2025年中考数学一轮复习课件 二次函数综合问题

二次函数综合问题 中考数学一轮复习专练 类型一　最值问题(线段最值、周长最值、面积最值) 1.(2023青海西宁中考)如图,在平面直角坐标系中,直线l与x轴 交于点A(6,0),与y轴交于点B(0,-6),抛物线经过点A,B,且对称 轴是直线x=1. (1)求直线l的解析式; (2)求抛物线的解析式; (3)点P是直线l下方抛物线上的一动点, 过点P作PC⊥x轴,垂足为C,交直线l于点D,过点P作PM⊥l,垂足为M,求PM的最大值及此时点P的坐标. 中考数学一轮复习专练 解析    (1)设直线l的解析式为y=mx+n(m≠0),∵直线l与x轴交 于点A(6,0),与y轴交于点B(0,-6),∴ 解得 ∴ 直线l的解析式为y=x-6. (2)设抛物线的解析式为y=a(x-h)2+k(a≠0),∵抛物线的对称 轴是直线x=1,∴y=a(x-1)2+k, ∵抛物线经过点A(6,0),B(0,-6), ∴ 解得 ∴抛物线的解析式为y= (x-1)2- 中考数学一轮复习专练  . (3)∵A(6,0),B(0,-6),∴OA=OB=6,∵∠AOB=90°,∴∠OAB=∠OBA=45°,∵PC⊥x轴,PM⊥l,∴∠PCA=∠PMD=90°,在Rt△ADC中,∵∠DCA=90°,∠CAD=45°,∴∠ADC=45°,∴∠PDM=∠ADC=45°,∵∠PMD=90°,∴∠MPD=∠PDM=45°,∴DM= PM,∴DP= = PM,∴PM= PD,∵y= (x-1)2-  = x2- x-6,∴设点P ,则点D(t,t-6),∴PD=t-6- 中考数学一轮复习专练  =- t2+ t=- (t-3)2+ , ∵- <0,∴当t=3时,PD有最大值,是 ,此时PM最大,则PM的最 大值= × = .当t=3时, t2- t-6= ×9- ×3-6=- ,∴点P 的坐标为 . 中考数学一轮复习专练 类型二　存在性问题(特殊三角形、特殊平行四边形、相等 的角、特殊度数的角) 2.(2023四川达州中考)如图,抛物线y=ax2+bx+c过点A(-1,0),B (3,0),C(0,3). (1)求抛物线的解析式. (2)设点P是直线BC上方抛物线上一点,求出△PBC的最大面 积及此时点P的坐标. 中考数学一轮复习专练   (3)若点M是抛物线对称轴上一动点,点N为坐标平面内一点, 是否存在以BC为边,以B、C、M、N为顶点的四边形是菱 形?若存在,请直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由. 中考数学一轮复习专练 解析    (1)由题意得,抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3),把(0,3) 代入得-3a=3,解得a=-1,故抛物线的解析式为y=-(x+1)(x-3)=-x 2+2x+3. (2)由点B、C的坐标得,直线BC的表达式为y=-x+3,如图,过点 P作y轴的平行线交CB于点H,   中考数学一轮复习专练 设点P(x,-x2+2x+3),则点H(x,-x+3),∴PH=-x2+2x+3-(-x+3)=-x2+ 3x,∴△PBC的面积=S△PHC+S△PHB= PH·OB= (-x2+3x)=-   + ≤ ,∵- <0,∴当x= 时,△PBC的面积有最大 值,最大值为 ,此时点P的坐标为 . (3)存在.∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,∴抛物线的对称轴为直线x= 1,∴设点M(1,t),N(x,y),∴CM=t-3.若BC为菱形BCMN的边,则 BC2=CM2,∵OB=OC=3,∴BC=3 ,∴18=12+(t-3)2,解得t1=  中考数学一轮复习专练 +3,t2=- +3,∵ ∴x=4,y=t-3,∴N1(4, ),N2(4,-  );若BC为菱形BCNM的边,则BC2=BM2,即18=(3-1)2+t2,解得 t3= ,t4=- ,∵ ∴x=-2,y=3+t,∴N3(-2, +3),N4 (-2,- +3).综上,点N的坐标为(4, )或(4,- )或(-2, + 3)或(-2,- +3). 中考数学一轮复习专练 类型三　动点问题 3.(2023甘肃白银中考)如图1,抛物线y=-x2+bx与x轴交于点A, 与直线y=-x交于点B(4,-4),点C(0,-4)在y轴上.点P从点B出发, 沿线段BO匀速运动,运动到点O时停止. (1)求抛物线y=-x2+bx的表达式; (2)当BP=2 时,请在图1中过点P作PD⊥OA交抛物线于 点D,连接PC,OD,判断四边形OCPD的形状,并说明理由; 中考数学一轮复习专练  　      (3)如图2,点P从点B开始运动时,点Q从点O同时出发,以与点 P相同的速度沿x轴正方向匀速运动,点P停止运动时点Q也 停止运动,连接BQ,PC,求CP+BQ的最小值. 中考数学一轮复习专练 解析    (1)∵抛物线y=-x2+bx过点B(4,-4), ∴-16+4b=-4,∴b=3,∴y=-x2+3x. 故抛物线的表达式为y=-x2+3x. (2)四边形OCPD是平行四边形.理由如下: 如图1,∵点P在直线y=-x上,∴OH=PH,∠POH=45°,连接BC, 则OC=BC=4,∴OB=4 .∵BP=2 ,∴OP=OB-BP=2 ,∴ OH=PH=2.当x=2时,y=-4+3×2=2,∴DH=2,∴PD=DH+PH=2+ 2=4,∴PD=OC,∵OC⊥x轴,PD⊥x轴,∴PD∥OC,∴四边形 OCPD是平行四边形. 中考数学一轮复习专练  　      (3)如图2,由题意得BP=OQ,连接BC,在OA上方作△OMQ,使 得∠MOQ=45°,OM=BC=4,连接BM.∵OC=BC=4,BC⊥OC,∴ ∠CBP=45°,∴∠CBP=∠MOQ,又BC=OM,∴△CBP≌△ MOQ,∴CP=MQ,∴CP+BQ=MQ+BQ≥MB,∴CP+BQ的最小 中考数学一轮复习专练 值为MB的长,∵∠MOB=∠MOQ+∠BOQ=45°+45°=90°,∴MB= = =4 ,故CP+BQ的最小值为4 . 中考数学一轮复习专练 类型四　运动问题 4.如图1,矩形OABC的顶点B的坐标为(8,3),定点D的坐标为(1 2,0),动点P从点O出发,以每秒2个单位长度的速度沿x轴的正 方向匀速运动,动点Q从点D出发,以每秒1个单位长度的速度 沿x轴的负方向匀速运动,P、Q两点同时运动,相遇时停止.在 运动过程中,以PQ为斜边,在x轴上方作等腰直角三角形PQR. 设运动时间为t秒. (1)当t=　　　    时,△PQR的边QR经过点B; 中考数学一轮复习专练 (2)设△PQR和矩形OABC重叠部分的面积为S,求S关于t的函 数关系式; (3)如图2,过定点E(5,0)作EF⊥BC,垂足为F,当△PQR的顶点R 落在矩形OABC的内部时,过点R作x轴、y轴的平行线,分别交 EF、BC于点M、N,若∠MAN=45°,求t的值.   中考数学一轮复习专练 解析    (1)△PQR的边QR经过点B时,△ABQ构成等腰直角三 角形,∴AB=AQ,即3=12-8-t,∴t=1.故当t=1时,△PQR的边QR 经过点B. (2)①当0≤t≤1时,如图所示,   中考数学一轮复习专练 设PR交BC于点G,过点P作PH⊥BC于点H,则CH=OP=2t,易知 △PHG为等腰直角三角形, ∴GH=PH=3,∴S=S矩形OABC-S梯形OPGC=8×3- (2t+2t+3)×3= -6t; ②当1<t≤2时,如图所示,   中考数学一轮复习专练 设PR交BC于点G,RQ分别交BC、AB于点S、T,易知△PHG、 △AQT为等腰直角三角形.过点P作PH⊥BC于点H,则CH=OP =2t,GH=PH=3,QD=t,∴AQ=AT=4-t,∴BT=BS=AB-AT=3-(4-t) =t-1,∴S=S矩形OABC-S梯形OPGC-S△BST=8×3- (2t+2t+3)×3- (t-1)2=- t2 -5t+19; ③当2<t≤4时,如图所示, 中考数学一轮复习专练   设RQ与AB交于点T,则AT=AQ=4-t,PQ=12-3t,∴PR=RQ= (1 2-3t),∴S=S△PQR-S△AQT= PR2- AQ2= (12-3t)2- (4-t)2= t2-14t+28. 中考数学一轮复习专练 综上所述,S关于t的函数关系式为 S=  (3)∵E(5,0),∴AE=3=AB,∴四边形ABFE是正方形.如图,将△ AME绕点A顺时针旋转90°,得到△AM'B,连接MN,此时M'在直 线BC上,∴∠EAM=∠BAM',EM=BM', 中考数学一轮复习专练   ∵∠MAN=45°,∴∠EAM+∠NAB=45°,∴∠BAM'+∠NAB=45 °,∴∠MAN=∠M'AN.在△MAN与△M'AN中, 中考数学一轮复习专练  ∴△MAN≌△M'AN(SAS).∴MN=M'N=M'B +BN,∴MN=EM+BN.设EM=m,BN=n,则FM=3-m,FN=3-n,MN= m+n.在Rt△FMN中,由勾股定理得FM2+FN2=MN2,即(3-m)2+(3 -n)2=(m+n)2,整理得mn+3(m+n)-9=0①.延长NR交x轴于点S,∵ △PQR为等腰直角三角形,∴PS=RS=SQ=ME,∴m=EM=RS= QS= (12-3t),∵AQ=4-t,∴n=BN=AS=QS-AQ= (12-3t)-(4-t)=2 中考数学一轮复习专练 - t,∴m=3n,将m=3n代入①,得n2+4n-3=0,解得n=-2+ 或n=- 2- (舍去),∴2- t=-2+ ,解得t=8-2 . 中考数学一轮复习专练 谢谢观看 初中数学 中考数学一轮复习专练 $$