专题16 相似三角形（中考高频题型归纳与训练）-备战2025年中考数学真题题源解密（山东专用）

专题16 相似三角形 课标要求 考点 考向 1．了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段;通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割。 2. 通过具体实例认识图形的相似。了解相似多边形和相似比。 3. 掌握基本事实:两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 4. 了解相似三角形的判定定理:两角分别相等的两个三角形相似;两边成比例且夹角相等的两个三角形相似;三边成比例的两个三角形相似。 5. 了解相似三角形的性质定理:相似三角形对应线段的比等于相似比;面积比等于相似比的平方。 6．了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小。 7. 会利用图形的相似解决一些简单的实际问题。 相似三角形 考向一 相似三角形的判定与性质 考向二 相似与四边形的综合 考向三 相似与圆的综合 考点 相似三角形 ►考向一 相似三角形的判定与性质 解题技巧 1、 已知一对等角，则找另一对等角或该角的两边对应成比例； 2、 有两边对应成比例，则找夹角相等或第三边也对应成比例； 3、 证明两直角三角形相似时，往往证明一对锐角相等即可； 4、 证明两等腰三角形相似时，往往证明顶角相等或者底角相等. 1.（2024•德州）如图中，，，垂足为D，平分，分别交，于点F，E．若，则为（   ） A． B． C． D． 2.（2024•济南）某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究． （一）拓展探究 如图1，在中，，垂足为． （1）兴趣小组的同学得出．理由如下： 请完成填空：①______；②______； （2）如图2，为线段上一点，连接并延长至点，连接，当时，请判断的形状，并说明理由． （二）学以致用 （3）如图3，是直角三角形，，平面内一点，满足，连接并延长至点，且，当线段的长度取得最小值时，求线段的长． ►考向二 相似与四边形的综合 1.（2024•东营）如图，在正方形中，与交于点O，H为延长线上的一点，且，连接，分别交，BC于点E，F，连接，则下列结论：①；②；③平分；④． 其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.（2024•泰安）综合与实践 为了研究折纸过程蕴含的数学知识，某校九年级数学兴趣小组的同学进行了数学折纸探究活动． 【探究发现】 （1）同学们对一张矩形纸片进行折叠，如图1，把矩形纸片翻折，使矩形顶点的对应点恰好落在矩形的一边上，折痕为，将纸片展平，连结，与相交于点．同学们发现图形中四条线段成比例，即，请你判断同学们的发现是否正确，并说明理由． 【拓展延伸】 （2）同学们对老师给出的一张平行四边形纸片进行研究，如图2，是平行四边形纸片的一条对角线，同学们将该平行四边形纸片翻折，使点的对应点，点的对应点都落在对角线上，折痕分别是和，将纸片展平，连结，，，同学们探究后发现，若，那么点恰好是对角线的一个“黄金分剧点”，即．请你判断同学们的发现是否正确，并说明理由． 3.（2024•威海）如图，在中，对角线，交于点，点在上，点在上，连接，，，交于点．下列结论错误的是（    ） A．若，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，则 4.（2024•烟台）如图，在正方形中，点E，F分别为对角线的三等分点，连接并延长交于点G，连接，若，则用含α的代数式表示为（    ） A． B． C． D． 5.（2024•淄博）如图，在边长为10的菱形中，对角线，相交与点，点在延长线上，与相交与点．若，，则菱形的面积为 ． 6.（2024•山东）如图，点为的对角线上一点，，，连接并延长至点，使得，连接，则为（    ） A． B．3 C． D．4 ►考向三 相似与圆的综合 1.（2024•泰安）如图，是的直径，是的切线，点为上任意一点，点为的中点，连接交于点，延长与相交于点，若，，则的长为 ．    2.（2024•威海）如图，已知是的直径，点C，D在上，且．点E是线段延长线上一点，连接并延长交射线于点F．的平分线交射线于点H，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 1.（2024•淄博）在综合与实践活动课上，小明以“圆”为主题开展研究性学习． 【操作发现】 小明作出了的内接等腰三角形，．并在边上任取一点（不与点，重合），连接，然后将绕点逆时针旋转得到．如图① 小明发现：与的位置关系是__________，请说明理由： 【实践探究】 连接，与相交于点．如图②，小明又发现：当确定时，线段的长存在最大值． 请求出当．时，长的最大值； 【问题解决】 在图②中，小明进一步发现：点分线段所成的比与点分线段所成的比始终相等．请予以证明． 一、单选题 1．（24-25九年级上·山东济南·期中）如图1是某班级的花架，图2是其侧面示意图，已知，，，则的长为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山东济南·期中）“黄金比例分割法”是启功先生研究的一套楷书结构法，是将正方形按照黄金分割的比例来分割，形成“黄金格”（如图，四条与边平行的线的交点都是黄金分割点），汉字的笔画至少要穿过两个黄金分割点才美观．若正方形“黄金格”的边长为，四个黄金分割点组成的正方形的边长为（　　） A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·山东滨州·期末）下图所示的四种画法中，能使得是位似图形的有（    ） A．①② B．③④ C．①③④ D．①②③④ 二、填空题 4．（24-25九年级上·山东青岛·期中）在中华人民共和国75周年华诞到来之际，某学校开展了“我心绘版图  美丽白纸坊”手绘地图活动．小明绘制了一张比例尺为的青岛城区交通游览图，栈桥的图上长度约为，则栈桥的实际长度约为 m． 5．（2023·山东菏泽·一模）题目：“如图，纸片的直角边，是纸片边上不与、、重合的一点，欲过点剪下一个与相似的三角形．问有几种不同的剪法．”对于其答案，甲答：当点在斜边上时有三种不同的剪法；乙答：当点在直角边上时有三种不同剪法；丙答：当点在直角边上时有四种不同的剪法．回答正确的人是 ．    6．（2023·山东济南·三模）如图，在矩形中， ，，E是的中点，F是线段上的一点，连接，把沿折叠，使点B落在点G处，连接，的延长线交线段于点H．给出下列判断：①；②；③当时，的长度是 ④线段长度的最小值是 ；⑤当点G落在矩形的对角线上，的长度是3或；其中正确的是 ．（写出所有正确判断的序号）    三、解答题 7．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图，为边上的中线，为上的点，连接并延长，交于． (1)若是的中点，则______； (2)若，则______； (3)若，则______； (4)若，猜想______，并证明． 8．（24-25九年级上·山东济南·期中）小敏同学在学习了投影一章的知识后，想利用相关知识测量小区内一座假山的高度，于是他设计了这样的方案： 如图1，假山的顶端有一盏路灯E，小敏同学在假山的一侧垂直于地面树立一根高度为的标杆，移动标杆的位置，测量路灯下标杆投影的长度，以及标杆底段B到假山正下方点D的距离，利用三角形相似的相关知识便可以求出假山的高度． (1)若，，请用关于a，b的代数式表示假山的高度． (2)在实际操作中，小敏测得，但在测量的长度时，发现假山正下方的点D处根本无法直接到达，小敏稍加思索，便得出了改进方案，如图2所示，他将竖直标杆移动到C点处，测得此时标杆在路灯下的影长变为，根据这些数据便可以计算假山的高度，请你帮助小敏求出假山的高度． 9．（24-25九年级上·山东淄博·期中）如图（1），在四边形中，对角线平分，． (1)求证：； (2)小宇为了研究图（1）中线段之间的数量关系，设． ①建立模型：请求出关于的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围； ②画出图象：请在如图（2）所示的平面直角坐标系中，画出①中该函数的图象； ③归纳性质：请写出①中该函数的一条性质：_____； (3)问边与边的和是否存在最小值，若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 10．（24-25九年级上·山东枣庄·期中）在一次数学课上，小颖和小慧用两个全等的等腰直角三角板进行探究活动，使的一个顶点落在边上，再绕这个点旋转，与边、分别交于点M、N． (1)如图1，小颖把的直角顶点D放在的中点处，然后绕点D旋转，她发现四边形的面积始终保持不变．若，则四边形的面积为________；（直接写出答案） (2)如图2，小慧把顶点F放在边上任意一点处，然后绕点F旋转，她认为与始终相似．小慧的判断正确吗？如果正确，请给出证明；如果不正确，请说明理由； (3)如图3，小颖把顶点F放在的中点处，然后绕点F旋转，与的延长线交于点N．请探究线段、、的数量关系，并给出证明． 11．（24-25九年级上·山东潍坊·期中）如图①，黄金矩形纸片中，，折出一个正方形后，余下的矩形的宽与长的比等于矩形的宽与长的比． (1)求黄金矩形的宽与长的比； (2)用黄金矩形纸片进行如下操作（如图②）： 第一步：折出正方形； 第二步：对折正方形，展开，折痕为，连接； 第三步：折叠纸片使落在所在的直线上，发现折痕恰好经过点A，展开，折痕与交于点M； 第四步：过点M作线段，垂足为R． 求证：矩形也是黄金矩形； (3)如图③，若点G为正方形的边上（不与端点重合）一动点，，连接，折叠纸片使落在上，点F的对应点为点N，折痕交于点M，过点M作线段，垂足为R．当四边形的周长为3时，直接写出矩形的周长． 12．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）太阳能光伏发电因其清洁、安全、高效等特点，已成为世界各国重点发展的新能源产业．图①是太阳能电板，图②是其截面示意图，其中为太阳能电板，均为钢架且垂直于地面为水平钢架且垂直于，测得．若某一时刻的太阳光线垂直照射． (1)求钢架的长； (2)求太阳能电板的影子的长（结果保留小数点后两位）． 13．（24-25九年级上·山东青岛·期中）（1）如图①，正方形的边长为1，是延长线上一点，且，与相交于点，则的面积为________； （2）如图热，正方形的边长为1，是延长线上一点，且，与相交于点，则的面积为________； （3）正方形的边长为1，是延长线上一点，且，与相交于点，则的面积为________；（用含的代数式表示） （4）如图③，正方形的边长为，是延长线上一点，且，与相交于点，则的面积为________．（用含，的代数式表示） 14．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）在等边三角形和等边三角形中，点为边的中点，分别交于点，连接． (1)如图1所示，若，则的度数为__________（直接写出结果）． (2)如图1所示，若为任意锐角，证明：． (3)若将绕点顺时针旋转，如图2所示与的延长线交于点，其他条件不变，则（2）中的结论是否仍成立？并写出证明过程． 15．（22-23九年级上·山东济南·期末）如图，中，分别为上的点，，将绕点A逆时针旋转，连接，且三点恰好在一条直线上． (1)如图①，连接，求证：； (2)如图②，若为直角三角形，，延长交于点F，若，求的值； (3)如图③，若为等腰三角形，，点G为内一点，连接，且，请直接写出 的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题16 相似三角形 课标要求 考点 考向 1．了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段;通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割。 2. 通过具体实例认识图形的相似。了解相似多边形和相似比。 3. 掌握基本事实:两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 4. 了解相似三角形的判定定理:两角分别相等的两个三角形相似;两边成比例且夹角相等的两个三角形相似;三边成比例的两个三角形相似。 5. 了解相似三角形的性质定理:相似三角形对应线段的比等于相似比;面积比等于相似比的平方。 6．了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小。 7. 会利用图形的相似解决一些简单的实际问题。 相似三角形 考向一 相似三角形的判定与性质 考向二 相似与四边形的综合 考向三 相似与圆的综合 考点 相似三角形 ►考向一 相似三角形的判定与性质 解题技巧 1、 已知一对等角，则找另一对等角或该角的两边对应成比例； 2、 有两边对应成比例，则找夹角相等或第三边也对应成比例； 3、 证明两直角三角形相似时，往往证明一对锐角相等即可； 4、 证明两等腰三角形相似时，往往证明顶角相等或者底角相等. 1.（2024•德州）如图中，，，垂足为D，平分，分别交，于点F，E．若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、三角形的面积等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质以及角平分线的性质是解答的关键．设，，利用勾股定理求得，，再证明得到，再利用角平分线的性质和三角形的面积得到即可求解． 【详解】解：∵， 设，， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴点F到、的距离相等，又点A到、的距离相等， ∴，即， 故选：A． 2.（2024•济南）某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究． （一）拓展探究 如图1，在中，，垂足为． （1）兴趣小组的同学得出．理由如下： 请完成填空：①______；②______； （2）如图2，为线段上一点，连接并延长至点，连接，当时，请判断的形状，并说明理由． （二）学以致用 （3）如图3，是直角三角形，，平面内一点，满足，连接并延长至点，且，当线段的长度取得最小值时，求线段的长． 【答案】（1）①；②；（2）是直角三角形，证明见解析；（3） 【分析】（1）根据余角的性质和三角形相似的性质进行解答即可； （2）证明，得出，证明，得出，即可得出答案； （3）证明，得出，求出，以点为圆心，2为半径作，则都在上，延长到，使，交于，连接，证明，得出，说明点在过点且与垂直的直线上运动，过点作，垂足为，连接，根据垂线段最短，得出当点E在点处时，最小，根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）是直角三角形；理由如下： ， ， ， 由（1）得， ， ， ， ， ， 是直角三角形． （3）， ， ， ， 如图，以点为圆心，2为半径作，则都在上，延长到，使，交于，连接， 则， ∵为的直径， ∴， ， ∴， ， ， ， 点在过点且与垂直的直线上运动， 过点作，垂足为，连接， ∵垂线段最短， ∴当点E在点处时，最小， 即的最小值为的长， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中根据勾股定理得：， 即当线段的长度取得最小值时，线段的长为． 【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，圆周角定理，矩形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法． ►考向二 相似与四边形的综合 1.（2024•东营）如图，在正方形中，与交于点O，H为延长线上的一点，且，连接，分别交，BC于点E，F，连接，则下列结论：①；②；③平分；④． 其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据正方形的性质结合勾股定理可知，，，，与互相垂直且平分，进而可求得，根据正切值定义即可判断②；由，可知，由相似三角形的性质即可判断①；由，可求得，再结合与互相垂直且平分，得，可知，进而可判断③；再证，即可判断④． 【详解】解：在正方形中，，，，，与互相垂直且平分， 则， ∵，则， ∴，故②不正确； ∵，则，， ∴， ∴，故①不正确； ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵与互相垂直且平分， ∴， ∴，则， ∴， ∴平分，故③正确； 由上可知，， ∴， ∴，则， 又∵， ∴，故④正确； 综上，正确的有③④，共2个， 故选：B． 【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，解直角三角形等知识，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 2.（2024•泰安）综合与实践 为了研究折纸过程蕴含的数学知识，某校九年级数学兴趣小组的同学进行了数学折纸探究活动． 【探究发现】 （1）同学们对一张矩形纸片进行折叠，如图1，把矩形纸片翻折，使矩形顶点的对应点恰好落在矩形的一边上，折痕为，将纸片展平，连结，与相交于点．同学们发现图形中四条线段成比例，即，请你判断同学们的发现是否正确，并说明理由． 【拓展延伸】 （2）同学们对老师给出的一张平行四边形纸片进行研究，如图2，是平行四边形纸片的一条对角线，同学们将该平行四边形纸片翻折，使点的对应点，点的对应点都落在对角线上，折痕分别是和，将纸片展平，连结，，，同学们探究后发现，若，那么点恰好是对角线的一个“黄金分剧点”，即．请你判断同学们的发现是否正确，并说明理由． 【答案】（1）正确，理由见解析；（2）正确，理由见解析 【分析】本题主要考查了矩形的性质、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、折叠的性质等知识点，掌握相关知识是解题的关键． （1）如图：作于点M，再证可得，再证明四边形是矩形可得即可证明结论； （2）利用平行线分线段比例可得，再说明，进而得到；再由由平行四边形及折叠可得，，则即可证明结论． 【详解】解：（1）正确，理由如下， 作于点， ， ， ， ， ， ， 又， ． ∴． 是矩形，， 四边形是矩形． ， ． （2）同学们的发现说法正确，理由如下， ， ，， 由折叠知， ， ， ， 由平行四边形及折叠知，， ， ，即点为的一个黄金分割点． 3.（2024•威海）如图，在中，对角线，交于点，点在上，点在上，连接，，，交于点．下列结论错误的是（    ） A．若，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，菱形的性质与判定，垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定；根据相似三角形的性质与判定即可判断A，根据题意可得四边形是的角平分线，进而判断四边形是菱形，证明可得则垂直平分，即可判断B选项，证明四边形是菱形，即可判断C选项，D选项给的条件，若加上，则成立，据此，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴ A. 若，即，又， ∴ ∴ ∴，故A选项正确， B. 若，，， ∴是的角平分线， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴四边形是菱形， ∴ 在中， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴，故B选项正确， C. ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴四边形是菱形， ∴， 又∵ ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴ ∴，故C选项正确； D. 若，则四边形是菱形， 由，且时， 可得垂直平分， ∵ ∴，故D选项不正确 故选：D． 4.（2024•烟台）如图，在正方形中，点E，F分别为对角线的三等分点，连接并延长交于点G，连接，若，则用含α的代数式表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质．证明，求得，证明，证得，推出，得到，据此求解即可． 【详解】解：∵正方形中，点E，F分别为对角线的三等分点， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点E，F分别为对角线的三等分点， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 5.（2024•淄博）如图，在边长为10的菱形中，对角线，相交与点，点在延长线上，与相交与点．若，，则菱形的面积为 ． 【答案】96 【分析】此题重点考查菱形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识．作交于点H，则，求得，再证明，求得，再证明，则，利用勾股定理求得的长，再利用菱形的面积公式求解即可得到问题的答案． 【详解】解：作交于点H，则， ∵四边形是边长为10的菱形，对角线相交于点O， ∴，，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：96． 6.（2024•山东）如图，点为的对角线上一点，，，连接并延长至点，使得，连接，则为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，平行证明相似等知识点，正确作辅助线是解题关键． 解法一：延长和，交于点，先证，得到，再证，得到，即可求得结果； 解法二：作交于点H，证明出，得到，，然后证明出四边形是平行四边形，得到． 【详解】解：解法一：延长和，交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴ ∵， ∴． 解法二：作交于点H ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 故选：B． ►考向三 相似与圆的综合 1.（2024•泰安）如图，是的直径，是的切线，点为上任意一点，点为的中点，连接交于点，延长与相交于点，若，，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质、切线的性质、圆周角定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 先证可得从而得到，求得，再运用勾股定理可得，再根据圆周角定理以及角的和差可得，最后根据等角对等边即可解答． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 故答案为：． 2.（2024•威海）如图，已知是的直径，点C，D在上，且．点E是线段延长线上一点，连接并延长交射线于点F．的平分线交射线于点H，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，根据角平分线的定义得到是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理得到，即可得到，然后根据角平分线的定义得到，然后得到即可证明切线； （2）设的半径为，根据，可以求出，然后根据，即可得到结果． 【详解】（1）证明：连接， 则， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵是半径， ∴是的切线； （2）解：设的半径为，则， ∵，即， 解得， ∴，， 又∵ ∴， ∴，即，解得． 1.（2024•淄博）在综合与实践活动课上，小明以“圆”为主题开展研究性学习． 【操作发现】 小明作出了的内接等腰三角形，．并在边上任取一点（不与点，重合），连接，然后将绕点逆时针旋转得到．如图① 小明发现：与的位置关系是__________，请说明理由： 【实践探究】 连接，与相交于点．如图②，小明又发现：当确定时，线段的长存在最大值． 请求出当．时，长的最大值； 【问题解决】 在图②中，小明进一步发现：点分线段所成的比与点分线段所成的比始终相等．请予以证明． 【答案】操作发现：与相切；实践探究：；问题解决：见解析 【分析】操作发现：连接并延长交于点M，连接，根据直径所对圆周角为直角得到，根据旋转的性质得到，由圆周角定理推出，等量代换得到，利用直角三角形的性质即可证明，即可得出结论； 实践探究：证明，得到，结合三角形外角的性质得到，易证，得到，设，则，得到，利用二次函是的性质即可求解； 问题解决：过点E作交于点N，由旋转的性质知：，证明，推出，由旋转的性质得：， 得到，根据，易证，得到，即可证明结论． 【详解】操作发现： 解：连接并延长交于点M，连接， 是直径， ， ， 由旋转的性质得， ， ， ， 是的半径， 与相切； 实践探究： 解： 由旋转的性质得：， 即， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， 当时，有最大值为； 问题解决： 证明：过点E作交于点N， 由旋转的性质知：， ， ， ， ， 由旋转的性质得：， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查圆周角定理，切线的证明，旋转的性质，三角形相似的判定与性质，二次函数最值的应用，正确作出辅助线，构造三角形相似是解题的关键． 一、单选题 1．（24-25九年级上·山东济南·期中）如图1是某班级的花架，图2是其侧面示意图，已知，，，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理．根据平行线分线段成比例定理可得，代入数据计算得的长，进一步计算即得答案． 【详解】解∶∵， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：C． 2．（24-25九年级上·山东济南·期中）“黄金比例分割法”是启功先生研究的一套楷书结构法，是将正方形按照黄金分割的比例来分割，形成“黄金格”（如图，四条与边平行的线的交点都是黄金分割点），汉字的笔画至少要穿过两个黄金分割点才美观．若正方形“黄金格”的边长为，四个黄金分割点组成的正方形的边长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了黄金分割的比例线段．根据黄金分割的定义进行计算即可解答． 【详解】解：如图，是线段的两个黄金分割点， 线段的长为， ， ， ， 四个黄金分割点组成的正方形的边长为． 故选：B． 3．（22-23九年级上·山东滨州·期末）下图所示的四种画法中，能使得是位似图形的有（    ） A．①② B．③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据每组对应点所在的直线都经过同一个点，且对应边互相平行，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：∵每组对应点所在的直线都经过同一个点，且对应边互相平行 ∴①②③④能使得是位似图形， 故选：D． 【点睛】本题考查了位图图形的性质与画法，掌握位似图形的性质是解题的关键． 二、填空题 4．（24-25九年级上·山东青岛·期中）在中华人民共和国75周年华诞到来之际，某学校开展了“我心绘版图  美丽白纸坊”手绘地图活动．小明绘制了一张比例尺为的青岛城区交通游览图，栈桥的图上长度约为，则栈桥的实际长度约为 m． 【答案】440 【分析】本题考查比例尺，根据比例尺等于图上距离与实际距离的比，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：设栈桥的实际长度为， 则：， ∴， ； 故答案为：440 5．（2023·山东菏泽·一模）题目：“如图，纸片的直角边，是纸片边上不与、、重合的一点，欲过点剪下一个与相似的三角形．问有几种不同的剪法．”对于其答案，甲答：当点在斜边上时有三种不同的剪法；乙答：当点在直角边上时有三种不同剪法；丙答：当点在直角边上时有四种不同的剪法．回答正确的人是 ．    【答案】甲、丙 【分析】根据相似三角形的性质结合题意，点在斜边上，点在直角边或直角边上，分类讨论即可求解． 【详解】解：当点在斜边上时有三种不同的剪法：沿过点垂直的垂线剪，故甲对；    当点在直角边上时有四种不同剪法： 如图所示，过作交于,则 过作交于，则， 作，则，，则， 作交于点，则，    同理点在直角边上时有四种不同剪法，故乙错，丙对； 故答案为：甲和丙． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 6．（2023·山东济南·三模）如图，在矩形中， ，，E是的中点，F是线段上的一点，连接，把沿折叠，使点B落在点G处，连接，的延长线交线段于点H．给出下列判断：①；②；③当时，的长度是 ④线段长度的最小值是 ；⑤当点G落在矩形的对角线上，的长度是3或；其中正确的是 ．（写出所有正确判断的序号）    【答案】①②③ 【分析】利用正切函数的定义即可判断①正确；利用同角的余角相等推出，可判断②正确；推出点D、G、F三点共线，证明，可判断③正确；当点D、G、E三点共线，线段长度的最小值是，由于F是线段上的一点，不存在D、G、E三点共线，可判断④不正确；证明是等边三角形，可判断⑤． 【详解】解：连接，    ∵矩形中，，， ∴， ∴， ∴，故①正确； 由折叠的性质知是的垂直平分线， ∴，∴， ∴，故②正确； 由折叠的性质知， ∵， ∴点D、G、F三点共线，连接，    在和中，，， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴点A、G、B都在以E为圆心，3为半径的圆上，， ∴当点D、G、E三点共线，线段长度的最小值是，但F是线段上的一点，∴D、G、E三点不可能共线，故④不正确； 当点G落在矩形的对角线上时，    由折叠的性质知， ∵E是的中点，由①知， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴的长度是3；由于F是线段上的一点，则点G不会落在矩形的对角线上，故⑤不正确； 综上，①②③说法正确， 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，正切函数，相似三角形的判定，勾股定理等知识，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 三、解答题 7．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图，为边上的中线，为上的点，连接并延长，交于． (1)若是的中点，则______； (2)若，则______； (3)若，则______； (4)若，猜想______，并证明． 【答案】(1) (2) (3) (4)，理由见解析 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，三角形中位线定理，解题的关键是： （1）取中点G，连接，根据三角形中位线定理得出，根据平行线分线段成比例得出，然后根据比例的性质求解即可； （2）仿照（1）求解即可； （3）仿照（1）求解即可； （4）仿照（1）求解即可． 【详解】（1）解：取中点G，连接，则， ∵为边上的中线， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， 又 ∴， 即， 故答案为：； （2）解：取中点G，连接，则， ∵为边上的中线， ∴， ∴， ∵ ∴， 又 ∴， 即， 故答案为：； （3）解：取中点G，连接，则， ∵为边上的中线， ∴， ∴， ∵ ∴， 又 ∴， 即， 故答案为：； （4）解： 理由：取中点G，连接，则， ∵为边上的中线， ∴， ∴， ∵ ∴， 又 ∴， 即， 故答案为：； 8．（24-25九年级上·山东济南·期中）小敏同学在学习了投影一章的知识后，想利用相关知识测量小区内一座假山的高度，于是他设计了这样的方案： 如图1，假山的顶端有一盏路灯E，小敏同学在假山的一侧垂直于地面树立一根高度为的标杆，移动标杆的位置，测量路灯下标杆投影的长度，以及标杆底段B到假山正下方点D的距离，利用三角形相似的相关知识便可以求出假山的高度． (1)若，，请用关于a，b的代数式表示假山的高度． (2)在实际操作中，小敏测得，但在测量的长度时，发现假山正下方的点D处根本无法直接到达，小敏稍加思索，便得出了改进方案，如图2所示，他将竖直标杆移动到C点处，测得此时标杆在路灯下的影长变为，根据这些数据便可以计算假山的高度，请你帮助小敏求出假山的高度． 【答案】(1)DE=m (2)假山的高度为 【分析】本题考查了相似三角形的应用． （1）先证，得，进而得，再代入，，即可得出结论； （2）先证，，得，再由得，，得关于x的方程，解方程得，即，再由（1）的结论得． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴，即，即， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 设，则，， ∴， 解得，即， 由（1）得 ∴假山的高度为． 9．（24-25九年级上·山东淄博·期中）如图（1），在四边形中，对角线平分，． (1)求证：； (2)小宇为了研究图（1）中线段之间的数量关系，设． ①建立模型：请求出关于的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围； ②画出图象：请在如图（2）所示的平面直角坐标系中，画出①中该函数的图象； ③归纳性质：请写出①中该函数的一条性质：_____； (3)问边与边的和是否存在最小值，若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①；②见解析；③函数的最小值是8（答案不唯一） (3) 【分析】本题是相似形综合题，考查相似三角形的判定和性质，动点问题，函数图象等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）由相似三角形的判定可得结论； （2）①相似三角形的性质可得，即可求解； ②利用描点法画出函数图象即可； ③结合图象，可求解； （3）由，可求解． 【详解】（1）解：平分， ， ， ； （2）解：①△△， ， ，，， ， ； ②如图所示： ③函数的一条性质为：函数的最小值是8， 故答案为：函数的最小值是8（答案不唯一）； （3）解：存在； ， 又， ， ， ， ． 故边与边和的最小值为． 10．（24-25九年级上·山东枣庄·期中）在一次数学课上，小颖和小慧用两个全等的等腰直角三角板进行探究活动，使的一个顶点落在边上，再绕这个点旋转，与边、分别交于点M、N． (1)如图1，小颖把的直角顶点D放在的中点处，然后绕点D旋转，她发现四边形的面积始终保持不变．若，则四边形的面积为________；（直接写出答案） (2)如图2，小慧把顶点F放在边上任意一点处，然后绕点F旋转，她认为与始终相似．小慧的判断正确吗？如果正确，请给出证明；如果不正确，请说明理由； (3)如图3，小颖把顶点F放在的中点处，然后绕点F旋转，与的延长线交于点N．请探究线段、、的数量关系，并给出证明． 【答案】(1) (2)正确，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题是三角形综合题，主要考查等腰直角三角形的性质、全等三角形、相似三角形的判定及性质、外角的性质等知识点，解答本题的关键在于根据图形正确的画出辅助线，利用相关的性质定理求证三角形全等． （1）如图，过点D作于点G，于点H，证明，得四边形的面积和正方形的面积相等，进而可以解决问题． （2）由是等腰直角三角形，可求出，由三角形外角性质可得，可得出，又因为，求得，已知，根据两角对应相等的两个三角形相似可得出． （3）由是等腰直角三角形，可求出，由三角形外角性质可得，可得出，又因为，求得，已知，根据两角对应相等的两个三角形相似可得出，则对应边成比例，即，由点F放在的中点， 可得，变形即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，过点D作于点G，于点H， ． 在中，， 四边形是矩形． 点D放在的中点处，，， 是的垂直平分线． 四边形是正方形． ． ， ， ． ， ． ，， ． 点D放在的中点处，， 点G，H是的中点． 是的中位线． ． ，，， ． 正方形的面积为∶ 四边形的面积为． （2）正确，理由是： ∵在中，，， ∴． ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴（两角对应相等的两个三角形相似）． （3），理由是： ∵在中，，， ∴． ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴（两角对应相等的两个三角形相似） ∴， ∴ 点F放在的中点 ， ∴， 即： 11．（24-25九年级上·山东潍坊·期中）如图①，黄金矩形纸片中，，折出一个正方形后，余下的矩形的宽与长的比等于矩形的宽与长的比． (1)求黄金矩形的宽与长的比； (2)用黄金矩形纸片进行如下操作（如图②）： 第一步：折出正方形； 第二步：对折正方形，展开，折痕为，连接； 第三步：折叠纸片使落在所在的直线上，发现折痕恰好经过点A，展开，折痕与交于点M； 第四步：过点M作线段，垂足为R． 求证：矩形也是黄金矩形； (3)如图③，若点G为正方形的边上（不与端点重合）一动点，，连接，折叠纸片使落在上，点F的对应点为点N，折痕交于点M，过点M作线段，垂足为R．当四边形的周长为3时，直接写出矩形的周长． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)6 【分析】（1）根据矩形的宽与长的比等于矩形的宽与长的比列方程求解即可； （2）设，证明，求出与的比即可判断； （3）设，则，设，则．连接，由折叠的性质可得：，，由四边形的周长为3，得，进而可得．证明，即可求得矩形的周长。 【详解】（1）解：∵四边形为矩形， ， ∵四边形为正方形， ， 设，则． ∵矩形的宽与长的比等于矩形的宽与长的比， ∴， 解得： （负数不合题意，舍去）， ， ． ∴黄金矩形的宽与长的比； （2）证明：设， ∵四边形为黄金矩形， ， ∵四边形为正方形， ， ． ， ， ∴， ∴， ， ， ∴． 即矩形的宽与长的比等于黄金比， ∴矩形也是黄金矩形； （3）解：矩形的周长为6． 理由： ∵四边形为正方形，， ，， ， ∴四边形为矩形， ，． 设，则，设，则．连接，如图， 由折叠的性质可得：，， ∵四边形的周长为3， ， ， ． ， ， ， ∴， ， ， ， ． 在和中， ， ， ， ， ， ∴矩形的周长． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的判定与性质、勾股定理、折叠的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握折叠的性质是关键． 12．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）太阳能光伏发电因其清洁、安全、高效等特点，已成为世界各国重点发展的新能源产业．图①是太阳能电板，图②是其截面示意图，其中为太阳能电板，均为钢架且垂直于地面为水平钢架且垂直于，测得．若某一时刻的太阳光线垂直照射． (1)求钢架的长； (2)求太阳能电板的影子的长（结果保留小数点后两位）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意，得，易证四边形是矩形，由矩形的性质得出，进而得出．在中，由，进而得．根据相似三角形的判定可证，由相似三角形的性质得出，把数值代入即可得出结果； （2）过点作于，证四边形是矩形，由矩形的性质得出，即，再根据，得出，进而得出，根据相似三角形的判定可证，由相似三角形的性质得出．在中，由勾股定理可得的长，进而得出的值． 【详解】（1）解：如图， 由题意，得， ， 四边形是矩形， ， ， 又在中，， ， ， 又， ， ， ， ， ， 答：钢架的长为． （2）解：如图，过点作于， ， ， ∴四边形是矩形， ， ， 又， ， ， 又， ， ， 在中，由勾股定理，得， ， ， ， ， 答：太阳能电板的影子的长为． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，勾股定理的应用，矩形的判定和性质，平行投影，熟练掌握相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，平行投影是解题的关键． 13．（24-25九年级上·山东青岛·期中）（1）如图①，正方形的边长为1，是延长线上一点，且，与相交于点，则的面积为________； （2）如图热，正方形的边长为1，是延长线上一点，且，与相交于点，则的面积为________； （3）正方形的边长为1，是延长线上一点，且，与相交于点，则的面积为________；（用含的代数式表示） （4）如图③，正方形的边长为，是延长线上一点，且，与相交于点，则的面积为________．（用含，的代数式表示） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查正方形的性质，三角形相似的判定和性质．熟练掌握三角形相似的判定定理和性质定理是解题关键． （1）由正方形的性质结合题意可得出，，即易证，得出，从而可求出，最后根据三角形面积公式求解即可； （2）由（1）同理可证，结合，可得出，从而可求出，最后根据三角形面积公式求解即可； （3）由（1）同理可证，结合，可得出，从而可求出，最后根据三角形面积公式求解即可； （4）由（1）同理可证，结合，可得出，从而可求出，最后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：（1）∵四边形为正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）由（1）同理可证， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）由（1）同理可证， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）由（1）同理可证， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 14．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）在等边三角形和等边三角形中，点为边的中点，分别交于点，连接． (1)如图1所示，若，则的度数为__________（直接写出结果）． (2)如图1所示，若为任意锐角，证明：． (3)若将绕点顺时针旋转，如图2所示与的延长线交于点，其他条件不变，则（2）中的结论是否仍成立？并写出证明过程． 【答案】(1) (2)见解析 (3)成立，证明见解析 【分析】本题考查等边三角形的性质，三角形的外角，相似三角形的判定，熟练掌握一线三等角相似模型，是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质，结合三角形的外角的性质，进行求解即可； （2）等边三角形的性质，得到，利用三角形的外角得到，即可得证； （3）成立，同法（2）即可得证． 【详解】（1）解：∵边三角形和等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． （2）证明：由（1）知：， ∵，， ∴， 又∵， ∴； （3）成立，证明如下： ∵等边三角形和等边三角形， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴． 15．（22-23九年级上·山东济南·期末）如图，中，分别为上的点，，将绕点A逆时针旋转，连接，且三点恰好在一条直线上． (1)如图①，连接，求证：； (2)如图②，若为直角三角形，，延长交于点F，若，求的值； (3)如图③，若为等腰三角形，，点G为内一点，连接，且，请直接写出 的长． 【答案】(1)证明见详解 (2) (3) 【分析】（1）可证得，，从而得出结论； （2）连接，可证得，进一步得出结果； （3）将绕点A旋转的度数至，连接，先证明共线，从而，设，则，可计算得出a，，根据得出，进一步得出结果． 【详解】（1）证明：∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）如图1， 连接， 由（1）知， ， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）如图2， 将绕点A旋转的度数至，连接， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴共线， ∴， 设，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴AG． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$