专题02 比例（18大专题突破）--2024-2025学年六年级下册数学计算大通关-北师大版

2024-2025学年六年级下册数学计算大通关 专题02比例（十八大专题突破） 本专题单元讲义，包含二大内容： 1、 知识精讲：梳理计算所需知识点，让学生明确计算过程中会用到哪些知识点。 2、 考点突破：18大考点汇总，重难点、易错点一网打尽。 目录 知识精讲 2 比例 2 比例的基本性质 2 判断两个比是否成比例的方法 2 解比例的方法 2 比例尺 2 比例尺的分类 3 图形的放大和缩小 3 正比例的意义 3 反比例的意义 4 考点突破 4 考点一：判断是否成比例 5 考点二：正反比例的辨析 5 考点三：比例的基本性质 5 考点四：已知比例中的数 5 考点五：根据表格求数 6 考点六：解比例 6 考点七：比例的应用-行程问题 7 考点八：正比例的应用-工程问题 8 考点九：正比例的应用-旗杆问题 9 考点十：正比例的应用-铺砖问题 10 考点十一：正比例的应用-浓液配制问题 10 考点十二：反比例的应用-行程问题 11 考点十三：反比例的应用-铺砖问题 12 考点十四：反比例的应用-工程问题 13 考点十五：比例尺的应用-面积问题 13 考点十六：比例尺的应用-行程问题 14 考点十七：比例尺与图形 15 考点十八：比例思维题 16 参考答案 1 知识精讲 比例 表示两个比相等的式子叫做比例。 比例的基本性质 在比例里，两个外项的积等于两个外项的积。 判断两个比能否组成比例的方法 求比值； 化简比； 比例的基本性质 解比例的方法 根据比例的基本性质解比例。先把比例写成两个外项的积的等于两个内项的积的形式（即方程），再通过方程求未知项的值。如x：6=2:8，可以先写成8X=2×6 ，再解方程。 比例尺 图上距离和实际距离的比叫作这幅图的比例尺。比例尺是一个最简单的整数比，它没有计量单位，也不能是一个具体的数。比例尺=图上距离÷实际距离；图上距离=实际距离×比例尺；实际距离=图上距离÷比例尺 比例尺的分类 比例尺根据实际距离是缩小还是扩大，分为缩小比例尺和放大比例尺。根据表现形式的不同，比例尺还可分为线段比例尺和数值比例尺。 已知比例尺和图上距离求实际距离，可以根据比例尺的意义用图上距离直接乘（除以）缩小（放大）的倍数。也可以用除法计算，即图上距离÷比例尺＝实际距离。一定注意结果要换算成合适的单位。 前项为1的比例尺即缩小比例尺，就是把实际距离缩小到原来的几分之一画在图上，所以求图上距离可以用实际距离除以缩小的倍数。也可以直接用实际距离乘比例尺。一定注意单位的换算。 求比例尺就是求图上距离和实际距离的比，单位不同要换算成统一单位后再进行计算。 根据比例尺画图时，要先根据实际距离与纸张的大小确定出平面图的比例尺，再根据比例尺求出图上距离，根据图上距离即可以画出相应的平面图，最后再在平面图上标明比例尺就可以了。 图形的放大和缩小 按一定的比例把图形放大或缩小，是把图形的各边放大或缩小。图中的各边与实际中相对应的各边的比相等。这样放大或缩小后的图形与原图形的形状一样，不会改变。 正比例的意义 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 反比例的意义 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 18大考点汇总 考点一：判断是否成比例 考点二：正反比例的辨析 考点三：比例的基本性质 考点四：已知比例中的数 考点五：根据表格求数 考点六：解比例 考点七：比例的应用-行程问题 考点八：正比例的应用-工程问题 考点九：正比例的应用-旗杆问题 考点十：正比例的应用-铺砖问题 考点十一：正比例的应用-浓液配制问题 考点十二：反比例的应用-行程问题 考点十三：反比例的应用-铺砖问题 考点十四：反比例的应用-工程问题 考点十五：比例尺的应用-面积问题 考点十六：比例尺的应用-行程问题 考点十七：比例尺与图形 考点十八：比例思维题 考点突破 考点一：判断是否成比例 1．下列四组数中，（    ）组中的四个数能组成比例。 A．2、3、5、6 B．0.1、0.5、2、8 C．、、6、12 D．1、、、 2．能与3∶8组成比例的比是（    ）。 A．8∶3 B．0.2∶0.5 C．15∶40 D．15∶20 3．能和∶组成比例的是（    ）。 A．16∶15 B．15∶16 C．24∶15 D．24∶36 考点二：正反比例的辨析 4．下列各式中（a、b均不为0），a和b成反比例的是（    ）。 A．15a＝9b B．－＝0 C．8a＝ D．＝a 5．x、y均不为0，下列和成反比例关系的是（    ）。 A． B． C． D． 6．表示m和n成正比例的关系式是（    ）。 A．m＋n＝k（一定） B．m×n＝k（一定） C．（一定） 考点三：比例的基本性质 7．根据比例的基本性质，在括号里填上合适的数。 ( )∶6＝4∶( )    5∶( )＝( )∶8 8．（    ）（    ）＝（    ）折＝（    ）%。 9．已知mn＝12，若5m∶4＝x∶n，则x的值是( )。 考点四：已知比例中的数 10．已知1、4、12三个数，再添一个数能组成比例的数，所组成的比例是( )。 11．在一个比例中，两个内项都是质数，且乘积是6，其中一个外项0.4，这个比例可以写成( )。 12．有4个数5、6、10和x可以组成一个比例，则x最大是( )。 考点五：根据表格求数 13．根据x和y之间的关系，完成下面各表。 （1）x和y成正比例。 x 12 8 y 15 1.5 （2）x和y成反比例。 x 7 16 28 y 8 14．表中，如果X与Y成正比例，那么☆表示的数是( )；如果X与Y成反比例，那么☆表示的数是( )。 Y 15 ☆ X 3 9 15．下图中，如果A与B成正比例，则＝( )；如果A与B成反比例，则＝( )。 A B 20 考点六：解比例 16．解比例。             96∶24＝x∶36             17．解比例。 1.6∶24＝∶4.5            ＝         0.6∶＝0.4∶5 18．解比例。 ∶0.5＝32∶1                                                    考点七：比例的应用-行程问题 19．甲、乙两人从A、B两地同时出发同向而行，甲、乙的速度之比为3∶2，当甲追上乙时，甲比乙多走了500米，此时甲共走了多少米？ 20．小红从家去学校，如果每分钟走50米，则会迟到5分钟，如果每分钟走60米，则会提前5分钟到校，小红的家到学校有多远？需要几分钟？ 21．甲、乙两城相距275千米，一辆客车从甲城开往乙城，3个小时一共行驶了165千米，照这样的速度计算，到达乙城还需要多少小时？（运用比例的知识解决问题） 考点八：正比例的应用-工程问题 22．修一条公路，总长12千米，开工6天修了1.8千米，修完这条公路还需要多少天？（用比例解） 23．一批零件60个，两个师傅同时加工，完成任务时，王师傅做了36个零件，已知李师傅每小时比王师傅少加工6个零件，如果两师傅单独做，各需多少小时？ 24．李师傅计划加工一批零件，前五天加工了120个，照这样计算，再用18天就可以做完，这批零件一共有多少个？（用比例解） 考点九：正比例的应用-旗杆问题 25．较高、较矮的两棵树在阳光下的影子长度之比是3∶2，已知较矮的树高2.8米，较高的树高多少米？ 26．在同一时间、同一地点量得一棵树的高是1.5米，影子长为0.6米，另一棵树的影子长是1.2米，实际高有多少米？ 27．佳航在操场上竖直固定了几根长短不同的竹竿，在同一时间里测量竹竿长和相应的影长，情况如表： 竹竿长米 1 1.4 1.6 1.8 2.2 3 影长米 0.5 0.7 0.8 0.9 1.1 1.5 这时，佳航身边的强强测量出了旗杆的影长是6米，旗杆的实际高度是多少米？ 考点十：正比例的应用-铺砖问题 28．用同样的方砖铺地，铺10平方米需120块方砖，那么360块方砖能铺地多少平方米？（用比例解） 29．铺一间客厅的地面，用边长为60cm的方砖需要100块，若改用边长为50cm的方砖，需要多少块？（用比例的知识解答） 30．用同样的方砖铺地，铺2160平方分米的地面需要60块，如果铺1800平方分米的地面，需要这样的方砖多少块？（用比例解） 考点十一：正比例的应用-浓液配制问题 31．李奶奶要用下图这种84消毒液10克清洗浴缸，需要多少千克清水配制？ 32．配制一种农药，药粉和水的质量比是1∶500，现有水5000千克，配制这种农药需要药粉多少千克？（用比例解） 33．奇思调制了一杯糖水，糖与水的比是4∶45，其中糖用了10克，调制这杯糖水用水多少克？（用比例方法解答） 考点十二：反比例的应用-行程问题 34．爸爸开车从甲地到乙地一共用了3小时，每小时行50千米。原路返回时每小时快了10千米，返回时用了多长时间？（用比例知识解答） 35．用比例解决问题。 （1）王叔叔开车从甲地到乙地，前2小时行了120千米。照这样的速度，从甲地到乙地一共要用3小时，甲乙两地相距多远？ （2）王叔叔开车从甲地到乙地一共用了3小时，每小时行60千米。原路返回时每小时行50千米，返回时用了多长时间？ 36．（1）小刚一家开车从珠海回老家，前2小时行驶了260千米，照这样的速度，从珠海回到老家一共需要4小时，小刚老家离珠海有多少千米？ （2）小刚一家开车从珠海回老家，一共用了4小时，每小时行驶80千米，原路返回，每小时行驶100千米，回来用了多少时间？ 考点十三：反比例的应用-铺砖问题 37．一间会议室，用边长3分米的方砖铺需192块，如果改用边长是4分米的方砖铺，需多少块？（用比例解） 38．学校微机室用边长0.3米的正方形地砖铺地，正好需要400块地砖，如果改用边长0.6米的地砖铺地，需要多少块地砖？（用比例解） 39．一间会议室用面积为25平方分米的方砖铺地，需要540块，如果改用边长为6分米的方砖铺地，需要多少块？（用比例解） 考点十四：反比例的应用-工程问题 40．一个修路队原计划20天修完一条公路。实际每天比原计划多修45米，提前5天完成任务。原计划每天修路多少米？（用比例知识解答） 41．车间加工一批零件，原计划每天加工45件，24天可以完成。实际提前4天就完成了任务，实际每天加工多少件？（用比例知识解） 42．印刷厂装订一批图书，原计划每天装订500本，刚好30天可以完成；实际只用25天就完成了任务，实际平均每天装订多少本图书？（用比例知识解答） 考点十五：比例尺的应用-面积问题 43．有一块长方形菜地长80m，宽40m，用的比例尺画出这块菜地的平面图。（先计算，再画图） 44．在一张比例尺为1∶600的设计图纸上，量得一正方体建筑的边长是30cm。这个建筑物的实际占地面积是多少？ 45．一个蔬菜种植园的长是120米，宽80米。如果用1∶1000的比例尺画出它的平面图，这个平面图的面积是多少平方厘米？ 考点十六：比例尺的应用-行程问题 46．在比例尺是1∶3000000的地图上，量得北京到石家庄的距离为9.6厘米，聪聪爸爸开车从北京去石家庄，如果每小时行驶90千米，多少时间可以到达？ 47．在比例尺是1∶2000000的地图上，量得两个城市之间的铁路长45厘米。甲乙两列火车同时从两个城市出发相对而行，4小时相遇。已知甲乙两车的速度比是3∶2，甲车每小时行多少千米？ 48．在一张地图上量得甲地到乙地的距离是12厘米，乙地到丙地的距离是8厘米。已知甲地到乙地的实际距离约是360千米，那么乙地到丙地的实际距离约是多少千米？（用比例知识解答） 考点十七：比例尺与图形 49．量一量小明家到少年宫、车站的图上距离，再根据图上比例尺算出它们的实际距离。 50．超市在书城的正西方约200m处，学校在超市的南偏东60°约350m处。先确定比例尺，算出有关数据，再在平面图中标出超市和学校的位置。 你确定的比例尺是（    ）。 51．按要求完成下列各题。 （1）把图中的线段比例尺改为数值比例尺是（    ） （2）商店在学校的（    ）偏（    ）（    ）°的方向（    ）米处 （3）小明从经过学校到少年宫，共要走（      ）米。 （4）学校南偏西50°方向500米处有一个体育馆，在图上标出体育馆的位置。 考点十八：比例思维题 52．甲、乙两车同时从A，B两地相向而行，当甲车到达B地时，乙车距A地30千米；当乙车到达A地时，甲车超过B地50千米。A，B两地相距多少千米？（用比例解答） 53．小明用240毫升的酸梅原汁加水调制了600毫升酸梅汤，妈妈说，当酸梅汤原汁和水的比是3：7时，口感最佳。为了使调制的酸梅汤口感最佳，小明应再往酸梅汤中加水多少毫升？ 54．在全市“建党100周年”党史知识竞赛中，甲、乙两校参赛教师的人数比是6∶7，获奖人数比是4∶5，甲校有40人未获奖，乙校有39人未获奖。此次比赛两校共多少人获奖？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D C A B B C 1．D 【分析】比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 根据比例的基本性质，用各组数中的最大数与最小数相乘，剩下的两个数相乘，如果它们的积相等，就可以组成比例，否则不可以组成比例。 【详解】A．2×6＝12，3×5＝15，12≠15，所以2、3、5、6不能组成比例； B．0.1×8＝0.8，0.5×2＝1，0.8≠1，所以0.1、0.5、2、8不能组成比例； C．×12＝3，×6＝4，3≠4，所以、、6、12不能组成比例； D．×1＝，×＝，＝，所以1、、、能组成比例。 故答案为：D 2．C 【分析】表示两个比相等的式子叫比例，据此求出题干和各选项比的比值，找到与题干比的比值相等的选项即可。求比值直接用比的前项÷后项即可。 【详解】3∶8＝3÷8＝ A．8∶3＝8÷3＝，8∶3不能与3∶8组成比例； B．0.2∶0.5＝0.2÷0.5＝，0.2∶0.5不能与3∶8组成比例； C．15∶40＝15÷40＝＝，15∶40能与3∶8组成比例； D．15∶20＝15÷20＝＝，15∶20不能与3∶8组成比例。 能与3∶8组成比例的比是15∶40。 故答案为：C 3．A 【分析】表示两个比相等的式子叫做比例。根据比例的意义，分别求出原式和各选项中比的比值，比值相等的能组成比例；反之，比值不相等的，就不能组成比例。 【详解】∶ ＝÷ ＝× ＝ A．16∶15 ＝16÷15 ＝ ＝ 比值相等，16∶15能和∶组成比例。 B．15∶16 ＝15÷16 ＝ ≠ 比值不相等，15∶16不能和∶组成比例。 C．24∶15 ＝24÷15 ＝ ≠ 比值不相等，24∶15不能和∶组成比例。 D．24∶36 ＝24÷36 ＝ ≠ 比值不相等，24∶36不能和∶组成比例。 故答案为：A 4．B 【分析】判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商）一定，这两种相关联的量成正比例；如果是乘积一定，这两种相关联的量成反比例。如果既不是比值一定，也不是乘积一定，则这两种相关联的量不成比例。 【详解】A．由15a＝9b可得：＝（一定），比值一定，则a和b成正比例； B．由－＝0可得：＝，即ab＝15×3＝45（一定），积一定，则a和b成反比例； C．由8a＝可得：8a＝b，即a∶b＝∶8＝÷8＝×＝（一定），比值一定，则a和b成正比例； D．由＝a可得：b－7＝14a，即b－14a＝7，既不是比值一定，也不是乘积一定，则a和b不成比例。 故答案为：B 5．B 【分析】两种相关联的量，一种量变化另一种量随着变化，无论怎么变，如果x÷y＝k（一定），x和y成正比例关系；如果xy＝k（一定），x和y成反比例关系；除此之外不成比例关系。据此将需要转化的选项转化后进行分析。 【详解】A．，两边同时÷，可得，x和y成正比例关系； B．，两边同时×，可得，x和y成反比例关系； C．，和一定，x和y不成比例关系； D．，两边同时÷，可得，x和y成正比例关系。 和成反比例关系的是。 故答案为：B 6．C 【分析】判断m和n成不成比例，成什么比例，就看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，就成反比例，如果是其它的量一定或乘积、比值不一定，就不成比例。 【详解】A．m＋n＝k（一定），是和一定，所以m和n不成比例； B．m×n＝k（一定），是乘积一定，所以m和n成反比例； C． （一定），是比值一定，所以m和n成正比例。 故答案为：C。 7． 3 8 4 10 【分析】根据比例的基本性质：比例的两个外项之积等于两个内项之积，先求出已知内项或外项的乘积，再找出符合条件的内项或外项即可。 【详解】6×4＝24；3×8＝24；则3∶6＝4∶8。（答案不唯一） 5×8＝40；4×10＝40；则5∶4＝10∶8。（答案不唯一） 8．12；21；20；七五；75 【分析】根据分数的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以一个不为0的数，比值不变。即比的前项乘3，要想比值不变，比的后项也要乘3； 根据分数与比的关系，3∶4＝，再根据分数的基本性质：分数的分子与分母同时乘或除以一个不为0的数，分数值不变。则分母乘7，要想分数值不变，分子也要乘7； 根据分数与除法的关系3∶4＝3÷4，再根据商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以一个不为0的数，商不变。被除数乘5，要想商不变，除数也要乘5； 分数化为小数直接用分子除以分母即可，即15÷20＝0.75； 小数化成百分数，小数点向右移动两位，加上百分号；百分之几就是几折，由此解答即可。 【详解】3∶4＝（3×3）∶（4×3）＝9∶12 3∶4＝＝＝ 3∶4＝3÷4＝（3×5）÷（4×5）＝15÷20 则12＝15÷20＝七五折＝75% 9．15 【分析】先根据比例的基本性质把5m∶4＝x∶n改写成4x＝5mn，由此可得x＝5mn÷4；再把mn＝12代入式子中，求出x的值即可。 比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 【详解】由5m∶4＝x∶n可得4x＝5mn，则x＝5mn÷4； 当mn＝12时，x＝5mn÷4＝5×12÷4＝15。 则x的值是15。 10．1∶4＝3∶12 【分析】先从已知的1、4、12三个数中任选两个数作为比例的两个外项，如1和12，那么4就是这个比例的一个内项； 根据比例的基本性质，两个外项的积等于两个内项的积，用1和12的乘积除以4，即可求出另一个内项，据此组成比例。 【详解】1×12÷4 ＝12÷4 ＝3 所组成的比例是1∶4＝3∶12。（答案不唯一） 11．0.4∶2＝3∶15 【分析】根据比例的基本性质：内项积＝外项积，内项积是6，其中有一个外项是0.4，即用除法得出另外一个外项是15，内项两个质数相乘，6＝2×3，则内项是2和3，写出相应的比例（答案不唯一）。 【详解】6÷0.4＝15 6＝2×3 这个比例可以写成0.4∶2＝3∶15（答案不唯一） 12．12 【分析】根据比例的基本性质，比例的两内项积＝两外项积，若想x最大，则x和最小的数相乘，因此x＝较大两数的积÷最小的数，据此分析。 【详解】6×10÷5＝12 有4个数5、6、10和x可以组成一个比例，则x最大是12。 13．（1）1.2；10 （2）3.5；2 【分析】成正比例的量比值一定，成反比例的量乘积一定，列比例式解比例即可。 【详解】（1）12∶15＝x∶1.5 解：15x＝12×1.5 15x＝18 x＝18÷15 x＝1.2 12∶15＝8∶y 解：12y＝8×15 12y＝120 y＝120÷12 y＝10 表格如下： x 12 1.2 8 y 15 1.5 10 （2）7×8＝16×y 解：16y＝56 y＝56÷16 y＝3.5 7×8＝28×y 解：28y＝56 y＝56÷28 y＝2 表格如下： x 7 16 28 y 8 3.5 2 14． 45 5 【分析】两个相关联的量，若它们的比值一定，则这两个量成正比例；若它们的乘积一定，则这两个量成反比例。据此列出比例求解即可。 【详解】如果X与Y成正比例 则15∶3＝☆∶9 解：3☆＝15×9 3☆＝135 3☆÷3＝135÷3 ☆＝45 如果X与Y成反比例，则 15×3＝☆×9 解：45＝☆×9 ☆×9÷9＝45÷9 ☆＝5 那么☆表示的数是45；如果X与Y成反比例，那么☆表示的数是5。 15． 16 25 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定（也就是商一定），这两种量成正比例关系。如果A和B成正比例，则A∶B＝∶20；把A＝代入比例式，解比例求出B的值。 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量成反比例关系。如果A和B成反比例，则AB＝×20；把A＝代入比例式，解比例求出B的值。 【详解】如果A与B成正比例，那么： ∶＝∶20 解：＝20× ＝4 ＝4÷ ＝4×4 ＝16 如果A与B成反比例，那么： ＝×20 ＝5 ＝5÷ ＝5×5 ＝25 16．x＝3；x＝144；x＝8 【分析】（1）根据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，然后方程两边同除以即可； （2）根据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，然后方程两边同除以24即可； （3）根据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，然后方程两边同除以4.5即可。 【详解】 解：x＝1.5× x÷＝1.5×÷ 6×x＝1.5××6 x＝3 96∶24＝x∶36 解：24x＝96×36 24x÷24＝96×36÷24 x＝144 解：4.5x＝4×9 4.5x÷4.5＝36÷4.5 x＝8 17．＝0.3；＝0.45；＝7.5 【分析】（1）先根据比例的基本性质将比例方程改写成24＝1.6×4.5，然后方程两边同时除以24，求出方程的解； （2）先根据比例的基本性质将比例方程改写成1.2＝0.15×3.6，然后方程两边同时除以1.2，求出方程的解； （3）先根据比例的基本性质将比例方程改写成0.4＝0.6×5，然后方程两边同时除以0.4，求出方程的解。 【详解】（1）1.6∶24＝∶4.5 解：24＝1.6×4.5 24＝7.2 ＝7.2÷24 ＝0.3 （2）＝ 解：1.2＝0.15×3.6 1.2＝0.54 ＝0.54÷1.2 ＝0.45 （3）0.6∶＝0.4∶5 解：0.4＝0.6×5 0.4＝3 ＝3÷0.4 ＝7.5 18．＝16； ＝2； 【分析】∶0.5＝32∶1，根据比例的基本性质，先写成1×＝0.5×32的形式，计算出右边的积即可； ，根据比例的基本性质，先写成的形式，两边同时÷即可； ，根据比例的基本性质，先写成0.9＝1.2×1.5的形式，两边同时÷0.9即可； ，根据比例的基本性质，先写成的形式，两边同时÷即可。 【详解】∶0.5＝32∶1 解：1×＝0.5×32 ＝16 解： 解：0.9＝1.2×1.5 0.9＝1.8 0.9÷0.9＝1.8÷0.9 ＝2 解： 19．1500米 【分析】根据题意，当甲追上乙时，两人走的时间相同，则两人的路程比等于速度比；设甲走了米，则乙走了（－500）米；两人的路程比是3∶2，据此列出比例，并求解。 【详解】解：设当甲追上乙时，甲走了米，则乙走了（－500）米。 ∶（－500）＝3∶2 3（－500）＝2 3－1500＝2 3－2＝1500 ＝1500 答：此时甲共走了1500米。 【点睛】明确行程问题中，时间相同时，路程比等于速度比。 20．3000米；每分钟走50米，需要60分钟；每分钟走60米，需要50分钟 【分析】由题意可知，根据速度×时间＝路程（一定），所以速度和时间成反比例关系，据此列比例即可。 【详解】解：设不迟到不提前刚好需要x分钟。 50（x＋5）＝60（x－5） 50x＋250＝60x－300 10x＝550 x＝55 路程：50×（55＋5） ＝50×60 ＝3000（米） 每分钟走50米，需要55＋5＝60（分钟） 每分钟走60米，需要55－5＝50（分钟） 答：小红的家到学校有3000米，每分钟走50米，需要60分钟，每分钟走60米，需要50分钟。 【点睛】本题考查用比例解决问题，明确路程不变是解题的关键。 21．2小时 【分析】将到达乙城还需要的时间设为未知数x小时，再根据速度一定列出比例，最后解比例即可。 【详解】解：设到达乙城还需要x小时。 165∶3＝（275－165）∶x 165x＝110×3 165x＝330 x＝330÷165 x＝2 答：到达乙城还需要2小时。 【点睛】本题考查了比例的应用，能根据题意找出等量关系列比例是解题的关键。 22．34天 【分析】修了1.8千米，还剩（12－1.8）千米，设修完这条公路还需要x天，根据修的长度∶天数＝每天修的长度（一定），列出正比例算式解答即可。 【详解】解：设修完这条公路还需要x天。 （12－1.8）∶x＝1.8∶6 10.2∶x＝1.8∶6 1.8x＝10.2×6 1.8x÷1.8＝61.2÷1.8 x＝34 答：修完这条公路还需要34天。 【点睛】关键是理解正比例的意义，比值一定是正比例关系。 23．王师傅小时；李师傅5小时 【分析】根据“李师傅每小时比王师傅少加工6个零件”，设李师傅每小时做个，则王师傅每小时做（＋6）个； 根据题意可知，两个师傅加工的时间相同，即工作量∶工作效率＝工作时间（一定），比值一定，则工作量和工作效率成正比例关系，据此列出正比例方程，并求出王师傅、李师傅的工作效率； 然后用这批零件的总数分别除以两个师傅各自的工作效率，即可求出各自的工作时间。 【详解】解：设设李师傅每小时做个，则王师傅每小时做（＋6）个。 36∶（＋6）＝（60－36）∶ 36∶（＋6）＝24∶ 36＝24（＋6） 36＝24＋144 36－24＝144 12＝144 ＝144÷12 ＝12 王师傅：12＋6＝18（个） 60÷18＝（小时） 60÷12＝5（小时） 答：王师傅单独做需小时，李师傅单独做需5小时。 【点睛】关键是判断题目中的两种相关联的量成什么比例关系，据此列出相应的比例方程。 24．552个 【分析】根据题意知道，工作效率一定，工作量和工作时间成正比例，由此列式解答即可。 【详解】解：设这批零件一共有x个，则： x∶（5＋18）＝120∶5 x∶23＝120∶5 5x＝120×23 5x＝2760 5x÷5＝2760÷5 x＝552 答：这批零件一共有552个。 【点睛】解答此题的关键是判断哪两种量成何比例，然后找准对应量，列式解答即可。 25．4.2米 【分析】两棵树在阳光下的影子长度之比是3：2，则两棵树高之比也是3：2，已知较矮的树高2.8米，可设较高的树高x米，列比例式x∶2.8＝3∶2，求解即可。 【详解】解：设较高的树高是x米。 x∶2.8＝3∶2 2x＝2.8×3 2x＝8.4 2x÷2＝8.4÷2 x＝4.2 答：较高的树高4.2米。 【点睛】理解同一时间，同一地点，物体的高度和影长成正比例关系是解答本题的关键。 26．3米 【分析】同一时刻，不同物体的实际高度和它的影长的比值是一定的，即物体的实际高度和它的影长成正比例。设另一棵树实际高有x米，根据题意，一颗树的高度∶这颗树的影长＝另一颗树的高度∶另一颗树的影长，据此列出比例并解答。 【详解】解：设另一棵树实际高有x米， 0.6x＝1.5×1.2 0.6x＝1.8 x＝1.8÷0.6 x＝3 答：实际高有3米。 【点睛】本题考查正比例的应用。明确“同一时刻，树的实际高度和它的影长成正比例”是解题的关键。 27．12米 【分析】由于1÷0.5＝2，1.4÷0.7＝2，1.6÷0.8＝2，由此即可知道同一时刻物高与影长成正比，可以设旗杆的实际高度是x米，当竹竿长是1米，影长0.5米时，即旗杆的高度∶旗杆的影长＝1∶0.5，据此列出方程，求出未知数的值即可。 【详解】解：设旗杆的实际高度是米， 0.5x＝6÷0.5 答：旗杆的实际高度是12米。 【点睛】找出等量关系，是解答此题的关键。 28．30平方米 【分析】设360块方砖能铺地x平方米，根据方砖数量∶铺的面积＝每平方米方砖数量（一定），列出正比例算式解答即可。 【详解】解：设360块方砖能铺地x平方米。 360∶x＝120∶10 120x＝360×10 120x÷120＝3600÷120 x＝30 答：360块方砖能铺地30平方米。 【点睛】关键是确定比例关系，比值一定是正比例关系。 29．144块 【分析】根据题意可知，每块方砖的面积×需要的块数＝客厅地面的面积，所以每块方砖的面积和需要的块数成反比例。设需要x块，据此列比例解答。 【详解】解：设需要x块。 50×50×x＝60×60×100 2500x＝360000 x＝144 答：需要144块。 【点睛】此题首先利用正反比例的意义判定两种量的关系，解答时关键不要把边长当成面积进行计算。 30．50块 【分析】根据题意可知，铺地的面积∶方砖的块数＝每块方砖的面积（一定），比值一定，那么铺地的面积和方砖的块数成正比例关系，据此列出正比例方程，并求解。 【详解】解：设需要块这样的方砖。 1800∶＝2160∶60 2160＝1800×60 2160＝108000 ＝108000÷2160 ＝50 答：需要这样的方砖50块。 【点睛】关键是判断题目中的两种相关联的量成什么比例关系，据此列出相应的比例方程。 31．3千克 【分析】根据题意，清洗浴缸时原液与水的比要按1∶300配制，说明原液与水的比值一定，符合正比例的意义，即原液与水成正比例，假设需要x克清水配制，据此列出比例，解比例求出需要多少克清水配制，再换算单位即可。 【详解】解：设需要x克清水配制， 10∶x＝1∶300 x×1＝10×300 x＝3000 3000克＝3千克 答：需要3千克清水配制。 【点睛】此题的解题关键是根据题中的条件判断两个量是成正比例还是反比例，然后设出未知数，再根据比例的基本性质，列式解答即可。 32．10千克 【分析】根据题意可知，药粉∶水的质量比是1∶500；即药粉与水的比值一定，药粉与水的质量之间成正比例，等量关系：药粉∶水＝1∶500，设配制这种农药需要药粉x千克，列比例：x∶5000＝1∶500，解比例，即可解答。 【详解】解：设配制这种农药需要药粉x千克。 x∶5000＝1∶500 500x＝1×5000 500x＝5000 x＝5000÷500 x＝10 答：配制这种农药需要药粉10千克。 【点睛】本题考查列方程解决问题和解比例，注意判断相关量的量是正比例还是反比例。 33．112.5克 【分析】由题意可知：糖与水的比是4∶45，即糖与水的比值是一定的，符合正比例的意义，则糖与水成正比例，据此即可列比例求解。 【详解】解：设调制这杯糖水用水x克， 4∶45＝10∶x 4x＝45×10 4x＝450 x＝450÷4 x＝112.5 答：调制这杯糖水用水112.5克。 【点睛】解答此题的关键是弄清楚哪两种量成何比例，进而列比例求解。 34．2.5小时 【分析】根据题意，总路程一定，所以速度乘时间的乘积相等，所以用去时的速度乘上去时用的时间等于返回的速度乘返回用的时间。设返回用时x小时，则返回的速度是（50＋10）千米/时，即要用返回的速度（50＋10）乘上返回的时间x，等于去时的速度乘上去时用的时间，列式解答即可。 【详解】解：设返回时用了x小时的时间。 （50＋10）x＝50×3 60x＝150 60x÷60＝150÷60 x＝2.5 答：返回用了2.5小时。 35．（1）180千米； （2）3.6小时 【分析】（1）由题意可知：速度一定，即路程与时间成正比例关系。设甲乙两地相距x千米，根据路程与时间的比值一定（速度一定）列出比例求解即可。 （2）由题意可知：往返的路程一定，即速度与时间成反比例关系。设返回时用了x小时，根据速度与时间的乘积一定列出比例求解即可。 【详解】（1）解：设甲乙两地相距x千米。 120∶2＝x∶3 2x＝120×3 2x＝360 2x÷2＝360÷2 x＝180 答：甲乙两地相距180千米。 （2）解：设返回时用了x小时。 50x＝3×60 50x＝180 50x÷50＝180÷50 x＝3.6 答：返回时用了3.6小时。 【点睛】本题主要考查正反比例的应用，确定正、反比例关系是解题的关键。 36．（1）520千米；（2）3.2小时 【分析】（1）根据路程÷时间＝速度，已知速度一定，则路程和时间成正比例关系，假设小刚老家离珠海有x千米，据此列方程为：x∶4＝260∶2，然后解出方程即可； （2）根据时间×速度＝路程，已知路程一定，时间和速度成反比例关系，假设小刚一家回来用了x小时，据此列方程为：100x＝4×80，然后解出方程即可。 【详解】（1）解：设小刚老家离珠海有x千米。 x∶4＝260∶2 2x＝4×260 2x＝1040 x＝1040÷2 x＝520 答：小刚老家离珠海有520千米。 （2）解：设小刚一家回来用了x小时。 100x＝4×80 100x＝320 x＝320÷100 x＝3.2 答：回来用了3.2小时。 【点睛】本题考查了正比例和反比例的应用，找到对应的数量关系式是解答本题的关键。 37．108块 【分析】根据题意知道，一个房间的面积一定，一块方砖的面积×方砖的块数＝一个房间的面积（一定），所以一块方砖的面积与方砖的块数成反比例，设需x块，由于会议室的面积不变，列方程：4×4×x＝3×3×192，解方程，即可解答。 【详解】解：设需x块。 4×4×x＝3×3×192 16x＝9×192 16x＝1728 x＝1728÷16 x＝108 答：需108块。 【点睛】本题判定哪两种量成什么比例是解答的关键，注意“3分米”与“4分米”是边长，千万不要当成了方砖的面积。 38．100块 【分析】根据题意可知，每块方砖的面积×需要的块数＝微机室地面的面积（一定），所以，每块方砖的面积和需要的块数成反比例，设需要x块，据此列比例解答。 【详解】解：设需要x块。 0.6×0.6×x＝0.3×0.3×400 0.36×x＝0.09×400 0.36x＝36 0.36x÷0.36＝36÷0.36 x＝100 答：需要100块地砖。 【点睛】此题考查的目的是理解掌握反比例的意义及应用。注意：在解答时，不要把方砖的边长当作面积来计算。 39．375块 【分析】由题意可知：这间会议室的总面积是一定的，即每块方砖的面积与方砖数量的乘积是一定的，则每块方砖的面积与方砖数量成反比例，据此即可列比例求解。 【详解】解：设需要x块， 25×540＝6×6×x 13500＝36x x＝13500÷36 x＝375 答：需要375块。 【点睛】解答此题的关键是弄清楚哪两种量成何比例，进而列比例求解。 40．135米 【分析】要修的公路长度不变，原计划每天修路的米数×计划修的天数＝实际每天修的米数×实际修的天数，设原计划每天修路x米，根据等量关系列方程即可解答。 【详解】解：设原计划每天修路x米。 20x＝（x＋45）×（20－5） 20x＝（x＋45）×15 20x＝15x＋675 20x－15x＝15x＋675－15x 5x＝675 5x÷5＝675÷5 x＝135 答：原计划每天修路135米。 【点睛】找出等量关系是解答本题的关键。 41．54件 【分析】车间加工的这批零件总数没有变，故每天加工数量与天数成反比例关系；可先设实际每天加工为x个零件，运用反比例知识列出方程得出答案。 【详解】解：设实际每天加工x件零件，则可列出反比例方程： 答：实际每天加工54件。 【点睛】本题主要考查的是反比例及利用方程解决实际问题，解题的关键是掌握工作总量＝效率×时间，进而得出答案。 42．600本 【分析】由题意可知，图书的总数量不变，每天装订的本数×需要的天数＝图书总数量（一定），实际每天装订的本数×实际需要的天数＝原计划每天装订的本数×原计划需要的天数，据此解答。 【详解】解：设实际平均每天装订x本图书。 25x＝500×30 25x＝15000 x＝15000÷25 x＝600 答：实际平均每天装订600本图书。 【点睛】本题主要考查反比例的应用，找出两种相关联的量成反比例关系是解答题目的关键。 43． 【分析】利用公式：实际距离×比例尺＝图上距离进行解答，本题单位不一致，在计算前，需将单位换算一致，将米换算为厘米。 【详解】80米＝8000厘米 40米＝4000厘米 8000×＝4（厘米） 4000×＝2（厘米） 如图： 【点睛】本题主要考查了比例尺的实际应用。 44．32400平方米 【分析】根据关系式：实际距离＝图上距离÷比例尺，即可求得实际边长，再根据正方形的面积＝边长×边长即可求得面积。 【详解】30÷＝18000（厘米） 18000厘米＝180米 180×180＝32400（平方米） 答：这个建筑物的实际占地面积是32400平方米。 【点睛】解答此题应根据图上距离、比例尺和实际距离三者的关系，求出实际的边长。 45．96平方厘米 【分析】图上距离∶实际距离＝比例尺，用实际距离乘比例尺分别求出长和宽的图上距离，再利用长方形的面积公式进行解答即可。 【详解】120米＝12000厘米 80米＝8000厘米 12000×＝12（厘米） 8000×＝8（厘米） 12×8＝96（平米厘米） 答：这个平面图的面积是96平方厘米。 【点睛】本题考查比例尺，解答本题的关键是掌握比例尺的计算公式。 46．3.2小时 【分析】先依据“实际距离＝图上距离÷比例尺”求出A、B两地的实际距离，再利用“路程÷速度＝时间”即可求出需要的时间。 【详解】9.6÷＝9.6×3000000＝28800000（厘米）＝288千米 288÷90＝3.2（时） 答：3.2小时可以到达。 【点睛】此题主要考查图上距离、实际距离和比例尺的关系，以及行程问题中的基本数量关系：路程÷速度＝时间，解答时要注意单位的换算。 47．135千米 【分析】图上距离和比例尺已知，依据“图上距离÷比例尺＝实际距离”即可求出两地的实际距离，根据1千米＝100000厘米进行单位换算；再根据“速度和＝路程÷相遇时间”即可求出两车的速度和，已知两车的速度比，利用按比例分配的方法就能求出甲车的速度。 【详解】两地的实际距离： 45÷＝90000000（厘米） 90000000厘米＝900千米 甲、乙两列火车每小时共行： 900÷4＝225（千米） 甲车每小时行： 225×＝135（千米） 答：甲车每小时行135千米。 【点睛】掌握图上距离、实际距离和比例尺之间的关系，以及相遇问题中的数量关系是解题关键。 48．240千米 【分析】在同一幅图上，比例尺是一定的，图上距离与实际距离的是成正比例关系的，据此列出比例解答即可。 【详解】360千米＝36000000厘米 解：设乙地到丙地的实际距离约是x厘米。 12x＝36000000×8 x＝24000000 24000000厘米＝240千米 答：乙地到丙地的实际距离约是240千米。 【点睛】此题考查的是比例尺的应用，掌握图上距离∶实际距离＝比例尺是解题关键。 49．2千米；3.25千米 【分析】图上的线段比例尺表示图上距离1cm代表实际距离500m，即比例尺1∶50000，测量可得小明家到少年宫的图上距离是4厘米，小明家到车站的图上距离是6.5厘米，然后利用“实际距离＝图上距离÷比例尺”解答即可。 【详解】测量可得小明家到少年宫的图上距离是4厘米，小明家到车站的图上距离是6.5厘米。 4÷＝200000（厘米） 200000厘米＝2千米 6.5÷＝325000（厘米） 325000厘米＝3.25千米 答：小明家到少年宫的实际距离是2千米，小明家到车站的实际距离是3.25千米。 【点睛】此题主要考查图上距离、实际距离和比例尺的关系，解答时要注意单位的换算。 50．1∶5000； 画图：见详解 【分析】超市在书城的正西方约200m处，学校在超市的南偏东60°约350m处，200和350的最大公约数为50，则比例尺可以确定为1∶5000。然后根据方位和距离利用量角器和直尺作图即可。 【详解】200和350的最大公约数为50，则比例尺可以确定为1∶5000； 【点睛】本题考查根据方向和距离确定物体的位置和比例尺的相关知识。 51．（1）1∶20000 （2）北；东；60；700 （3）600 （4）见详解 【分析】（1）把线段比例尺改写成数值比例尺的方法：写出1厘米和1厘米所代表的实际距离的比，统一单位后再化成最简比的形式即可； （2）和（4）根据地图上的方向“上北下南，左西右东”及其他信息（角度、距离）来确定位置即可； （3）量出小明从经过学校到少年宫走过的图上距离，再乘1厘米所代表的实际距离即可。 【详解】（1）线段比例尺改为数值比例尺是1∶20000； （2）3.5×200＝700（米）； 商店在学校的北偏东60°的方向700米处； （3）3×200＝600（米）； 小明从经过学校到少年宫，共要走600米； （4）500÷200＝2.5（厘米）； 【点睛】本题综合性较强，熟练掌握根据方向和距离确定位置以及比例尺的有关知识是关键。 52．75千米 【分析】题目可以理解为：甲行驶50千米时，乙行驶了30千米，则甲乙的速度比为50∶30；又因为当时间相同时，路程之比等于速度之比，假设AB两地相距x千米，可列比例：x∶（x－30）＝50∶30求解即可。 【详解】解：设AB两地相距x千米，由题意得： x∶（x－30）＝50∶30 x∶（x－30）＝5∶3 3x＝5（x－30） 3x＝5x－150 5x－3x＝150 2x＝150 x＝75 答：AB两地相距75千米。 【点睛】当思考起来感觉困难时，可以再从题目里继续提取隐藏的条件：即甲车超过B地50千米的用时，与乙车行驶30千米用时是相等时；再结合路程速度时间三者间的关系可得比例。 53．200毫升 【分析】根据酸梅汤原汁和水的比是3∶7，可设需要加水x毫升，列出比例240∶（600－240＋x）＝3∶7计算求解即可。 【详解】解：设需要加水x毫升， 240∶（600－240＋x）＝3∶7 （360＋x）×3＝240×7 1080＋3x＝1680 1080＋3x－1080＝1680－1080 3x＝600 3x÷3＝600÷3 x＝200； 答：小明应再往酸梅汤中加水200毫升。 【点睛】当酸梅汤原汁和水的比是3∶7时，关键为“酸梅原汁的质量不变”，只是改变水的质量。 54．207人 【分析】根据题意：设获奖人数一份为x人，则甲校获奖4x人，则乙校获奖5x人，甲校总人数为（4x＋40）人，乙校总人数为（5x＋39）人，再根据两校的人数比，列出方程求解即可。 【详解】解：设获奖人数一份为x人。 x＝23 23×（4＋5）＝207（人） 答：此次比赛两校共207人获奖。 【点睛】本题需要设出数据，分别表示出两校获奖的人数，进而分别表示出总人数的人数，再根据比例关系，然后列出方程求解。 答案第1页，共2页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$