第28章 锐角三角函数（单元测试·培优卷）-2024-2025学年九年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

第28章 锐角三角函数（单元测试·培优卷） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）在“、、、、、”数中，无理数的个数是（  ） A．2 B．4 C．4 D．5 2．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则锐角α的余角等于（） A． B． C． D． 4．（22-23九年级上·江苏泰州·阶段练习）下列各式中不成立的是（      ） A． B． C． D． 5．（22-23九年级上·河南南阳·期末）在矩形中，于点，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 6．（2024·江西南昌·模拟预测）如图，含角的直角三角尺的斜边与矩形直尺的边在同一直线上，此时直尺的另一边与直角三角尺的直角边的交点D恰好是的中点，若，则的长为（    ） A．4 B． C． D． 7．（22-23九年级上·浙江台州·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标是，在轴上任取一点，连接，过点作轴的垂线交的垂直平分线于点，则点到轴的距离的最小值是（    ） A．10 B．5 C． D． 8．（2024·重庆·模拟预测）如图，已知的边和与圆O相切于C、B两点，经过圆心O，交圆O于A、B两点，点C为弧上靠近点A的三等分点，若，则线段的长为（    ） A．1 B． C． D． 9．（23-24八年级下·浙江衢州·期中）如图，水库边有一段长300米，高8米的大坝，大坝的横截面为梯形，其中，背水坡坡角．现要对大坝进行维修，维修方案是：将大坝上底加宽2米，并使背水坡坡角为，则维修此大坝需要土石（  ）立方米． A． B． C． D． 10．（2023·山东济南·二模）如图，一条细绳系着一个小球在平面内摆动，已知细绳从悬挂点O到球心A的距离为厘米，小球从点A处摆动到最低点B处时，，在点O的正下方有一个阻碍物P，小球从点B处到点C的摆动，是以P为圆心，为半径的向右摆动，设点A和点C的垂直高度差为m（点A高于点C），的长为n，若，则m和n满足的关系为（取）（　　）    A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）计算： ． 12．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）若为锐角，且，则的值为 ． 13．（2024九年级上·浙江宁波·竞赛）在中，，，，则 ． 14．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，在矩形中，，点在上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处，那么 ． 15．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，直线交x轴于A点，将一块等腰直角三角形纸板的直角顶点置于原点O，另两个顶点M、N恰落在直线上，若点N在第二象限内，则的正切值为 ． 16．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，直角三角形斜边上的中线和边上的中线互相垂直，则的正弦值为 ． 17．（24-25九年级上·重庆·期中）如图，点是外一点，，与相交于点，，连接，若，，，则 ． 18．（24-25九年级上·湖北咸宁·期末）如图，将一张圆形纸片进行如下操作：将圆形纸片左右对折，折痕为；将圆形纸片上下折叠，使，两点重合，折痕与相交于点；将圆形纸片沿折叠，使，两点重合，折痕与相交于；连结，，．则的面积与的面积之比为 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25九年级下·河南郑州·期末）计算： (1)； (2)． 20．（本小题满分8分）（2024·浙江宁波·一模）如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，交于点F，交于点G，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由． (2)若，，，求线段的长． 21．（本小题满分10分）（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，是的直径，是的弦，点是上一点，连接，，连接，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线． (2)若，求的长． 22．（本小题满分10分）（24-25九年级上·河北石家庄·期末）正定县某学校在综合与实践活动中，要用测角仪测量复兴大街上的滹沱河大桥主塔的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②，点依次在同一条水平直线上，，垂足为．在处测得桥塔顶部的仰角为，测得桥塔底部的俯角为，又在处测得桥塔顶部的仰角为． (1)求线段的长（结果取一位小数）； (2)求桥塔的高度（结果取一位小数）．（参考数据：．） 23．（本小题满分10分）（福建省漳州市2024—2025学年九年级上学期期末教学质量检测数学北师大版B卷）如图，二次函数的图象交轴于点、点，交轴于点，且，，满足和，连接． (1)求该抛物线的对称轴； (2)点是抛物线上一动点，且在直线的上方（不与，重合），连接，． ①求面积的最大值； ②若，，求的取值范围． 24．（本小题满分12分）（22-23九年级·山东枣庄·自主招生）如图，在矩形中，，点E是边上一动点（点E不与A，D重合），连接，以为边在直线的右侧作矩形，使得矩形矩形，交直线于点H． 【尝试初探】 （1）在点E的运动过程中，与始终保持相似关系，请说明理由． 【深入探究】 （2）若，随着E点位置的变化，H点的位置随之发生变化，当H是线段中点时，求的值． 【拓展延伸】 （3）连接，，当是以为腰的等腰三角形时，求的值（用含n的代数式表示）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C D D D D B A D A 1．A 【分析】本题考查了无理数的定义，特殊角的三角函数值．带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．根据定义即可判定． 【详解】解：、、、、， 则无理数有和共2个， 故选：A． 2．C 【分析】根据题意构造直角三角形，然后利用勾股定理求得斜边与直角边之间的关系式，最后利用余弦的定义即可求解．解题的关键是理解正切、余弦在直角三角形中的表达式． 【详解】如图所示，依据题意建立直角三角形，其中 则，， ∴ ∴ 故选：C． 3．D 【分析】本题考查了根的判别式以及特殊锐角的三角函数值，熟练掌握当时，方程有两个相等的实数根是解题的关键．根据方程的系数结合根的判别式即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值，再根据特殊角的三角函数值即可得出锐角的度数，继而得出答案． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ，即， 解得：， 锐角等于， 则锐角的余角等于， 故选：D． 4．D 【分析】根据特殊锐角三角函数值，代入计算即可． 【详解】A．，此选项不符合题意； B．，，所以，此选项不符合题意； C．，，所以，此选项不符合题意； D．，此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查特殊锐角三角函数值，掌握特殊锐角三角函数值是正确解答的前提． 5．D 【分析】易证，由矩形的性质得出，则，得出，由勾股定理得，即可得出结果． 【详解】解：如图， ， ， ， ， 矩形， ∴， ， ， ， ， 由勾股定理得，， 四边形是矩形， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、平行线的性质、解直角三角形等知识；熟练掌握勾股定理与解直角三角形是解题的关键． 6．D 【分析】本题考查了矩形的性质，解直角三角形的应用，掌握直角三角形的性质，灵活运用锐角三角函数是解题关键．过点作于点，由矩形的性质可得，利用锐角三角函数求出，进而得到，再根据30度角所对的直角边等于斜边一半，即可求出的长． 【详解】解：如图，过点作于点， 由题意可知，，， ， 四边形是矩形，， ， ， 在中，， ， 是的中点 ， 在中，， ， 故选：D 7．B 【分析】根据轴，得，得到，利用三角函数，直角三角形的性质解答即可． 本题考查了三角函数，直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握三角函数，直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴点到轴的距离为的长，， ∴， ∵点的坐标是， ∴， ∵最小， ∴最小即可， 在中，根据斜边大于任何一条直角边， ∴与重合时最小， ∴， 故．    故选B． 8．A 【分析】本题考查了切线长定理，圆周角定理，解直角三角形等知识，先求出，然后证明是等边三角形，得出，，在中，利用正切求出，在中，利用余弦求出，即可求解． 【详解】解：连接，， ∵是直径， ∴是度数为，， ∵点C为弧上靠近点A的三等分点， ∴， ∴， ∵是切线， ∴， ∴， ∴和与圆O相切于C、B两点， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴在中，， 在中，， ∴， 故选：A． 9．D 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，矩形的判定与性质，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．过点作于点，过点作于点，根据等腰直角三角形的性质求出，根据正切的定义求出，进而求出，根据梯形的面积公式求出梯形的面积，进而求出需要土石的立方数． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， ∵，， ∴，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， 米，米， 在中，，米， 则米， 在中，，米， ， （米）， 米， 维修此大坝需要土石：（立方米）， 故选：D． 10．A 【分析】题目主要考查解直角三角形的应用，过点A作于点D，过点C作于点E，根据题意得出，然后利用余弦函数结合图形求解即可，熟练掌握三角函数的应用是解题关键 【详解】解：过点A作于点D，过点C作于点E，如图所示：    根据题意得：， 在和中， ， ∴（厘米），（厘米）， ∵， ∴， ∴， 故选：A 11．# 【分析】本题主要考查了零指数幂、负整数次幂、特殊角的三角函数值等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 先根据零次幂、负整数次幂、特殊角的三角函数值化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 故答案为． 12． 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值． 根据特殊角的三角函数值求出的值，继而可求得的值． 【详解】解：，，为锐角， ， 解得：， 则． 故答案为：． 13．/ 【分析】本题考查了求角的余弦值、勾股定理、等角对等边，过作交于，设，则，由勾股定理求出，再由余弦的定义求解即可． 【详解】解：如图：过作交于， 设， ∵，， ∴， ∴由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴，， ∴， 故答案为：． 14． 【分析】先根据矩形的性质得，再根据折叠的性质得，，在中，利用勾股定理计算出，则，设，则，然后在中根据勾股定理得到，解方程即可得到x，进一步得到的长，再根据正切函数的定义即可求解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， ∵矩形沿直线折叠，顶点D恰好落在边上的F处， ∴， ∴在中，， ∴， 设，则， ∵在中，， ∴， 解得，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理，正切的定义． 15． 【分析】过作于，过作于，设的坐标是，利用已知条件和勾股定理以及三角形的面积公式、角的锐角三角函数值求出的坐标即可得到的值． 【详解】解：过作于，过作于， ∵在直线上， ∴设的坐标是， 则， ， ∴当时，，当时，， ， 即， 在中，由勾股定理得：， ∵在中，由三角形的面积公式得：， ， ， ∵在中，， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：（舍去）， 即， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，三角形的面积，等腰直角三角形的性质，二次根式，解一元二次方程，解直角三角形等知识点的运用，主要考查学生运用这些性质进行计算的能力，题目比较典型，综合性比较强． 16． 【分析】如图，记的交点为，设，则，由是直角三角形斜边上的中线可知，则，证明，则，，即，可求，由勾股定理得，，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，记的交点为，设，则， 由题意知，， ∴， ∵是直角三角形斜边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得，或（舍去）， 由勾股定理得，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等边对等角，勾股定理，正弦，正切等知识．熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等边对等角，勾股定理，正弦，正切是解题的关键． 17． 【分析】本题主要考查了解非直角三角形，过点作交延长线于，先由，，得到，即可得到，设，则，，在中，利用勾股定理列方程求得，即可得到，，最后根据计算即可． 【详解】解：如图，过点作交延长线于，则， ，， ， ∵， ∴， ∴设，则， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 18． 【分析】连接，由题意得：，，，根据三角函数，求出，然后证明是等边三角形，根据性质得，设的半径为，由勾股定理得，则，最后由面积公式即可求解． 【详解】解：如图，连接， 由题意得：，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 设的半径为， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴的面积与的面积之比为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质，垂径定理，解直角三角形，勾股定理，等边三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 19．(1) (2) 【分析】本题考查了含三角函数的混合运算，涉及绝对值，零指数幂，负整数指数幂，二次根式，特殊三角函数值，解题的关键是掌握相关知识． （1）先化简绝对值、计算三角函数和零指数幂，再算加减即可； （2）先化简绝对值、计算负整数指数幂、三角函数和零指数幂，再算加减即可． 【详解】（1）解： （2） 20．(1)四边形是菱形，理由见解析 (2) 【分析】（1）先证明，进而由三线合一定理得到，然后证明，得，证出四边形是平行四边形，即可得出结论； （2）过点F作于点M，由菱形的性质得出，，在中，求出，在中，求出，再求出，得出，中，由勾股定理即可得出的长． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下； ∵平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∵， ∴四边形AEGB是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵， ∴， 过点F作于点M，如图所示：    ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得： ． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定、三角函数、勾股定理等知识；添加辅助线，构造直角三角形是解题的关键． 21．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理，解直角三角形： （1）连接，证明，推出即可； （2）连接，解直角三角形求出的长，再解直角三角形即可． 【详解】（1）解：连接，则：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； （2）连接， ∵为直径， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 22．(1) (2) 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，数形结合是解题的关键． （1）设，在中，．在中，．则．解方程即可； （2）求出，根据即可得到答案． 【详解】（1）解：设 ， 在 中， ， ， 在 中， ， ， 即 ， ∴ ， 答： 线段 的长约为 ； （2）解：在 中 ， ， ， ， 答： 桥塔 的高度约为 ． 23．(1) (2)①；② 【分析】（1）利用和，得到二次函数的图象经过点和点，即可求出抛物线的对称轴； （2）①先利用待定系数法求出二次函数解析式，再求出直线的解析式，过点作轴于点，交于点，设点的坐标为，则点的坐标为，由，再结合二次函数的性质即可解答；②根据轴，轴，推出，在中，由，即可得到答案． 【详解】（1）解：二次函数的，，， 满足，， 二次函数的图象经过点和点， 抛物线的对称轴为直线； （2）解：①二次函数的图象经过点和点， 二次函数的表达式可写为． 点在抛物线上， ， 解得， 二次函数的表达式为．         设直线的表达式为， 把和代入，得： ， 解得：， 直线的表达式为． 过点作轴于点，交于点， 设点的坐标为，则点的坐标为， ． ．             动点在直线的上方（不与，重合）， ． 当时，面积取得最大值，最大值是．     ②轴， 轴， ． ．         ，， 在中， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了二次函数与面积综合，二次函数与角度综合问题，涉及待定系数法，抛物线的最值，解直角三角形，熟练掌握数形结合的思想是解题的关键． 24．（1）见解析；（2）的值是；（3）的值是或 【分析】（1）根据两角对应相等可证明； （2）设，，则，，，由（1）知，，求出，再由正切的定义即可得出答案； （3）分两种情况：和，分别利用相似三角形的性质计算即可得出答案． 【详解】（1）解：∵四边形和四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在点E的运动过程中，与始终保持相似关系； （2）如图1， ， ∵是线段的中点， ∴， 设，，则，，， 由（1）知，， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，， 当时，， 综上所述，的值是； （3）分两种情况： 如图，， ， 设，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵矩形矩形， ∴， ∴， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，， ， ∵矩形矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，，共线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 由①可知，，，， 由勾股定理得：， ∴， ∴（负值舍去）， ∴； 综上所述，的值是或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、矩形的相似的性质、矩形的性质、直角三角形的性质、解直角三角形等知识点，注意运用参数表示线段的长，并结合方程解决问题，还要注意分类讨论的思想的应用． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$