第五章 一元函数的导数及其应用自学检测卷-2025年高二数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019）

2025年高二数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019） 第五章 一元函数的导数及其应用自学检测卷 （时间：120分钟，满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，则. 故选：D. 2．曲线在处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，则，即，， 所以曲线在处的切线方程为，即， 故选：D. 3．已知函数在处有极大值，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】， 由题意可知，，得或， 当时，，得或， 当，得或，，得， 所以函数的单调递增区间是和，单调递减区间是， 所以是极小值，故， 时，，得或， 当，得或，，得， 所以函数的单调递增区间是和，单调递减区间是， 所以是极大值，故. 故选：C 4．函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，和分别为函数在，和处切线的斜率， 即图中直线的斜率， 结合图象可得. 故选：D 5．已知函数与的图象如图所示，则函数（    ） A．在区间上是减函数 B．在区间上是减函数 C．在区间上是减函数 D．在区间上是减函数 【答案】B 【详解】由得， 由题中图象可知，当时，，所以，则函数单调递增； 当时，，所以，则函数单调递减； 当时，，所以，则函数单调递增； 当时，，所以，则函数单调递减； 故ACD都错，B正确， 故选：B 6．若函数的图象在点处的切线不经过第二象限，且该切线与坐标轴所围成的三角形的面积为，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】D 【详解】由，得，， 则的图象在点处的切线方程为.将代入切线方程，得，将代入切线方程，得. 因为该切线与坐标轴所围成的三角形的面积为，所以， 解得或. 当时，切线经过第一、三、四象限，符合题意； 当时，切线经过第一、二、三象限，不符合题意.故. 故选：D 7．已知函数，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数的定义域为， ，故为偶函数， 当时，，令， 则，当且仅当时等号成立， 所以在上单调递增，，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立，所以在上单调递增， 因为函数为减函数，所以， 因为函数在上单调递增，所以， 所以，所以，，故. 故选：A. 8．已知函数及其导函数的定义域均为，若，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，因为，所以， 所以在上单调递减； 又，所以， 因此不等式可化为， 所以，解得， 即不等式的解集为. 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分 9．若函数的导函数的图象关于轴对称，则的解析式可能为(　 　) A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】根据题意，依次分析选项： 对于A，，其导数，其导函数为奇函数，图象不关于轴对称，不符合题意； 对于B，，其导数，其导函数为偶函数，图象关于轴对称，符合题意； 对于C，，其导数，其导函数为偶函数，图象关于轴对称，符合题意； 对于D，，其导数，其导函数是偶函数，图象关于轴对称，符合题意； 故选：BCD． 10．若函数，则（    ） A．函数只有极大值没有极小值 B．函数只有最大值没有最小值 C．函数只有极小值没有极大值 D．函数只有最小值没有最大值 【答案】CD 【详解】，单调递增，由， 则. ∴函数有唯一极小值，即最小值，没有极大值、最大值. 故选：CD. 11．在人工神经网络中，单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数．双曲正切函数是一种激励函数．定义双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数．则（   ） A．双曲正弦函数是增函数 B．双曲余弦函数是增函数 C．双曲正切函数是增函数 D． 【答案】ACD 【详解】对A：令， 则恒成立，故双曲正弦函数是增函数，故A正确； 对B：令， 则，由A知，为增函数，又， 故当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增，故B错误； 对C：， 由在上单调递增，且， 故是增函数，故C正确； 对D：由C知，则， ， 故，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．设在定义域内存在导数，且满足，则为 ． 【答案】－1 【详解】因为， 所以， 所以． 故答案为： 13．用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为，当长方体的体积最大时，该长方体的长为 m． 【答案】2 【详解】设长方体的宽为，则长方体的长为，故长方体的高为， 则解得，设长方体的体积为， 所以， 则，令，解得，令，解得， 故在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以在处取得极大值，也是最大值，此时长为． 故答案为：2 14．若直线上一点可以作曲线的两条切线，则点纵坐标的取值范围为 ． 【答案】 【详解】曲线即曲线， 在曲线上任取一点，对函数求导得， 所以曲线在点处的切线方程为，即， 又切线过点，则. 令，则， 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， 所以． 由题意知，直线与曲线有两个交点，则， 当时，，当时，，故. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）方法一：， ∴； 方法二： ； （2）， ∴； （3） ； （4） ． 16．已知曲线. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求过点且与曲线相切的直线方程. 【答案】(1) (2)和. 【详解】（1） ， 当时，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）设切点坐标为，由（1）知切线的斜率为， 故切线方程为， 因为切线过点，所以， 即，所以或， 故过点且与曲线相切的直线有两条， 其方程分别是和， 即和. 17．已知函数. (1)当时，求的极小值； (2)若在上不具有单调性，求实数的取值范围. 【答案】(1)极小值为 (2) 【详解】（1）， ， 当时，. 当时，，单调递减；当时，；当时，，单调递增 的极小值为. （2）由（1）知，， 令，得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 又在上不具有单调性， ，即， 实数的取值范围为. 18．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，，， 则，则， 所以所求切线方程为，即. （2）由，即，， 整理得，， 即不等式对于恒成立， 设，， 则， 当时，，，则； 当时，，，则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，则， 即实数的取值范围为. 19．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，讨论的单调性； (3)当时，，求的取值范围. 【答案】(1) (2)在上单调递增 (3) 【详解】（1）由题意可知， ，则， 故曲线在点处的切线方程为. （2）当时，.则. 当时，，此时 . 当时，. 故在上恒成立. 再由可知为偶函数，于是在上恒成立.故在上单调递增. （3）当时，符合题意. 当时，由可得. 令，则. 令，则. 令，则. 令， 当时，，故在上单调递减. 又，则此时.故在上单调递减. 因为，，则存在，使得，于是在上单调递增，在上单调递减.由于，，则当时，，此时.因此在上单调递增. 故当时，. 令，，则. 当时，，则在上单调递增，此时.故当时，. 故在上恒成立. 因此的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年高二数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019） 第五章 一元函数的导数及其应用自学检测卷 （时间：120分钟，满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 2．曲线在处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 3．已知函数在处有极大值，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数与的图象如图所示，则函数（    ） A．在区间上是减函数 B．在区间上是减函数 C．在区间上是减函数 D．在区间上是减函数 6．若函数的图象在点处的切线不经过第二象限，且该切线与坐标轴所围成的三角形的面积为，则（   ） A． B． C． D．1 7．已知函数，设，则（    ） A． B． C． D． 8．已知函数及其导函数的定义域均为，若，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分 9．若函数的导函数的图象关于轴对称，则的解析式可能为(　 　) A． B． C． D． 10．若函数，则（    ） A．函数只有极大值没有极小值 B．函数只有最大值没有最小值 C．函数只有极小值没有极大值 D．函数只有最小值没有最大值 11．在人工神经网络中，单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数．双曲正切函数是一种激励函数．定义双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数．则（   ） A．双曲正弦函数是增函数 B．双曲余弦函数是增函数 C．双曲正切函数是增函数 D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．设在定义域内存在导数，且满足，则为 ． 13．用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为，当长方体的体积最大时，该长方体的长为 m． 14．若直线上一点可以作曲线的两条切线，则点纵坐标的取值范围为 ． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)． 16．已知曲线. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求过点且与曲线相切的直线方程. 17．已知函数. (1)当时，求的极小值； (2)若在上不具有单调性，求实数的取值范围. 18．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围. 19．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，讨论的单调性； (3)当时，，求的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$