16.3 二次根式的加减 二次根式中的新定义问题 -2024-2025学年人教版数学八年级下册

二次根式中的新定义问题（30题） 【人教版】 1．对于任意实数m，n，若定义新运算，给出三个说法： ①； ②； ③． 以上说法中正确的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】利用新定义进行计算逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 所以①正确； 所以②正确； 当时，， 当时，， 所以③正确； 故正确的为①②③，有3个， 故选D． 【点睛】本题考查新定义，二次根式的混合运算，掌握新定义的运算法则是解题的关键． 2．定义：若根式A与根式B的乘积不含根式则称A、B为共轭根式，例如：与或与都是共轭根式． （1）有关共轭根式，下列说法正确的是________（填上序号）； ①一个根式的共轭根式是唯一的； ②a，b均为正整数，若与是同类二次根式，则与也是共轭根式； ③若A与B是共轭根式，则A与也是共轭根式． （2）写出下列根式的一个共轭根式，填在相应根式后面的横线上，要求是最简二次根式或化到最简． ________；________；________；________． （3）试找出的一个共轭根式，并验证其正确性． 【答案】（1）②；（2）；；；；（3） 【分析】（1）根据共轭根式的性质和同类二次根式的性质判断即可； （2）分别将各根式化简，从而找到共轭根式； （3）根据二次根式的混合运算即可找到并验证. 【详解】解：（1）①错误，例如根式，，， ∴原命题错误； ②正确，∵与是同类二次根式，则×=中，ab为平方数（式），即结果不含根式，故原命题正确； ③∵若A与B是共轭根式，令A=，B=，则， ，故原命题错误； 故答案为：②； （2）=，则共轭根式为：； =，则共轭根式为：； ，∵，则共轭根式为：； =，=1，则共轭根式为：； 故答案为：；；；； （3）的一个共轭根式为：， 验证： = = =4. 故验证正确. 【点睛】本题属于新定义问题，主要考查了同类二次根式，二次根式的性质，二次根式的混合运算，解题的关键是理解共轭根式的性质，结合所学二次根式的知识解答. 3．定义：若多项式与都是常数，且满足，，则称这两个多项式互为“黔一相依”多项式． (1)填空：的“黔一相依”多项式为______ ； (2)求证：若，多项式与多项式互为“黔一相依”多项式． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】根据“黔一相依”多项式列方程组可得结论； 先计算对应，，，，可得，，从而得结论． 【详解】（1）解：根据题意得，解得， 的“黔一相依”多项式为， 故答案为：； （2）证明：当时，， ， ， 若，多项式与多项式互为“黔一相依”多项式． 【点睛】本题考查了对新定义：“黔一相依”多项式的理解和掌握，二次根式的化简等知识，解决本题的关键是理解“黔一相依”多项式的定义． 4．对于两个实数，（其中），定义一种新运算：，如：，那么 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了实数运算，结合已知条件列出正确的算式是解题关键． 根据题意列式后利用二次根式运算法则计算即可． 【详解】解： ， ， 故答案为：． 5．定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a，b是因子二次根式，c为因子． (1)请判断和是否为因子二次根式．如果是，求出因子；如果不是，请说明理由． (2)若与是因子二次根式，3为因子，求n的值． 【答案】(1)和是因子二次根式，因子为； (2)． 【分析】本题考查二次根式的计算，分母有理化．理解并掌握因子二次根式的定义是解题的关键． （1）根据因子二次根式的定义进行计算即可； （2）根据因子二次根式的定义得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵ ， ∴和是因子二次根式，因子为； （2）解：由题意，得：， ∴， ∴． 6．我们规定用表示一对数对．给出如下定义：记，，其中（，），将与称为数对的一对“对称数对”．若数对的一个“对称数对”是，则的值是 ． 【答案】6或/或6 【分析】本题考查了新定义和解方程，理解和应用新定义是解题的关键．根据新定义，列方程，解答即可． 【详解】解：数对的一个“对称数对”是， 可能是或， 若是， 则，解得，，解得， ； 若是， 则，解得，，解得， ； 故答案为：6或． 7．定义：在平面直角坐标系中，为坐标原点，任意两点、，称 的值为、两点的“直角距离”．若，则，的“直角距离”为 ；若，为直线上任意一点，则，的“直角距离”的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，绝对值的几何意义，二次根式的计算，正确理解题意是解题的关键．根据“直角距离”的定义进行求解即可得出，的“直角距离”；设点Q的坐标为，根据题意得到P，Q的“直角距离”为，据此即可得出，的“直角距离”的最小值． 【详解】解：∵，， ∴，的“直角距离”为 设点Q的坐标为， ∴，的“直角距离”为， ∴当时，， 当时，； 当时，； ∴综上所述，的最小值即为， ∴，的“直角距离”的最小值为， 故答案为：，． 8．定义：不超过实数的最大整数称为的整数部分，记作，又把称为的小数部分，记作，则有．如：，，；，，，若且，则 【答案】或 【分析】本题主要考查分母有理化与实数有关的新定义问题，需要注意分类讨论思想的运用．先根据分母有理化法则进行化简，再根据定义即可得出答案． 【详解】解： ， ， ， 当时，， ， ， ， 当时，， ， ， 综上，的值为或． 故答案为：或． 9．对于有理数，定义的含义为：当时，．例如：．已知，，且和为两个连续正整数，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据的含义可得，由a和b为两个连续正整数求得它们的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，且a和b为两个连续正整数，， ∴， ∴． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了二次根式的应用、立方根、实数的运算等知识点，根据题意理解新定义的计算公式是解题的关键． 10．定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式． (1)若a与是关于6的共轭二次根式，求a的值； (2)若与是关于2的共轭二次根式，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了新定义：共轭二次根式的理解和应用，掌握二次根式的混合运算法则是解题关键． （1）由题意得：，即可求解； （2）由题意得：，化简即可求解； 【详解】（1）解：由题意得：， ∴； （2）解：由题意得：， ∴， ∴. 11．对于任意实数a，b，定义一种运算“”如下：．如：． (1)______，______； (2)已知，求的值． 【答案】(1)1，3 (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题关键是理解新定义的含义，列出正确的算式． （1）根据已知条件中的新定义，列出算式，根据二次根式的性质进行计算即可； （2）根据新定义，列出含有的等式，再根据平方差公式分解因式，然后进行解答可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 故答案为：1，3； （2）∵， ∴， ， ， ， ∴． 12．任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数），则称无理数的“行知区间”为，如，所以的行知区间为． (1)无理数的“行知区间”是________； (2)若，求的“行知区间”； (3)实数，，满足，求的算术平方根的“行知区间”． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查无理数的估算，二次根式有意义的条件，非负性．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． （1）夹逼法求出的取值范围，即可得出结果； （2）根据二次根式有意义的条件，得到，进一步求出的取值范围即可； （3）根据二次根式有意义的条件，结合算术平方根的非负性，得到，，求出的值，进而求出的“行知区间”即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即：无理数的“行知区间”是； 故答案为：； （2）解：∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴a的“行知区间”为； （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 联立：，解得：， ∴的算术平方根为， ∵， ∴； ∴的算术平方根的“行知区间”为． 13.任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中为连续的整数），则称无理数的“臻美区间”为，如，所以的“臻美区间”为． (1)无理数的“臻美区间”是______． (2)若一个无理数的“臻美区间”为，且满足，其中是关于的二元一次方程的一组正整数解，求的值． (3)实数满足如下关系式：，求的算术平方根的“臻美区间”． 【答案】(1) (2)37 (3) 【分析】（1）先估算的大小，然后再估算的大小，然后根据无理数的“臻美区间”进行解答即可； （2）先根据已知条件，求出满足题意的，的值，从而求出，，然后根据二元一次方程解的定义，把、、和的值分别代入，求出即可； （3）先根据二次根式的非负性，求出，从而得到，再根据偶次方的非负性，列出关于，的两个含有字母参数的二元一次方程，从而求出的值，然后估算的算术平方根的大小，求出的“臻美区间”即可． 【详解】（1）解： ， ， ， 无理数的“臻美区间”是， 故答案为：； （2）解：、为连续的整数，是关于，的二元一次方程的一组正整数解， 是正整数，， 一个无理数的“臻美区间”为， ， ， 当，即时，不存在，舍去； 当，即时，不满足不等式，舍去； 当，即时，满足不等式，则； 当，即时，不存在，舍去； 满足题意的，的值为， ，则； （3）解：，，， ， ， ， ， ，， ①，②， ①②得，则，即，解得， ，即， 的算术平方根的“臻美区间”为． 【点睛】本题主要考查了无理数的估算和新定义，涉及二元一次方程的解、非负数的性质-算术平方根、二次根式有意义的条件、非负数的性质-偶次方、估算无理数的大小等知识，解题关键是熟练掌握正确估算无理数的大小和理解新定义的含义． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 二次根式中的新定义问题（30题） 【人教版】 1．对于任意实数m，n，若定义新运算，给出三个说法： ①； ②； ③． 以上说法中正确的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．定义：若根式A与根式B的乘积不含根式则称A、B为共轭根式，例如：与或与都是共轭根式． （1）有关共轭根式，下列说法正确的是________（填上序号）； ①一个根式的共轭根式是唯一的； ②a，b均为正整数，若与是同类二次根式，则与也是共轭根式； ③若A与B是共轭根式，则A与也是共轭根式． （2）写出下列根式的一个共轭根式，填在相应根式后面的横线上，要求是最简二次根式或化到最简． ________；________；________；________． （3） 试找出的一个共轭根式，并验证其正确性． 3．定义：若多项式与都是常数，且满足，，则称这两个多项式互为“黔一相依”多项式． (1)填空：的“黔一相依”多项式为______ ； (2)求证：若，多项式与多项式互为“黔一相依”多项式． 4．对于两个实数，（其中），定义一种新运算：，如：，那么 ． 5．定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a，b是因子二次根式，c为因子． (1)请判断和是否为因子二次根式．如果是，求出因子；如果不是，请说明理由． (2)若与是因子二次根式，3为因子，求n的值． 6．我们规定用表示一对数对．给出如下定义：记，，其中（，），将与称为数对的一对“对称数对”．若数对的一个“对称数对”是，则的值是 ． 7．定义：在平面直角坐标系中，为坐标原点，任意两点、，称 的值为、两点的“直角距离”．若，则，的“直角距离”为 ；若，为直线上任意一点，则，的“直角距离”的最小值为 ． 8．定义：不超过实数的最大整数称为的整数部分，记作，又把称为的小数部分，记作，则有．如：，，；，，，若且，则 9．对于有理数，定义的含义为：当时，．例如：．已知，，且和为两个连续正整数，则的值为 ． 10．定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式． (1)若a与是关于6的共轭二次根式，求a的值； (2)若与是关于2的共轭二次根式，求m的值． 11．对于任意实数a，b，定义一种运算“”如下：．如：． (1)______，______； (2) 已知，求的值． 12．任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数），则称无理数的“行知区间”为，如，所以的行知区间为． (1)无理数的“行知区间”是________； (2)若，求的“行知区间”； (3)实数，，满足，求的算术平方根的“行知区间”． 13.任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中为连续的整数），则称无理数的“臻美区间”为，如，所以的“臻美区间”为． (1)无理数的“臻美区间”是______． (2)若一个无理数的“臻美区间”为，且满足，其中是关于的二元一次方程的一组正整数解，求的值． (3)实数满足如下关系式：，求的算术平方根的“臻美区间”． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$