第十七章 勾股定理（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（福建专用，人教版）

第十七章 勾股定理（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．在直角三角形中，若直角边为6和8，则斜边为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，掌握勾股定理的内容是解题的关键. 【详解】解：斜边为， 故选D. 2．满足下列条件的，不是直角三角形的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理逆定理，三角形的内角和定理，根据有一个角是直角的三角形是直角三角形，以及勾股定理逆定理判断能否构成直角三角形，逐一判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故选项A不符合题意； ∵， ∴， ∴是直角三角形，故选项B不符合题意； ∵， ∴设， ∴， ∴是直角三角形，故选项C不符合题意； ∵， ∴， ∴不是直角三角形，故选项D符合题意； 故选D． 3．在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，若AB＝5cm，BC＝6cm，则AD的长是（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 【答案】B 【分析】先根据等腰三角形的性质求出BD的长，再根据勾股定理解答即可． 【详解】根据等腰三角形的三线合一可得：BD＝BC＝×6＝3cm，在直角△ABD中， 由勾股定理得：AB2＝BD2＋AD2， 所以，AD＝＝4cm． 故选B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理．关键要熟知等腰三角形的三线合一可得． 4．如图，数轴上的点A表示的数是，点B表示的数是1，于点B，且，以点A为圆心，为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（　　） A． B． C．2.8 D．＋1 【答案】A 【分析】先运用勾股定理求得线段的长，即可求解．此题考查了勾股定理与无理数，关键是能准确理解并运用该知识和勾股定理进行求解． 【详解】解：∵数轴上的点A表示的数是，点B表示的数是1， ∴， ∵于点B，且， ∴在中，， 依题意，， 点表示的数为， 故选：A． 5．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，书中有“折竹抵地”问题，今有竹高一丈，末折抵地，去本六尺，折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=十尺），一阵风将竹子折断、竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列方程解决古代问题，涉及勾股定理，读懂题意，熟记勾股定理是解决问题的关键． 设折断处离地而高尺，由勾股定理列方程即可得到答案． 【详解】解：设折断处离地而高尺，则， 在中，，即， 故选：D． 6．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为(   ) A．2.2米 B．2.3米 C．2.4米 D．2.5米 【答案】A 【分析】将梯子斜靠在墙上时，形成的图形看做直角三角形，根据勾股定理，直角边的平方和等于斜边的平方，可以求出梯子的长度，再次利用勾股定理即可求出梯子底端到右墙的距离，从而得出答案. 【详解】 如图，在Rt△ACB中， ∵∠ACB=90°，BC=0.7米，AC=2.4米， ∴ 在Rt△A‘BD中， ∵∠A’BD=90°，A’D=2米， ∴ ∴ ∵BD>0， ∴BD=1.5米， ∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米 即小巷的宽度为2.2米，故答案选A 【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知并熟练运用勾股定理求斜边和直角边是解题的关键 7．如图，和的顶点均在边长为1的小正方形网格格点上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长到E，连接，先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，然后利用等边对等角及三角形的内角和定理可得，最后利用邻补角互补即可得出答案． 【详解】解：如图，延长到E，连接， 由题意可得：，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理与网格问题，勾股定理的逆定理，等边对等角，三角形的内角和定理，利用邻补角互补求角度等知识点，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 8．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2－MB2等于（   ） A．29 B．32 C．36 D．45 【答案】D 【分析】在Rt△ABD及Rt△ADC中可分别表示出BD2及CD2，在Rt△BDM及Rt△CDM中分别将BD2及CD2的表示形式代入表示出BM2和MC2，然后作差即可得出结果． 【详解】解：在Rt△ABD和Rt△ADC中， BD2＝AB2−AD2，CD2＝AC2−AD2， 在Rt△BDM和Rt△CDM中， BM2＝BD2＋MD2＝AB2−AD2＋MD2，MC2＝CD2＋MD2＝AC2−AD2＋MD2， ∴MC2−MB2＝（AC2−AD2＋MD2）−（AB2−AD2＋MD2） ＝AC2−AB2 ＝45． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的知识，题目有一定的技巧性，比较新颖，解答本题需要认真观察，分别两次运用勾股定理求出MC2和MB2是本题的难点，重点还是在于勾股定理的熟练掌握． 9．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上“生长”出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图所示的形状图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（    ） A．1012 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：如图，由题意得，正方形的面积为，由勾股定理得，正方形的面积正方形的面积为， “生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， “生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， …… “生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2025， 故选：C． 10．如图，在等腰三角形中，，，是边上的中点，，，分别是和上的动点，则的最小值是（   ） A．10 B． C．13 D． 【答案】D 【分析】本题考查的是轴对称-最短路线问题，勾股定理，根据垂线段最短，确定是的最小值解决问题的关键． 作，垂足为H，交于点，过点作，垂足为，则为所求的最小值，根据勾股定理求出，再根据面积不变求出即可． 【详解】解：如图，作，垂足为H，交于点，过点作，垂足为，则为所求的最小值． ∵，D是边上的中点， ∴是的平分线， ∴， ∴， ∴是点B到直线的最短距离（垂线段最短）， ∵，，D是边上的中点， ∴，， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故选：D． 2、 填空题：共6题，每题4分，共24分。 11．点，是平面直角坐标系中的两点，则线段 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标系中求两点间的距离，熟练掌握两点间的距离公式是解题关键；根据两点间距离公式计算即可． 【详解】解：，， 则线段， 故答案为：． 12．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边向外作四个正方形，它们的面积分别是，，，，在，，则的值是 ．    【答案】64 【分析】由勾股定理，得，于是，代入求解即可. 【详解】解：连接， 由题意得：，，，， ∵， ∴. ∴. ∴.    故答案为：64． 【点睛】本题考查正方形面积计算，勾股定理；由勾股定理得到线段之间的关系是解题的关键． 13．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点O．若，，则 ． 【答案】29 【分析】先利用勾股定理求出，，可得，然后由，得出答案． 【详解】解：由题意知， ∴， 根据勾股定理得，，， ∴， 根据勾股定理得，，， ∴， 故答案为：29． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键． 14．如图，在一个长AB为18m，宽AD为7m的长方形草坪ABCD上，放着一根长方体的木块 ，已知木块的较长边与AD平行，横截是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程是    米． 【答案】 【分析】解答此题要将木块表面展开，再构建直角三角形，然后根据两点之间线段最短，再利用勾股定理进行解答． 【详解】解：如图，由题意可知，将木块展开， 展开图的长相当于是AB+2个正方形的宽， ∴长为18+2×2=22米；宽为7米． 于是最短路径为：（米）． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，两点之间线段最短的性质，勾股定理的应用，有一定的难度，要注意培养空间想象能力． 15．如图，在中，，，于点，于点，点为线段上一个动点，点为线段上一动点，当与全等时，的长度为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理．利用勾股定理求得的长，利用等积法求得，，分两种情况讨论，利用全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时， ∴， ∴； 当时， ∴， ∴； 故答案为：或． 16．如图，在平面直角坐标系中，已知是等腰直角三角形，，点在轴负半轴上，点在轴负半轴上．若点A的纵坐标始终为4，则点到直线的距离的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形在坐标轴上的移动．熟练掌握等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形边的大小关系，是解题的关键． 设直线为l，l交y轴于点E，点到直线的距离为，取点，连接交于点G，连接，证明， 结合，得，得，可得，结合，，得，得，可得，得，根据得最大值为． 【详解】解：设纵坐标始终为4的直线为l，l交y轴于点E，点到直线的距离为，取点，连接交于点G，连接， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴最大值为． 故答案为． 三、解答题：共9题，共86分，其中第17~21题每小题8分，第22~23题每小题10分，第24题12分，第25题14分。 17．（8分）如图，在中，，两直角边，．求斜边上的高的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理和三角形的面积公式．首先根据勾股定理求出的斜边的长度，再根据三角形的面积公式得到等式，把、、代入即可求得的长． 【详解】解：如图所示 在中，，，， 由勾股定理得 ， 中，为斜边上的高， ， ， ，，， ， ． 故答案为：． 18．（8分）如图，这是一个4×4的正方形网格，设每个小正方形的边长都是1． （1）在图①网格中画出格点直角三角形（三角形的顶点都在小正方形的顶点处的三角形称为格点三角形，下同），使其斜边的长为无理数，两直角边长是有理数． （2）在图②网格中画出格点直角三角形，使其三边的长都是无理数． （3）在图③网格中画出格点等腰三角形，使其至少有一条边的长是无理数． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）根据题意利用勾股定理求解即可； （2）根据题意，利用勾股定理和勾股定理的逆定理求解即可； （3）根据等腰三角形的判定和勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，△ABC即为所求； ∵AB=1，BC=2， ∴， ∴△ABC符合题意； （2）如图所示，△ABC即为所求； ∵，， ∴， ∴△ABC符合题意； （3）如图所示，△ABC即为所求； ∵，， ∴△ABC符合题意． 【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定，无理数的定义，解题的关键在于能够熟练掌握勾股定理． 19．（8分）某海岛海域争端持续，我国海监船加大该岛附近海域的巡航维权力度．如图，海里，海里，海岛位于O点，我国海监船在点B处发现有一不明国籍的渔船，自A点出发沿着方向匀速驶向海岛所在地点O，我国海监船立即从B处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点C处截住了渔船． (1)请用直尺和圆规作出C处的位置； (2)求我国海监船行驶的航程的长． 【答案】(1)见解析 (2)37海里 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理的实际应用，解题的关键是熟练掌握相关基础性质． （1）根据题意，作出线段的垂直平分线，交于点，即可； （2）连接，利用第（1）题中作图，可得，设为x海里，则也为x海里，则海里，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求：连接，作线段的垂直平分线，交于点， （2）解：连接，设海里，则海里 ∵ ∴在中， 即： 解得： 答：我国海监船行驶的航程的长为37海里． 20．（8分）如图，点是边的中点，过点作，，，，，是直角三角形吗？请通过计算说明理由． 【答案】是直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质，勾股定理及其逆定理．由勾股定理求得，由题意可得是的垂直平分线，得，再利用勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】解：是直角三角形，理由如下， 连接， ∵， ∴， ∴， ∵点是边的中点，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 21．（8分）如图，在中，． (1)求证：； (2)当，，时，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； 【分析】本题考查了勾股定理和平方差公式的相关证明和计算及解二元一次方程组，熟练掌握和运用勾股定理是解决问题的关键． （1）在和中，分别运用勾股定理可得，，利用边相等，联立两式移项即得证． （2）根据第一问的结论，可求出的值，利用平方差公式，结合，可求得，而，由此可求得、，由勾股定理即可求出． 【详解】（1）证明： ， 在和中，根据勾股定理得， ，， ， 移项得：． 故． （2）解： ，， ， ， ，即， ， ，解得， ， ． 22．（10分）【项目式学习】在圆柱表面，蚂蚁怎么爬行路径最短？ （取） 素材：如图，圆柱体的高为，底面直径为，在圆柱下底圆周上的点有一只蚂蚁，它想吃到上底面圆周上与 点对应的 点处的食物． 若蚂蚁沿图中的折线爬行的最短路径记为“路线一”，此时最短路程是 ． 将圆柱沿着将侧面展开得到图，请在图中画出蚂蚁爬行的最短路径记为“路线二”，此时最短路程是 ； 比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线 （用“一”或“二”填空）． 素材：如图所示的实践活动器材包括：底面直径为，高为的圆柱、橡皮筋、细线（借助细线来反映爬行的路线）、直尺，通过调节橡皮筋的位置达到改变圆柱的高度的目的． （1） 两种路线路程的长度如表所示（单位：）： 圆柱高度 沿路线一路程 沿路线二路程 比较与的大小 （2） 填空：表格中的值是 ；表格中表示的大小关系是 ； （3） 经历上述探究后，请你思考：若圆柱的半径为，圆柱的高为． 在不变的情况下，当圆柱半径为与圆柱的高度存在怎样的数量关系时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等？ 【答案】素材：，二；（），；（）当时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等． 【分析】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题，勾股定理，熟练掌握知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键． （）根据勾股定理以及线段长度得出即可； （）利用圆柱形木块的高为，底面半径为，即可得出沿爬行的路程长并比较大小； （）构造方程即可得到结论． 【详解】解：（）图中画出蚂蚁爬行的最短路径为： 展开后，半圆长为， 根据勾股定理，此时最短路程为 ∵， 由此可知，蚂蚁爬行的最短路径为路线二； 故答案为：，二； （）， ∵． ∴表格中表示的大小关系是， 故答案为：，； （）根据题意可得， 即， ∴， 故当时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等． 23．（10分）【阅读材料】学习整式乘法时我们有这样的发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题． (1)如图1，由边长分别为，的正方形和两个长为，宽为的长方形拼成的大正方形，可知大正方形的边长为，即可求得大正方形的面积．将图1大正方形看作由4个小图形拼成，则4个小图形面积之和等于大正方形的面积．即可得到一个乘法公式_____． (2)思考：爱动脑的小东通过图1的启示，发现拼图还能解决直角三角形三边的关系．如图2，现有4张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别为，，，将它们拼成一个大的正方形，中间是一个小正方形． ①由图2中你能得到，，之间的数量关系是什么？请写出你的推理过程； ②问题解决：如图3，直线为一水渠渠岸，经测量知渠岸上点到引水点的距离为12米，渠岸上点到引水点的距离为5米，且．现需在渠岸上选一点开沟，求水沟的最小值． 【答案】(1)（完全平方和公式） (2)①，理由见详解；②水沟的最小值为米 【分析】本题主要考查乘法公式与几何图形面积的计算，全等三角形的性质，勾股定理的运用，理解图示中面积的计算，掌握乘法公式，勾股定理的计算是解题的关键． （1）根据大正方形的面积与图形中个部分面积的关系即可求解； （2）①根据题意可得，则有，，，，根据图形面积的计算方法得到，，，最后根据，代入计算即可求解；②运用勾股定理可得米，根据点到直线垂线段最短，过点作，此时的值最小，由，即可求解． 【详解】（1）解：根据图示可得， 故答案为：（完全平方公式）； （2）解：①，理由如下， 有4张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别为，，， ∴， ∴，，， ∴， ∵，，，， ∴， 整理得，； ②根据题意，（米），（米），， ∴（米）， 根据点到直线垂线段最短， ∴过点作，此时的值最小， ∵， ∴（米）， ∴水沟的最小值为米． 24．（12分）【背景阅读】 早在三千多年前，我国周朝数学家商高就提出：将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三，股四，弦五”．它被记载于我国古代著名数学著作《周髀算经》中，为了方便，在本题中，我们把三边的比为的三角形称为型三角形，例如：三边长分别为9，12，15或的三角形就是型三角形，用长方形纸片按下面的操作方法可以折出这种类型的三角形． 【实践操作】 如图1，在长方形纸片中，． 第一步：如图2，将图1中的长方形纸片沿过点A的直线折叠，使点D落在上的点E处，折痕为，我们就得到了正方形，再沿折叠，然后把纸片展平． 第二步：如图3，将图2中的长方形纸片再次折叠，使点D与点F重合，折痕为，然后展平，隐去． 第三步：如图4，将图3中的长方形纸片沿折叠，得到，再沿折叠，折痕为，与折痕交于点，然后展平． 【问题解决】 (1)三边长为12，15，20 (填“是”或“不是”) 型三角形：三边长为9，40，41 (填“是”或“不是”) 型三角形； (2)若一个型三角形的一边长为a，求最长边； (3)请在图4中判断与的数量关系，并加以证明； (4)请在图4中判断是否是型三角形，并给出证明过程． 【答案】(1)不是，不是 (2)或或 (3)，证明见解析 (4)是，理由见解析 【分析】（1）直接判断三边比是否为即可； （2）分类讨论，根据比的性质进行求解； （3）根据长方形的性质结合折叠的性质证明即可证明； （4）由折叠知，，设，则，，则在中，由勾股定理得，，解得：，则，即可证明． 【详解】（1）解：∵，， ∴三边长为的三角形不是型三角形，三边长为的三角形不是型三角形， 故答案为：不是，不是； （2）解：①是最短边，则设最长边为， 由题意得：， 解得：； ②是中等长度边，则设最长边为， 由题意得， 解得：； ③最长边为， ∴综上所述：最长边为或或． （3）解：数量关系：． 证明：∵四边形是长方形， ∴，， 连接，由折叠性质得到：，，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （4）解：是型三角形，理由如下： 如图：由折叠知，， 设，则 ∵， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∴， 解得：， ∴， ∴是型三角形． 【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识点，正确利用折叠的性质是解题的关键． 25．（14分）如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在第一象限内，且，．    (1)试判断的形状，并说明理由； (2)在第二象限内是否存在一点，使得是以为腰的等腰直角三角形，若存在，求出点的坐标：若不存在，请说明理由； (3)如图2，点为线段上一动点，点为线段上一动点，且始终满足．求的最小值． 【答案】(1)是以B为直角顶点的直角三角形，理由见解析 (2)点P的坐标为或 (3) 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明； （2）当，分别过点B，P作轴于E，轴于F，首先利用等积法求出的长，再利用证明，得，即可得出点P的坐标；当，同理可求； （3）过点O作以为腰，的等腰直角三角形，利用证明，得，则当A、C、H三点共线时，最小，即有最小值为的长． 【详解】（1）解：是以B为直角顶点的直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴是以B为直角顶点的直角三角形； （2）解：存在，如图，当，分别过点B，P作轴于E，轴于F，    ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵P在第二象限， ∴； 如图，当，分别过点B，P作轴于E，的延长线于F，交y轴于D，    同理可求出， 同理可证明， ∴， ∴， ∵P在第二象限， ∴， 综上，存在点P，使得是以为腰的等腰直角三角形，点P的坐标为或； （3）解：如图，过点O作以为腰，的等腰直角三角形，    ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴要使最小，则最小， ∴当A、C、H三点共线时，最小，即有最小值为的长， 由（2）知，， ∴， 即有最小值为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十七章 勾股定理（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．在直角三角形中，若直角边为6和8，则斜边为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 2．满足下列条件的，不是直角三角形的是（    ）． A． B． C． D． 3．在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，若AB＝5cm，BC＝6cm，则AD的长是（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 4．如图，数轴上的点A表示的数是，点B表示的数是1，于点B，且，以点A为圆心，为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（　　） A． B． C．2.8 D．＋1 5．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，书中有“折竹抵地”问题，今有竹高一丈，末折抵地，去本六尺，折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=十尺），一阵风将竹子折断、竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 6．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为(   ) A．2.2米 B．2.3米 C．2.4米 D．2.5米 7．如图，和的顶点均在边长为1的小正方形网格格点上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2－MB2等于（   ） A．29 B．32 C．36 D．45 9．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上“生长”出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图所示的形状图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（    ） A．1012 B．2024 C．2025 D．2026 10．如图，在等腰三角形中，，，是边上的中点，，，分别是和上的动点，则的最小值是（   ） A．10 B． C．13 D． 2、 填空题：共6题，每题4分，共24分。 11．点，是平面直角坐标系中的两点，则线段 ． 12．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边向外作四个正方形，它们的面积分别是，，，，在，，则的值是 ．    13．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点O．若，，则 ． 14．如图，在一个长AB为18m，宽AD为7m的长方形草坪ABCD上，放着一根长方体的木块 ，已知木块的较长边与AD平行，横截是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程是    米． 15．如图，在中，，，于点，于点，点为线段上一个动点，点为线段上一动点，当与全等时，的长度为 ． 16．如图，在平面直角坐标系中，已知是等腰直角三角形，，点在轴负半轴上，点在轴负半轴上．若点A的纵坐标始终为4，则点到直线的距离的最大值是 ． 三、解答题：共9题，共86分，其中第17~21题每小题8分，第22~23题每小题10分，第24题12分，第25题14分。 17．（8分）如图，在中，，两直角边，．求斜边上的高的长． 18．（8分）如图，这是一个4×4的正方形网格，设每个小正方形的边长都是1． （1）在图①网格中画出格点直角三角形（三角形的顶点都在小正方形的顶点处的三角形称为格点三角形，下同），使其斜边的长为无理数，两直角边长是有理数． （2）在图②网格中画出格点直角三角形，使其三边的长都是无理数． （3）在图③网格中画出格点等腰三角形，使其至少有一条边的长是无理数． 19．（8分）某海岛海域争端持续，我国海监船加大该岛附近海域的巡航维权力度．如图，海里，海里，海岛位于O点，我国海监船在点B处发现有一不明国籍的渔船，自A点出发沿着方向匀速驶向海岛所在地点O，我国海监船立即从B处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点C处截住了渔船． (1)请用直尺和圆规作出C处的位置； (2)求我国海监船行驶的航程的长． 20．（8分）如图，点是边的中点，过点作，，，，，是直角三角形吗？请通过计算说明理由． 21．（8分）如图，在中，． (1)求证：； (2)当，，时，求的值． 22．（10分）【项目式学习】在圆柱表面，蚂蚁怎么爬行路径最短？ （取） 素材：如图，圆柱体的高为，底面直径为，在圆柱下底圆周上的点有一只蚂蚁，它想吃到上底面圆周上与 点对应的 点处的食物． 若蚂蚁沿图中的折线爬行的最短路径记为“路线一”，此时最短路程是 ． 将圆柱沿着将侧面展开得到图，请在图中画出蚂蚁爬行的最短路径记为“路线二”，此时最短路程是 ； 比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线 （用“一”或“二”填空）． 素材：如图所示的实践活动器材包括：底面直径为，高为的圆柱、橡皮筋、细线（借助细线来反映爬行的路线）、直尺，通过调节橡皮筋的位置达到改变圆柱的高度的目的． （1） 两种路线路程的长度如表所示（单位：）： 圆柱高度 沿路线一路程 沿路线二路程 比较与的大小 （2） 填空：表格中的值是 ；表格中表示的大小关系是 ； （3） 经历上述探究后，请你思考：若圆柱的半径为，圆柱的高为． 在不变的情况下，当圆柱半径为与圆柱的高度存在怎样的数量关系时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等？ 23．（10分）【阅读材料】学习整式乘法时我们有这样的发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题． (1)如图1，由边长分别为，的正方形和两个长为，宽为的长方形拼成的大正方形，可知大正方形的边长为，即可求得大正方形的面积．将图1大正方形看作由4个小图形拼成，则4个小图形面积之和等于大正方形的面积．即可得到一个乘法公式_____． (2)思考：爱动脑的小东通过图1的启示，发现拼图还能解决直角三角形三边的关系．如图2，现有4张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别为，，，将它们拼成一个大的正方形，中间是一个小正方形． ①由图2中你能得到，，之间的数量关系是什么？请写出你的推理过程； ②问题解决：如图3，直线为一水渠渠岸，经测量知渠岸上点到引水点的距离为12米，渠岸上点到引水点的距离为5米，且．现需在渠岸上选一点开沟，求水沟的最小值． 24．（12分）【背景阅读】 早在三千多年前，我国周朝数学家商高就提出：将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三，股四，弦五”．它被记载于我国古代著名数学著作《周髀算经》中，为了方便，在本题中，我们把三边的比为的三角形称为型三角形，例如：三边长分别为9，12，15或的三角形就是型三角形，用长方形纸片按下面的操作方法可以折出这种类型的三角形． 【实践操作】 如图1，在长方形纸片中，． 第一步：如图2，将图1中的长方形纸片沿过点A的直线折叠，使点D落在上的点E处，折痕为，我们就得到了正方形，再沿折叠，然后把纸片展平． 第二步：如图3，将图2中的长方形纸片再次折叠，使点D与点F重合，折痕为，然后展平，隐去． 第三步：如图4，将图3中的长方形纸片沿折叠，得到，再沿折叠，折痕为，与折痕交于点，然后展平． 【问题解决】 (1)三边长为12，15，20 (填“是”或“不是”) 型三角形：三边长为9，40，41 (填“是”或“不是”) 型三角形； (2)若一个型三角形的一边长为a，求最长边； (3)请在图4中判断与的数量关系，并加以证明； (4)请在图4中判断是否是型三角形，并给出证明过程． 25．（14分）如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在第一象限内，且，．    (1)试判断的形状，并说明理由； (2)在第二象限内是否存在一点，使得是以为腰的等腰直角三角形，若存在，求出点的坐标：若不存在，请说明理由； (3)如图2，点为线段上一动点，点为线段上一动点，且始终满足．求的最小值． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$