专题17 锐角三角函数（中考高频题型归纳与训练）-备战2025年中考数学真题题源解密（山东专用）

专题17 三角函数 课标要求 考点 考向 1．利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数(sin A， cos A，tan A)，知道30°，45°，60°角的三角函数值。 2. 会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角。 3. 能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题。 三角函数 考向一 三角函数的定义 考向二 解直角三角形的实际应用——俯仰角 考向三 解直角三角形的实际应用——坡度、坡角 考向四 解直角三角形的实际应用——其他 考向五 三角函数与四边形的综合 考向六 三角函数与圆的综合 考点 三角函数 ►考向一 三角函数的定义 解题技巧 采用哪个三角比来求边、角，要根据已知条件： （1）已知角和对边，求临边则用正切； （2）已知角和对边，求斜边则用正弦； （3）已知角和临边，求斜边则用余弦； （4）已知角和临边，求对边则用正切； （5）已知两直角边，求角用正切； （6）已知斜边和一条直角边，求夹角用余弦，求对角用正弦. 1.（2024•东营）如图，在正方形中，与交于点O，H为延长线上的一点，且，连接，分别交，BC于点E，F，连接，则下列结论：①；②；③平分；④． 其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据正方形的性质结合勾股定理可知，，，，与互相垂直且平分，进而可求得，根据正切值定义即可判断②；由，可知，由相似三角形的性质即可判断①；由，可求得，再结合与互相垂直且平分，得，可知，进而可判断③；再证，即可判断④． 【详解】解：在正方形中，，，，，与互相垂直且平分， 则， ∵，则， ∴，故②不正确； ∵，则，， ∴， ∴，故①不正确； ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵与互相垂直且平分， ∴， ∴，则， ∴， ∴平分，故③正确； 由上可知，， ∴， ∴，则， 又∵， ∴，故④正确； 综上，正确的有③④，共2个， 故选：B． 【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，解直角三角形等知识，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 2.（2024•淄博）如图所示，在矩形中，，点，分别在边，上．连接，将四边形沿翻折，点，分别落在点，处．则的值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】连接交于点F，设，则，利用勾股定理求得，由折叠得到，垂直平分，则，由代入求得，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接交于点F， 设，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∵将四边形沿翻折，点C，D分别落在点A，E处， ∴点C与点A关于直线对称， ∴，垂直平分， ∴，，， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴． 故选：A． 【点睛】此题考查矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． ►考向二 解直角三角形的实际应用——俯仰角 1.（2024•日照）潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为（点在同一平面内），则潮汐塔的高度为（    ） （结果精确到．参考数据：） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考査了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 延长交于点C，根据题意得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】如图，延长交于点C． 由题意得． 在中，， ， ． 在中，， ， ． 故选B． 2.（2024•泰安）在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识测量大汶河某河段的宽度，他们在河岸一侧的瞭望台上放飞一只无人机，如图，无人机在河上方距水面高60米的点处测得瞭望台正对岸A处的俯角为，测得瞭望台顶端处的俯角为，已知瞭望台高12米（图中点，，，在同一平面内），那么大汶河此河段的宽为 米．（参考数据：，，，） 【答案】74 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用—仰角、俯角问题等知识点，熟练掌握解直角三角形是解题关键． 根据题意可得，则，再通过解直角三角形求得和，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：由题知, ∴, 在， ∴, ∴, 在中，, ∴, ∴． 故答案为：74． 3.（2024•潍坊）在光伏发电系统运行时，太阳能板（如图1）与水平地面的夹角会对太阳辐射的接收产生直接影响．某地区工作人员对日平均太阳辐射量（单位：）和太阳能板与水平地面的夹角进行统计，绘制了如图2所示的散点图，已知该散点图可用二次函数刻画． (1)求关于的函数表达式； (2)该地区太阳能板与水平地面的夹角为多少度时，日平均太阳辐射量最大？ (3)图3是该地区太阳能板安装后的示意图（此时，太阳能板与水平地面的夹角使得日平均太阳辐射量最大），为太阳能板与水平地面的夹角，为支撑杆．已知，是的中点，．在延长线上选取一点，在两点间选取一点，测得，在两点处分别用测角仪测得太阳能板顶端的仰角为，，该测角仪支架的高为1m．求支撑杆的长．（精确到m，参考数据：，） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的图像和性质，解直角三角形，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）设关于的函数表达式为，将图中的点代入即可求出答案； （2）求出二次函数的对称轴，在对称轴处取最值； （3）延长与过点作的线交于点，令，根据三角函数进行计算，求出即可得到答案． 【详解】（1）解：设关于的函数表达式为， 将代入， 得， 解得， ； （2）解：根据函数解析式得函数对称轴， 故阳能板与水平地面的夹角为度时，日平均太阳辐射量最大； （3）解：， 延长与过点作的线交于点，令， ，， ， ， ， ， ， 延长交与点， ， ， ， ， ， ． 4.（2024•烟台）根据收集的素材，探索完成任务． 探究太阳能热水器的安装 素材一 太阳能热水器是利用绿色能源造福人类的一项发明．某品牌热水器主要部件太阳能板需要安装在每天都可以有太阳光照射到的地方，才能保证使用效果，否则不予安装． 素材二 某市位于北半球，太阳光线与水平线的夹角为α，冬至日时，；夏至日时，． ，， ，， ，， ，， 素材三 如图，该市甲楼位于乙楼正南方向，两楼东西两侧都无法获得太阳光照射．现准备在乙楼南面墙上安装该品牌太阳能板．已知两楼间距为54米，甲楼共11层，乙楼共15层，一层从地面起，每层楼高皆为3.3米，为某时刻的太阳光线． 问题解决 任务一 确定使用数据 要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，应选择________日（填冬至或夏至）时，α为________（填，，，中的一个）进行计算． 任务二 探究安装范围 利用任务一中选择的数据进行计算，确定乙楼中哪些楼层不能安装该品牌太阳能热水器． 【答案】任务一：冬至，；任务二：乙楼中7层（含7层）以下不能安装该品牌太阳能热水器 【分析】本题考查解直角三角形的应用，理解题意是解答的关键． 任务一：根据题意直接求解即可； 任务二：过E作于F，利用正切定义求得 【详解】解：任务一：根据题意，要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，只需为冬至日时的最小角度，即， 故答案为：冬至，； 任务二：过E作于F，则，米，， 在中，， ∴（米）， ∵（米）， ∴（米）， （层）， 答：乙楼中7层（含7层）以下不能安装该品牌太阳能热水器． 5.（2024•淄博）如图，在综合与实践活动课上，小强先测得教学楼在水平地面上的影长为．又在点处测得该楼的顶端的仰角是．则用科学计算器计算教学楼高度的按键顺序正确的是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形的应用，用计算器计算三角函数值，根据题意，得到，进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：在中，，， ∴； 计算器的按键为  ； 故选A． ►考向三 解直角三角形的实际应用——坡度、坡角 易错易混 坡度不是角度，是坡角的正切 1.（2024•青岛）“滑滑梯”是同学们小时候经常玩的游戏，滑梯的坡角越小，安全性越高．从安全性及适用性出发，小亮同学对所在小区的一处滑梯进行调研，制定了如下改造方案，请你帮小亮解决方案中的问题． （参考数据：） 【答案】调整后的滑梯会多占的一段地面 【难度】0.65 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点E作于H，则四边形是矩形，可得，再解直角三角形求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点E作于H，则四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 答：调整后的滑梯会多占的一段地面． ►考向四 解直角三角形的实际应用——其他 解题技巧 一般出现75°、105°时，考虑通过辅助线将其分开成75°=30°+45°，105°=45°+60°. 1.（2024•济南）城市轨道交通发展迅猛，为市民出行带来极大方便，某校“综合实践”小组想测得轻轨高架站的相关距离，数据勘测组通过勘测得到了如下记录表： 请根据记录表提供的信息完成下列问题： (1)求点到地面的距离； (2)求顶部线段的长．（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】(1)点到地面的距离为； (2)顶部线段的长为． 【分析】本题主要考查了平行线的性质及解直角三角形，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． （1）过点作，交的延长线于点，由得，在中解直角三角形即可得解； （2）过点作，垂足为由平行线的性质得，进而得，根据平行线间的距离处处相等得，从而得，最后在中，解直角三角形即可得解． 【详解】（1）解：如图，过点作，交的延长线于点， 在中 答：点到地面的距离为 （2）解：如图，过点作，垂足为 ， ， 平行线间的距离处处相等 ， ∵， 在中 答：顶部线段的长为 ►考向五 三角函数与四边形的综合 1.（2024•德州）如图，中，对角线平分．    (1)求证：是菱形； (2)若，，求菱形的边长．（参考数据：，，） 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】此题考查平行四边形性质和菱形的判定和性质，等腰三角形的判定，解直角三角形． （1）根据平行四边形性质得出，再结合角平分线的定义及等腰三角形的判定即可得出，，根据邻边相等的平行四边形是菱形进而得出结论； （2）连接，由菱形性质可知，，，在利用余弦求出长即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∴． ∴四边形是菱形． （2）连接，交于点O，    ∵四边形是菱形．，， ∴，，， ∴， 即菱形的边长为5． 2.（2024•日照）如图，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线，交于点，交的延长线于点． (1)由以上作图可知，与的数量关系是_______ (2)求证： (3)若，，，求的面积． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查了角平分线定义，平行四边形的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． （1）根据作图可知，为的角平分线，即可得到答案； （2）根据平行四边形的性质可知，结合，从而推出，即可证明； （3）过点作的垂线交的延长线于点，根据平行四边形的性质，，，结合，推出，从而得到，，，最后由计算即可． 【详解】（1）解：由作图可知，为的角平分线 故答案为： （2）证明：四边形为平行四边形 （3）解：如图，过点作的垂线交的延长线于点 四边形为平行四边形， ， ， 又 ． 3.（2024•泰安）如图，菱形中，，点是边上的点，，，点是上的一点，是以点为直角顶点，为角的直角三角形，连结．当点在直线上运动时，线段的最小值是（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】如图：过E作于点M，作于点H，作于点I，则点E、M、F、G四点共圆，从而得到，因为，所以求出的值即可解答． 【详解】解：如图，过E作于点M，作于点H，作于点I， ∵， ∴点E、M、F、G四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴最小值是． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、解直角三角形、垂线段最短、圆内接四边形对角互补等知识点，熟练掌握相关知识点和添加合适的辅助线是解题关键． ►考向六 三角函数与圆的综合 1.（2024•德州）如图，圆与都经过A，B两点，点在上，点C是上的一点，连接并延长交于点P，连接． (1)求证： (2)若，． ①求的半径； ②求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①2 ② 【分析】对于（1），连接，在中，先根据同弧所对的圆周角相等得，然后在中，根据圆周角定理得，可得答案； 对于（2）①，由结合（1），可得，再连接，作，可得，，进而得出，然后在中，根据得出答案； 对于②，先说明是等边三角形，即可求出其面积，在中，求出弓形的面积，然后根据得出答案． 【详解】（1）如图所示． 连接， 在中，， 在中，， ∴； （2）①，∵， ∴． 连接，过点作，交于点D， ∴，， ∴． 在中，， 即， ∴， 所以的半径是2； ②∵， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴垂直平分，垂直平分， ∴点三点共线． 在中，， 在中，． 在中，上标点，． 在中， ． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，线段垂直平分线的性质和判定，勾股定理，余弦，求扇形的面积，等边三角形的性质和判定，构造辅助线是解题的关键． 2.（2024•青岛）如图，中，，以为直径的半圆O分别交于点D，E，过点E作半圆O的切线，交于点M，交的延长线于点N．若，，则半径的长为 ． 【答案】6 【难度】0.65 【分析】本题主要考查了切线的性质，解直角三角形，等边对等角，平行线的性质与判定等等，解题的关键在于证明，根据等边对等角推出，则可证明得到，再由切线的性质得到，则解求出的长即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴在中，， ∴， ∴半径的长为6， 故答案为：． 3.（2024•泰安）如图，是的直径，是的切线，点为上任意一点，点为的中点，连接交于点，延长与相交于点，若，，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质、切线的性质、圆周角定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 先证可得从而得到，求得，再运用勾股定理可得，再根据圆周角定理以及角的和差可得，最后根据等角对等边即可解答． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 故答案为：． 4.（2024•潍坊）如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的直径． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）连接，由角平分线可得，又由可得，即得，由得，进而可得，即得，即可求证； （）是的直径可得，又由（）知，由，，进而可得，再根据，，，可得，得到，，解得到，再解即可求解； 本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的性质，切线的判定，圆周角定理，三角函数，掌握圆的有关定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； （2）解：∵是的直径， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∵，，， ∴ ∴，， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 即的直径为． 1.（2024•日照）如图1，为的直径，是上异于的任一点，连接，过点A作射线为射线上一点，连接． 【特例感知】 （1）若．则_______． （2）若点在直线同侧，且，求证：四边形是平行四边形； 【深入探究】 若在点C运动过程中，始终有，连接． （3）如图2，当与相切时，求的长度； （4）求长度的取值范围． 【答案】（1）   （2）证明见解析  （3）   （4） 【分析】（1）根据直径性质得到，,根据，，运用勾股定理可得； （2）根据．，得到．得到，结合， 得到，得到，得到四边形是平行四边形； （3）连接．根据，得到，，根据切线性质得到，．得到，．得到，得到，运用勾股定理得； （4）过点A作射线，使，连接．得到，，根据．，可得，根据，得到，得，得到．根据，得到，即得． 【详解】（1）解：∵为的直径， ∴, ∵，， ∴ 故答案为：； （2）证明：∵为的直径， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴ ∴四边形是平行四边形． （3）解：如图，连接． ∵在中，， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴． 又∵， ∴ ∴． ∴， 在中，， ∴在中，； （4）解：如图，过点A作，使，连接． 则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆与三角形综合．熟练掌握圆周角定理推论，圆切线性质，平行四边形的判定，含30°的直角三角形判定和性质，勾股定理解直角三角形，锐角三角函数解直角 三角形，相似三角形的判定和性质，是解决问题的关键． 2.（2024•威海）某校九年级学生开展利用三角函数解决实际问题的综合与实践活动，活动之一是测量某护堤石坝与地平面的倾斜角．测量报告如下表（尚不完整） (1)设，，，，，，，，请根据表中的测量示意图，从以上线段中选出你认为需要测量的数据，把表示数据的小写字母填写在“测量数据”一栏． (2)根据（）中选择的数据，写出求的一种三角函数值的推导过程． (3)假设，，，根据（）中的推导结果，利用计算器求出的度数，你选择的按键顺序为________． 【答案】(1)，，，； (2)，推导见解析； (3)． 【分析】（）根据题意选择需要的数据即可； （）过点作于点，可得，得到，即得，得到，再根据正弦的定义即可求解； （）根据（）的结果即可求解； 本题考查了解直角三角形，相似三角形的的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：需要的数据为：，，，； （2）解：过点作于点，则， ∵， ∴， ∴ ∴， 即 ∴， ∴； （3）解：∵， ∴按键顺序为， 故答案为：． 3.（2024•山东）【实践课题】测量湖边观测点和湖心岛上鸟类栖息点之间的距离 【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具 【实践活动】某班甲小组根据湖岸地形状况，在岸边选取合适的点．测量，两点间的距离以及和，测量三次取平均值，得到数据：米，，．画出示意图，如图 【问题解决】（1）计算，两点间的距离． （参考数据：，，，，） 【交流研讨】甲小组回班汇报后，乙小组提出了另一种方案： 如图2，选择合适的点，，，使得，，在同一条直线上，且，，当，，在同一条直线上时，只需测量即可． （2）乙小组的方案用到了________．（填写正确答案的序号） ①解直角三角形    ②三角形全等 【教师评价】甲、乙两小组的方案都很好，对于实际测量，要根据现场地形状况选择可实施的方案． 【答案】（1），两点间的距离为米；（2）② 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质的应用，解直角三角形的应用，灵活应用知识点是解本题的关键； （1）如图，过作于，先求解，，再求解及即可； （2）由全等三角形的判定方法可得，可得，从而可得答案. 【详解】解：如图，过作于， ∵米，，，， ∴， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴（米）； 即，两点间的距离为米； （2）∵，，当，，在同一条直线上时， ∴， ∴， ∴， ∴只需测量即可得到长度； ∴乙小组的方案用到了②； 一、单选题 1．（24-25九年级上·山东威海·期中）如图所示的螺旋形是由一系列直角三角形组成的，其中，，每个三角形都以点O为顶点．若是第一个小于的角，则n的值为（    ）（参考数据：，，） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形中正切值的计算，根据，，，，，的值，求出，，找到规律求出，最后根据是第一个小于的角列不等式求解即可． 【详解】解：由题意可得： ，，则， ，，则， ，，则， ∴，，则， ∵是第一个小于的角， ∴， 整理得， 取最小自然数得， 故选：D． 2．（23-24九年级上·山东德州·开学考试）如图，中，，，，，，则关于、、的大小关系（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由勾股定理，依次得到，，，由，，得到，， 由，，得到（三角形的三条高相交于同一点），结合，得到，即可求解， 本题考查了，勾股定理，锐角三角函数，解题的关键是：熟练掌握通过三角函数比较角的大小． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴（三角形的三条高相交于同一点）， 又∵， ∴， 故选：A． 3．（18-19九年级上·山东聊城·期末）在中，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意，互余的两个角的正弦和余弦值相等，即可得到答案； 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴； 故选：A 【点睛】本题考查了三角函数，解题的关键是掌握三角函数的定义进行解题． 4．（24-25九年级上·山东济南·期中）如图，圭表是度量日影长度的一种天文仪器，垂直于地面的直杆叫“表”，水平放置于地面上刻有刻度以测量影长的标尺叫“圭”．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，冬至日影最长，夏至日影最短．圭面上冬至线与夏至线之间的距离的长为，则表高为（　　）（参考数据：冬至时，；夏至时，） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，利用数形结合的思想是解题关键．设，结合题意可得出，，解出x的值即可． 【详解】解：如图，设表高， ∵冬至时，；夏至时，， ∴冬至时，；夏至时，， ∴，， ∴，， 解得：． 故表高为． 故选A． 二、填空题 5．（24-25九年级上·山东威海·期末）如图，，斜坡AB的坡度，某人从斜坡的M处走了50米到达N处，则N与M的垂直高度为 米． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，正确理解坡度的定义是解题关键．根据坡度的定义求解即可． 【详解】 解：由题意知，，斜坡的坡度，， 设N与M的垂直高度， 根据坡度为，则， 根据勾股定理得 ：， 解得：（舍负值）． 故答案为：． 三、解答题 6．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）如图所示，根据提供的数据回答下列问题： (1)在图①，______，______，______； 在图②中，______，______，______； 通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？用一个一般式子把你发现的规律表示出来，并加以证明； (2)在图①中，______，______； 在图②中，______，______； 通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？用一个一般式子把你发现的规律表示出来，并加以证明． 【答案】(1)；；证明见解析 (2)；；证明见解析 【分析】（1）本小题要求找到规律并证明，要规律首先就应该准确的计算出，，，，，以及和的值；要证明结论就应该在一般的三角形中求解，在边长分别为、、的直角三角形中，，，计算的结果证明结论； （2）在边长分别为、、的直角三角形中计算，，看结论是否相同即可． 本题考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角的对边与斜边的比叫做的正弦，记作，锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦，记作，锐角的对边与邻边的比叫做的正切，记作是解题的关键． 【详解】（1）解：，，， ，，， 规律：对于任意锐角有， 故答案为：，，1，，，1； 证明：如图所示，在中，， ，，， ． （2）解：，， ， 规律：对于任意锐角有， 证明：如图， ，， ． 故答案为：，，，． 7．（2024·山东·模拟预测）（1）计算：；（参考公式：） （2）已知a、b是一元二次方程的两个实根，求的S值． 【答案】（1）（2）或 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，同角三角函数，解一元二次方程，代数式求值，以及对题干参考公式的理解，解题的关键在于熟练掌握相关运算法则，并正确计算． （1）本题根据，以及将式子变形为，再结合特殊角的三角函数值求解，即可解题； （2）解一元二次方程得到a、b的值，分别讨论当，时，以及当，时，结合特殊角的三角函数值计算求解，即可解题． 【详解】（1）解： ； （2）解： a、b是一元二次方程的两个实根， ， 解得，或，， 当，时， 则 ； 当，时， 则 ； 8．（24-25九年级上·山东·期末）【实践课题】南海是我国的固有领土，近年来由于海运量增大，对珊瑚礁的破坏严重，为了保护某珊瑚礁，我国某科考队在南海画出了一个海洋保护区，在航海图上标明了三个观测点的坐标，请你帮助科考队完成任务． 【实践工具】中国南海地图，直尺，铅笔等工具 【实践活动】该班甲小组在地图上确定O，B，C三观测点，建立平面直角坐标系，如图1所示，、、，由这三个观测点确定的圆形区域是海洋生物保护区． 【问题解决】甲小组若在观测点O测得一艘渔船D的位置为，试问该渔船是否已进入海洋生物保护区？ 【交流研讨】甲小组问题解决后，乙小组提出了另一种方案：如图1所示，在甲小组确定的O，B，C三个观测点的基础上，再连接，比较和的大小，来确定D在的内部还是外部，请你利用乙组的方法确定当渔船D的位置为时，试问该渔船是否已进入海洋生物保护区？（注：当时，点D在内部，当时，点D在外部，当时，点D在上）（注：时，角随正弦值的增大而增大，） 【答案】[问题解决]该渔船已进入海洋生物保护区；[交流研讨]该渔船不进入海洋生物保护区 【分析】[问题解决]连接，则点在和的垂直平分线上，由条件可知为圆的直径，圆心到的距离为4，到的距离为3，则到轴的距离为，可得出点的坐标；过作，交于点，并延长交圆于点，过作交于点，连接，在中可求得，再比较与半径的大小关系即可得出结论．可判断出点在圆内，可得出结论． [交流研讨]先做辅助线，再结合勾股定理以及运用等面积法求出，分别求出的正弦值，再进行比较，即可作答． 本题主要考查点与圆的位置关系及垂径定理的应用，勾股定理，求一个角的正弦值，掌握点与圆的位置关系的判定只需要求得点到圆心的距离与半径的大小关系是解题的关键． 【详解】解：[问题解决]由垂径定理可知点在和的垂直平分线上，连接，如图1， ，， ， 为直径， 点的坐标为； 如图2，过作，交于点，并延长交圆于点， 过作交于点，连接， ∵为，为， ∴，而， 在中，由勾股定理可求得， 即， ∴点在内，所以该渔船已进入海洋生物保护区． [交流研讨] 解：依题意，渔船D的位置为，连接 如图所示： ∵渔船D的位置为，，，， ∴，， 过点作轴，过点作， ∵， ∴， 则， ∵，，， ∴ 则 ∵，且时，角随正弦值的增大而增大， ∴， 故点D在外部， 即该渔船不进入海洋生物保护区． 9．（24-25九年级上·山东济南·期中）某数学兴趣小组在学习完“，，角的三角函数值”这一节课后，做了如下探究：如图1，中，，，，延长至点D，使．根据，，得出，，，，又∵，，∴，则求出，同时还求出． (1)如图1，根据以上的思路和数据，得出________°，________．（写出最后结果） (2)如图2，中，，，请你参考兴趣小组的思路，求的值． (3)如图3，某工程队在施工过程中，要对一个三角形区域进行勘探．已知，，，请帮助他们求出的面积． 【答案】(1)75， (2) (3)平方千米 【分析】（1）由直角三角形的性质及锐角三角函数的定义可得出答案； （2）延长到I，使，设，由勾股定理得：，，，则可得出答案； （3）过点H作，垂足为O，求出和，由三角形的面积可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ， ． 故答案为：75，； （2）解：延长到I，使，设， ∵，， ∴， ∴，由勾股定理得：， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：过点H作，垂足为O，如图所示： 由兴趣小组的结论，可得， 由题意可知，， ∴， ∴， ∵， ∴， 由第（2）问可知，， ∴， ∴， ∴的面积 【点睛】本题是三角形综合题，考查了勾股定理，解直角三角形，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识． 10．（23-24九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，距小明家楼下D点20米的B处有一根废弃的电线杆，经测得此电线杆与水平线所成锐角为，在小明家楼顶C处测得电线杆顶端A的俯角为，底部点B的俯角为 （点A、B、D、C在同一平面内）．已知在以点B为圆心，10米长为半径的圆形区域外是一休闲广场，有关部门想把此电线杆水平放倒，且B点不动，为安全起见，他们想知道这根电线杆放倒后，顶端A能否落在休闲广场内？请通过计算回答． （结果精确到0.1米，参考数据：，） 【答案】顶端A不能落在休闲广场内，计算见解析． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从实际问题中构造出直角三角形并求解． 作辅助线、，分别构造和，解直角三角形列方程求出的长度，然后与10比较即可得出结论． 【详解】解：设米，如图，过点A作水平线于点E，则： ， ， ∴． 过点A作于点， 则, 即四边形为矩形， ∴， ∵C处测得电线杆顶端A的俯角为， ∴， ∴ ∵， ∴ 解得：． ∵ ∴顶端A不能落在休闲广场内． 11．（2024九年级上·山东济南·专题练习）已知正弦定理：． (1)小明想学习正弦定理，但他不会证明，老师已经给出了思路，请根据思路，帮小明完成证明． 如图，作的外接圆，O为圆心．连接并延长交圆于D，设．根据直径所对圆周角是直角及同弧所对圆周角相等，可得：； (2)证明后，老师提出还可以用其他方法证明，请你对此进行证明； (3)接下来请你运用正弦定理，解决下面问题：中，，平分，求的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】本题主要考查了解直角三角形，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角等等： （1）解得到，则，同理可得，由此即可证明； （2）过点A作于D，解得到，解，得到，则，即可证明，同理可证明，则； （3）利用正弦定理得到，，则；如图所示，分别过点B和点D作的垂线，垂足分别为E、F，解得到，则，则，解得到，则，设，解得到，解得到，则，可得，则． 【详解】（1）证明：如图，作的外接圆，O为圆心．连接并延长交圆于D，设 根据直径所对圆周角是直角及同弧所对圆周角相等，可得：， 在中，， ∴， ∴， 同理可得， ∴； （2）解：如图所示，过点A作于D， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 同理可证明， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴， 如图所示，分别过点B和点D作的垂线，垂足分别为E、F， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵平分， ∴， 设， 在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴． 12．（24-25九年级上·山东菏泽·期末）【实践课题】通过测量相关距离与角度，计算待建环山路的长度． 【实践工具】测距仪、测角仪等测量工具． 【实践活动】如图，某山的一侧已建成了三段休闲步道，数学实践小组经过现场勘探，画出示意图，休闲步道分别是，，，且A，，，在同一水平面上．经过多次测量，得到如下数据：，，，． 【问题解决】城建部门准备在山的另一侧修建一条以为直径的半圆状环山路（图中虚线部分）． (1)求A，两点间的距离； (2)求该条待建环山路的长度（结果保留）．（参考数据：，，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形、勾股定理、等腰三角形的性质、弧长公式等知识点，灵活运用相关性质成为解题的关键． （1）如图：连接．过点作，垂足为点．由等腰三角形的三线合一的性质可得、，再解直角三角形可得，进而求得即可解答； （2）如图：连接．由等腰三角形的性质可得，再根据角的和差可得，然后运用勾股定理求得，最后根据弧长公式计算即可． 【详解】（1）解：如图：连接．过点作，垂足为点． ∵， ∴，． 在中，， ∴． ∴． ∴A，两点之间的距离为． （2）解：如图：连接． ∵， ∴， ∴． 在中，由勾股定理可得：， ∴． ∴的长． 答：待建环山路的长度为． 13．（24-25九年级上·山东威海·期末）为测量塑像高度，进行如下操作：如图，无人机飞到雕塑正上方距地面的高度后，沿塑像的左手方向水平飞行至C处，测得雕塑底部B处的俯角为；无人机保持方向不变继续水平飞行至D处，测得雕塑顶端A处的俯角为．求塑像的高度．（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握基本知识点是解题关键． 过点C作，垂足为点M，延长交的延长线于点E．先在中，求出的长度，设塑像的高度为．再表示出和，再利用，列出方程解方程即可． 【详解】解：过点C作，垂足为点M，延长交的延长线于点E． 可得四边形为矩形． ∴． 在中，， ． 设塑像的高度为． 可得， ∵， ∴． 由，可得 ． 解得． 答：塑像的高度约为． 14．（2025·山东临沂·一模）某中学为新操场采购了一批可调节高度的篮球架，右图是其侧面示意图，底座高度忽略不计．已知其支架，，安装完毕后小明测得， ， 国家规定中学生所用篮球架中篮筐距地面标准高度约为，请你帮小明判断安装后的这批篮球架是否符合国家标准？（参为数据：，结果保留整数） 【答案】符合国家标准 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，过 点D作于 点H，过 点E作于点P，过点D作于点P ，过点F作于点G，易得四边形为矩形，四边形为矩形，在中，求出的长，在中，求出，进而求出的长即可． 【详解】解：符合国家标准； 理 由：过 点D作于 点H，过 点E作于点P，过点D作于点Q，过点F作于点G， ∴， ∴四边形为矩形，同理可得，四边形为矩形， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴； ∴符合国家标准． 15．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）某中学凤栖堂前一尊孔子雕像矗立于萋萋芳草间，小刚站在雕像前，自C处测得雕像顶A的仰角为，小强站凤栖堂门前的台阶上，自D处测得雕像顶A的仰角为，此时，两人的水平距离为，已知凤栖堂门前台阶斜坡的坡比为．（参考数据：，，） (1)计算台阶的高度； (2)求孔子雕像的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角，解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）根据凤栖堂门前台阶斜坡的坡比为计算即可； （2）设的对边为，作于F，根据矩形的性质得到，，根据等腰直角三角形的性质、正切的定义计算，得到答案． 【详解】（1）解：∵凤栖堂门前台阶斜坡的坡比为，为， ∴， ， 即台阶的高度为； （2）解：如图所示，设的对边为，作于F， ∴由题意得，四边形是矩形， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， ∴， ∴，即， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：孔子雕像的高度约． 16．（2024·山东青岛·模拟预测）如图，我国某舰队在一次演习中，处指挥舰发现在北偏东方向上处有一可疑船只，立即命令在指挥舰正东方向距离50海里处的舰艇前往拦截处理．处舰艇接到命令时，发现可疑船只位于北偏西方向上，正向正东方向逃窜，经过计算，立即沿北偏东方向航行，最终在处成功拦截．求可疑船只和我军舰艇平均航行距离各是多少？（保留整数，，，，，，，，，） 【答案】可疑船只航行的路程约为海里，我军舰艇航行的距离约为海里 【分析】本题考查考查解直角三角形的应用—方向角问题，延长交过A的正北方向线于点Q，过B点正北方向线交于点D，设海里，则，，，根据海里列方程求出x的值然后计算解题． 【详解】解：如图，延长交过A的正北方向线于点Q，过B点正北方向线交于点D， 则，为矩形， ∴海里，， 设海里， 则， ， ， ∴，解得， ∴可疑船只航行的路程约为海里， 我军舰艇航行的距离约为海里． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题17 三角函数 课标要求 考点 考向 1．利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数(sin A， cos A，tan A)，知道30°，45°，60°角的三角函数值。 2. 会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角。 3. 能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题。 三角函数 考向一 三角函数的定义 考向二 解直角三角形的实际应用——俯仰角 考向三 解直角三角形的实际应用——坡度、坡角 考向四 解直角三角形的实际应用——其他 考向五 三角函数与四边形的综合 考向六 三角函数与圆的综合 考点 三角函数 ►考向一 三角函数的定义 解题技巧 采用哪个三角比来求边、角，要根据已知条件： （1）已知角和对边，求临边则用正切； （2）已知角和对边，求斜边则用正弦； （3）已知角和临边，求斜边则用余弦； （4）已知角和临边，求对边则用正切； （5）已知两直角边，求角用正切； （6）已知斜边和一条直角边，求夹角用余弦，求对角用正弦. 1.（2024•东营）如图，在正方形中，与交于点O，H为延长线上的一点，且，连接，分别交，BC于点E，F，连接，则下列结论：①；②；③平分；④． 其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.（2024•淄博）如图所示，在矩形中，，点，分别在边，上．连接，将四边形沿翻折，点，分别落在点，处．则的值是（    ） A．2 B． C． D． ►考向二 解直角三角形的实际应用——俯仰角 1.（2024•日照）潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为（点在同一平面内），则潮汐塔的高度为（    ） （结果精确到．参考数据：） A． B． C． D． 2.（2024•泰安）在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识测量大汶河某河段的宽度，他们在河岸一侧的瞭望台上放飞一只无人机，如图，无人机在河上方距水面高60米的点处测得瞭望台正对岸A处的俯角为，测得瞭望台顶端处的俯角为，已知瞭望台高12米（图中点，，，在同一平面内），那么大汶河此河段的宽为 米．（参考数据：，，，） 3.（2024•潍坊）在光伏发电系统运行时，太阳能板（如图1）与水平地面的夹角会对太阳辐射的接收产生直接影响．某地区工作人员对日平均太阳辐射量（单位：）和太阳能板与水平地面的夹角进行统计，绘制了如图2所示的散点图，已知该散点图可用二次函数刻画． (1)求关于的函数表达式； (2)该地区太阳能板与水平地面的夹角为多少度时，日平均太阳辐射量最大？ (3)图3是该地区太阳能板安装后的示意图（此时，太阳能板与水平地面的夹角使得日平均太阳辐射量最大），为太阳能板与水平地面的夹角，为支撑杆．已知，是的中点，．在延长线上选取一点，在两点间选取一点，测得，在两点处分别用测角仪测得太阳能板顶端的仰角为，，该测角仪支架的高为1m．求支撑杆的长．（精确到m，参考数据：，） 4.（2024•烟台）根据收集的素材，探索完成任务． 探究太阳能热水器的安装 素材一 太阳能热水器是利用绿色能源造福人类的一项发明．某品牌热水器主要部件太阳能板需要安装在每天都可以有太阳光照射到的地方，才能保证使用效果，否则不予安装． 素材二 某市位于北半球，太阳光线与水平线的夹角为α，冬至日时，；夏至日时，． ，， ，， ，， ，， 素材三 如图，该市甲楼位于乙楼正南方向，两楼东西两侧都无法获得太阳光照射．现准备在乙楼南面墙上安装该品牌太阳能板．已知两楼间距为54米，甲楼共11层，乙楼共15层，一层从地面起，每层楼高皆为3.3米，为某时刻的太阳光线． 问题解决 任务一 确定使用数据 要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，应选择________日（填冬至或夏至）时，α为________（填，，，中的一个）进行计算． 任务二 探究安装范围 利用任务一中选择的数据进行计算，确定乙楼中哪些楼层不能安装该品牌太阳能热水器． 5.（2024•淄博）如图，在综合与实践活动课上，小强先测得教学楼在水平地面上的影长为．又在点处测得该楼的顶端的仰角是．则用科学计算器计算教学楼高度的按键顺序正确的是（    ）    A．   B．   C．   D．   ►考向三 解直角三角形的实际应用——坡度、坡角 易错易混 坡度不是角度，是坡角的正切 1.（2024•青岛）“滑滑梯”是同学们小时候经常玩的游戏，滑梯的坡角越小，安全性越高．从安全性及适用性出发，小亮同学对所在小区的一处滑梯进行调研，制定了如下改造方案，请你帮小亮解决方案中的问题． （参考数据：） ►考向四 解直角三角形的实际应用——其他 解题技巧 一般出现75°、105°时，考虑通过辅助线将其分开成75°=30°+45°，105°=45°+60°. 1.（2024•济南）城市轨道交通发展迅猛，为市民出行带来极大方便，某校“综合实践”小组想测得轻轨高架站的相关距离，数据勘测组通过勘测得到了如下记录表： 请根据记录表提供的信息完成下列问题： (1)求点到地面的距离； (2)求顶部线段的长．（结果精确到，参考数据：，，，） ►考向五 三角函数与四边形的综合 1.（2024•德州）如图，中，对角线平分．    (1)求证：是菱形； (2)若，，求菱形的边长．（参考数据：，，） 2.（2024•日照）如图，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线，交于点，交的延长线于点． (1)由以上作图可知，与的数量关系是_______ (2)求证： (3)若，，，求的面积． 3.（2024•泰安）如图，菱形中，，点是边上的点，，，点是上的一点，是以点为直角顶点，为角的直角三角形，连结．当点在直线上运动时，线段的最小值是（    ） A．2 B． C． D．4 ►考向六 三角函数与圆的综合 1.（2024•德州）如图，圆与都经过A，B两点，点在上，点C是上的一点，连接并延长交于点P，连接． (1)求证： (2)若，． ①求的半径； ②求图中阴影部分的面积． 2.（2024•青岛）如图，中，，以为直径的半圆O分别交于点D，E，过点E作半圆O的切线，交于点M，交的延长线于点N．若，，则半径的长为 ． 3.（2024•泰安）如图，是的直径，是的切线，点为上任意一点，点为的中点，连接交于点，延长与相交于点，若，，则的长为 ．    4.（2024•潍坊）如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的直径． 1.（2024•日照）如图1，为的直径，是上异于的任一点，连接，过点A作射线为射线上一点，连接． 【特例感知】 （1）若．则_______． （2）若点在直线同侧，且，求证：四边形是平行四边形； 【深入探究】 若在点C运动过程中，始终有，连接． （3）如图2，当与相切时，求的长度； （4）求长度的取值范围． 2.（2024•威海）某校九年级学生开展利用三角函数解决实际问题的综合与实践活动，活动之一是测量某护堤石坝与地平面的倾斜角．测量报告如下表（尚不完整） (1)设，，，，，，，，请根据表中的测量示意图，从以上线段中选出你认为需要测量的数据，把表示数据的小写字母填写在“测量数据”一栏． (2)根据（）中选择的数据，写出求的一种三角函数值的推导过程． (3)假设，，，根据（）中的推导结果，利用计算器求出的度数，你选择的按键顺序为________． 3.（2024•山东）【实践课题】测量湖边观测点和湖心岛上鸟类栖息点之间的距离 【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具 【实践活动】某班甲小组根据湖岸地形状况，在岸边选取合适的点．测量，两点间的距离以及和，测量三次取平均值，得到数据：米，，．画出示意图，如图 【问题解决】（1）计算，两点间的距离． （参考数据：，，，，） 【交流研讨】甲小组回班汇报后，乙小组提出了另一种方案： 如图2，选择合适的点，，，使得，，在同一条直线上，且，，当，，在同一条直线上时，只需测量即可． （2）乙小组的方案用到了________．（填写正确答案的序号） ①解直角三角形    ②三角形全等 【教师评价】甲、乙两小组的方案都很好，对于实际测量，要根据现场地形状况选择可实施的方案． 一、单选题 1．（24-25九年级上·山东威海·期中）如图所示的螺旋形是由一系列直角三角形组成的，其中，，每个三角形都以点O为顶点．若是第一个小于的角，则n的值为（    ）（参考数据：，，） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（23-24九年级上·山东德州·开学考试）如图，中，，，，，，则关于、、的大小关系（　　） A． B． C． D． 3．（18-19九年级上·山东聊城·期末）在中，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·山东济南·期中）如图，圭表是度量日影长度的一种天文仪器，垂直于地面的直杆叫“表”，水平放置于地面上刻有刻度以测量影长的标尺叫“圭”．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，冬至日影最长，夏至日影最短．圭面上冬至线与夏至线之间的距离的长为，则表高为（　　）（参考数据：冬至时，；夏至时，） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25九年级上·山东威海·期末）如图，，斜坡AB的坡度，某人从斜坡的M处走了50米到达N处，则N与M的垂直高度为 米． 三、解答题 6．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）如图所示，根据提供的数据回答下列问题： (1)在图①，______，______，______； 在图②中，______，______，______； 通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？用一个一般式子把你发现的规律表示出来，并加以证明； (2)在图①中，______，______； 在图②中，______，______； 通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？用一个一般式子把你发现的规律表示出来，并加以证明． 7．（2024·山东·模拟预测）（1）计算：；（参考公式：） （2）已知a、b是一元二次方程的两个实根，求的S值． 8．（24-25九年级上·山东·期末）【实践课题】南海是我国的固有领土，近年来由于海运量增大，对珊瑚礁的破坏严重，为了保护某珊瑚礁，我国某科考队在南海画出了一个海洋保护区，在航海图上标明了三个观测点的坐标，请你帮助科考队完成任务． 【实践工具】中国南海地图，直尺，铅笔等工具 【实践活动】该班甲小组在地图上确定O，B，C三观测点，建立平面直角坐标系，如图1所示，、、，由这三个观测点确定的圆形区域是海洋生物保护区． 【问题解决】甲小组若在观测点O测得一艘渔船D的位置为，试问该渔船是否已进入海洋生物保护区？ 【交流研讨】甲小组问题解决后，乙小组提出了另一种方案：如图1所示，在甲小组确定的O，B，C三个观测点的基础上，再连接，比较和的大小，来确定D在的内部还是外部，请你利用乙组的方法确定当渔船D的位置为时，试问该渔船是否已进入海洋生物保护区？（注：当时，点D在内部，当时，点D在外部，当时，点D在上）（注：时，角随正弦值的增大而增大，） 9．（24-25九年级上·山东济南·期中）某数学兴趣小组在学习完“，，角的三角函数值”这一节课后，做了如下探究：如图1，中，，，，延长至点D，使．根据，，得出，，，，又∵，，∴，则求出，同时还求出． (1)如图1，根据以上的思路和数据，得出________°，________．（写出最后结果） (2)如图2，中，，，请你参考兴趣小组的思路，求的值． (3)如图3，某工程队在施工过程中，要对一个三角形区域进行勘探．已知，，，请帮助他们求出的面积． 10．（23-24九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，距小明家楼下D点20米的B处有一根废弃的电线杆，经测得此电线杆与水平线所成锐角为，在小明家楼顶C处测得电线杆顶端A的俯角为，底部点B的俯角为 （点A、B、D、C在同一平面内）．已知在以点B为圆心，10米长为半径的圆形区域外是一休闲广场，有关部门想把此电线杆水平放倒，且B点不动，为安全起见，他们想知道这根电线杆放倒后，顶端A能否落在休闲广场内？请通过计算回答． （结果精确到0.1米，参考数据：，） 11．（2024九年级上·山东济南·专题练习）已知正弦定理：． (1)小明想学习正弦定理，但他不会证明，老师已经给出了思路，请根据思路，帮小明完成证明． 如图，作的外接圆，O为圆心．连接并延长交圆于D，设．根据直径所对圆周角是直角及同弧所对圆周角相等，可得：； (2)证明后，老师提出还可以用其他方法证明，请你对此进行证明； (3)接下来请你运用正弦定理，解决下面问题：中，，平分，求的长度． 12．（24-25九年级上·山东菏泽·期末）【实践课题】通过测量相关距离与角度，计算待建环山路的长度． 【实践工具】测距仪、测角仪等测量工具． 【实践活动】如图，某山的一侧已建成了三段休闲步道，数学实践小组经过现场勘探，画出示意图，休闲步道分别是，，，且A，，，在同一水平面上．经过多次测量，得到如下数据：，，，． 【问题解决】城建部门准备在山的另一侧修建一条以为直径的半圆状环山路（图中虚线部分）． (1)求A，两点间的距离； (2)求该条待建环山路的长度（结果保留）．（参考数据：，，，） 13．（24-25九年级上·山东威海·期末）为测量塑像高度，进行如下操作：如图，无人机飞到雕塑正上方距地面的高度后，沿塑像的左手方向水平飞行至C处，测得雕塑底部B处的俯角为；无人机保持方向不变继续水平飞行至D处，测得雕塑顶端A处的俯角为．求塑像的高度．（结果精确到，参考数据：，，，） 14．（2025·山东临沂·一模）某中学为新操场采购了一批可调节高度的篮球架，右图是其侧面示意图，底座高度忽略不计．已知其支架，，安装完毕后小明测得， ， 国家规定中学生所用篮球架中篮筐距地面标准高度约为，请你帮小明判断安装后的这批篮球架是否符合国家标准？（参为数据：，结果保留整数） 15．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）某中学凤栖堂前一尊孔子雕像矗立于萋萋芳草间，小刚站在雕像前，自C处测得雕像顶A的仰角为，小强站凤栖堂门前的台阶上，自D处测得雕像顶A的仰角为，此时，两人的水平距离为，已知凤栖堂门前台阶斜坡的坡比为．（参考数据：，，） (1)计算台阶的高度； (2)求孔子雕像的高度． 16．（2024·山东青岛·模拟预测）如图，我国某舰队在一次演习中，处指挥舰发现在北偏东方向上处有一可疑船只，立即命令在指挥舰正东方向距离50海里处的舰艇前往拦截处理．处舰艇接到命令时，发现可疑船只位于北偏西方向上，正向正东方向逃窜，经过计算，立即沿北偏东方向航行，最终在处成功拦截．求可疑船只和我军舰艇平均航行距离各是多少？（保留整数，，，，，，，，，） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$