5.3.1函数的单调性同步训练-2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019）选择性必修第二册

5.3.1　函数的单调性（同步训练） 一、选择题 1.若在区间(a，b)内，f′(x)＞0且f(a)≥0，则在(a，b)内有(　　) A.f(x)＞0 B.f(x)＜0 C.f(x)＝0 D.不能确定 2.函数f(x)＝x－2ln x＋1的单调递减区间为(　　) A.(0，2) B.(0，e) C. D.(2，＋∞) 3.f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，若y＝f′(x)图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　) 4.已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是(　　) A.， B.[－，] C.(－∞，－)，(，＋∞) D.(－，) 5.设函数f(x)＝，则函数f(x)的单调递增区间是(　　) A.(－∞，0)　　 B.(0，1) C.(1，＋∞)　 D.(e，＋∞) 6.若函数f(x)＝x3＋3x2－mx＋1在[－2，2]上单调递减，则m的取值范围是(　　) A.[24，＋∞) B.[－1，＋∞) C.(－∞，－3] D.(－∞，0] 7.(多选)下列叙述中正确的有(　　) A.若f(x)在区间(a，b)上单调递增，则对任意x∈(a，b)，都有f′(x)≥0 B.若在区间(a，b)上对任意x都有f′(x)＞0，则f(x)在区间(a，b)上单调递增 C.若f(x)在区间(a，b)上是单调的，则f′(x)必存在 D.若f′(x)在区间(a，b)上都存在，则f(x)必为单调函数 8.(多选)下列函数中，在(0，＋∞)内不单调的函数是(　　) A.y＝sin x B.y＝xe2 C.y＝x3－x D.y＝ln x－x 二、填空题 9.函数f(x)＝ln x－x2的单调递减区间为_____________ 10.函数f(x)＝ex－x的单调递增区间为____________ 11.已知函数y＝x3－x2＋ax－5在(－∞，＋∞)上总是单调函数，则a的取值范围是________ 12.已知函数f(x)＝＋aln x＋x，且曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线与直线y＝－2x＋2平行，则a＝________，函数的单调递增区间是_____________ 三、解答题 13.已知函数f(x)＝2ax－，若f(x)在(0，1]上单调递增，求实数a的取值范围． 14.求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝x3－2x2＋x；(2)f(x)＝x＋sin x，x∈(0，π)． 15.已知函数f(x)＝x2＋2a ln x，讨论f(x)的单调性． 参考答案及解析： 一、选择题 1.A 2.A 解析：由题可知，函数定义域为(0，＋∞)，由f′(x)＝1－＜0，解得0＜x＜2，所以函数的单调递减区间为(0，2)．故选A． 3.C 解析：由导函数的图象可知，当x＜0时，f′(x)＞0，即函数f(x)单调递增；当0＜x＜x1时，f′(x)＜0，即函数f(x)单调递减；当x＞x1时，f′(x)＞0，即函数f(x)为增函数．观察选项易知C正确． 4.B 解析：f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立，由Δ＝4a2－12≤0得－≤a≤．故选B． 5.C 解析：定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，因为f(x)＝，所以f′(x)＝，令f′(x)＞0，则x＞1，所以f(x)的单调递增区间是(1，＋∞)． 6.A 解析：因为函数f(x)＝x3＋3x2－mx＋1在[－2，2]上单调递减，所以f′(x)＝3x2＋6x－m≤0在[－2，2]上恒成立，所以即解得m≥24，即m的取值范围是[24，＋∞)．故选A． 7.AB 解析：f(x)在区间(a，b)上是否单调与f′(x)是否存在无必然联系，故C错误；f(x)＝2在区间(a，b)上的导数存在，但f(x)无单调性，故D错误．A，B正确． 8.ACD　解析：显然y＝sin x在(0，＋∞)上既有增又有减，故选项A符合题意；对于函数y＝xe2，因e2为大于零的常数，不用求导就知y＝xe2在(0，＋∞)内单调递增，故选项B不符合题意；对于C，y′＝3x2－1＝3，故函数在，上单调递增，在上单调递减，故选项C符合题意；对于D，y′＝－1＝(x＞0)，故函数在(1，＋∞)上单调递减，在(0,1)上单调递增．故选项D符合题意，故选ACD． 二、填空题 9.答案： 解析：函数的定义域为(0，＋∞)，∵f′(x)＝－2x＝，∴当x＞时，f′(x)＜0，此时函数单调递减． 10.答案：(0，＋∞) 解析：因为f(x)＝ex－x，所以f′(x)＝ex－1．由f′(x)＞0得，ex－1＞0，即x＞0．所以f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)． 11.答案：[1，＋∞)　 解析：依题意y′＝x2－2x＋a，这是一个开口向上的二次函数，由于原函数总是单调函数，故导函数的判别式Δ＝(－2)2－4a≤0，解得a≥1．] 12.答案：－1，(2，＋∞)　 解析：∵f(x)＝＋aln x＋x，定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝－＋＋1＝， 由题知f ′(1)＝a－1＝－2，解得a＝－1， 这时f ′(x)＝，令f ′(x)＝0，得x1＝2或x2＝－1(舍去)， 令f ′(x)＞0，即x2－x－2＞0且x＞0，得x＞2， 所以函数y＝f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)．] 三、解答题 13.解：∵f′(x)＝2a＋，f(x)在(0，1]上单调递增， ∴当x∈(0，1]时f′(x)≥0恒成立， 即a≥－在x∈(0，1]时恒成立， ∴a≥－1，∴实数a的取值范围是[－1，＋∞)． 14.解：(1)因为f(x)＝x3－2x2＋x， 所以f′(x)＝3x2－4x＋1，x∈R． 因为当x＜或x＞1时，3x2－4x＋1＞0， 当＜x＜1时，3x2－4x＋1＜0， 所以函数f(x)＝x3－2x2＋x的单调递增区间为和(1，＋∞)，单调递减区间为． (2)因为f(x)＝x＋sin x，所以f′(x)＝＋cos x． ①令f′(x)＞0，得cos x＞－， 又因为x∈(0，π)，所以0＜x＜． ②令f′(x)＜0，得cos x＜－， 又因为x∈(0，π)，所以＜x＜π． 所以函数f(x)＝x＋sin x，x∈(0，π)的单调递增区间为，单调递减区间为． 15.解：函数的定义域是(0，＋∞)， f′(x)＝x＋＝． ①当a≥0时，f′(x)＝＞0，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增； ②当a＜0时，令f′(x)＝＝0，得x＝． 经分析可知，f′(x)在(0，)上小于0，f(x)在(0，)上单调递减， f′(x)在(，＋∞)上大于0，f(x)在(，＋∞)上单调递增． 综上，当a≥0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当a＜0时，f(x)在(0，)内单调递减，在(，＋∞)上单调递增． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$