8.1.2 三角形的内角和与外角和 第1课时 课件 2024-2025学年华东师大版数学七年级下册

2. 三角形的内角和与外角和 华东师大版七年级数学下册 第1课时 三角形的内角和 新课导入 我们曾撕下三角形的两个内角，将它们与第三个内角拼在一起，发现三个内角恰好拼成一个平角。 3 1 1 2 2 2 1 3 3 还有折叠的方法 得出结论：三角形的内角和等于 180°. 思考：除了度量以外，你还有什么办法可以验证三角形的内角和为180°呢？ 思考：我们学过哪些与 180°有关的角？ A B C 探究新知 知识点1 三角形的内角和 1 平角 = 180° 通过撕拼的过程，能不能发现一些证明的思路呢？ 如图，已知△ABC，分别用∠1、∠2、∠3 表示△ABC 的三个内角，证明∠1 +∠2 +∠3 = 180°. A B C 1 2 3 你还有其他方法吗？ A B C 1 2 3 解：如图，延长 BC 至点 E，以点 C 为顶点，在 BE 的上侧作∠DCE =∠2， E D ∵CD // BA， ∴∠1 =∠ACD（两直线平行，内错角相等）. ∵∠3 +∠ACD +∠DCE = 180°， ∴∠1 +∠2 +∠3 = 180°（等量代换）. 则 CD// BA（同位角相等，两直线平行）. A B C 1 2 3 ∵∠1 + ∠4 + ∠5 = 180°（平角定义）， ∴∠A + ∠B + ∠C = 180°（等量代换）. 证明：过点 A 作直线 l ，使 l ∥BC. ∵ l ∥BC ， ∴∠2 = ∠4，∠3 = ∠5 （两直线平行，内错角相等）. 4 5 　 通过前面的操作和证明过程，你能受到什么启发？你能用其他方法证明此定理吗？ C A B 1 2 3 4 5 l P 6 m C A B 1 2 3 4 5 l P 6 m n C A B 1 2 3 4 5 l P 6 m n 思考 转换思想 借助平行线的“移角”功能，将三个角转化成一个平角. 三角形内角和定理 A B C 三角形的内角和等于180°. 几何语言： 在△ABC 中， ∠A +∠B +∠C = 180° 针对训练 　如图，说出各图中∠1 的度数.　　 30° 105° 1 （2） 80° 50° 1 （1） 22° 1 （3） 50° 45° 68° ∠1 = 180°– 50°– 80° = 50° ∠1 = 180°– 105°– 30° = 45° ∠1 = 180°– 22°– 90° = 68° 2. 已知∠A、∠B、∠C是△ABC的三个内角. （1）若∠A = 95°，∠B = 40°，则∠C =_____； （2）若∠A :∠B :∠C = 4 : 5 : 9，则∠C =_____； （3）若∠A = 2∠B = 6∠C，则∠B =_____. （1）∠C = 180°–∠A –∠B 45° （2）设∠A = 4x°，则∠B = 5x°，∠C = 9x° ∴ 4x + 5x + 9x = 180 解得 x = 10 90° 54° （3）设∠C = x°，则∠A = 6x°，∠B = 3x° ∴ 6x + 3x + x = 180 解得 x = 18 A C B 直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形 ABC 可以写成 Rt△ABC . 直角所对的边称为直角三角形的斜边，夹直角的两条边称为直角边。 直角边 直角边 斜边 直角三角形 如图，在直角三角形 ABC 中，∠C = 90°，∠A 与∠B 有什么关系？ A C B 知识点2 直角三角形的性质 思考 ∠A +∠B +∠C = 180°. 又∵∠C = 90°， ∴∠A +∠B = 180°– 90°= 90°. 由三角形的内角和等于180°，得 直角三角形的两个锐角互余. 文字语言 几何语言 直角三角形的两个锐角互余 如图，在Rt△ABC中， ∵∠C = 90°， ∴∠A +∠B = 90° A C B 例题讲解 例 1 如图，AD 是△ABC 的边 BC 上的高，∠1 = 45°，∠C = 65°.求∠BAC 的度数. 1 A C B D 65° 在△ABC 中，∵∠B + ∠C + ∠BAC = 180°（三角形的内角和等于180°）， ∴∠BAC = 180°– ∠B – ∠C（等式性质）. 解：在 Rt△ABC 中，∵∠1 + ∠B = 90° （直角三角形的两个锐角互余）， ∴∠B = 90°–∠1（等式性质）. 1 A C B D 65° 45° 又∵∠1 = 45°（已知）， ∴∠B = 90°– 45°= 45°（等量代换）. 又∵∠B = 45°（已求），∠C = 65°（已知）， ∴∠BAC = 180°– 45°– 65°= 70°（等量代换）. 45° 针对训练 A C B D F E 分析： △ABD 与△BDF 为直角三角形 ∠BFD + ∠FBD = 90° ∠BAD + ∠ABD = 90° ∠BAD = 44° ∠ABD = 46° BE 平分∠ABD ∠FBD = ∠ABD = 23° ∠BFD = 90°–∠FBD 如图，AD⊥BC，BE 是 △ABC 的角平分线，BE、AD相交于点 F，已知∠BAD = 44°，则∠BFD =_____. 67° 我们已经知道，直角三角形的两个锐角互余. 反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？ A C B 思考 ∠A +∠B +∠C = 180°. 又∵ ∠A +∠B = 90°， ∴∠C = 180°– 90°= 90°. 由三角形的内角和等于180°，得 知识点3 直角三角形的判定 文字语言 几何语言 有两个角互余的三角形是直角三角形 如图，在△ABC中， ∵∠A +∠B = 90°， ∴△ABC是直角三角形 A C B 针对训练 如图，在△ABC 中，∠C = 25°，直线 a // b，点 A 在直线 a 上，若∠1 = 75°，∠2 = 40°，则△ABC 按角分类属于_____三角形. 直角 1 A C B a b 2 40° 65° 90° 随堂练习 1. 在一个三角形中，有两个内角度数分别是 25°和 55°，则这个三角形是（ ） 锐角三角形 钝角三角形 直角三角形 无法确定 B 【教材P86练习 第1题】 1 A C B 2 4 3 D E 分析： ∠1 +∠2 =∠3 +∠4 = 180°–∠A = 180°– 40° = 140° 2. 如图，∠A = 40°，则∠1 +∠2 +∠3 +∠4 =_____. ∠1 +∠2 +∠3 +∠4 = 140° + 140° = 280° 280° 【教材P86练习 第2题】 3. 在△ABC中，∠A + ∠B = 80°，∠C = 2∠B. 求∠A、∠B和∠C的度数. 解：∵∠A +∠B = 80°， ∴∠C = 180°–（∠A +∠B）= 100°. ∴∠A = 80°–∠B = 30°. ∵∠C = 2∠B ， ∴∠B = ∠C = 50°. 【教材P86练习 第3题】 4. 在△ABC中，∠B =∠A + 30°，∠C =∠B + 30°. 求△ABC 的各内角的度数. 解：∵∠B =∠A + 30°，∠C =∠B + 30°， ∴∠C = ∠A + 60°. ∴∠A = 30°. ∵∠A +∠B + ∠C = 180°， ∴∠A +∠A + 30°+∠A + 60° = 180°. ∴∠B =∠A + 30° = 60°，∠C =∠A + 60° = 90°. 【教材P86练习 第4题】 5. 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，D、E 分别是边CB、AB 延长线上的点，∠A = ∠D. 试说明△BDE 是直角三角形. 解：∵∠C = 90°，∴∠A +∠ABC = 90°. 又∵∠A = ∠D ，∠ABC =∠DBE， 在△BDE 中，∵∠D +∠DBE +∠E = 180°， ∴∠E = 180° – (∠D +∠DBE). ∴△BDE 是直角三角形. A C B D E ∴∠E = 180° – (∠A +∠ABC) = 180° – 90° = 90°. 课堂小结 三角形的 内角和 三角形的内角和等于 180° 直角三角形的两个锐角互余 有两个角互余的三角形是直角三角形 $$