8.1.2 三角形的内角和与外角和 第2课时 课件 2024-2025学年华东师大版数学七年级下册

2. 三角形的内角和与外角和 华东师大版七年级数学下册 第2课时 三角形的外角及外角和 复习导入 如图，在△ABC 中，∠A = 45°， ∠C = 70°，那么∠B = _____（ ）； A B C D 延长 AB 到点 D， 那么∠CBD = _____（ ）. 65° 三角形的内角和等于180° 115° 1 平角 = 180° ∠CBD(外角) +∠ABC(相邻的内角) = 180° 即： 探究新知 以同桌为一个小组，请同学们拿出撕开的三角形，观察三角形的内角与外角之间有什么联系，看看哪个小组完成的最快，最先发现问题. 大家得出了什么结论呢？ A B C D 外角 + 相邻的内角 = 180° 外角 不相邻的内角 相邻的内角 外角∠CBD 与其他两个不相邻的内角又有什么关系呢？ 知识点1 三角形的外角的性质 一个三角形的每一个外角对应一个相邻的内角和两个不相邻的内角. 三角形的外角.几何画板 A B C D 外角 依据三角形的内角和等于180°，我们有 ∠ACB +∠BAC +∠ABC = 180° ∠CBD +∠ABC = 180° 由上面两个式子，可以推出 ∠ACB +∠BAC = 180°–∠ABC ∠CBD = 180°–∠ABC 因而可以得到外角∠CBD 与两个不相邻的内角之间的关系： ∠CBD = ∠ACB +∠BAC 三角形的外角.几何画板 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 三角形的外角 A B C D 外角 ∠CBD = ∠C +∠A 外角 不相邻内角 相互转化 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角. A B C D 外角 ∠CBD ______∠C ∠CBD ______∠A 判断： ∠CBD = ∠C +∠A ＞ ＞ 针对训练 1. 如图，∠CBD 是△ABC 的一个外角，若∠A = 44°，∠CBD = 80°，则∠C =_____. 36° A B C D 44° 80° （1） （2） （3） 1 1 1 2 2 2 60° 80° 30° 40° 40° ∠1 = 40° ∠2 = 140° ∠1 = 110° ∠2 = 70° ∠1 = 50° ∠2 = 140° 2. 如图，说出图形中∠1 和∠2 的度数. 知识点2 三角形的外角和 1 2 3 C B A ①观察图形，形成了几个外角？ 从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加，得到的和称为三角形的外角和. 三角形有6个外角，每个顶点处有2个外角，它们是一对对顶角. 求：∠1 +∠2 +∠3 =？ ②如何求三角形的外角和？ ∠1 +_______ = 180°， ∠2 +_______ = 180°， ∠3 +_______ = 180°. ∠ACB ∠BAC ∠ABC 三式相加，可以得到 ∠ 1 +∠2 +∠3 +______+______+______=_____， ∠ACB ∠BAC ∠ABC 540° 而 1 2 3 C B A 做一做 在右图中，有： ① ② ∠ACB +∠BAC + ∠ABC = 180° 将①与②相比较，你能得出什么结论？ ∠ 1 +∠2 +∠3 +______+______+______=_____， ∠ACB ∠BAC ∠ABC 540° ① ② ∠ACB +∠BAC + ∠ABC = 180° ∠1 +∠2 +∠3 = 360° 由此可知： 三角形的外角和等于 360°. 思考：还有其它的方法说明这一结论吗？ 1 2 3 C B A 解：过点 A 作 AD∥BC， 1 2 3 C B A D E ∴∠1 = ∠EAD，∠3 = ∠BAD （ ）. 又∵∠2 +∠BAD +∠EAD = 360°， ∴ ∠1 +∠2 +∠3 = 360°. 两直线平行，同位角相等 ∴ △ABC 的外角和等于360°. 如图，试说明△ABC的外角和等于360°. 例题讲解 例 2 如图，D 是△ABC 的边 BC 上一点，∠B =∠BAD，∠ADC = 80°，∠BAC = 70°. （1）求∠B 的度数； （2）求∠C 的度数. A C B D 解  （1）∵∠ADC 是△ABD 的外角（已知）， ∴∠B +∠BAD = ∠ADC = 80° （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）. 又∵∠B =∠BAD（已知）， ∠B = 80°× = 40°（等量代换）. 1 2 A C B D 70° 80° （2）∵∠B +∠BAC +∠C = 180° （三角形的内角和等于180°）， A C B D 70° 80° 40° ∴∠C = 180°– ∠B – ∠BAC（等式的性质）. 又∵∠B = 40°（已求）， ∠BAC = 70°（已知）， ∴∠C = 180° – 40° – 70°= 70° （等量代换）. 针对训练 1. 如图，已知 AB//CD，∠A = 54°，∠E = 18°，则∠C =_____. 36° 54° 18° A B C D E A C B D 分析： ∠ADC =∠B +∠BAD ∠B = 30°，∠ADC = 70° ∠BAD = 40° ∠BAC = 80° ∠C = 180°–∠B–∠BAC ∠CAD = 40° ∠C = 180°–∠CAD –∠ADC 2. 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，∠B = 30°，∠ADC = 70°，则∠C =_____. 70° 70° 30° 1. 一个三角形可以有两个内角都是直角吗？可以有两个内角都是钝角或锐角吗？为什么？ 随堂练习 【教材P88练习 第1题】 解：一个三角形不可以有两个内角都是直角，不可以有两个内角都是钝角，可以且一定有两个内角都是锐角. 当一个三角形中有两个直角或钝角时，三个内角之和会大于 180°，这与三角形的内角和等于 180°矛盾. 【教材P88练习 第2题】 2. 说出下列各图中∠1 的度数. 30° 60° 1 ① 45° 50° 1 ② 35° 120° 1 ③ ∠1 = 90° ∠1 = 95° ∠1 = 85° 3. 如图，在Rt△ABC 中，CD 是斜边 AB 上的高，∠BCD = 35°. （1）求∠EBC 的度数； （2）求∠A 的度数. 【教材P89练习 第3题】 对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）. C B D E A C B D E A 解：(1)∵ CD⊥AD（已知）， ∴∠CDB = ________. ∵∠EBC = ∠CDB +∠BCD （________________________ _________________________）， ∴∠EBC =_______+ 35°=_______ （等量代换）. 90° 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 90° 125° C B D E A (2)∵ ∠EBC =∠A +∠ACB （________________________ __________________________）， ∴∠A =∠EBC –∠ACB（等式的性质）. ∵∠ACB = 90°（已知）， ∴∠A =_______– 90°=_______ （等量代换）. 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 125° 35° 你还能用其 他方法解决这一问题吗？ C B D E A 解：∵ ∠BCA =∠BCD +∠DCA， ∴∠DCA =∠BCA –∠BCD. ∵∠BCA = 90°，∠BCD = 35°， ∴∠DCA = 90°– 35°=55°. ∵∠A + ∠DCA = 90°， ∴∠A = 90°–∠DCA = 90°– 55°= 35°. ∴∠EBC =∠BCA +∠A = 90°+ 35°= 125°. 可以利用直角三角形的两个锐角互余先求∠A，再利用三角形外角的性质求∠EBC. 4. 如图，是一个五角星，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数. 解：∵∠AFG =∠B +∠D， ∠AGF =∠C +∠E， ∠A +∠AFG +∠AGF =180°， ∴∠A +∠B +∠C +∠D +∠E = 180°. F G 课堂小结 三角形的外角 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角 三角形的外角和等于 360° $$