧长； (2)若，求的最大值及此时扇形的半径和圆心角． 例题3．（23-24高一上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为. (1)若，，求扇形的周长； (2)若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，此时扇形的圆心角为多少弧度. 精练核心考点 1．（23-24高一上·湖北宜昌·期末）已知扇形的周长为，当扇形的面积取得最大值时，扇形的弦长等于（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·浙江温州·期中）已知扇形的周长为8，则扇形的面积的最大值是 ，此时弦长 . 3．（23-24高一上·江苏南通·期末）如图，在半径为4、圆心角为的扇形中；分别为的中点，点在圆弧上且·    (1)若，求梯形的高； (2)求四边形面积的最大值. 题型六：重点考查利用三角函数的定义求三角函数值 典型例题 例题1．（23-24高一上·北京通州·期末）已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边在第三象限且与单位圆交于点，则（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高一上·上海·期末）若角的终边上有一点，，则的值是 . 例题3．（2024高三·全国·专题练习）若角的终边落在直线上，角的终边与单位圆交于点，且，则 . 精练核心考点 1．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）已知角、的顶点在原点，始边在轴的正半轴上，终边关于轴对称，若角的终边上有一点，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·黑龙江绥化·阶段练习）在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则 ． 3．（23-24高二下·湖南株洲·开学考试）已知角的终边与单位圆的交点坐标为，则= 题型七：重点考查由终边或终边上点求三角函数值 典型例题 例题1．（23-24高一下·安徽蚌埠·期末）已知点在角终边上，且，则（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高一下·辽宁·阶段练习）若角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 例题3．（23-24高一下·北京怀柔·期末）已知角的终边经过点，则 . 精练核心考点 1．（23-24高一下·西藏拉萨·期末）已知角终边上一点的坐标为，则（ ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·河南·阶段练习）若角α的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·上海·单元测试）已知角的终边过点，则 . 题型八：重点考查由三角函数值求终边上的点或参数 典型例题 例题1．（23-24高一下·上海宝山·期末）已知角终边上一点，若，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 例 题2．（23-24高一下·北京·期中）已知是第二象限的角，为其终边上的一点，且，则（    ）． A． B． C． D． 例题3．（24-25高一上·上海·课后作业）角终边经过点，且，，则实数a的取值范围是 . 精练核心考点 1．（23-24高一上·广东揭阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，点M在角的终边上，若，则（    ） A．或1 B．或6 C．6 D．1 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）若，且角的终边经过点，则P点的横坐标x为 ． 3．（24-25高一上·上海·单元测试）已知为角终边上的一点，且，，则 . 题型九：重点考查同角三角函数的基本关系 典型例题 例题1．（23-24高一下·广西桂林·期末）已知，且为第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高一上·上海·课后作业）已知，，则实数k的值为 . 例题3．（24-25高一上·上海·课后作业）若，且为第四象限的角，则的值等于 . 精练核心考点 1．（23-24高一下·北京延庆·期末）若，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，，其中，求的值. 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，且是第三象限的角，求、的值. 题型十：重点考查已知,求关于和的齐次式的值 典型例题 例题1．（24-25高一·上海·随堂练习）若，，则的值为（    ）． A． B． C． D． 例题2．（23-24高一上·新疆昌吉·期末）已知． (1)求的值； (2)求的值． 例题3．（24-25高一上·上海·课后作业）已知，求： (1)； (2). 精练核心考点 1．（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·期中）已知角的终边在函数的图象上，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一·上海·随堂练习）已知求下列各式的值． (1)； (2)； (3)． 题型十一：重点考查利用,与之间的关系求值 典型例题 例题1．（多选）（23-24高一下·辽宁葫芦岛·期末）设，已知是方程的两根，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高一上·山东淄博·期末）已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 例题3．（2024高一下·全国·专题练习）已知，则 ． 精练核心考点 1．（多选）（23-24高一下·山东潍坊·阶段练习）设，，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·山东威海·阶段练习）已知，且，则 ． 3．（23-24高一下·湖南怀化·期末）已知，，则 . 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 5.1任意角和弧度制 +5.2.1三角函数的概念 + 5.2.2同角三角函数的基本关系 目录 题型一：重点考查区域角 2 题型二：重点考查确定角的终边所在的象限 5 题型三：重点考查弧长公式 8 题型四：重点考查扇形面积公式 10 题型五：重点考查扇形中的最值问题 12 题型六：重点考查利用三角函数的定义求三角函数值 16 题型七：重点考查由终边或终边上点求三角函数值 19 题型八：重点考查由三角函数值求终边上的点或参数 21 题型九：重点考查同角三角函数的基本关系 23 题型十：重点考查已知,求关于和的齐次式的值 25 题型十一：重点考查利用,与之间的关系求值 28 题型一：重点考查区域角 典型例题 例题1．（23-24高一下·河南·阶段练习）如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据任意角的概念以及角的终边所在位置，即可确定角的集合. 【详解】终边落在阴影部分的角为，， 即终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合是． 故选：B． 例题2．（23-24高一上·河北保定·期中）（1）已知角的终边与角重合，则 ． （2）用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内（含边界）的角的集合是 ．    【答案】 【分析】（1）利用相差角度的角的终边重合即可得出的值； （2）根据图象即可得出角. 【详解】（1）由题意，， ∴ （2）由题意及图可知， 故答案为：；. 例题3．（24-25高一上·上海·课堂例题）用弧度制表示顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分的角的集合（不包括边界），如图所示. (1) (2) 【答案】(1)； (2). 【分析】结合图形，由终边相同的角的集合，即可得到结果. 【详解】（1）因为的终边相同，，所以阴影部分所表示的区域位于与之间且跨越x轴的正半轴，所以终边落在阴影部分的角的集合为. （2）因为，，阴影部分所表示的区域由两部分组成，所以终边落在阴影部分的角的集合为 . 精练核心考点 1．（23-24高一下·广西钦州·阶段练习）集合中角表示的范围用阴影表示是图中的（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当取偶数时，确定角的终边所在的象限；当取奇数时，确定角的终边所在的象限，再根据选项即可确定结果． 【详解】集合中， 当为偶数时，此集合与表示终边相同的角，位于第一象限； 当为奇数时，此集合与表示终边相同的角，位于第三象限. 所以集合中角表示的范围为选项B中阴影所示. 故选：B. 2．（24-25高一上·上海·课后作业）已知角x的终边落在图示阴影部分区域，写出角x组成的集合． 【答案】(1) (2) 【分析】直接利用所给角，表示出范围即可. 【详解】图（1）中角x组成的集合为； 图（2）中角x组成的集合为 或 . 3．（23-24高一上·全国·课后作业）用弧度制表示终边落在下列阴影部分的角包含边界，请用集合形式表示 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据图形，确定阴影部分的起始角和终止角，写出集合即可； （2）根据图形，确定两块阴影部分的起始角和终止角，合并，写出集合即可. 【详解】（1）由图可知，其中， 所以阴影部分表示的角为. （2）由图可知轴上方的阴影部分为，； 轴下方的阴影部分为，； 所以阴影部分表示的角为. 题型二：重点考查确定角的终边所在的象限 典型例题 例题1．（2025·江苏苏州·模拟预测）所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】将，与的终边相同． 【详解】， 又终边在第三象限， 所在的象限为第三象限， 故选：C． 例题2．（多选）（23-24高一下·河北承德·开学考试）已知是锐角，则（    ） A．是第三象限角 B．是小于的正角 C．是第一或第二象限角 D．是锐角 【答案】ABD 【分析】根据锐角的范围，直接利用不等式的运算法则即可求解. 【详解】由题知， 因为是锐角，所以， 对于A：所以，故A选项正确； 对于BC：，故B选项正确，C选项错误； 对于D：，故D选项正确； 故选：ABD. 例题3．（2024高一下·全国·专题练习）已知角的终边在第四象限，确定下列各角终边所在的象限： (1)；(2)； 【答案】(1)第二或第四象限 (2)第二、第三或第四象限 【分析】（1）由为第四象限角可知，根据不等式的性质可得角终边所在区域，分类讨论可得角终边所在的位置； （2）由为第四象限角可知，根据不等式的性质可得角终边所在区域，分类讨论可得角终边所在的位置. 【详解】（1）由于为第四象限角可知，. 所以 当时，，终边在第二象限， 当时，，终边在第四象限， 所以的终边在第二或第四象限； （2）由（1）得， 当时，，终边在第二象限， 当时，，终边在第三象限， 当时，，终边在第四象限， 所以的终边在第二、第三或第四象限. 精练核心考点 1．（23-24高一下·北京·期中）是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】C 【分析】根据所在区域及象限角的定义判断得解. 【详解】显然，所以是第三象限角. 故选：C 2．（多选）（23-24高一下·江西吉安·期末）已知，，那么的终边可能位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】ABC 【分析】利用给定条件解出的范围，再分类讨论求解即可. 【详解】由题意可得，，则，， 当时，此时的终边落在第一象限，故A正确； 当时，此时的终边落在第二象限，故B正确； 当时，此时的终边落在第三象限，故C正确． 故选：ABC 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）若是第一象限的角，则是第几象限的角？是第几象限的角？ 【答案】是第一象限或第三象限的角，是第一象限或第二象限的角或在y轴的非负半轴上. 【分析】由的范围，求出的范围，分类讨论可得到角的象限． 【详解】因为是第一象限角， 所以， 所以， 当时，，在第一象限； 当时，，在第三象限； 所以是第一象限或第三象限的角． 因为， 所以是第一象限或第二象限的角或在y轴的非负半轴上. 题型三：重点考查弧长公式 典型例题 例题1．（23-24高一上·云南曲靖·阶段练习）半径为，圆心角为210°的扇形的弧长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将角度化为弧度，然后利用弧长公式求解即可. 【详解】圆心角化为弧度为，则弧长为. 故选：D 例题2．（23-24高一下·安徽铜陵·期末）若一个扇形的面积为6，扇形圆心角的弧度数是4，则该扇形的弧长为 . 【答案】 【分析】设扇形的半径为，根据扇形的面积求出，再由弧长公式计算可得. 【详解】设扇形的半径为，圆心角， 则扇形的面积，解得（负值已舍去）， 所以该扇形的弧长. 故答案为： 例题3．（23-24高一下·上海奉贤·期中）在半径为1的圆中，弧度的圆心角所对的弧长为 . 【答案】/ 【分析】根据弧长公式进行化简即可. 【详解】在半径为1的圆中，弧度的圆心角所对的弧长为, 故答案为： 精练核心考点 1．（23-24高一下·上海·阶段练习）若扇形的圆心角为，半径为6，则扇形的弧长为 . 【答案】 【分析】由扇形弧长公式直接计算即可. 【详解】由扇形弧长公式得扇形的弧长为. 故答案为：. 2．（23-24高一下·上海闵行·期末）已知扇形的半径长为5cm，圆心角是2rad，则扇形的弧长是 cm． 【答案】10 【分析】根据弧长的定义求解即可. 【详解】由题意，弧长是cm. 故答案为：10 3．（23-24高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知某扇形的圆心角为，半径为5，则该扇形的弧长为 . 【答案】/ 【分析】利用弧长公式计算即得. 【详解】依题意，该扇形的弧长为. 故答案为： 题型四：重点考查扇形面积公式 典型例题 例题1．（2024·山东潍坊·三模）如图，半径为1的圆与轴相切于原点，切点处有一个标志，该圆沿轴向右滚动，当圆滚动到与出发位置时的圆相外切时(记此时圆心为)，标志位于点处，圆与轴相切于点，则阴影部分的面积是（    ）    A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出劣弧的长，再利用扇形面积公式计算即得． 【详解】由圆与圆外切，得， 又圆，圆与轴分别相切于原点和点，则， 所以劣弧长等于， 所以劣弧对应的扇形面积为. 故选：B 例题2．（23-24高一下·四川内江·阶段练习）一个扇形的周长是，这个当扇形的面积最大时，圆心角为 . 【答案】2 【分析】设该扇形的弧长为、半径为、圆心角为，根据条件可将表示成关于的二次函数，由此可得答案. 【详解】设该扇形的弧长为、半径为、圆心角为， 因为扇形的周长为16，所以， 所以， 所以当时最大，此时， 故答案为：2. 例题3．（23-24高一上·陕西西安·期末）某农户计划围建一块扇形的菜地，已知该农户围建菜地的篱笆的长度为24米. (1)若该扇形菜地的圆心角为4弧度，求该扇形菜地的面积； (2)当该扇形菜地的圆心角为何值时，菜地的面积最大，最大值是多少？ 【答案】(1)平方米. (2)该扇形菜地的圆心角为2弧度时，菜地的面积取得最大值36. 【分析】（1）根据弧长公式及扇形面积公式即可求解； （2）结合扇形面积公式及二次函数的最值即可求解. 【详解】（1）设该扇形菜地的半径为，弧长为， 则，解得， 故该扇形菜地的面积平方米. （2）因为，所以， 则. 当时，取得最大值36， 此时，从而. 故该扇形菜地的圆心角为2弧度时，菜地的面积取得最大值36. 精练核心考点 1．（23-24高一下·北京·期中）已知扇形的圆心角为2rad，所对的弦长为4，则扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据垂径定理可得，结合扇形的面积公式计算即可求解. 【详解】扇形的圆心角为2rad，所对的弦长为4，如图， 设扇形的半径为，由垂径定理得，即， 故扇形的面积为. 故选：D. 2．（23-24高一下·云南昆明·阶段练习）若扇形的圆心角为，半径为3，则该扇形的面积为 . 【答案】 【分析】本题结合扇形的面积公式即可得出. 【详解】由题意可知圆心角为，即，所以扇形的面积为. 3．（23-24高一下·湖南益阳·期中）已知扇形的周长为30，当它的半径和圆心角各取何值时，扇形的面积最大？并求出扇形面积的最大值． 【答案】当扇形半径为 ，圆心角为2时，扇形有最大面积 ． 【分析】根据条件扇形的周长为30可以得到,从而扇形的面积，即把表示为的二次函数，根据二次函数求最值的方法求解. 【详解】∵扇形的周长为30，∴，， ∴ ∴当时，扇形有最大面积，此时，． 答：当扇形半径为，圆心角为2时，扇形有最大面积． 题型五：重点考查扇形中的最值问题 典型例题 例题1．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）已知扇形周长为2，则扇形面积最大时扇形的圆心角为（    ） A． B．60° C．1 D．2 【答案】D 【解析】根据扇形的周长列出扇形弧长和半径的关系式，再将扇形面积的表达式转化为关于半径的二次函数形式，由此确定出扇形面积最大时的半径和弧长，则圆心角可求. 【详解】设扇形的弧长为，面积为，半径为，圆心角为， 根据条件可知：，所以， 所以当时，有最大值，此时，所以， 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是熟练掌握扇形的弧长公式和面积公式，同时在利用二次函数分析最值的问题上值得注意. 例题2．（23-24高一上·云南曲靖·期末）已知一扇形的圆心角为（为正角），周长为，面积为，所在圆的半径为． (1)若，，求扇形的弧长； (2)若，求的最大值及此时扇形的半径和圆心角． 【答案】(1) (2)的最大值为，此时扇形的半径是，圆心角． 【分析】（1）根据弧度与角度的关系，用弧度表示圆心角，结合弧长公式求弧长； （2）由条件确定弧长与半径的关系，再由扇形面积公式用表示，并求其最小值即可. 【详解】（1）， 扇形的弧长； （2）设扇形的弧长为，半径为， 则，， 则， 当时，，此时，， 的最大值是，此时扇形的半径是，圆心角． 例题3．（23-24高一上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为. (1)若，，求扇形的周长； (2)若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，此时扇形的圆心角为多少弧度. 【答案】(1) (2)最大值为，此时扇形的圆心角为弧度 【分析】（1）根据弧长公式计算即可； （1）根据扇形的周长将用表示，再根据扇形的面积公式结合基本不等式即可得解. 【详解】（1）， 故扇形的周长为； （2）扇形的周长为20， 则，所以， 则扇形的面积， 当且仅当，即时取等号， 所以扇形面积的最大值为，此时扇形的圆心角为弧度. 精练核心考点 1．（23-24高一上·湖北宜昌·期末）已知扇形的周长为，当扇形的面积取得最大值时，扇形的弦长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设扇形的半径为，可得出扇形的弧长为，利用二次函数的基本性质可求得扇形面积的最大值，求出对应的的值，进而求出扇形的圆心角的弧度数，然后利用等腰三角形的性质可求出扇形的弦长. 【详解】设扇形的半径为，可得出扇形的弧长为， 所以，扇形的面积为， 当时，该扇形的面积取到最大值，扇形的弧长为，此时， 如下图所示： 取的中点，则，且，因此，. 故选：C. 【点睛】本题考查扇形面积最值的计算，同时也考查了扇形弦长的计算，涉及二次函数基本性质的应用，考查计算能力，属于中等题. 2．（23-24高一下·浙江温州·期中）已知扇形的周长为8，则扇形的面积的最大值是 ，此时弦长 . 【答案】 4 【分析】设扇形半径为，则弧长，扇形面积解得答案. 【详解】由题意，可设扇形半径为，则弧长，圆心角， 扇形面积， 所以当时，有，此时弦长 故答案为4和 【点睛】本题考查了扇形面积的最大值和弦长，意在考查学生的计算能力. 3．（23-24高一上·江苏南通·期末）如图，在半径为4、圆心角为的扇形中；分别为的中点，点在圆弧上且·    (1)若，求梯形的高； (2)求四边形面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）作出梯形的高后结合题意计算即可得； （2）四边形面积为，设，结合，即可求出面积关于的表达式，即可得最大值. 【详解】（1）连接，过点作于点，交于点， 由，，扇形半径为4，分别为的中点， 故，，，， 则，故为等边三角形， 则，, 故梯形的高为；    （2）设，则， 且此时，四边形面积为： ， ∴时，取最大值. 题型六：重点考查利用三角函数的定义求三角函数值 典型例题 例题1．（23-24高一上·北京通州·期末）已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边在第三象限且与单位圆交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】因为点在单位圆上，且终边在第三象限确定唯一，根据三角函数求解. 【详解】在单位圆上即 终边在第三象限所以，，所以 所以. 故选：C 例题2．（23-24高一上·上海·期末）若角的终边上有一点，，则的值是 . 【答案】 【分析】利用三角函数的定义求解. 【详解】解：因为角的终边上有一点， 所以，， 所以， 故答案为： 例题3．（2024高三·全国·专题练习）若角的终边落在直线上，角的终边与单位圆交于点，且，则 . 【答案】 【分析】由题可得，，然后利用三角函数的定义可得，，即得. 【详解】由角的终边与单位圆交于点， 得，又， ∴，因为角的终边落在直线上， 所以角只能是第三象限角． 记 P 为角的终边与单位圆的交点，设， 则，即，又， 解得，即， 因为点在单位圆上，所以， 解得，即， 所以. 故答案为：. 精练核心考点 1．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）已知角、的顶点在原点，始边在轴的正半轴上，终边关于轴对称，若角的终边上有一点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出终边上关于对称的点,再利用正切函数的定义求解即可. 【详解】因为角的终边上有一点,且角、的顶点在原点,始边在轴的正半轴上,终边关于轴对称,故终边过.故. 故选：D 【点睛】本题主要考查了正切函数的定义求值,属于基础题. 2．（23-24高一下·黑龙江绥化·阶段练习）在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则 ． 【答案】/0.5 【分析】根据角终边上的点，利用三角函数的定义求值. 【详解】角的终边经过点，点在单位圆上，则． 故答案为：. 3．（23-24高二下·湖南株洲·开学考试）已知角的终边与单位圆的交点坐标为，则= 【答案】 【解析】根据三角函数的定义可知：，由此求解出的值. 【详解】由三角函数的定义可知：， 故答案为：. 【点睛】本题考查根据三角函数的定义求解三角函数值，难度较易.已知角的终边与单位圆交于点，则. 题型七：重点考查由终边或终边上点求三角函数值 典型例题 例题1．（23-24高一下·安徽蚌埠·期末）已知点在角终边上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数的定义求出，再由定义计算可得. 【详解】因为点在角终边上，且， 即，解得， 所以. 故选：A 例题2．（23-24高一下·辽宁·阶段练习）若角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数的定义求出，，再代入计算可得. 【详解】因为角的终边经过点， 所以，， 所以 . 故选：D 例题3．（23-24高一下·北京怀柔·期末）已知角的终边经过点，则 . 【答案】 / 【分析】利用三角函数的定义易得正切值和余弦值. 【详解】依题意，，， 则 故答案为：；. 精练核心考点 1．（23-24高一下·西藏拉萨·期末）已知角终边上一点的坐标为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数定义进行求解 【详解】由三角函数定义可得. 故选：A 2．（23-24高一下·河南·阶段练习）若角α的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用正弦函数的定义即可解决. 【详解】因为角α的终边经过点，所以． 故选：C． 3．（24-25高一上·上海·单元测试）已知角的终边过点，则 . 【答案】 【分析】根据三角函数的定义计算可得. 【详解】因为角的终边过点， 所以. 故答案为： 题型八：重点考查由三角函数值求终边上的点或参数 典型例题 例题1．（23-24高一下·上海宝山·期末）已知角终边上一点，若，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】由三角函数定义计算即可得. 【详解】由三角函数定义可得，解得. 故选：C. 例题2．（23-24高一下·北京·期中）已知是第二象限的角，为其终边上的一点，且，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用三角函数定义列式计算即得. 【详解】点是第二象限的角终边上的一点，则， 由，得，所以. 故选：C 例题3．（24-25高一上·上海·课后作业）角终边经过点，且，，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据三角函数定义解题即可 【详解】由于，，根据三角函数定义得到 ，解得. 故答案为：. 精练核心考点 1．（23-24高一上·广东揭阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，点M在角的终边上，若，则（    ） A．或1 B．或6 C．6 D．1 【答案】C 【分析】利用三角函数的定义列出方程求解即得. 【详解】因点M在角的终边上，则，故，解得，. 故选：C. 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）若，且角的终边经过点，则P点的横坐标x为 ． 【答案】 【分析】根据三角函数的定义列出方程，求解即得. 【详解】由题意可得，，且，解得，. 故答案为：. 3．（24-25高一上·上海·单元测试）已知为角终边上的一点，且，，则 . 【答案】 【分析】根据余弦函数的定义建立关系即可求出. 【详解】因为为角终边上的一点，所以， 因为，所以， 故答案为：. 题型九：重点考查同角三角函数的基本关系 典型例题 例题1．（23-24高一下·广西桂林·期末）已知，且为第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用同角三角函数关系计算求解即可. 【详解】因为为第二象限角,又因为, 所以. 故选：C. 例题2．（24-25高一上·上海·课后作业）已知，，则实数k的值为 . 【答案】0或1 【分析】运用同角三角函数关系式，结合正余弦值域解题即可 【详解】由于，．根据题意得到： ，即，解得. 满足,则k的值为0或1. 故答案为：0或1. 例题3．（24-25高一上·上海·课后作业）若，且为第四象限的角，则的值等于 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用同角公式计算即得. 【详解】由，为第四象限的角，得， 所以. 故答案为： 精练核心考点 1．（23-24高一下·北京延庆·期末）若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用同角三角函数关系结合三角函数的正负计算即可. 【详解】因为所以 又因为，所以, 因为，所以，所以. 故选：C. 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，，其中，求的值. 【答案】 【分析】利用同角三角函数的基本关系式列方程，求得的可能取值，根据为第二象限角求得的值. 【详解】解：由， 易得， 解得或1. 由，所以 ①当时，，，不合题意，舍去； ②当时，，，符合题意. 综上，. 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，且是第三象限的角，求、的值. 【答案】，， 【分析】利用同角三角函数关系求解即可. 【详解】解：∵，是第三象限的角， ∴. ∴. 题型十：重点考查已知,求关于和的齐次式的值 典型例题 例题1．（24-25高一·上海·随堂练习）若，，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合齐次式问题运算求解. 【详解】因为， 所以. 故选：B． 例题2．（23-24高一上·新疆昌吉·期末）已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）直接由商数关系即可求解； （2）直接根据平方关系，商数关系即可求解. 【详解】（1）； （2）． 例题3．（24-25高一上·上海·课后作业）已知，求： (1)； (2). 【答案】(1)或. (2)答案见解析 【分析】（1）运用平方关系结合化弦为切即可求解； （2）结合（1）的结论化弦为切即可求解. 【详解】（1） ， 则， 即， 解得或. （2）原式. 当时，原式； 当时，原式. 精练核心考点 1．（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·期中）已知角的终边在函数的图象上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，再利用同角三角函数的基本关系，结合齐次式法即可得解. 【详解】因为角的终边在函数的图象上，所以， . 故选：A. 2．（24-25高一·上海·随堂练习）已知求下列各式的值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)1 【分析】（1）（2）（3）根据已知可以求出，将各齐次式由弦化切求值即可； 【详解】（1）由题意，则； （2）由（1），； （3）由（1），. 3．（24-25高一上·上海·课后作业）已知，且，求的值. 【答案】. 【分析】运用同角三角函数关系式解题即可 【详解】解：由，知是第三象限的角，所以， 故 . 题型十一：重点考查利用,与之间的关系求值 典型例题 例题1．（多选）（23-24高一下·辽宁葫芦岛·期末）设，已知是方程的两根，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由韦达定理有，由，求出的值判断选项A；由，计算判断选项B；由的值，计算判断选项C；由计算结果判断选项D. 【详解】是方程的两根，则有， 由， 得，解得，A选项错误； ，有，由，有， ， 由，所以，B选项正确； 由得，，C选项错误； ，D选项正确. 故选：BD. 例题2．（23-24高一上·山东淄博·期末）已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据题意，利用三角函数的基本关系式，逐项计算，即可求解. 【详解】因为，平方可得， 解得， 因为，所以，所以，所以A正确； 又由， 所以，所以D正确； 联立方程组 ，解得，所以B正确； 由三角函数的基本关系式，可得，所以C错误. 故选：ABD 例题3．（2024高一下·全国·专题练习）已知，则 ． 【答案】 【分析】利用同角三角函数的基本关系求出，联立得到正弦和余弦，最后求出正切值. 【详解】由平方得， 所以， 因为，所以，所以， 又因为， 所以， 联立解得，所以， 故答案为：. 精练核心考点 1．（多选）（23-24高一下·山东潍坊·阶段练习）设，，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】将两边平方，结合平方关系求出A，即可判断，则，即可判断B、C，利用平方差公式判断D. 【详解】因为，所以， 即，即， 所以，故A错误； 又，，所以，则，则 ， 所以，故B正确、C错误； ，故D正确； 故选：BD 2．（23-24高一下·山东威海·阶段练习）已知，且，则 ． 【答案】 【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系即可求得的值． 【详解】 ，， 则， 故答案为：． 3．（23-24高一下·湖南怀化·期末）已知，，则 . 【答案】 【分析】两边平方即可得到，代入得到即可. 【详解】由已知，所以， 所以. 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司 $$