8.3 用正多边形铺设地面 课件 2024-2025学年华东师大版数学七年级下册

8.3 用正多边形铺设地面 华东师大版七年级数学下册 这些形状的瓷砖为什么能铺满地面而不留一点空隙？ 它们有什么特点？ 新课导入 正多边形 探究新知 知识点1 用相同的正多边形铺设地面 围绕某一顶点铺满地面 生活中常常用瓷砖严丝合缝、不留空隙地铺满墙面或地面. 从数学的角度看，就是用几何图形不留空隙、不重叠地铺满平面的一部分，这就是平面图形的镶嵌. 探索 使用给定的某种正多边形，它能否铺满地面，既不留下一丝空白，又不互相重叠呢？ 与正多边形的内角大小有关 请根据下图，完成表格. 正多边形的边数 3 4 5 6 7 … n 正多边形的内角和 … 正多边形每个内角的大小 … 180° 60° 360° 90° 540° 108° 720° 120° 900° 128.6° (n – 2)×180° 60°×6 = 360° 正三角形 60° 60° 60° 60° 60° 60° 正四边形 90° 90° 90° 90° 90°×4 = 360° 正六边形 120° 120° 120° 120°×3 = 360° 从正三角形、正方形、正五边形、正六边形···中选用其中一种镶嵌，哪几种正多边形能够进行平面镶嵌？ 正五边形 108° 108° 108° 108°×3 = 324° 正八边形 135° 135° 135° 135°×3 = 405° 现在，你知道镶嵌的规律了吗？ 使用给定的某种正多边形，当围绕一点拼在一起的几个内角加在一起恰好组成一个周角(360°)时，就可以铺满地面. 概括 如果用 x 表示正多边形的一个内角的度数，a 表示正多边形的个数，那么上面的结论可表示为： ax = 360° 想 一 想 　　正七边形、正九边形、正十边形、正十二边形能密铺地面吗？为什么？ 判断用一种正多边形能否铺满地面，关键是看这种正多边形的一个内角能否整除 360°. 若能整除，则能铺满地面；否则不能铺满地面. 正七边形 正九边形 正十边形 正十二边形 128.6° 140° 144° 150° 针对训练 选用下列图形的瓷砖，若只用一种瓷砖平面镶嵌，则不能选择的瓷砖图形是（ ） A. 正三角形 B. 正方形 C. 正六边形 D. 正八边形 D 只用一种形状可以铺满地面的正多边形只有________，________，________. 正三角形 正方形 正六边形 知识点2 用多种正多边形铺设地面 如图，将图中相邻两行正三角形分开，添一行正方形. 它表明把正三角形和正方形结合在一起也能铺满地面. 【教材P101练习】 正三角形、正方形、正六边形两两结合是否都能铺满地面呢？所选正多边形的内角度数与个数有怎样的数量关系？ 60° 90° 90° 60° 60° 正三角形和正六边形： 60° 120° 60° 120° 或 ··· 正方形和正六边形可以结合吗？ 把正三角形、正方形、正六边形三者结合在一起呢？请你试试看. 你还能想到别的拼法吗？ 90° 90° 120° 60° 说说下面这些图形是用那些正多边形拼成的？ 正十二边形 正三角形 正十二边形 正方形 正六边形 正八边形 正方形 150° 150° 60° 150° 120° 60° 135° 135° 90° 60° 90° 90° 60° 60° 60° 120° 60° 120° 90° 90° 120° 60° 你发现了什么？ 150° 150° 60° 150° 120° 60° 135° 135° 90° 150° 120° 60° 正十二边形的一个内角： 正方形的一个内角： 正六边形的一个内角： = 150° = 90° = 120° 和为360°，即一个周角 多种正多边形组合起来能铺满地面的条件： 各个正多边形围绕一点拼在一起的几个内角的和为 360°. 概括 设每一个公共顶点不同的正多边形分别有 m 个、n 个、···，正多边形的一个内角度数分别为 α、β、···，若几种正多边形组合起来能铺板地面，则： mα + nβ + ··· = 360° 注意 有时几种正多边形的组合能围绕一点拼成周角，但不能扩展到整个平面，即不能铺满平面. 如：正五边形与正十边形的组合. 针对训练 用边长相同的正三角形、正方形、正六边形、正八边形在一起组合，不能铺满地面的是（ ） 正三角形和正方形 正方形和正六边形 正三角形和正六边形 正方形和正八边形 B 1. 用一种正多边形能进行平面铺设的条件是（ ） A. 内角都是整数度数 B. 边数是 3 的整数倍 C. 内角整除 180° D. 内角整除 360° D 随堂练习 2. 设在一个顶点周围有 a 个正三角形，b 个正十二边形铺满地面，则 a =______， b=______. 1 2 3. 现有四种地板砖，它们的形状分别是正三角形、正方形、正六边形、正八边形，且它们的边长都相等. 同时选择其中两种地板砖密铺地面，选择的方式有（ ） A. 2 种 B. 3 种 C. 4 种 D. 5 种 B 4. 铺设一间长 6 m、宽 3.5 m 的客厅地面需要同样规格的正方形地板砖，现有“40 cm×40 cm”“30 cm×30 cm”“50 cm×50 cm”和“60 cm×60 cm”的地板砖，请你设计一下，要想全部铺满，不锯破且不留一点空隙，选哪一种规格？为什么？需要多少块？ 解：选“50 cm×50 cm”规格的. 理由：∵6 m =600c m，3.5 m = 350 cm， 600，350 都是 50 的倍数， ∴选“50 cm×50cm”规格的. 需要 7×12 = 84（块）. 5. 如图，正多边形 A，B，C 密铺地面，其中 A 为正六边形，C 为正方形，请通过计算求出正多边形 B 的边数． 解：设正多边形B的边数为 n， ∵一个点处由 1 个正六边形、1 个正方形、1 个多边形 B 组成，则正多边形B的一个内角的度数为 360°– 120°– 90°= 150°， 则 (n – 2)·180°= n·150°， 解得 n = 12. ∴正多边形 B 的边数为12． 课堂小结 用一种或多种正多边形铺设地面，能将地面铺满的条件： 围绕一点拼一起的几个内角加在一起恰好组成一个周角(360°). $$