第28章 锐角三角函数（单元测试·基础卷）-2024-2025学年九年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

第28章 锐角三角函数（单元测试·基础卷） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）在中，，，，则的长是（   ） A．6 B．8 C． D． 2．（24-25九年级上·海南海口·期末）如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·湖南·模拟预测）我国是最早使用负数的国家，在数据，，0，，，中是负数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2024·河北沧州·三模）如图，点在三角板的斜边上，，以为半径作圆，交斜边于另一点，其中为．则的值是（    ） A． B． C． D．1 6．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图是一把圆弧形伞面的雨伞简易图，伞面的圆心为，若的度数为，伞柄，则伞面展开距离为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·山西朔州·一模）如图是一面钟表，以指针的旋转中心为坐标原点，以整9点时针和分针所在的直线分别为轴和轴建立如图所示的平面直角坐标系，当时间为10点10分时，分针的外端点落在点A处．若，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 8．（21-22九年级·福建龙岩·自主招生）已知有公式：且，则锐角θ的值为（　　） A． B． C． D． 9．（23-24九年级上·上海黄浦·期末）如图，过矩形的顶点分别作对角线的垂线，垂足分别为，依次连接四个垂足，可得到矩形．设对角线与的夹角为，那么矩形与矩形面积的比值为（    ） A． B． C． D． 10．（2023·湖北武汉·模拟预测）阅读材料：余弦定理是这样描述的：在中，、、所对的边分别为a、b、c，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍．用公式可描述为：；；．已知在中，＝2，＝4，＝，则的长为（  ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2024九年级上·河北·专题练习）计算： ， ． 12．（22-23九年级上·山东泰安·阶段练习）锐角中，，则的形状是 . 13．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在第二象限内．若与轴负半轴的夹角的正切值为，则的值为 ． 14．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，是半圆的直径，点C是上一点，，点D是的中点，连接交于点E，则的值为 ． 15．（22-23九年级上·安徽滁州·期末）如图，点A在轴的正半轴上，抛物线与直线在第一象限内的交点为，则的值为 ．    16．（2023·辽宁沈阳·三模）如图，和均为等边三角形，边长分别为12和8，点D在直线上运动，C、E在直线上方，分别连接，它们相交于点F，连接，则的长为 ．    17．（2023·山东青岛·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，过原点O，且与x轴交于另一点D，为的切线，为切点，是的直径，则的度数为 ．    18．（2024·山东聊城·一模）在平面直角坐标系中，为等边三角形，点的坐标为，把按如图所示的方式放置，并将进行变换：第一次变换将绕着原点顺时针旋转，同时边长扩大为边长的倍，得到第二次变换将绕着原点顺时针旋转，同时边长扩大为边长的倍，得到，……，依此类推，得到，则点的坐标为 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习） （1）计算：． （2）计算：． 20．（本小题满分8分）（22-23九年级上·山东聊城·期中）如图，在中，是锐角，，，面积为． (1)求证： (2)若，，，请求出三角形的面积 (3)若，，，请求出的值 21．（本小题满分10分）（2024·西藏·中考真题）在数学综合实践活动中，次仁和格桑自主设计了“测量家附近的一座小山高度”的探究作业．如图，次仁在A处测得山顶C的仰角为；格桑在B处测得山顶C的仰角为．已知两人所处位置的水平距离米，A处距地面的垂直高度米，B处距地面的垂直高度米，点M，F，N在同一条直线上，求小山的高度．（结果保留根号）    22．（本小题满分10分）（22-23九年级上·山东潍坊·期中）内接于，D，F分别是与上的点，．连接并延长交的延长线于点E，连接． (1)求证：； (2)若为边长等于6的等边三角形，且．求． 23．（本小题满分10分）（23-24九年级上·辽宁大连·阶段练习）大连作为沿海城市，我们常常可以在海边看到有人海钓．小华陪爷爷周末去东港海钓，爷爷将鱼竿摆成如图所示．已知，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角．此时鱼线被拉直，鱼线．点O恰好位于海面，鱼线与海面的夹角．求海面与地面之间的距离的长．（结果保留一位小数，参考数据：，） 24．（本小题满分12分）（2024·北京·模拟预测）如图，是等腰直角三角形，，，是的中点，连接，过作于点，与交于点．   (1)求的值； (2)是线段上一点，且，过点作的垂线交于点，请在图中补全图形，用等式表示和的数量关系，并证明． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D D B C D A D B B 1．B 【分析】本题主要考查了正弦，利用正弦的定义求值即可． 【详解】解：在中，， 即， 解得：． 由勾股定理得，， 故选：B． 2．D 【分析】本题考查直角三角形的边角关系，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提，利用网格构造直角三角形是解决问题的关键． 根据网格构造直角三角形，由勾股定理可求、，再根据三角函数的意义可求出的值． 【详解】解：如图，连接，由网格的特点可得，， ，， ， 故选D． 3．D 【分析】本题考查比较三角函数值的大小，根据三个三角函数的取值范围和增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴； 故选D． 4．B 【分析】本题考查负数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键． 小于0的数即为负数，据此即可求得答案． 【详解】解：，是负数，共2个， 故选：B． 5．C 【分析】本题考查了圆周角定理，正弦．熟练掌握圆周角定理，正弦是解题的关键． 如图，连接，由，可得，进而可求． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 6．D 【分析】本题考查的是解直角三角形，涉及到圆的基本知识，有一定的综合性，难度不大．由，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 由题意得，，， 则， 故选：D． 7．A 【分析】本题考查了解含有的直角三角形，正确使用三角函数是解决本题的关键． 过点A作轴，于点B，构造出含有直角三角形，由，解直角三角形即可． 【详解】解： 过点A作轴，于点B． 当时间为10点10分时，分针的外端点落在点A处， 此时分钟转动了， ∴， 在中，， ∴，， 又∵点A在第一象限， ∴点A坐标为． 故选：A． 8．D 【分析】将化成，再根据所提供的公式可得答案． 【详解】解：由公式：可得， ∵，即， ∴， 即， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查同角三角函数的关系以及特殊锐角三角函数值，掌握特殊锐角的三角函数值是正确解答的前提． 9．B 【分析】本题考查相似多边形的判定和性质，先推导，得到，然后利用相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 【详解】如图，设对角线与交于点O， ∵，是矩形， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ， ∴， ∴矩形与矩形面积的比为， 故选B． 10．B 【分析】考查学生类比迁移思想，直接画出题目中描述的三角形，按照题干中的方程代入已知量解方程即可． 【详解】由题可知，需要画出满足条件的，如下图所示； ∵，； ∴，； ∴在中； ； ∵； ∴； 整理得：； ，（舍）； ∴； 故选．    11． / 1 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的函数值是解题的关键．根据特殊角的三角函数值计算即可． 【详解】解：∵，， 故答案为：；1． 12．等边三角形 【分析】根据特殊角的三角函数判断和的大小，再断三角形的形状即可． 【详解】解：∵， ∴，， 又∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴的形状是等边三角形， 故答案为：等边三角形． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值和等边三角形的判定，根据已知角的三角函数值判断出角的大小是解答本题的关键． 13． 【分析】本题考查坐标与图形，根据正切值求边长，过点作轴，根据正切值的定义，列式求解即可． 【详解】解：过点作轴，则： ∴，即：， ∴； 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了解直角三角形，圆周角定理，垂径定理，勾股定理以及相似三角形的判定和性质．设，由余弦函数的定义结合勾股定理求得和的长，利用垂径定理求得，，推出，证明，据此求解即可． 【详解】解：设与交于点，， ∵是半圆的直径， ∴， ∵， ∴， 设 ∴，， ∵点D是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15． 【分析】把代入求出点的坐标为，根据即可求出结果． 【详解】解：当时，， 解得，舍去， 点的坐标为， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求一个角的正切值，一次二次函数值求自变量的值，解题的关键是求出点B的坐标． 16． 【分析】由“”可证，可得，，，通过证明平分，可求，由锐角三角函数可求解． 【详解】解：如图，过点作于，于，过点作于，   是等边三角形，， ，， ， ， ， ， 和均为等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ， ，，， ， ， 又，， 平分， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，锐角三角函数，角平分线的性质等知识，证明平分是解题的关键． 17． 【分析】先根据点，的坐标得，进而得的半径为1，然后再在中利用锐角三角函数求出，进而得，最后再证为等边三角形即可求出的度数． 【详解】解：点，， ， 过原点， 为的半径， 为的切线， ，， 在中，，，， ， ， ， 又， 三角形为等边三角形， ， 即的度数为． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了点的坐标，切线的性质，锐角三角函数，等边三角形的判定和性质等，熟练掌握切线的性质，锐角三角函数的定义和等边三角形的判定和性质是解答此题的关键． 18． 【分析】本题考查图形的旋转，解直角三角形的应用．根据旋转角度为，可知每旋转6次后点A又回到x轴的正半轴上，故点在第三象限，且，即可求解． 【详解】解：∵为等边三角形，点A的坐标为， ∴， ∵每次旋转角度为， ∴6次旋转， 第一次旋转后，在第四象限，， 第二次旋转后，在第三象限，， 第三次旋转后，在x轴负半轴，， 第四次旋转后，在第二象限，， 第五次旋转后，在第一象限，， 第六次旋转后，在轴x正半轴，， ……如此循环，每旋转6次，点的对应点又回到x轴正半轴， ∵， ∴点在第三象限，且， 如图，过点作轴于点H， 在中，， ∴， ， ∴点的坐标为． 故答案为：． 19．（1）；（2） 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值的混合运算，二次根式的乘法，零指数幂和绝对值，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算二次根式的乘法，零指数幂和绝对值，然后计算加减； （2）先把特殊角的三角函数值代入，再计算即可． 【详解】（1） ； （2） ． 20．(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）过点A作于点，在中，，即，继而根据三角形的面积公式即可得证； （2）根据（1）的结论代入数据即可求解； （3）根据（1）的结论代入数据即可求解． 【详解】（1）证明：过点A作于点， 在中，，即． ∴ （2）解：， （3）解：， ， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了三角函数的应用，掌握正弦的定义是解题的关键． 21．米 【分析】本题主要考查了矩形的判定和性质，解直角三角形的应用，证明四边形和四边形为矩形，得出米，米，，，设，则米，解直角三角形得出，，根据米，得出，求出，最后得出答案即可． 【详解】解：根据题意可得：，， ∴四边形和四边形为矩形， ∴米，米，，， ∴（米）， 设，则米， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵米， ∴， 解得：， ∴米． 22．(1)见解析 (2) 【分析】（1）首先根据得到，然后根据圆内接四边形的性质和平角的概念得到，进而可证明； （2）首先根据得到，代数求出，然后根据勾股定理的逆定理得到为直角三角形，然后根据正切值的求法求解即可． 【详解】（1）证明：∵ ∴ ∵四边形是的内接四边形 ∴ ∵ ∴ ∴； （2）解：∵ ∴， ∵ ∴ ∴， ∴ ∴ ∴为直角三角形 ∴． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，圆与三角形综合题，勾股定理的逆定理，三角函数等知识，解题的关键是根据题意证明出． 23．0.9m 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，先作，并延长交于点E，根据矩形的性质得，在中，根据求出，在中，根据，求出，最后根据求出答案． 【详解】过点B作，交于点C，延长交于点E， ∴四边形是矩形， ∴． 根据题意可知， 在中，， ∴， 即， 解得． 在中，， ∴， 即， 解得， ∴（m）． 所以海面与地面之间得距离的长0．9m． 24．(1)； (2)．见解析 【分析】（1）证和相似得，由点为的中点及得，设，，则，，进而得，由此可得的值； （2）先证为等腰直角三角形得，，再由得，则，设，由（1）可知，，，则，，进而可求出，，再证和相似得，即，由此得，据此可得和的数量关系． 【详解】（1）解：，， ， 又， ， ， 即， 点为的中点，， ， ， ， 设，， 在中，，， 由勾股定理得：， ， 在中，，， 由勾股定理得：， ； （2）解：补全图形如下图所示，，证明如下：   ，， 为等腰直角三角形， ，， ， ， ， 设， 由（1）可知：，，， ， ， 在中，，，则， 由勾股定理得：， 在中，， 由勾股定理得：， ，， ，， ， 又， ， ， 即， ， ， ， ． 【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，理解等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$