浙江省杭州市某校2024-2025学年高一上学期第四次月考数学（实验班）试题

2027届高一实验班第一学期数学月考4 时间：120分钟 满分：150分 学 号2 0 2 7 姓 名____________ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.定义集合，若，则的子集个数为 （ D ） A.1 B.2 C.3 D.4 2.复数满足，则 （ C ） A.1 B.2 C. D.5 解析：方法1：因为， 所以，故选：C。 方法2：，故选：C。 3.（福建省宁德市普通高中2023届高三质量检测）使成立的一个充分不必要条件是（   B   ） A. B. C. D.，且 解析：，故A错误； 当时，，得， 即，显然，则，即， 故是的充分条件； 当时，，故是的不必要条件， 故B正确； 当时，成立，但，故C错误； 当时，由，得，即，故D错误。 故选：B。 4.一个正方体的表面积与一个球的表面积相等，那么它们的体积比是 （ A ） A. B. C. D. 解析：设正方体棱长为 a，球半径为 R，由 6a2＝4πR2 得＝， 所以＝＝＝，故选 A。 5.是三个非零向量，且不共线，若关于的方程的两个根为，则 （ B ） A. B. C. D.大小不确定 6.（浙江省金丽衢十二校2024届高三下学期第二次联考）在三棱锥中，底面是边长为 2的正三角形，若为三棱锥的外接球直径，且与所成角的余弦值为 ，则该外接球的表面积为 （ A ） A. B. C. D. 解析：如图所示：记球心为，取中点为、中点为，连接， 记外接球半径为，在中，，,， 在中，，， 在中，， 所以与所成角为，即， 在中，，， 所以，解得：， 所以该外接球的表面积为：，故选：A。 7.若函数与函数的图象的对称轴相同，则实数的值为（ D ） A. B. C. D. 8.高斯，德国著名数学家、物理学家、天文学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称。函数称为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，如，。设函数，则使不等式恒成立的实数的最小值为 （ C ） A.0 B. C. D.1 解析：由题意知对恒成立， （1）当时，上式显然成立，则。 （2）当时，，即恒成立， 当时，； 当时，由知，， 因为，所以， 当时，，则，所以。 （3）当时，，即恒成立， 由知，，则，所以。 综上所述，，故选C。 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分． 9.已知a，b均为大于0的实数，下列不等式中恒成立的是 （ ACD ） A. B. C. D. 10.在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点，点P在BD1上且BP＝BD1，则以下说法正确的是 （ BC ） A.MN∥平面APC B.C1Q∥平面APC C.A，P，M三点共线 D.平面MNQ∥平面APC 解析：MN∥AC，连接AM，CN，得AM，CN交于点P，即MN⊂平面PAC， 所以MN∥平面APC是错误的，故A错误； 平面APC延展，可知M，N在平面APC上，AN∥C1Q，所以C1Q∥平面APC，故B正确； 由BP＝BD1，以及B知△APB∽△D1PM，所以A，P，M三点共线，故C正确； 直线AP延长到M，则M既在平面MNQ内，又在平面APC内， 所以平面MNQ与平面APC相交，故D错误，故选BC。 11.若定义在的函数满足：当时，恒有，则（ ABD ） A. B.函数在区间为增函数 C.函数在区间为增函数 D. 解析：当时，恒有，令，则 ，所以A选项正确。 不妨设，设，， 由于，所以， 所以，， 所以在为增函数，所以B选项正确。 设的符号无法判断， 所以的单调性无法判断，所以C选项错误。 函数在为增函数，所以， 所以， 同理， 所以， 所以 ，所以D选项正确，故选：ABD。 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆 正好处在坡度15°的看台的某一列的正前 方，从这一列的第一排和最后一排测得旗 杆顶部的仰角分别为60°和30°，且第一排 和最后一排的距离为米（如图所示）， 旗杆底部与第一排在一个水平面上。若国 歌长度约为50秒，升旗手应以 （米/秒）的速度匀速升旗。 答案：0.6。 13.已知x，y为正实数，且，当最小时，z－4x－y的最小值为_______。 答案：。 解析：， 当且仅当，即时，取“=”， 此时，则， 当时，取“=”，故z－4x－y的最小值为。 14.已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，则满足的实数的取值范围_____________。 答案：。 解析：由题意知且为偶数，又，则， 由得， 又为偶函数，所以， 而在上是减函数，所以，解得，。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（本题满分13分）设是半径为5的半圆的直径(如图)， 是半圆上两点，已知。 （1）求的值； （2）求的值。 解：（I）如图，连接，由余弦定理得 ，……………3分 由知， 则。 ………………………………6分 （II）解法1：由题意可知：，,则，………9分 又在中,可得， …………………………12分 故。…………………14分 解法2： 。 16.（本题满分15分）在底面是菱形的四棱锥P­ABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AC＝a，PB＝PD＝a，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，平面PAB∩平面PCD＝l。 （1）证明：l∥CD； （2）在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论。 解：（1）因为四边形ABCD为菱形，所以AB∥CD。 又AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，所以AB∥平面PCD。 又AB⊂平面PAB，平面PAB∩平面PCD＝l，所以AB∥l，所以l∥CD。 （2）存在。当F是PC的中点时，BF∥平面AEC。 证明：如图，取PE的中点M，连接FM。 由于M为PE的中点，F为PC的中点，所以FM∥CE。 由M为PE的中点，PE∶ED＝2∶1，得EM＝PE＝ED， 所以E是MD的中点。 连接BM，BD，设BD∩AC＝O.因为四边形ABCD是菱形，所以O为BD的中点。 所以BM∥OE。 又MF∩MB＝M，CE∩OE＝E，MF，MB⊂平面BFM，CE，OE⊂平面AEC， 所以平面BFM∥平面AEC，又BF⊂平面BFM，所以BF∥平面AEC。 17.（本题满分15分）如图，在△ABC中，∠B＝45°，点D在边AB上，AD＝CD，BD＝1。 （1）若△BCD的面积为，求AD2﹣BC2的值； （2）若，求∠A的大小。 解：（1）在△ABC中，∠B＝45°，点D在边AB上，AD＝CD，BD＝1， 在△BCD中，B＝45°，BD＝1，若△BCD的面积为，则， 所以，所以BC＝2， 则， 所以。 （2）在△ACD中，AD＝CD，可设∠A＝∠ACD＝θ，则∠ADC＝π﹣2θ， 又，由正弦定理，得，所以， 在△BCD中，， 由正弦定理，得，即，化简得， 于是，因为， 所以，所以或， 解得或，即角A的大小为或。 18.（本题满分17分）已知且是R上的奇函数，且。 （1）求的解析式； （2）把区间等分成2n份，记等分点的横坐标依次为，，记，是否存在正整数n，使不等式有解？若存在，求出所有n的值，若不存在，说明理由； （3）函数在区间上的值域是，求的取值范围。 解：（1）是R上的奇函数，， 由，可得，，所以， 又，所以为奇函数， 所以。 （2）把区间等分成2n份，则等分点的横坐标为，， 又，为奇函数， 所以的图象关于点对称，所以，， 所以 ， 因为，当且仅当时取等号， 所以，即，故存在正整数，使不等式有解。 （3）因为，所以，从而，由知，所以， 由（1）知，函数为上的单调增函数， 因为函数在区间上的值域是， 所以，即，从而关于x的方程有两个互异实根， 令，所以方程有两个互异正根， 所以，解得，，。 19.（本题满分17分）对于一个四元整数集，如果它能划分成两个不相交的二元子集和，满足，则称这个四元整数集为“有趣的”。 （1）写出集合的一个“有趣的”四元子集； （2）证明：集合不能划分成两个不相交的“有趣的”四元子集； （3）证明：对任意正整数，集合不能划分成n个两两不相交的“有趣的”四元子集。 解：（1）（符合要求即可）； （2）假设可以划分，，和cd一定是一个奇数一个偶数， ，b，c，d中至多两个偶数。则对于的一种符合要求的划分 和，每个四元子集中均有两个偶数。 若两个集合分别为和，则或49，不存在，使得符合要求； 若两个集合分别为和，则或13，不存在，使得符合要求； 若两个集合分别为和，则或25，不存在，使得符合要求； 综上所述，不能划分为两个不相交的“有趣的”四元子集。 （3）假设可以划分为n个两两不相交的“有趣的”四元子集，，，。 每个子集中至多两个偶数，又1，2，，4n中恰有2n个偶数， 每个子集中均有两个偶数。 对于，可设，其中，是偶数，，为奇数， 再由奇偶性，只能是。， 且，。 ， 矛盾，不能划分为n个两两不相交的“有趣的”四元子集。 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2027届高一实验班第一学期数学月考4 时间：120分钟 满分：150分 学 号2 0 2 7 姓 名____________ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.定义集合，若，则的子集个数为 （ ） A.1 B.2 C.3 D.4 2.复数满足，则 （ ） A.1 B.2 C. D.5 3.使成立的一个充分不必要条件是 （     ） A. B. C. D.，且 4.一个正方体的表面积与一个球的表面积相等，那么它们的体积比是 （ ） A. B. C. D. 5.是三个非零向量，且不共线，若关于的方程的两个根为，则 （ ） A. B. C. D.大小不确定 6.在三棱锥中，底面是边长为2的正三角形，若为三棱锥的外接球直 径，且与所成角的余弦值为，则该外接球的表面积为 （ ） A. B. C. D. 7.若函数与函数的图象的对称轴相同，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 8.高斯，德国著名数学家、物理学家、天文学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称。函数称为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，如，。设函数，则使不等式恒成立的实数的最小值为 （ ） A.0 B. C. D.1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分． 9.已知a，b均为大于0的实数，下列不等式中恒成立的是 （ ） A. B. C. D. 10.在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC 的中点，点P在BD1上且BP＝BD1，则以下说法正确的是 （ ） A.MN∥平面APC B.C1Q∥平面APC C.A，P，M三点共线 D.平面MNQ∥平面APC 11.若定义在的函数满足：当时，恒有，则（ ） A. B.函数在区间为增函数 C.函数在区间为增函数 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15°的看台的某一列 的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 60°和30°，且第一排和最后一排的距离为米（如图所示）， 旗杆底部与第一排在一个水平面上。若国歌长度约为 50秒，升旗手应以 （米/秒）的速度匀速升旗。 13.已知x，y为正实数，且，当最小时，z－4x－y的最小值为_______。 14.已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数， 则满足的实数的取值范围_____________。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（本题满分13分）设是半径为5的半圆的直径(如图)， 是半圆上两点，已知。 （1）求的值； （2）求的值。 16.（本题满分15分）在底面是菱形的四棱锥P­ABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AC＝a，PB＝PD＝a，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，平面PAB∩平面PCD＝l。 （1）证明：l∥CD； （2）在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论。 17.（本题满分15分）如图，在△ABC中，∠B＝45°，点D在边AB上，AD＝CD，BD＝1。 （1）若△BCD的面积为，求AD2﹣BC2的值； （2）若，求∠A的大小。 18.（本题满分17分）已知且是R上的奇函数，且。 （1）求的解析式； （2）把区间等分成2n份，记等分点的横坐标依次为， ，记，是否存在正整数n，使不等式有解？若存在，求出所有n的值，若不存在，说明理由； （3）函数在区间上的值域是，求的取值范围。 19.（本题满分17分）对于一个四元整数集，如果它能划分成两个不相交的二元子集和，满足，则称这个四元整数集为“有趣的”。 （1）写出集合的一个“有趣的”四元子集； （2）证明：集合不能划分成两个不相交的“有趣的”四元子集； （3）证明：对任意正整数，集合不能划分成n个两两不相交的“有趣的”四元子集。 2 学科网（北京）股份有限公司 $$