苏科版中考数学一轮复习课件 换元法在解特殊方程中的应用及一元二次方程根与系数的关系

换元法在解特殊方程中的应用 及一元二次方程根与系数的关系 中考数学一轮复习专练 类型一　一元高次方程 1.解方程:(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=8. 中考数学一轮复习专练 解析　原方程可变形为(x2+5x+4)(x2+5x+6)=8,设x2+5x=y,则原 方程可化为(y+4)(y+6)=8,整理得y2+10y+16=0,解得y1=-2,y2=- 8.①当y=-2时,x2+5x=-2,即x2+5x+2=0.对于x2+5x+2=0,∵Δ=25- 8=17>0,∴方程有两个不相等的实数根.∴x1= ,x2=  .②当y=-8时,x2+5x=-8,即x2+5x+8=0.对于x2+5x+8=0, ∵Δ=25-32=-7<0,∴方程无实数根.综上,原方程的解为x1=  ,x2= . 中考数学一轮复习专练 2.(新考向·阅读理解试题)(2023湖南邵阳绥宁期中)阅读下面的材料: 解方程x4-7x2+12=0,这是一个一元四次方程,根据该方程的特 点,它的解法通常如下:设x2=y,则x4=y2,∴原方程可化为y2-7y+ 12=0,解得y1=3,y2=4,当y=3时,x2=3,∴x=± ,当y=4时,x2=4,∴x =±2.∴原方程的根是x1= ,x2=- ,x3=2,x4=-2,此方法叫换元 法,达到了降次的目的,体现了数学的转化思想,运用上述方 法,解答下列问题. (1)解方程:(x2+x)2-5(x2+x)+4=0; (2)已知实数a,b满足(a2+b2)2-3(a2+b2)-10=0,试求a2+b2的值. 中考数学一轮复习专练 解析    (1)设y=x2+x,则y2-5y+4=0,因式分解,得(y-1)(y-4)=0,解 得y1=1,y2=4, 当x2+x=1,即x2+x-1=0时,x= ; 当x2+x=4,即x2+x-4=0时,x= . 综上所述,原方程的解为x1= ,x2= ,x3= ,x4=  . (2)设x=a2+b2,则x2-3x-10=0, 中考数学一轮复习专练 方程可变形为(x-5)(x+2)=0, 解得x1=5,x2=-2(舍去),故a2+b2=5. 中考数学一轮复习专练 类型二　分式方程 3.解方程:x2+ -2 -1=0. 中考数学一轮复习专练 解析　原方程可变形为 -2 -3=0. 设y=x+ ,则原方程可化为y2-2y-3=0,∴y1=3,y2=-1.①当y=3时, x+ =3,即x2-3x+1=0,对于x2-3x+1=0,∵Δ=9-4=5>0,∴方程有 两个不相等的实数根.∴x1= ,x2= ,经检验,x1=  ,x2= 是原方程的解.②当y=-1时,x+ =-1,即x2+x+1 =0,对于x2+x+1=0,∵Δ=1-4=-3<0,∴方程无实数根. 综上,原方程的解为x1= ,x2= . 中考数学一轮复习专练 类型三　无理方程 4.阅读下列“问题”与“提示”后,将解方程的过程补充完 整,求出x的值. 【问题】解方程:x2-6x-2 -8=0. 【提示】可以用“换元法”解方程. 解:设 =t(t≥0),则有x2-6x=t2, 原方程可化为t2-2t-8=0. 【续解】 中考数学一轮复习专练 解析　【续解】∴(t+2)(t-4)=0,∴t+2=0或t-4=0,∴t1=-2(舍),t2 =4.当t=4时, =4,则x2-6x=16,配方得(x-3)2=25,解得x1=8, x2=-2,经检验,x1=8和x2=-2都是原方程的解,∴原方程的解为x1 =8,x2=-2. 中考数学一轮复习专练 类型四　含幂方程 5.解方程:32x-4×3x+3=0. 解析　原方程可变形为(3x)2-4×3x+3=0,设3x=t,则原方程可化 为t2-4t+3=0,解得t1=1,t2=3.当t=1,即3x=1时,解得x=0;当t=3,即3x =3时,解得x=1,∴原方程的解为x1=0,x2=1. 中考数学一轮复习专练 知识点 一元二次方程根与系数的关系 1.(2023江苏泰州中考)关于x的一元二次方程x2+2x-1=0的两 根之和为　　　    . -2 解析　设该方程的两根分别为x1,x2,根据一元二次方程根与 系数的关系得x1+x2=- =- =-2. 中考数学一轮复习专练 2.(2021江苏南京中考)设x1,x2是关于x的方程x2-3x+k=0的两 个根,且x1=2x2,则k=　　　    .  2 解析    根据题意,得x1+x2=3x2=3,则x2=1,将其代入关于x的方 程x2-3x+k=0,得12-3×1+k=0,解得k=2. 中考数学一轮复习专练 3.(2024江苏常州正衡中学期中)关于x的方程x2+4x+m=0的 两个实数根都是负数,则实数m的值可以为　 　　     .(写出一个即可) 2(答案不唯一) 解析　∵关于x的方程x2+4x+m=0的两个实数根都是负数,∴ x1x2=m>0且Δ=16-4m≥0,∴0<m≤4,∴m的值可以为2(答案 不唯一). 中考数学一轮复习专练 4.设x1,x2是方程2x2-6x+3=0的两个根,则 + 的值是　　         . 6 解析　∵x1,x2是方程2x2-6x+3=0的两个根,∴x1+x2=- =3,x1x 2= ,∴ + =(x1+x2)2-2x1x2=32-2× =6. 中考数学一轮复习专练 5.(2024江苏苏州吴江期中)设x1,x2是方程x2-3x+1=0的两个根, 则 +3x2+3=　　　    . 11 解析　∵x1,x2是方程x2-3x+1=0的两个根,∴x1+x2=3, -3x1+1 =0,∴ =3x1-1,∴ +3x2+3=3x1-1+3x2+3=3(x1+x2)+2=9+2=11. 中考数学一轮复习专练 6.(2024江苏南京秦淮期中)已知关于x的方程x2+(2m-1)x+m2 =0. (1)当该方程有实数根时,求m的取值范围; (2)若该方程的两个根x1,x2满足x1+x2=x1x2,求m的值. 解析    (1)由题意得Δ=(2m-1)2-4m2≥0,∴m≤ .故m的取值范 围为m≤ . (2)依题意得x1+x2=-(2m-1),x1x2=m2,∵x1x2=x1+x2,∴m2=-(2m- 1),解得m1=-1+ ,m2=-1- .∵m≤ ,∴m=-1- . 中考数学一轮复习专练 能力提升全练 7.(2023四川泸州中考,10,★★☆)若一个菱形的两条对角线 长分别是关于x的一元二次方程x2-10x+m=0的两个实数根, 且其面积为11,则该菱形的边长为 (　    ) A. 　　B.2 　　C. 　　D.2  C 中考数学一轮复习专练 解析　设菱形的两条对角线长分别为a、b,∵菱形的面积= 两条对角线长乘积的一半,∴ ab=11,即ab=22.由题意,得a+b =10,∴菱形的边长= =  =   = × =  = .故选C. 中考数学一轮复习专练 8.(整体思想)(2024江苏南京建邺期中,6,★★☆)若关于x的方 程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根之和是m,两根之积是n,则关于t的 方程a(t+1)2+b(t+1)+c=0的两根之积是 (　    ) A.n+m-1　　B.n+m+1 C.n-m+1　　D.n-m-1 C 中考数学一轮复习专练 解析    把方程a(t+1)2+b(t+1)+c=0看成关于t+1的一元二次方 程,设关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2,则方程a(t +1)2+b(t+1)+c=0的两根为t1=x1-1,t2=x2-1,∵关于x的方程ax2+ bx+c=0(a≠0)的两根之和是m,两根之积是n,∴x1+x2=m,x1x2= n,∴t1t2=(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1=n-m+1.故选C. 中考数学一轮复习专练 9.(2024江苏南京建邺期中,15,★★☆)设x1,x2是关于x的一元 二次方程ax2+bx-(a+b)=0(a,b是常数)的两个根.若x1x2<0,则x1+ x2的取值范围是　　　　    . x1+x2<1 解析　∵x1,x2是一元二次方程ax2+bx-(a+b)=0(a,b是常数)的 两个根,∴x1+x2=- ,x1x2=- ,∵x1x2<0,∴- <0,即-1- <0, ∴- <1,∴x1+x2=- <1,故x1+x2的取值范围是x1+x2<1. 中考数学一轮复习专练 10.(2021江苏南通中考,16,★★☆)若m,n是一元二次方程x2+ 3x-1=0的两个实数根,则 的值为　　　    . 3 解析　∵m,n是一元二次方程x2+3x-1=0的两个实数根,∴m+ n=-3,m2+3m-1=0,∴3m-1=-m2,∴ = = = 3. 中考数学一轮复习专练 11.(2020江苏无锡中考,20,★★☆)已知关于x的方程4x2+4mx +2m-1=0(m为实数). (1)求证:对于任意给定的实数m,方程恒有两个实数根; (2)设x1,x2是该方程的两个实数根,求证:x1+x2+m=0. 证明    (1)∵a=4,b=4m,c=2m-1,∴Δ=b2-4ac=(4m)2-4×4(2m-1)= 16(m-1)2≥0,∴对于任意给定的实数m,方程恒有两个实数根. (2)∵x1,x2是该方程的两个实数根,∴x1+x2=- =-m,∴x1+x2+ m=0. 中考数学一轮复习专练 素养探究全练 12.(推理能力)(2024江苏南通崇川期中)已知实数m,n满足m2- am+1=0,n2-an+1=0,且m≠n,若a≥3,则代数式(m-1)2+(n-1)2的 最小值是　　　    .  3 中考数学一轮复习专练 解析　∵m2-am+1=0,n2-an+1=0,∴m2+1=am,n2+1=an,∴(m-1)2 +(n-1)2=m2-2m+1+n2-2n+1=am+an-2m-2n=a(m+n)-2(m+n)=(a- 2)(m+n),∵实数m,n满足m2-am+1=0,n2-an+1=0,且m≠n, ∴m、n可看成是关于x的一元二次方程x2-ax+1=0的两个根, ∴m+n=a,∴(m-1)2+(n-1)2=a(a-2)=a2-2a=(a-1)2-1,∵a≥3,∴当a =3时,(a-1)2-1有最小值,即(m-1)2+(n-1)2有最小值,最小值为(3- 1)2-1=3. 中考数学一轮复习专练 $$