7.2.3 平行线的性质 课时1 平行线的性质课件 2024-2025学年人教版七年级数学下册

第七章 相交线与平行线 7.2 平行线 7.2.3 平行线的性质 课时1 平行线的性质 目 录 1. 学习目标 4. 知识点1 平行线的性质1 7. 课堂小结 8. 当堂小练 CONTENTS 3. 新课导入 5. 知识点2 平行线的性质2 10. 拓展与延伸 2. 知识回顾 6. 知识点3 平行线的性质3 9. 对接中考 1.掌握平行线的性质，会运用两条直线是平行关系判断角相等或互补. 2.能够根据平行线的性质进行简单的推理. 学习目标 知识回顾 内错角相等，两直线平行 同旁内角互补，两直线平行 同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 基本事实Ⅱ：同位角相等，两直线平行 平行线的 判定 知识回顾 根据右图，填空： ① 如果∠1＝∠C， 　那么 ∥ .（ 　　　　　 ） ② 如果∠1＝∠B ， 那么 ∥ .（ 　　 　　 　 ） ③ 如果∠2＋∠B＝180°， 　那么 ∥ .（ 　　 ） AB CD EC BD 同位角相等，两直线平行 内错角相等，两直线平行 EC BD 同旁内角互补，两直线平行 E A C D B 1 2 3 4 新课导入 【问题】通过上题可知平行线的判定方法是什么？ 【思考】反过来，如果两条直线平行，同位角、内错角、同旁内角各有什么关系呢? 同位角相等，两直线平行 内错角相等，两直线平行 同旁内角互补，两直线平行 新课讲解 知识点1 平行线的性质1 【探究】如图，画两条平行线a∥b，然后任意画一条截线与这两条平行线相交，度量所形成的八个角的度数. ∠1，∠2，，∠8中，哪些是同位角？它们的度数有什么关系？由此猜想两条平行线被第三直线截得的同位角有什么关系？ 可以发现，改变截线c的位置过程中： ∠1=∠5， ∠2=∠6， ∠3=∠7， ∠4=∠8， 当a∥b，同位角总是相等的. 新课讲解 由此猜想： 两条平行线被第三条直线截得的同位角有什么关系？ 相等 b a c 1 2 3 4 5 6 7 8 d 再任意画一条截线 d，同样度量并比较各对同位角的度数，你的猜想还成立吗？ 成立 新课讲解 b 1 2 a c ∴∠1=∠2. (两直线平行，同位角相等) ∵a ∥ b，(已知) 应用格式： 【性质1】两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等. 简单说成：两直线平行，同位角相等. 新课讲解 例 1. 如图，把三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠ 1=30°，则∠ 2 的度数为( ) A.60° B.50° C.40° D.30° 方法点拨：根据直尺的对边平行，利用平行线的性质建立角之间的数量关系. 解：∵∠ 1＋∠BAC＋∠DAB=180°，∠BAC=90°，∠1=30°， ∴∠DAB=180°－∠1－∠BAC=60°. ∵直尺的对边平行，即EF∥AD， ∴ ∠2= ∠DAB=60°. 答案：A A 新课讲解 例 2. 如图，D，E，F分别是三角形ABC三条边上的点，EF//AC，DF//AB，∠B=45°，∠C=60°.则∠EFD等于( ) A.80° B.75° C.70° D.65° 分析：根据平行线的性质1求角度，要先找己知度数的角的同位角，再找这个同位角与要求角的关系，继而求出结果.本题的隐含条件是平角等于180°. 解：∵EF//AC， ∴∠EFB=∠C=60°(两直线平行，同位角相等). ∵ DF//AB， ∴∠DFC=∠B=45°(两直线平行，同位角相等). ∴∠EFD = 180°-∠EFB-∠DFC = 180°-60°-45°=75°. B 新课讲解 练一练 1. 如图，已知直线a//b，c为截线，若∠1=60°，则∠2的度数是( ) A.30° B.60° C.120° D.150° B 新课讲解 练一练 2. 如图，D，E，F分别是三角形ABC三条边上的点，EF∥AC，DF∥AB，∠B=45°，∠C=60°，则∠EFD等于（ ） A.80° B.75° C.70° D.65° B 解：∵EF//AC, ∴∠EFB=∠C=60°(两直线平行，同位角相等). ∵DF//AB, ∴∠DFC=∠B=45°(两直线平行，同位角相等). ∴∠EFD=180⁰-∠EFB-∠DFC=180°-60°-45° =75°. 【解题策略】根据平行线的性质1求角度，要先找已知度数的角的同位角，再找这个同位角与要求角的关系，继而求出结果.本题的隐含条件是平角等于180. 新课讲解 知识点2 平行线的性质2 类似地，已知两直线平行，能否得到内错角之间的数量关系？ 如图，已知 a//b，那么2 与3 相等吗？为什么? 解：∵ a∥b，(已知) ∴∠1=∠2.(两直线平行，同位角相等) 又∵ ∠1=∠3，(对顶角相等) ∴ ∠2=∠3.(等量代换) b 1 2 a c 3 新课讲解 【性质2】两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等. 简单说成：两直线平行，内错角相等. ∴∠2=∠3. (两直线平行，内错角相等) ∵a∥b，(已知) 应用格式： b 1 2 a c 3 新课讲解 例 3. 如图，AB ∥ CD，BE 平分∠ ABC，CF 平分∠ BCD，你能发现BE 和CF 有何特殊的位置关系吗？说说你的理由. 方法点拨：由两直线平行得到内错角相等，再由内错角相等得到两直线平行. 解：BE∥CF.理由如下： ∵ AB∥CD(已知)， ∴∠ ABC= ∠ BCD(两直线平行，内错角相等). ∵ BE 平分∠ ABC，CF 平分∠ BCD(已知)， ∴∠ 2= ∠ ABC，∠ 1= ∠ BCD(角平分线的定义). ∴∠ 2= ∠ 1. ∴ BE ∥ CF(内错角相等，两直线平行). 新课讲解 例 4.如图，已知AD//BC，∠B= 40°，∠DEC= 70°，求∠BDE的度数. 分析：利用平行线的性质求角度，常通过寻找“中间角”作为“桥梁”，“中间角”和己知角与要求的角之间是同位角、内错角、邻补角、对顶角等关系. 解：∵AD//BC，∠B=40°，∠DEC=70°， ∴∠ADB=∠B= 40°， ∠ADE=∠DEC=70°(两直线平行，内错角相等)， ∴∠BDE=∠ADE-∠ADB=70°-40°=30°. 新课讲解 练一练 1. 如图，平行线AB，CD被直线EF所截，FG 平分∠EFD，若∠EFD=70°则 ∠EGF的度数是（ ） A.35° B.55° C.70° D.110° A 新课讲解 练一练 2. 如图，已知AB ∥CD，∠ ADC= ∠ ABC.试说明∠ E= ∠ F. 解：∵AB∥CD， ∴∠ABC＝∠DCF. 又∵∠ADC＝∠ABC， ∴∠ADC＝∠DCF， ∴DE∥BF. ∴∠E＝∠F. 新课讲解 知识点3 平行线的性质3 如图，已知 a//b，那么2 与4 有什么关系呢？为什么？ b 1 2 a c 4 解: ∵ a//b ，(已知) ∴  1=  2.(两直线平行，同位角相等) ∵  1+  4=180°，(邻补角互补) ∴  2+  4=180°.(等量代换) 类似地，已知两直线平行，能否得到同旁内角之间的数量关系？ 新课讲解 【性质3】两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补. 简单说成：两直线平行，同旁内角互补. b 1 2 a c 4 ∴ ∠2+∠4=180 °.(两直线平行，同旁内角互补) ∵ a∥b，(已知) 应用格式： 新课讲解 例 5. 如图，若AB//DE，BC//EF，求∠B+∠E的度数. 解：∵AB//DE (已知)， ∴∠B=∠BCE(两直线平行，内错角相等 ). ∵BC//EF(已知) ， ∴∠BCE+∠E=180°(两直线平行，同旁内角互补)， ∴∠B+∠E=180°(等量代换). 【易错提醒】平行线的性质使用的前提条件是“两直线平行”，注意在使用平行线的性质3解题时，避免受思维定式的影响，出现“两直线平行，同旁内角相等”的错误. 新课讲解 例 解：（1）∠2 = 110 ° ．∵AB∥CD，∠1 和 ∠2 是内错角，根据两直线平行，内错角相等，得到∠1 = ∠2． ∵∠1 = 110 ° ，∴∠2 = 110 ° ． 6. 如图，平行线 AB ，CD 被直线 AE 所截. （1）从∠1 = 110 ° ．可以知道∠2 是多少度吗？为什么？ （2）从∠1 = 110 ° ．可以知道∠3 是多少度吗？为什么？ （3）从∠1 = 110 ° ．可以知道∠4 是多少度吗？为什么？ （2）∠3 = 110 ° ．因为AB∥CD ，∠1 和∠3 是同位角，根据两直线平行，同位角相等，得到∠1 = ∠3．因为∠1 = 110 ° ，所以∠3 = 110 ° ． （3）∠4 = 70 ° ．因为AB∥CD ， ∠1和∠4是同旁内角，根据两直线平行，同旁内角互补，得到∠1 +∠4 = 180 ° ．因为∠1 = 110 ° ，所以∠4 = 70 ° ． 新课讲解 练一练 1. 如图，直线m//n，其中∠1= 40°，则∠2的度数为( ) A.130° B.140° C.150° D.160° B 3 新课讲解 练一练 2. 如图，是一块梯形铁片的残余部分，量得∠A = 100 ° ，∠B = 115 ° ，梯形的另外两个角分别是多少度？ 解：∵梯形上、下底互相平行， ∴∠A 与∠D 互补,∠B 与∠C 互补. 即梯形的另外两个角分别是 80°，65°. ∴∠D=180 °-∠A=180°-100°=80°， ∠C= 180 °-∠B=180°-115°=65°. 新课讲解 平行线的性质与平行线的判定的区别： 1. 平行线的判定是根据两角的数量关系得到两条直线的位置关系，而平行线的性质是根据两条直线的位置关系得到两角的数量关系； 2. 平行线的判定的条件是平行线的性质的结论，而平行线的判定的结论是平行线的性质的条件. 两条直线平行是前提，只有在这个前提下才有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补； 书写时，顺序不能颠倒，与判定不能混淆. 注意 课堂小结 两直线平行，内错角相等 两直线平行，同旁内角互补 两直线平行，同位角相等 平行线的性质 平行线的判定 互逆 当堂小练 1. 如图，由 AB∥CD 可以得到（ ） A.∠1＝∠2 B.∠2＝∠3 C.∠1＝∠4 D.∠3＝∠4 C 当堂小练 2. 如图，如果 AB∥CD∥EF ，那么∠BAC + ∠ACE + ∠CEF ＝（ ） A.180° B.270° C.360° D.540° C 当堂小练 3. 如图是超市购物车的侧面示意图，扶手AB与车底CD平行，∠1=100°， ∠2=48°，则∠3的度数是( ) A.52° B.48° C.42° D.62° A A B C D E 1 2 3 当堂小练 4. 如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当∠1=35°时，∠2的度数为( ) A.35° B.45° C.55° D.65° 解析：∵ 直尺的两边互相平行，∠1=35°， ∴ ∠3=35°. ∵ ∠2+∠3+90°=180°， ∴∠2=55°. C 对边平行 当堂小练 5. 如图，一束光线AB先后经平面镜OM，ON反射后，反射光线CD与AB平行，当∠ABM= 40°时，∠DCN的度数为（提示:由反射角=入射角，可得∠OBC =∠ABM，∠DCN=∠BCO）( ) A.40° B.50° C.60° D.80° 解：∵∠ABM=40°， ∴∠OBC=∠ABM=40°， ∴∠ABC=180°-∠ABM-∠OBC=180°-40°-40°=100°. ∵CD∥AB, ∴∠ABC+∠BCD=180°， ∴∠BCD=180°-∠ABC= 180°-100°= 80°. ∵∠DCN=∠BCO， ∠BCO+∠BCD+∠DCN=180°, ∴∠DCN=（180°-∠BCD）=50°. 40° 100° 80° B 当堂小练 6. 如图，AB∥CD，BC∥AE，∠1= 50°，求∠A，∠B，∠C的度数. 解：∵AB∥CD, ∴∠A=∠1=50°（两直线平行，同位角相等）. ∵BC∥AE, ∴∠C=∠1=50°（两直线平行，内错角相等)， ∠A+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补)， ∴∠B=180°-∠A=130°. 当堂小练 7. 如图是我们生活中经常接触的小刀，刀柄是一个直角梯形(挖去一个半圆)，刀片上下是平行的，转动刀片时会形成∠1， ∠2，则∠1+∠2=______. 90° 解：如图，过点O作OP∥AB，则∠1=∠AOP. ∵AB∥CD， ∴OP∥CD，∴∠2=∠POC. ∵∠AOP+∠POC=90°， ∴∠1+∠2=90°. A B D C O P 当堂小练 8. 如图，CD//AB，点 O 在 AB 上，OE 平分∠BOD，OF⊥OE，∠D=110°，则∠AOF 的度数是( ) A.20° B.25° C.30° D.35° 解析：∵ CD//AB，∴∠BOD =∠D. ∵ ∠D =110°，∴ ∠BOD=110°. ∵ OE 平分∠BOD，∴ ∠BOE =∠BOD =55°. ∵ OF⊥OE，∴ ∠FOE=90°. ∴∠AOF =180°-∠FOE-∠BOE=180°-90°-55°=35°. D 当堂小练 9. 如图，AB//CD，∠ABD 的平分线与∠BDC 的平分线交于点 E，则∠1+∠2= . 90° ∠ABD+∠CDB=180° ∠1= ∠ABD， ∠2= ∠CDB 当堂小练 解：(1)根据两直线平行，内错角相等，可得∠ABG=48°， ∴ 从 B 地测得公路的走向是南偏西 48°. 10. 如图，在 A，B 两地之间要修一条笔直的公路，从 A 地测得公路走向是北偏东 48°，A，B 两地同时开工，若干天后公路准确接通. (1)从 B 地测得公路的走向是南偏西多少度? (2)若公路 AB 长 8 km，另一条公路 BC 长 6 km，且从 B 地测得公路 BC 的走向是北偏西 42°，试求 A 地到公路 BC 的距离. (2)∵ ∠ABC=180°-∠ABG -∠EBC =180°-48°-42°=90°， ∴ AB⊥BC， ∴ AB 的长度就是点 A 到直线 BC 的距离. ∵ AB =8 km， ∴ A 地到公路 BC 的距离是 8 km. 当堂小练 11. 如图，一条公路两次拐弯的前后两条路互相平行. 若第一次拐弯时∠B 是 142°，则第二次拐弯时∠C 是多少度？为什么？ 解：∠C = 142°. 理由：两直线平行，内错角相等. B C 当堂小练 12. 一个大门栏杆的平面示意图如图所示，BA垂直于地面AE于点A,CD平行于地面AE.若∠BCD=150°,则∠ABC等于几度？ 解：如图，过点B作BG//CD， ∴∠BCD+∠CBG=180°. ∴∠CBG=180°-∠BCD=180°-150°=30°. ∵BA⊥AE， ∴∠BAE=90°. ∵CD//AE，BG//CD， ∴BG//AE. ∴∠ABG+∠BAE=180°. ∴∠ABG=180°-∠BAE=90°. ∴∠ABC=∠ABG+∠CBG=90°+30°=120°. 作辅助线 角的转化 BG//CD ∠ABC=∠ABG+∠CBG 【方法点拨】过点B作CD的平行线是拐点问题中添加辅助线的常用方法. 对接中考 1. 如图，直线a，b 被直线c 所截，若a ∥ b， ∠ 1=70 °，则∠ 2 的度数是( ) A. 50° B. 60° C. 70° D. 110° C 对接中考 2. 已知：如图，直线a ∥ b，∠ 1=50°，∠ 2= ∠ 3，则∠ 2 的度数为( ) A.50° B.60° C.65° D.75° 解析：由平行线的性质找出∠ 1 与∠ 2和∠ 3 之间的数量关系，结合∠ 2= ∠ 3，利用∠ 1 的度数求出∠ 2 的度数. 解：∵ a ∥ b， ∴∠ 1＋∠ 2＋∠ 3=180°. 又∵∠ 1=50°，∠ 2= ∠ 3， ∴∠ 2=65°. C 对接中考 3. 如图，l1 ∥l2，∠ 1=38°，∠ 2＝46 °， 则∠ 3 的度数为( ) A. 46° B. 90° C. 96° D. 134° C 拓展与延伸 1. 如图，l1∥l2∥l3，∠1，∠2，∠3 如图所示，则下列各式正确的是( ) A.∠3=∠1+∠2 B.∠2+∠3-∠1=90° C.∠1-∠2+∠3=180° D.∠2+∠3-∠1=180° C 4 l3 1 2 l1 l2 3 ∠1=∠2+∠4，∠4+∠3=180° ∠1-∠2+∠3=180° 拓展与延伸 2. 如图，AB//CD，直线 EF 分别交 AB，CD 于 M，N 两点，将一个含有 45°角的直角三角尺按如图所示的方式摆放，若∠EMB =75°，则∠PNM = . 30° ∠DNM=∠EMB =75° ∠PNM=∠DNM-∠DNP=30° 拓展与延伸 3. 如图，将一张长方形纸片 ABCD 沿 EF 折叠后，C，D 两点分别落在点 C ，D的位置，C′E 交 AF 于点 G，测得∠1=55°，求∠2 的度数. 解：由题意得 AD//BC， ∴∠GFE =∠1，∠DFE +∠1=180°， 又∠1=55°，∴∠GFE =55°， ∠DFE =180° -55°=125°. 由折叠的性质，可得∠D'FE=∠DFE=125°, ∴∠2=∠D'FE-∠GFE=125°- 55°=70° . 在图形的折叠中，折痕相对于角而言是一条角平分线，这一点也是解题的关键. 拓展与延伸 4. 如图，直线 DE 经过点 A，DE∥BC，∠B＝44°，∠C＝57°. （1）∠DAB 等于多少度？为什么？ （2）∠EAC 等于多少度？为什么？ （3）∠BAC 等于多少度？ （4）由（1）、（2）、（3）的结果，你能说明为什么三角形的内角和是 180°吗？ 解：（1）∠DAB = 44°.理由如下： ∵ DE∥BC，∴ ∠DAB =∠B = 44°（两直线平行，内错角相等）. （2）∠EAC = 57°.理由如下： ∵ DE∥BC，∴ ∠EAC =∠C = 57°（两直线平行，内错角相等）. （3）∠BAC = 180°-∠DAB -∠EAC = 180°- 44°- 57°= 79°. （4）能说明三角形内角和是180°.理由如下： ∵ DE∥BC， ∴ ∠DAB =∠B，∠EAC =∠C ∵ ∠DAB＋∠EAC＋∠BAC＝180°，∴ ∠B＋∠C＋∠BAC＝180° Lavf57.25.100 $$