第十七章 勾股定理（A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（福建专用，人教版）

第十七章 勾股定理（A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．下列各组数中，不是勾股数的是（   ） A．6，8，10 B．5，12，13 C．8，15，17 D．5，7，9 【答案】D 【分析】本题考查了勾股数的定义，掌握勾股数的计算是解题的关键． 勾股数是指能够构成直角三角形三边的一组正整数，满足勾股定理：两条直角边的平方和等于斜边的平方，由此即可求解． 【详解】解：A、，故该选项是勾股数，不符合题意； B、，故该选项是勾股数，不符合题意； C、，故该选项是勾股数，不符合题意； D、，故该选项不是勾股数，符合题意； 故选：D ． 2．已知三角形的三边长为a、b、c，如果，则△ABC是（  ） A．以a为斜边的直角三角形 B．以b为斜边的直角三角形 C．以c为斜边的直角三角形 D．不是直角三角形 【答案】C 【分析】根据非负数的性质得出a，b，c的值，再根据勾股定理的逆定理判断△ABC的形状即可． 【详解】解：∵（a-5）2+|b-12|+=0， ∴a-5=0，b-12=0，c-13=0， ∴a=5，b=12，c=13， ∵52+122=132， ∴a2+b2=c2， ∴△ABC是以c为斜边的直角三角形． 故选C． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理、非负数的性质，掌握非负数的性质是解题的关键． 3．在中，斜边，则的值为（   ） A．15 B．25 C．50 D．60 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理．先由勾股定理求得，即可求得的值． 【详解】解：∵在中，斜边， ∴， ∴， 故选：C． 4．如图一个圆柱，底圆周长10cm，高4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行（     ）cm ． A．9 B．14 C． D． 【答案】C 【分析】要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果． 【详解】解：将圆柱展开，侧面为矩形，如图所示： ∵底面⊙O的周长为10cm， ∴AC=5cm， ∵高BC=4cm， ∴AB==cm． 故选C． 【点睛】此题考查了圆柱的平面展开---最短路径问题，将圆柱展成矩形，求对角线的长即为最短路径． 5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，AC=2BC，分别以A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和N．作直线MN交AC于点E，连接BE，若CE＝3，则BE＝（　　） A．5 B．4 C．3 D．6 【答案】A 【分析】设BC=x，则AC=2x，结合垂直平分线性质得到BE=AE=2x-3，根据勾股定理列方程即可. 【详解】解：设BC=x，则AC=2BC=2x， ∵MN垂直平分AB， ∴BE=AE=2x-3， 在直角△BCE中，∠C=90°，根据勾股定理得 ， 解得x1=0（舍去），x2=4， BE=AE=2x-3=5， 故选：A 【点睛】本题考查勾股定理得应用，勾股定理主要两个作用：①直角三角形中已知两边求第三边；②利用勾股定理作为等量关系列方程. 6．如图，在平面直角坐标系中， ，点 的坐标分别为 ，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理、坐标与图形等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 如图：过点A作于点D，由等腰三角形的性质可得，进而确定点D的坐标，再根据勾股定理得出，然后确定点A的坐标即可． 【详解】解：如图：过点A作于点D， ∵， ∴，轴， ∵， ∴， ∴，即， ∴轴，即点A的纵坐标为7， ∵， ∴点A的横坐标为：， ∴点A的坐标为． 故选：B． 7．如图，将一块有角的直角三角板的直角顶点放在一张宽为的长方形纸带边上．另一个顶点在纸带的另一边上，测得三角板的较短直角边与纸带边所在的直线成角，则该三角板斜边的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了本题主要考查了直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理．首先过点作，可得是等腰直角三角形，利用勾股定理可以求出，根据直角三角形中的锐角所对的直角边等于斜边的一半可以求出的长度． 【详解】解：如下图所示，过点作， ， 是等腰直角三角形， 根据矩形的性质可得：， ， 在中，，， ． 故选：B． 8．如图，中，，D为线段延长线上一点，，E为中点，F为中点，记的长为x，的长为y，当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A．xy B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理的含义，先由中点的含义可得：，，再利用勾股定理建立方程即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，F为中点， ∴， ∴， ∵记的长为x，的长为y，E为中点， ∴， ∴， ∴， 整理得：， ∴， ∴的值不变． 故选：C 9．如图，于点D，交于点E，延长交于点F．有以下结论：①；②；③；④．其中所有正确结论是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①④ 【答案】B 【分析】根据平行线的性质结合题意可证，即得出，故①正确；由平行线的性质结合题意可证，又可求出，即得出，结合勾股定理即可求出，故②错误；过点C作于点G，根据角平分线的性质定理得出，再由，即得出，故③正确；由题意可求，即得出，根据，即，可证，故④错误． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴，即． ∵， ∴， ∴，故②错误； 如图，过点C作于点G， ∵， ∴． ∵， ∴，故③正确； ∵， ∴． ∵， ∴． ∵，即， ∴，故④错误． 综上可知正确结论是①③ 故选B． 【点睛】本题考查平行线的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，角平分线的性质定理，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质等知识，熟练掌握上述知识是解题关键． 10．如图，在长方形中，将四边形沿折叠，的对应边为，与交于点G，延长经过点A，延长交于点H，，则为（    ） A．10 B．16 C． D． 【答案】C 【分析】先求解，，如图，过作于，证明，，，都为等腰直角三角形；再进一步结合轴对称的性质与勾股定理可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，， 如图，过作于， ∵长方形， ∴，，，， 由对折可得：，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，，，都为等腰直角三角形； ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选C 2、 填空题：共6题，每题4分，共24分。 11．如图，以直角三角形的三边为边向外作三个正方形A、B、C．若，则 ．    【答案】8 【分析】由勾股定理可知：，代入计算即可． 【详解】解：由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：8． 【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么． 12．在平面直角坐标系中，两点和之间的距离 ． 【答案】 【分析】利用两点之间的距离公式即可得． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点和， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了两点之间的距离公式，熟练掌握两点之间的距离公式是解题关键． 13．如图，A（4，0），B（0，3），点C为AB中点，以点B为圆心，BC长为半径作圆弧，交线段OB于点D．则点D的坐标为 ． 【答案】． 【分析】先根据勾股定理计算AB的长，由同圆的半径相等可得BD的长，最后计算OD的长，可得点D的坐标． 【详解】解：∵A（4，0），B（0，3）， ∴OA＝4，OB＝3， 由勾股定理得：AB＝， ∵点C为AB中点， ∴BC＝AB＝＝BD， ∴OD＝OB﹣BD＝3﹣＝ ∴D； 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标和图形的性质，勾股定理，圆的认识等知识，明确y轴上的点横坐标为0，直观识图是关键． 14．如图，在四边形ABCD中，AB=3，BC=CD=4，AD=，且∠B=90°，则四边形ABCD的面积为 . 【答案】16 【分析】如图（见解析），连接AC，由勾股定理可得AC的长，再根据勾股定理的逆定理可证是直角三角形，最后根据四边形ABCD的面积等于的面积与的面积之和即可得出答案. 【详解】如图，连接AC， 在中，由勾股定理得： 则 在中，，即有 则是直角三角形， 所以 故答案为：16. 【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理，熟练掌握定理是解题关键. 15．如图，一支长为的铅笔放在长方体笔筒中，已知笔筒的三边长度依次为，，，那么这根铅笔露在笔筒外的部分长度的范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由题意知，当铅笔垂直于笔筒底部放置时，铅笔露在笔筒外的部分长度x最大，最大值为 ，由勾股定理得，长方体的对角线长为，当铅笔沿着长方体的对角线放置时，铅笔露在笔筒外的部分长度x最小，最小值为 ，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，当铅笔垂直于笔筒底部放置时，铅笔露在笔筒外的部分长度x最大，最大值为 ， 由勾股定理得，长方体的对角线长为， 当铅笔沿着长方体的对角线放置时，铅笔露在笔筒外的部分长度x最小，最小值为 ， ∴这根铅笔露在笔筒外的部分长度x的范围是， 故答案为：． 16．如图，在中，，，是外一点，连接，若，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了余角性质，全都三角形的判定和性质，勾股定理，作于，由余角性质可得，进而可证，得到，，设，则，在中，由勾股定理得，即得，再利用勾股定理即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：作于，如图所示， 则， ∴， ∵， ∴， ∴ ， 在和中， ， ∴， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题：共9题，共86分，其中第17~21题每小题8分，第22~23题每小题10分，第24题12分，第25题14分。 17．（8分）在中，，a，b，c 分别是、、所对应的边． (1)已知，，求c的长； (2)已知，，求a的长； 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，注意计算的准确性． （1）利用勾股定理计算c边的长； （2）利用勾股定理计算a边的长； 【详解】（1）解：，，， ； （2）解：，，， 18．（8分）如图，正方形方格中的每个小正方形的边长都是1，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作 图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，作一条线段，使． (2)在图2中，作直角三角形，使得三角形的顶点都在格点上，且斜边的长为，另两条直角边均为无理数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理和网格问题，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． （1）根据勾股定理画出线段，使即可； （2）根据勾股定理先画出长为，然后再画直角三角形即可． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求， ； （2）解：如图，即为所求作的三角形． ，，， ∴，， ∴为直角三角形，为斜边． 19．（8分）如图，将等边放在含有30°角的直角三角板上（，），使落在线段上，与分别交边于点H、G，其中．    (1)证明：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用三角形的外角性质求得，再利用等边对等角可证得； （2）过点F作于，利用直角三角形的性质以及勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：过点F作于，      ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴由三线合一得， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形的外角性质，直角三角形的性质，等边对等角，勾股定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 20．（8分）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验.同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） (1)求绳子的总长度； (2)如图，若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 【答案】(1)绳子的总长度为； (2)滑块向左滑动的距离为． 【分析】本题主要考查了勾股定理．解决本题的关键是利用勾股定理求出直角三角形的未知边的长度． 根据直角三角形中直角边的长度是，的长度是，利用勾股定理求出斜边的长度，绳子的长度就是斜边与直角边的长度之和； 物体升高，则斜边的长度增加，斜边的长度增加为，利用勾股定理求出的长度，用的长度减去的长度，就是滑块向左滑动的距离． 【详解】（1）解：根据题意得，，， ， ， 答：绳子的总长度为； （2）解：如下图所示， ： 根据题意得，，，， ， ， 答：滑块向左滑动的距离为． 21．（8分）勾股定理具有丰富的文化内涵，它揭示了直角三角形的三边关系，搭建起几何与代数之间的桥梁，为解决几何问题拓宽了思路．请完成下面问题： (1)如图1，“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为，则小正方形的面积是多少？ (2)同学们在探索过程中发现，当把赵爽弦图里的个全等的直角三角形适当拼合，可以得到如图的图形，设直角三角形的直角边分别为、，斜边为，利用这个图形也可以验证勾股定理，你能说明其中的道理吗？ 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查勾股定理的几何背景，完全平方公式与几何图形的面积，解题的关键是数形结合． （1）设直角三角形的斜边为，利用勾股定理和完全平方公式求出的值，利用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积进行计算即可； （2）根据图形的总面积等于一个大正方形的面积加上两个直角三角形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积，然后整理即可得证． 【详解】（1）解：设斜边的长为， 由题意，得：，， ， ， 小正方形的面积为：； （2）图形的总面积可以表示为或， ， ． 22．（10分）折纸，操作简单，富有数学趣味，常常能为我们解决问题提供思路和方法． 【动手操作】如图为一张三角形纸片，，现将纸片按如图1折叠，翻折后点的对应点为，折痕为（点、分别在边、上且、不与端点重合）． (1)当是以为顶角的等腰三角形时，翻折后点恰好落在边上，且，用无刻度的直尺和圆规在图2中作出此时的折痕．（保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作的平分线交于，再作线段的垂直平分线分别交于，，则为所求作； （2）连接；设，则，在中由勾股定理建立方程求出的值，再在中由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：作图如下：作的平分线交于，再作线段的垂直平分线分别交于，，则关于对称，且是等腰三角形，，则为所求作折痕； （2）解：如图，连接； 设， ∵是等腰三角形， ∴； 由折叠知，， ∴； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：； ∵， ∴， 在中，由勾股定理得： 23．（10分）【项目主题】监控器如何布设才最优 【项目背景】监控器有效监测距离，最大旋转角度；村落、河流如图所示，河流南岸长；监控布设线距离河流，上任意两个监控（、、……）之间的距离相等．           【项目方案】 (1)方案：如图所示，从河流南岸边缘点处起，使，，即为监控器监测范围；以此类推继续设置监控器，至少需要布设多少监控器？ (2)方案：如图2所示，为监控器监测范围，为监控器监测范围，，，此时，至少需要布设多少监控器？ (3)【项目总结】我认为方案 是最优化方案． 【答案】(1)至少需要布设个监控器； (2)至少需要布设个监控器； (3)． 【分析】利用勾股定理求出，根据河流的长度是，求出需要布设的监控的数量； 过作于点，构造直角三角形利用勾股定理求出，设，则，在中，，在中，，得到方程，解方程求出，可知此时监控监测的范围是，根据河流的长度求出布设监控的数量； 因为方案监控的距离与方案相同，需要按装的监控的数量少，所以方案是最优方案． 在中，， 【详解】（1）解：，，， 在中，， 又河流的长度是， ， 至少要布设个监控； （2） 解：如下图所示， 过作于点， 则， 在中，， ， 设，则， 在中，， 在中，， ， 整理得：， 解得：，      此时，符合题意， ， 至少需要布设个监控器； （3）解：因为方案监控的距离与方案相同，需要按装的监控的数量少，所以方案是最优方案． 【点睛】本题考查了勾股定理、方案设计，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形，然后再设未知数列方程． 24．（12分）受全球气候变暖影响，今年深圳的雨水特别多．据悉，不止深圳，整个华南地区暴雨形成“列车效应”．雨水增多导致雨伞的需求量大大增加．下图是某型号雨伞的结构图．    根据以下素材，探索完成任务， 探究雨伞中的数学问题 素材1 图1是这个雨伞的示意图．不管是张开还是收拢，是伞柄， 伞骨且，， D点为伞圈． 伞完全张开时，如图1所示．    素材2 伞圈D能沿着伞柄滑动，如图2是完全收拢时伞骨的示意图， 此时伞圈D滑动到的位置， 且三点共线． 测得（参考值：）．    素材3 同学们经过研究发现： 雨往往是斜打的，且都是平行的．如图3，某一天，雨线与地面夹角为， 小田站在伞圈D点的正下方点G处， 记为， 此时发现身上被雨淋湿， 测得．    问题解决 任务1 判断AP位置 求证：是的角平分线． 任务2 探究伞圈移动距离 当伞从完全张开到完全收拢， 求伞圈D移动的距离（精确到）． 任务3 拟定撑伞方案 求伞至少向下移动距离_____，使得人站在G处身上不被雨淋湿，（直接写出答案） 【答案】任务1：见解析；任务2：；任务3：72 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，弄清题意、将实际问题转化为数学问题是解题的关键． （1）利用证明即可得到答案； （2）过点E作于点P，求出的长，即可利用据此解答即可； （3）设与交于点O，与交于点Q，先求出，可得，再求出，进而可求出即可解答． 【详解】解：任务1:∵且，， ∴， 在和中， ，， ∴， ∴， ∴是的角平分线． 任务2：如图：过点E作于点Q， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理，得， 在图2中， ∵, ∴, ∴在中,, ∴, ∴, ∴伞圈D移动的距离为. 任务3:如图：设与交于点O，与交于点Q， 在中，， ∴， ∴ ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴ ∵, ∴,解得：， ∴， 在中，，则， 由勾股定理得：． 故答案为：72． 25．（14分）如图，已知是以为斜边的等腰直角三角形，且，射线，，点E为边上一动点，连接，将沿着翻折后，点D落在点F处，与线段BD相交于点G，连接BF并延长交边于点H．    (1)如图1，当时，求的度数． (2)如图2，当时，求的长． (3)当点F是的中点时，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出，再根据求出，结合，根据即可得解； （2）设与交于点，运用折叠的性质和平行线的性质得到，得到， 根据等腰三角形三线合一性质，得到，设，则点E到的距离等于，运用等面积法求出，从而得解； （3）过点F作，则，过点F作，证明得到，从而得到，过点E作于P，得到，从而求出，从求出． 【详解】（1）解：根据折叠可得， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：设与交于点，    由折叠可知：，平分， ∵，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则点E到的距离等于， ∴，即， ∴ ∴； （3）解：过点F作，则，过点F作， 则四边形，四边形，四边形都是长方形， ∴，，    ∵点F是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点E作于P，    又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，平行公理的推论，平行线的性质等，含30度的直角三角形的性质等知识，正确作出辅助线是解题的关键． 2 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十七章 勾股定理（A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．下列各组数中，不是勾股数的是（   ） A．6，8，10 B．5，12，13 C．8，15，17 D．5，7，9 2．已知三角形的三边长为a、b、c，如果，则△ABC是（  ） A．以a为斜边的直角三角形 B．以b为斜边的直角三角形 C．以c为斜边的直角三角形 D．不是直角三角形 3．在中，斜边，则的值为（   ） A．15 B．25 C．50 D．60 4．如图一个圆柱，底圆周长10cm，高4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行（     ）cm ． A．9 B．14 C． D． 5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，AC=2BC，分别以A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和N．作直线MN交AC于点E，连接BE，若CE＝3，则BE＝（　　） A．5 B．4 C．3 D．6 6．如图，在平面直角坐标系中， ，点 的坐标分别为 ，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．如图，将一块有角的直角三角板的直角顶点放在一张宽为的长方形纸带边上．另一个顶点在纸带的另一边上，测得三角板的较短直角边与纸带边所在的直线成角，则该三角板斜边的长为（   ） A． B． C． D． 8．如图，中，，D为线段延长线上一点，，E为中点，F为中点，记的长为x，的长为y，当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A．xy B． C． D． 9．如图，于点D，交于点E，延长交于点F．有以下结论：①；②；③；④．其中所有正确结论是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①④ 10．如图，在长方形中，将四边形沿折叠，的对应边为，与交于点G，延长经过点A，延长交于点H，，则为（    ） A．10 B．16 C． D． 2、 填空题：共6题，每题4分，共24分。 11．如图，以直角三角形的三边为边向外作三个正方形A、B、C．若，则 ．    12．在平面直角坐标系中，两点和之间的距离 ． 13．如图，A（4，0），B（0，3），点C为AB中点，以点B为圆心，BC长为半径作圆弧，交线段OB于点D．则点D的坐标为 ． 14．如图，在四边形ABCD中，AB=3，BC=CD=4，AD=，且∠B=90°，则四边形ABCD的面积为 . 15．如图，一支长为的铅笔放在长方体笔筒中，已知笔筒的三边长度依次为，，，那么这根铅笔露在笔筒外的部分长度的范围是 ． 16．如图，在中，，，是外一点，连接，若，，，则的长为 ． 三、解答题：共9题，共86分，其中第17~21题每小题8分，第22~23题每小题10分，第24题12分，第25题14分。 17．（8分）在中，，a，b，c 分别是、、所对应的边． (1)已知，，求c的长； (2)已知，，求a的长； 18．（8分）如图，正方形方格中的每个小正方形的边长都是1，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作 图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，作一条线段，使． (2)在图2中，作直角三角形，使得三角形的顶点都在格点上，且斜边的长为，另两条直角边均为无理数． 19．（8分）如图，将等边放在含有30°角的直角三角板上（，），使落在线段上，与分别交边于点H、G，其中．    (1)证明：； (2)求的长． 20．（8分）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验.同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） (1)求绳子的总长度； (2)如图，若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 21．（8分）勾股定理具有丰富的文化内涵，它揭示了直角三角形的三边关系，搭建起几何与代数之间的桥梁，为解决几何问题拓宽了思路．请完成下面问题： (1)如图1，“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为，则小正方形的面积是多少？ (2)同学们在探索过程中发现，当把赵爽弦图里的个全等的直角三角形适当拼合，可以得到如图的图形，设直角三角形的直角边分别为、，斜边为，利用这个图形也可以验证勾股定理，你能说明其中的道理吗？ 22．（10分）折纸，操作简单，富有数学趣味，常常能为我们解决问题提供思路和方法． 【动手操作】如图为一张三角形纸片，，现将纸片按如图1折叠，翻折后点的对应点为，折痕为（点、分别在边、上且、不与端点重合）． (1)当是以为顶角的等腰三角形时，翻折后点恰好落在边上，且，用无刻度的直尺和圆规在图2中作出此时的折痕．（保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，求的长． 23．（10分）【项目主题】监控器如何布设才最优 【项目背景】监控器有效监测距离，最大旋转角度；村落、河流如图所示，河流南岸长；监控布设线距离河流，上任意两个监控（、、……）之间的距离相等．           【项目方案】 (1)方案：如图所示，从河流南岸边缘点处起，使，，即为监控器监测范围；以此类推继续设置监控器，至少需要布设多少监控器？ (2)方案：如图2所示，为监控器监测范围，为监控器监测范围，，，此时，至少需要布设多少监控器？ (3)【项目总结】我认为方案 是最优化方案． 24．（12分）受全球气候变暖影响，今年深圳的雨水特别多．据悉，不止深圳，整个华南地区暴雨形成“列车效应”．雨水增多导致雨伞的需求量大大增加．下图是某型号雨伞的结构图．    根据以下素材，探索完成任务， 探究雨伞中的数学问题 素材1 图1是这个雨伞的示意图．不管是张开还是收拢，是伞柄， 伞骨且，， D点为伞圈． 伞完全张开时，如图1所示．    素材2 伞圈D能沿着伞柄滑动，如图2是完全收拢时伞骨的示意图， 此时伞圈D滑动到的位置， 且三点共线． 测得（参考值：）．    素材3 同学们经过研究发现： 雨往往是斜打的，且都是平行的．如图3，某一天，雨线与地面夹角为， 小田站在伞圈D点的正下方点G处， 记为， 此时发现身上被雨淋湿， 测得．    问题解决 任务1 判断AP位置 求证：是的角平分线． 任务2 探究伞圈移动距离 当伞从完全张开到完全收拢， 求伞圈D移动的距离（精确到）． 任务3 拟定撑伞方案 求伞至少向下移动距离_____，使得人站在G处身上不被雨淋湿，（直接写出答案） 25．（14分）如图，已知是以为斜边的等腰直角三角形，且，射线，，点E为边上一动点，连接，将沿着翻折后，点D落在点F处，与线段BD相交于点G，连接BF并延长交边于点H．    (1)如图1，当时，求的度数． (2)如图2，当时，求的长． (3)当点F是的中点时，求的长． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$