宁夏吴忠中学2024-2025学年高三上学期第四次月考数学试卷

吴忠中学2024-2025学年第一学期第四次月考 高 三 数 学 试 卷 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合，，则的元素个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．若复数，则 的共轭复数是（ ） A. −2 − i B. 2 − i C. 2 + i D. −2 + i 3．若函数 为偶函数，则a =（ ） A. 0 B. −1 C. 1 D. 2 4．已知角的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 5．已知圆锥的母线与底面所成角为，其内切球（球与圆锥底面及侧面均相切）的表面积为，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 6．若直线与曲线恰有两个交点，则实数k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 7．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若曲线关于直线对称，则的最小正周期的最大值为（     ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 8．已知函数的定义域为，设的导数是，且恒成立，则（     ） A． B． C． D． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．设，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且.则下列说法中正确的是（   ） A．， B．离心率为 C．的面积为12 D．的外接圆面积为 10．已知正方体ABCD − A1B1C1D1的棱长为 2 ，E为棱AA1上一动点， CE⊥平面α ,则( ) A．异面直线AB1和BC1所成角是 B． 当点E与点A重合时，四面体ECD1B1外接球的体积为 C．直线CD与平面α 所成角的正弦值的取值范围是 D．当点E为AA1中点时，则点E到直线CB1的距离为 11．设是定义在上的偶函数,其图象关于直线对称, ,且 , ,都有 ,则( ) A. B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．过与的交点，且垂直于向量的直线方程为 . 13.设为正项等比数列(公比)前n项的积，若，则____. 14．在梯形中， ，且分别为线段和的中点，若，用表示_________;.若，则余弦值的最小值为______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15．（13分） 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，． (1)求的面积； (2)求AB边上的高的最大值. 16.（15分） 已知等差数列的公差，且满足，，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前2n项的和． 17. （15分） 已知函数f (x) = ax2−ax−xlnx . （1）当a=2时，求f (x)在(1，f (1))处的切线方程； （2）若 f (x)0， a ∈ R，求a的值 . 18.（17 分） 如图所示，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中为的中点. (1) 求点到平面的距离； (2) 线段上是否存在一点，使得二面角余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19.（17分） 在平面直角坐标系中，对于给定的点集，若中的每个点在中都存在点使得两点间的距离最小，且所有最小距离的最大值存在，则记此最大值为. 已知椭圆的离心率为，其短轴上的点的集合记为，椭圆上的点的集合记为，且. （1） 求椭圆的方程； （2） 已知直线与椭圆相切，且与圆交于两点，线段上的点的集合记为，圆上的点的集合记为. ①若点为圆上的一个动点，当的面积最大时，求; ②求的值. 参考答案 一 、选 择 题 ： 1C 2.B 3.A 4.A 5.C 6.D 7.A 8.D 二 、选择题：9 .ABD 10.ACD 11.BC 三 、填空题：12. 3x+2y-5=0 13. 14. ; 8.【详解】设，则， 故在定义域上是增函数，所以， 即，所以.故选：D. 11.【详解】对于A，因为，，都有， 所以，即，则， 又，故，故A错误； 对于B，则，即， 又，则， 因为是定义在上的偶函数，其图象关于直线对称， 所以，，则， 所以，故B正确； 对于C，，即，则， 所以，故C正确； 对于D，因为， 所以 又，即是周期为的周期函数， 所以，故D错误. 故选：BC. 13.【详解】由题意得：， 所以， 根据等比数列的性质，可得：， 设等比数列的公比为q， 所以，， 所以. 故答案为： 14.【详解】如图， 由已知，得 ， 所以， 设，即的夹角为， ， ∴若，则， ∴， 又∵， ∴由基本不等式，得， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：，. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．(1)； (2). 【详解】（1）在中，由，得，解得， 由及正弦定理，得， 即，则，而，解得， 所以的面积. （2）由余弦定理，得，即， 当且仅当时取等号， 设h为AB边上的高，则，即， 所以AB边上的高的最大值为. 16．(1) (2) 【详解】（1）因为，，成等比数列，所以， 即， 解得或． 因为，所以， 所以． （2）由（1）得 所以， 所以 ， ， 所以数列的前2n项的和． 17.(1) (2) 【详解】（2）（方法一） 因为， 则等价于， 是极小值点． 又， 检验，当时，，当时单调递减； 当时单调递增， ，符合题意； （方法二）因为， 则等价于， 求导可知． ①当时，即在上单调递减， 所以当时，，不合题意． ②当时， 因为当时，当时， 所以，只需， ， 所以在单调递增，在单调递减， ，所以的解只有； 18．（1）；（2）见解析 【详解】在中，， 为中点，∴. 又∵侧面底面，平面平面，平面，∴平面. 在中，，，∴. 在直角梯形中，为的中点，，∴. 以为坐标原点， 为轴，为轴， 为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则， (1)∴． 设平面的法向量为， 则即取，得． 则点到平面的距离. (2)设．∵，∴， ∴，∴，∴ ． 设平面的法向量为， 则即，取，得． 平面的一个法向量为， ∵二面角的余弦值为， ∴. 整理化简，得.解得或 (舍去)，∴存在，且. 19．(1) (2)①；②8 【详解】（1）由题目条件，可得， 又因为离心率为，所以， 所以，， 所以椭圆的方程为. （2）设圆心到直线的距离为. ①当直线的斜率存在时，设的方程为， 联立消去得， 由直线与椭圆相切，得， 整理得， 则， ，，，即， 则的面积为 ， 设，， 则， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 因此当时，取得最大值432，此时的最大值为， 当直线的斜率不存在时， 由(1)可知，直线的方程为， 联立，可求得， ， 由于，所以的面积最大时，. 对于线段上任意点，连接并延长与圆交于点， 则是圆上与最近的点， 当为线段的中点时，取得最大值2，所以. ②对于线段上任意点，连接并延长与圆交于点， 则是圆上与距离最近的点， 当为线段的中点时，取得最大值，所以， 对于圆上任意点，由向线段引垂线，垂足为， 当在线段上时，则是线段上与距离最近的点， 当不在线段上时，则线段上的点与点距离最近的点的距离小于， 所以当经过圆心时，取得最大值， 所以； 所以. 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$