专题03 分式方程与零指数幂重难点题型专训重难点题型专训（11大题型+15道提优训练）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（华东师大版）

专题03 分式方程与零指数幂重难点题型专训（11大题型+15道提优训练） 题型一 用科学记数法表示绝对值小于1的数 题型二 零指数幂 题型三 负整数指数幂 题型四 分式方程的定义 题型五 解分式方程 题型六 根据分式方程解的情况求值 题型七 分式方程的增根问题 题型八 分式方程的无解问题 题型九 列分式方程 题型十 分式方程的实际应用 题型十一 分式方程的综合问题 知识点01 分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫分式方程. 注意： （1） 分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. （2） 分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）. 分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程. （3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程. 知识点02 分式方程的解法 解分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 【经典例题一 用科学记数法表示绝对值小于1的数】 【例1】（23-24八年级下·福建厦门·期末）人体内有一种细胞的直径约为 0.00000156 米， 将数 0.00000156 用科学记数法为 （   ） A． B． C． D． 1．（2024·河南周口·三模）锂是一种银白色、质较软、密度最小的金属．锂的原子半径为152pm，已知．则锂的原子直径用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·重庆·开学考试）2023年 5月 31 日，我国首个国际科技组织总部集聚区在北京揭牌并正式启用，首批有国际氢能燃料电池协会等8家国际科技组织入驻． 氢能燃料电池是氢能利用的一种重要形式，能有效推动能源绿色低碳转型． 氢通常的单质形态是氢气，氢气是最轻的气体且难溶于水，其水溶性为，0.00017用科学记数法表示为 ． 3．（23-24八年级下·河南驻马店·期末）新华书店新进了一批图书，甲、乙两种书的进价分别为4元本、10元本．现购进m本甲种书和n本乙种书，共付款Q元． (1)用含m，n的代数式表示Q； (2)若共购进本甲种书及本乙种书，用科学记数法表示Q的值； (3)在（2）的条件下，若，求的值．（结果用科学记数法表示） 【经典例题二 零指数幂】 【例2】（23-24八年级下·福建莆田·期末）若，都是绝对值不大于2的整数，且，则代数式值不可能是（    ） A．5 B． C． D． 1．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）下图是某个学生制作的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0．将第一行数字从左到右依次记为a，b，c，d，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为．如图第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为，表示该生为5班学生．表示6班学生的识别图案是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·四川内江·期末）若，则 ；若，则 ． 3．（24-25八年级下·广西百色·期末）（1）计算： （2）小星解分式方程：的过程如下： 解：方程两边乘，得：···第一步 解得：···第二步 检验：当时，···第三步． 所以，原分式方程无解．···第四步 请你指出小星从第（    ）步开始出现错误，并写出完整的解题过程 【经典例题三 负整数指数幂】 【例3】（2024·广西桂林·模拟预测）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·四川攀枝花·期末）已知是一个多项式的完全平方，与的乘积中不含关于x的一次项，则的值是（    ） A． B．1 C．或1 D．或1 2．（23-24八年级下·陕西汉中·期中）定义一种新的运算： 例如： 那么 3．（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）已知，求整数x的值． 小张同学是这样做的： 因为， 所以且，所以． 你认为小张同学的解答完整吗？若不完整，请求出所有的整数x的值． 【经典例题四 分式方程的定义】 【例4】（23-24八年级下·湖南·单元测试）下列方程不是分式方程的是（    ） A．； B．； C．； D． 1．（23-24八年级下·全国·课后作业）在下列方程中，关于x的分式方程的个数有(    ). ①    ②.  ③④.⑤  ⑥. A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（2024九年级·全国·专题练习）下列方程是关于x的方程，其中是分式方程的是 （只填序号） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨． 3．（23-24八年级下·河南驻马店·期末）解下列分式方程： （1）＝1 （2） 【经典例题五 解分式方程】 【例5】（23-24八年级下·重庆南岸·期末）方程的解是（　　） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·海南海口·期末）对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号表示a、b中的较大的值，如，按照这个规定，方程的解为（    ） A．0 B． C．0或 D．无解 2．（23-24八年级下·山西晋城·期末）一般地，形如 （是已知数）的分式方程有两个解，通常用， 表示．请你观察下列方程及其解的特征： （1）的解为 ； （2）的解为 ； （3）的解为 ； 猜想：方程 的解为 ， ； 关于的方程 的解为 ； ． 3．（24-25八年级下·吉林长春·期中）按要求解答下列问题． 老师在黑板上书写了一个代数式的正确计算结果，随后用手遮住了原代数式的一部分，如图： (1)求被手遮住部分的代数式，并将其化简； (2)原代数式的值能等于吗？请说明理由． 【经典例题六 根据分式方程解的情况求值】 【例6】（24-25八年级下·陕西汉中·开学考试）若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是（   ） A． B． 且 C． 且 D． 1．（23-24八年级下·河南开封·期末）小明在解关于x的分式方程时，发现墨水不小心把其中一个数字污染了，翻看答案上说此方程有增根无解，则被污染的数字为（   ） A． B．1 C．2 D． 2．（24-25八年级下·重庆长寿·阶段练习）若实数使关于的不等式组有且仅有三个奇数解，且使关于的分式方程的解为正整数．则所有满足条件的整数的值之和 ． 3．（2024八年级下·河南南阳·学业考试）已知关于x的分式方程． (1)当时，甲同学的解题过程如下： 解：（第一步）去分母，得：， （第二步）去括号，得：， （第三步）合并同类项，得：， （第四步）系数化为1，得：， （第五步）检验：当时，，所以是增根， （第六步）所以原分式方程无解． 甲同学从第__________步开始出现错误，请你写出正确的解法； (2)若该方程去分母后所得的整式方程的解是增根，求m的值． 【经典例题七 分式方程的增根问题】 【例7】（23-24八年级下·四川遂宁·期末）若关于x的分式方程＝1有增根，则m的值为（　 　） A． B． C．2 D．3 1．（23-24八年级下·四川巴中·期末）有一分式方程．若该方程有增根，则m的值是（   ） A．-5 B． C． D．0 2．（2024八年级·全国·竞赛）若关于的方程不会产生增根，则的取值满足的条件为 ． 3．（2024八年级·全国·竞赛）关于的方程． (1)若，求这个方程的解； (2)若这个方程有增根，求的值． 【经典例题八 分式方程的无解问题】 【例8】（24-25八年级下·广西百色·期末）关于x的方程无解，则k的值为（    ） A． B．3 C． D．无法确定 1．（24-25八年级下·福建厦门·期中）已知关于的分式方程无解，则所有满足条件的整数的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25八年级下·厦门莆田·期中）关于的分式方程无解，则的值为 ． 3．（23-24八年级下·湖南衡阳·期中）已知关于x的分式方程． (1)若分式方程的根是，求a的值； (2)若分式方程有增根，求a的值； (3)若分式方程无解，求a的值． 【经典例题九 列分式方程】 【例9】（23-24八年级下·湖北恩施·期末）今年夏天干旱严重，某村准备请工程队从乌江引水，为了尽快解决村民用水难问题，工程队增加了人力进行管道铺设，现在平均每小时比原计划多铺设，现在铺设所需时间与原计划铺设所需时间相同．设现在平均每小时铺设，则列出的方程为（　　）． A． B． C． D． 1．（24-25八年级下·重庆·开学考试）在物理学中，压强p等于物体所受压力F的大小与受力面积S之比，即．小明将底面积为、重100N的均匀长方体铁块A和底面积为、重150N的均匀长方体铁块B放置在水平桌面上，A、B两个铁块对桌面的压强之比为，求底面积S为多少？则可列方程（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·湖南岳阳·阶段练习）某班同学到距离学校的烈士陵园扫墓．一部分同学骑自行车先行，20分钟后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是自行车的3倍．设骑自行车的速度为千米/小时，则列出的方程是 ． 3．（23-24八年级下·全国·课后作业）某危险品工厂采用甲型、乙型两种机器人代替人力搬运产品．甲型机器人比乙型机器人每小时多搬运产品，甲型机器人搬运产品所用时间与乙型机器人搬运产品所用时间相等． 根据以上信息，解答下列问题． (1)小华同学设乙型机器人每小时搬运产品，可列方程为__________．小惠同学设甲型机器人搬运产品所用时间为y小时，可列方程为__________． (2)求乙型机器人每小时搬运多少千克产品． 【经典例题十 分式方程的实际应用】 【例10】（23-24八年级下·河北邢台·阶段练习）学期末，班主任为获得“文明学生”和“劳动积极分子”称号的学生准备了A，B两种礼物．已知A，B两种礼物的总价分别为450元和420元．且A种礼物比B种礼物多10份，A，B两种礼物的单价分别是这一批礼物平均单价的和1.2倍，则这一批礼物的平均单价是（    ） A．15元 B．元 C．10元 D．元 1．（23-24八年级下·广西玉林·期末）为响应“绿色出行”的号召，小李上班由自驾车改为乘坐公交车．已知小李家距上班地点20km，他乘公交车平均每小时行驶的路程比他自驾车平均每小时行驶的路程少12km．他从家出发到上班地点，乘公交车所用的时间是自驾车所用时间的，小李乘公交车上班平均每小时行驶（    ） A．30km B．36km C．40km D．46km 2．（2024八年级·全国·竞赛）为锻炼身体，小陈由开车上班改为骑自行车上班，已知小陈家距离上班地点14千米，开车每小时行驶的路程比骑自行车每小时行驶的路程的3倍还多5千米，且骑自行车上班所需时间是开车上班所需时间的倍，则小陈骑自行车上班需要 小时．                  3．（23-24八年级下·黑龙江牡丹江·期末）学校计划选购甲、乙两种图书作为“首届科技节”的奖品，已知甲种图书的单价比乙种图书单价多10元．用600元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少10本． (1)甲、乙两种图书每本分别为多少元？ (2)若学校计划购买这两种图书共40本，且投入的经费不超过1050元，要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量，则共有几种购买方案？ (3)每名获奖学生发给甲、乙两种图书各一本，由于全校学生踊跃参加“校园读书节”这样学校还需要再拿出900元，购买甲、乙两种图书，直接写出此次“首届科技节”获奖学生人数． 【经典例题十一 分式方程的综合问题】 【例11】（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）若且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，所有符合条件的b的值和为（    ） A．277 B．240 C．272 D．256 1．（23-24八年级下·重庆渝中·期末）若关于的不等式组有且只有2个奇数解，且关于的分式方程的解为非负数，则符合条件的所有整数的和为（    ） A．3 B．4 C．11 D．12 2．（2024八年级·全国·竞赛）若实数都是整数，且，则 ． 3．（23-24八年级下·福建福州·期末）阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得， 当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式． 如：；． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当__________时，式子取到最小值，最小值为__________； (2)分式是__________（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式__________；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有__________个； (3)用篱笆围一个面积为的矩形花园，问这个矩形的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (4)已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 1．（23-24八年级下·云南红河·期末）英国曼彻斯特大学的两位科学家因为成功地从石墨中分离出石墨烯，获得了诺贝尔物理学奖，石墨烯是目前世界上最薄却最坚硬的纳米材料，同时也是导电性最好的材料，其理论厚度仅米，将用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）分式方程的解是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·湖南娄底·期中）若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 4．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）下列说法中：①若，则；②若，，则；③若，则或；④若方程组的解也是方程组的解，则；其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（24-25八年级下·贵州贵阳·阶段练习）甲、乙二人同驾一辆车出游，各匀速驾驶一半路程，共用，到达目的地后，甲对乙说：“我用你所花的时间，可以行驶”，乙对甲说：“我用你花的时间行驶”，从他们的交谈中可以判断乙驾驶的时长为多长时间，设乙驾驶的时长为，依题意可得（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·江苏南通·开学考试）将数据用科学记数法表示为 ． 7．（2024八年级下·浙江宁波·竞赛）已知关于的方程无解，则的值是 ． 8．（24-25八年级下·福建厦门·期中）计算：（） ；（） ； （） ；（） ； 9．（24-25八年级下·湖南永州·期末）对于实数a，b，定义一种新运算“⊗”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是 ． 10．（24-25八年级下·山东聊城·阶段练习）我们把形如（不为零），且两个解分别为的方程称为“完美分式方程”． 例如为完美分式方程，可化为，∴，． 再如为分式方程，可化为，∴． 应用上面的结论解答问题：已知完美分式方程的两个解分别为； 若．则的值为 ． 11．（24-25八年级下·云南昆明·期末）解分式方程： (1)； (2)． 12．（24-25八年级下·黑龙江·期末）阅读下列材料： 关于的分式方程的解是，；的解是，；的解是，． 请观察上述方程与解的特征，解决下列问题： (1)直接写出关于的方程（）的解为______； (2)直接写出关于的方程的解为______． 13．（2025八年级下·全国·专题练习）（1）基本活动：______；______；______；______；______；_______． （2）结论总结：若n表示整数，分别求出和的值． （3）综合应用：求满足等式的x的值． 14．（24-25八年级下·云南昆明·期末）我们把形如（，不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如为十字分式方程，可化为，∴，； 再如为十字分式方程，可化为，∴，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)若为十字分式方程，则________，________． (2)若十字分式方程的两个解分别为，，求的值． (3)若关于的十字分式方程的两个解分别为，，求的值． 15．（24-25八年级下·北京大兴·期末）列方程解决实际问题： 2024年12月2日，中央广播电视总台《2025年春节联欢晚会》发布官方吉祥物形象“巳（sì）升升”，祝福全球华人在新的一年如意康宁，好事连连．2025蛇年春晚吉祥物的设计是从中华传统文化中寻找的灵感，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，其形象既憨态可掬，又富有古意． 某商店销售A，B两款“巳升升”吉祥物，已知A款吉祥物的单价比B款吉祥物的单价高20元．若顾客花800元购买A款吉祥物的数量与花600元购买B款吉祥物的数量相同，则A，B两款吉祥物的单价分别是多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 分式方程与零指数幂重难点题型专训（11大题型+15道提优训练） 题型一 用科学记数法表示绝对值小于1的数 题型二 零指数幂 题型三 负整数指数幂 题型四 分式方程的定义 题型五 解分式方程 题型六 根据分式方程解的情况求值 题型七 分式方程的增根问题 题型八 分式方程的无解问题 题型九 列分式方程 题型十 分式方程的实际应用 题型十一 分式方程的综合问题 知识点01 分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫分式方程. 注意： （1） 分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. （2） 分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）. 分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程. （3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程. 知识点02 分式方程的解法 解分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 【经典例题一 用科学记数法表示绝对值小于1的数】 【例1】（23-24八年级下·福建厦门·期末）人体内有一种细胞的直径约为 0.00000156 米， 将数 0.00000156 用科学记数法为 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 根据科学记数法定义，这里此题主要考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 根据科学记数法定义，这里，． 【详解】解：． 故选：B． 1．（2024·河南周口·三模）锂是一种银白色、质较软、密度最小的金属．锂的原子半径为152pm，已知．则锂的原子直径用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数整数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，本题考查用科学记数法表示较小的数，解题的关键是：注意直径和半径的区别． 【详解】解：由题意可得：， 直径为：， 故选：B． 2．（24-25八年级下·重庆·开学考试）2023年 5月 31 日，我国首个国际科技组织总部集聚区在北京揭牌并正式启用，首批有国际氢能燃料电池协会等8家国际科技组织入驻． 氢能燃料电池是氢能利用的一种重要形式，能有效推动能源绿色低碳转型． 氢通常的单质形态是氢气，氢气是最轻的气体且难溶于水，其水溶性为，0.00017用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，为整数（确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位，小数点向左移为正，向右移为负）． 【详解】解：， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·河南驻马店·期末）新华书店新进了一批图书，甲、乙两种书的进价分别为4元本、10元本．现购进m本甲种书和n本乙种书，共付款Q元． (1)用含m，n的代数式表示Q； (2)若共购进本甲种书及本乙种书，用科学记数法表示Q的值； (3)在（2）的条件下，若，求的值．（结果用科学记数法表示） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意即可直接列出代数式； （2）将，代入代数式求值，并将结果用科学记数法表示即可； （3）将，代入代数式求值，并将结果用科学记数法表示即可． 【详解】（1）解：根据题意可得： ； （2）解：当，时， ； （3）解：，， ． 【点睛】本题主要考查了列代数式，代数式求值，科学记数法—表示较大的数，科学记数法—表示较小的数等知识点，牢记科学记数法的表示形式是解题的关键：科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键是要正确确定的值以及的值；确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，绝对值与小数点移动的位数相同：当原数绝对值时，是正数，当原数的绝对值时，是负数，据此确定的值以及的值即可． 【经典例题二 零指数幂】 【例2】（23-24八年级下·福建莆田·期末）若，都是绝对值不大于2的整数，且，则代数式值不可能是（    ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的乘方计算，根据题意可得的值可能为，再结合选项选择适合的值，逐项判断即可． 【详解】解：，都是绝对值不大于2的整数， 的值可能为：， 当，时，，故A不符合题意； 当，时，，故B不符合题意； 当，时，，故C不符合题意； 在a，b的可取范围内，代数式值不可能是，故D符合题意， 故选：D． 1．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）下图是某个学生制作的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0．将第一行数字从左到右依次记为a，b，c，d，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为．如图第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为，表示该生为5班学生．表示6班学生的识别图案是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用数字表示事件，弄清题中的转换方法是解本题的关键．仿照二维码转换的方法求出所求即可． 【详解】解：根据题意得：， 则表示6班学生的识别图案是B 故答案为：B 2．（23-24八年级下·四川内江·期末）若，则 ；若，则 ． 【答案】 2024 1或3或 【分析】此题主要考查了代数式求值，零次幂的运算法则，理解任何不等于0的数的零次幂等于1是解答此题的关键，难点是整体思想和分类讨论思想在解题中应用．首先根据得，然后将转化为，再将整体代入计算即可得出答案；首先判定，然后分三种情况讨论如下：①当时，则，由此解出a即可；②当时，根据零次幂的运算法则得，由此解出a即可；③当，且为偶数时，则，由此解出a即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ； 若，则， 分三种情况讨论如下： ①当时，总有， 解得：， ②当时，则， 解得：， ③当，且为偶数时，则， 解得：， ∴a的值为1或3或． 故答案为：2024，1或3或． 3．（24-25八年级下·广西百色·期末）（1）计算： （2）小星解分式方程：的过程如下： 解：方程两边乘，得：···第一步 解得：···第二步 检验：当时，···第三步． 所以，原分式方程无解．···第四步 请你指出小星从第（    ）步开始出现错误，并写出完整的解题过程 【答案】（1）；（2）一；过程见解析； 【分析】本题考查负整数指数幂， 零指数幂，求一个数的立方根以及解分式方程； （1）根据负整数指数幂， 零指数幂，求一个数的立方根进行计算即可求解； （2）根据解分式方程方程的步骤进行计算即可求解． 【详解】解：（1） （2）解：小星从第一步开始出现错误. 方程两边乘，得： 解得： 检验：当时，． 所以，原分式方程的解为 【经典例题三 负整数指数幂】 【例3】（2024·广西桂林·模拟预测）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了负整数指数幂、绝对值、立方根等知识， 根据法则计算后即可得到答案. 【详解】A. ，，故选项错误，不合题意； B. ，故选项错误，不合题意； C. ，故选项错误，不合题意； D. ，故选项正确，符合题意； 故选：D 1．（23-24八年级下·四川攀枝花·期末）已知是一个多项式的完全平方，与的乘积中不含关于x的一次项，则的值是（    ） A． B．1 C．或1 D．或1 【答案】C 【分析】此题考查了完全平方式，以及多项式乘多项式，零次幂及负整指数幂，利用完全平方公式，以及多项式乘以多项式法则确定出与的值，代入原式计算即可求出值．熟练掌握公式及法则是解本题的关键． 【详解】解：∵是完全平方式，不含的一次项， ∴，， 解得：或，， 当，时，； 当，时，， 则或， 故选：C． 2．（23-24八年级下·陕西汉中·期中）定义一种新的运算： 例如： 那么 【答案】 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，根据新运算得到，再根据以及负整数指数幂的运算法则计算即可，熟知分数指数幂，负整数指数幂的运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）已知，求整数x的值． 小张同学是这样做的： 因为， 所以且，所以． 你认为小张同学的解答完整吗？若不完整，请求出所有的整数x的值． 【答案】小张同学的解答不完整，所有的x的值为， 【分析】此题主要考查了零指数幂的性质以及有理数的乘方运算等知识，直接利用零指数幂的性质以及有理数的乘方运算法则分别化简求出答案． 【详解】答：小张同学的解答不完整； 完整解答如下： ∵， ∴且， ∴； 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 综上所述：所有x的值为，． 【经典例题四 分式方程的定义】 【例4】（23-24八年级下·湖南·单元测试）下列方程不是分式方程的是（    ） A．； B．； C．； D． 【答案】D 【分析】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程判断． 【详解】A、B、C项中的方程分母中都含未知数，是分式方程； D项方程分母中不含未知数，不是分式方程， 故选D． 【点睛】判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数． 1．（23-24八年级下·全国·课后作业）在下列方程中，关于x的分式方程的个数有(    ). ①    ②.  ③④.⑤  ⑥. A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据分式方程的定义:分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断. 【详解】①、②、⑥的分母中不含有未知数,它们是整式方程,不是分式方程; ③、④、⑤的分母中含未知数x,故是分式方程. 所以B选项是正确的. 【点睛】本题考查了分式方程的定义.判断一个方程是否为分式方程,主要是依据分式方程的定义,也就是看分母中是否含有未知数(注意:仅仅是字母不行,必须是表示未知数的字母). 2．（2024九年级·全国·专题练习）下列方程是关于x的方程，其中是分式方程的是 （只填序号） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨． 【答案】④⑤⑥⑦⑨ 【分析】根据分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程进行判断． 【详解】①是整式方程，故①不符合题意； ②是整式方程，故②不符合题意； ③是整式方程，故③不符合题意； ④是分式方程，故④符合题意； ⑤是分式方程，故⑤符合题意； ⑥是分式方程，故⑥符合题意； ⑦是分式方程，故⑦符合题意； ⑧是整式方程，故⑧不符合题意； ⑨是分式方程，故⑨符合题意； 故答案为：④⑤⑥⑦⑨． 【点睛】本题考查分式方程的定义，充分理解分式方程的定义是解答本题的关键． 3．（23-24八年级下·河南驻马店·期末）解下列分式方程： （1）＝1 （2） 【答案】（1）x＝0；（2）x＝﹣3． 【分析】（1）去分母得：x（x+2）4=（x+2）（x2），解一元一次方程，然后进行检验确定原方程的解； （2）去分母得：x（x+2）=3，整理得x2+2x3=0，解一元二次方程，然后进行检验确定原方程的解． 【详解】解：（1）方程两边同乘以（x+2）（x﹣2）， 约去分母得：x（x+2）﹣4＝（x+2）（x﹣2）， 解之得：x＝0， 检验：当x＝0时，（x+2）（x﹣2）≠0， ∴x＝0是原方程的解， ∴原分式方程的解为：x＝0； （2）方程两边同乘以（x﹣1）（x+2）， 约去分母得：x（x+2）＝3， 整理得x2+2x﹣3＝0， 解之得x1＝1，x2＝﹣3， 检验：当x＝1时，（x﹣1）（x+2）＝0， ∴x＝1不是原方程的解； 当x＝﹣3时，（x﹣1）（x+2）≠0， ∴x＝﹣3是原方程的解； ∴原分式方程的解为：x＝﹣3． 【点睛】本题考查了解分式方程：掌握解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论． 【经典例题五 解分式方程】 【例5】（23-24八年级下·重庆南岸·期末）方程的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的思路（转化为整式方程求解，然后再检验）成为解题的关键． 先把分式方程化成整式方程求解，然后再检验即可． 【详解】解：， ， ， 解得： 经检验，是分式方程的解． 故选A． 1．（23-24八年级下·海南海口·期末）对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号表示a、b中的较大的值，如，按照这个规定，方程的解为（    ） A．0 B． C．0或 D．无解 【答案】A 【分析】本题考查解分式方程．理解新定义运算规则是关键．由已知可得或，解方程可得． 【详解】解：根据题意得：或， 当，即， 解得：， 经检验，是原方程的解， 此时，， ， ，符合题意； 当，即， 解得：， 经检验，是原方程的解， 此时， ， ，相矛盾，不符合题意； 综上，的解为， 故选：A． 2．（23-24八年级下·山西晋城·期末）一般地，形如 （是已知数）的分式方程有两个解，通常用， 表示．请你观察下列方程及其解的特征： （1）的解为 ； （2）的解为 ； （3）的解为 ； 猜想：方程 的解为 ， ； 关于的方程 的解为 ； ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．弄清题中的规律是解本题的关键．仿照方程解方程，归纳总结得到结果，方程变形后，利用得出的规律得到结果即可． 【详解】解：猜想方程，即方程的解是，， 把方程变形得：， 或 ，， 故答案为：，， 3．（24-25八年级下·吉林长春·期中）按要求解答下列问题． 老师在黑板上书写了一个代数式的正确计算结果，随后用手遮住了原代数式的一部分，如图： (1)求被手遮住部分的代数式，并将其化简； (2)原代数式的值能等于吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查的是分式的化简求值，解分式方程，将未知式子看做一个整体是解题的关键． （1）设被手遮住部分的代数式为，代入原式求解可得答案； （2）设，可得，代入原式得被除数，原代数式无意义，所以原代数式的值不能等于． 【详解】（1）解：设被手遮住部分的代数式为， 则， ∴ ， 即：被手遮住部分的代数式为； （2）不能，理由如下： 若能使原代数式的值能等于， 则，即， 解得，经检验：是原方程的解， 但是，当时，原代数式中的除数，原代数式无意义. 所以原代数式的值不能等于． 【经典例题六 根据分式方程解的情况求值】 【例6】（24-25八年级下·陕西汉中·开学考试）若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是（   ） A． B． 且 C． 且 D． 【答案】B 【分析】把分式方程化为整式方程，根据解为正数，得出的取值范围．此题主要考查了分式方程的解，以及一元一次不等式，掌握方程和不等式的解法是解题的关键，注意要排除产生增根时的值． 【详解】解：去分母得：， 整理得：， 解得：， 关于的方程的解为正数， ， 解得， 当时，， 解得：， 的取值范围是：且． 故选：B． 1．（23-24八年级下·河南开封·期末）小明在解关于x的分式方程时，发现墨水不小心把其中一个数字污染了，翻看答案上说此方程有增根无解，则被污染的数字为（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程．熟练掌握解分式方程是解题的关键． 解分式方程得，，由此方程有增根无解，可得，计算求解即可． 【详解】解：， ， 解得，， ∵此方程有增根无解， ∴， 解得，， 故选：A． 2．（24-25八年级下·重庆长寿·阶段练习）若实数使关于的不等式组有且仅有三个奇数解，且使关于的分式方程的解为正整数．则所有满足条件的整数的值之和 ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式方程的解和一元一次不等式组的解，解不等式组和分式方程得出关于的范围及的值，根据不等式组有且仅有三个奇数解和分式方程的解为正整数得出的范围，继而可得整数的值． 【详解】解：解不等式组，得， ∵不等式组有且仅有三个奇数解， ∴， 解得：， 解关于的分式方程：， 得：， ∵分式方程的解为正整数，且， ∴，且，是偶数， 解得：且，是奇数， ∴且，是奇数， ∴或， ∴所有满足条件的整数的值之和为． 故答案为：． 3．（2024八年级下·河南南阳·学业考试）已知关于x的分式方程． (1)当时，甲同学的解题过程如下： 解：（第一步）去分母，得：， （第二步）去括号，得：， （第三步）合并同类项，得：， （第四步）系数化为1，得：， （第五步）检验：当时，，所以是增根， （第六步）所以原分式方程无解． 甲同学从第__________步开始出现错误，请你写出正确的解法； (2)若该方程去分母后所得的整式方程的解是增根，求m的值． 【答案】(1)一，正确解法见解析 (2) 【分析】本题考查了分式方程的增根，步骤如下：①分式方程化为整式；②最简公分母为0确定增根；③将增根代入整式方程求解．也考查了解分式方程． （1）检查甲同学解方程过程，找出错误步骤分析即可； （2）原分式方程化为整式方程，根据方程有增根，得到，将其代入整式方程即可求解． 【详解】（1）解：甲同学从第一步开始出现错误， 正确的解法： 去分母，得：， 去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， 检验：当时，， 所以是原分式方程的解； （2）解：去分母，得：， ∵原方程有增根， ∴，即， 把代入整式方程得， 解得， ∴原方程有增根时，． 【经典例题七 分式方程的增根问题】 【例7】（23-24八年级下·四川遂宁·期末）若关于x的分式方程＝1有增根，则m的值为（　 　） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到，然后代入化为整式方程的方程算出的值． 【详解】解：方程两边同乘以，得①， ∵原方程有增根， 即． 把代入①，得 故选：B． 1．（23-24八年级下·四川巴中·期末）有一分式方程．若该方程有增根，则m的值是（   ） A．-5 B． C． D．0 【答案】D 【分析】由该方程有增根，可得：或，代入分式方程的解，即可求出m的值，本题考查了分式方程的增根，方程解的情况，解题的关键是：熟练掌握根据分式方程解的情况求参数的值． 【详解】解：， 去分母，得： 去括号，得： 移项，得： 合并同类项得： 当时，方程无解， 当时，， 方程有增根， 或，即：或， 或，解关于的方程，得：无解或， 故选：． 2．（2024八年级·全国·竞赛）若关于的方程不会产生增根，则的取值满足的条件为 ． 【答案】 【分析】此题考查了分式方程的增根，分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程不会产生增根，得到，即可得出k的值． 【详解】解：， 去分母，得：， 由分式方程不会有增根，得到，即， 将代入整式方程，得，无解， 将代入整式方程，得， 解得：， 综上，不会产生增根，则的取值满足的条件为， 故答案为：． 3．（2024八年级·全国·竞赛）关于的方程． (1)若，求这个方程的解； (2)若这个方程有增根，求的值． 【答案】(1) (2)或4 【分析】此题考查了解分式方程和分式方程的增根问题， （1）代入后解关于x的分式方程并检验即可的答案； （2）分式方程去分母化为整式方程，再把增根代入求出k的值即可； 读懂题意，正确计算是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，原方程为， 方程两边同时乘以得：， 解这个方程得：， 检验：当时，， ∴是原方程的解. （2） 方程两边同时乘以得：， 原方程有增根，则或， 即或，代入整式方程得或 解得或4. 【经典例题八 分式方程的无解问题】 【例8】（24-25八年级下·广西百色·期末）关于x的方程无解，则k的值为（    ） A． B．3 C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程无解问题，先将分式方程移项，去分母，合并同类项得，再由原方程无解得，联立方程组，求解即可． 【详解】解：原方程移项得：， 去分母得：， 合并同类项得：， 原方程无解， ， 解得， 故选：B． 1．（24-25八年级下·福建厦门·期中）已知关于的分式方程无解，则所有满足条件的整数的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先把分式方程中的分母分解因式，再把分式方程化成整式方程，解方程求出，然后根据分式方程无解，分整式方程无解和分式方程无解两种情况，列出关于的方程，解方程求出即可．本题主要考查了分式方程的解，解题关键是熟练掌握把分式方程化成整式方程． 【详解】解：∵， ∴， 则， ∴， 则， ∴， 即， 关于的分式方程无解，，， 解得：，， 或， 解得：或， 所有满足条件的整数为或或0，共3个， 故选：C． 2．（24-25八年级下·厦门莆田·期中）关于的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】或1 【分析】本题考查的是分式方程无解问题．分式方程无解，即有增根，此时，整理分式方程得，则由无解或者的解是分式方程的增根求得的值． 【详解】解：， 去分母得，，整理得， ∵分式方程无解， ∴无解或者的解是分式方程的增根， ∴或， ∴或， 故答案为：或1． 3．（23-24八年级下·湖南衡阳·期中）已知关于x的分式方程． (1)若分式方程的根是，求a的值； (2)若分式方程有增根，求a的值； (3)若分式方程无解，求a的值． 【答案】(1)1 (2) (3)3或 【分析】本题考查根据分式方程的解的情况求参数的值， （1）将分式方程转化为整式方程，把代入，求解即可； （2）将分式方程转化为整式方程，求出最简公分母为0时的的值，代入，求解即可； （3）将分式方程转化为整式方程，在（2）的基础上，增加整式方程无解，求解即可； 【详解】（1）解：方程去分母，得：， 整理，得：， ∵分式方程的根是， ∴， ∴； （2）由（1）将分式化为整式方程为：， ∵分式方程有增根， ∴或， ∴或， 当时，，解得：； 当时，无解，舍去； ∴； （3）由（1）将分式化为整式方程为：， 由（2）知，当时，分式方程有增根，无解； 当无解时，即时，分式方程也无解， ∴； 综上：或． 【经典例题九 列分式方程】 【例9】（23-24八年级下·湖北恩施·期末）今年夏天干旱严重，某村准备请工程队从乌江引水，为了尽快解决村民用水难问题，工程队增加了人力进行管道铺设，现在平均每小时比原计划多铺设，现在铺设所需时间与原计划铺设所需时间相同．设现在平均每小时铺设，则列出的方程为（　　）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题列分式方程，关键在于寻找相等关系，列出方程．设现在平均每小时铺设，则原计划每天铺m，根据现在铺设所需时间与原计划铺设所需时间相同列出分式方程即可． 【详解】解：设现在平均每小时铺设，则原计划每天铺，根据题意，可列方程： ， 故选：A． 1．（24-25八年级下·重庆·开学考试）在物理学中，压强p等于物体所受压力F的大小与受力面积S之比，即．小明将底面积为、重100N的均匀长方体铁块A和底面积为、重150N的均匀长方体铁块B放置在水平桌面上，A、B两个铁块对桌面的压强之比为，求底面积S为多少？则可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式方程的实际应用，根据，结合A、B两个铁块对桌面的压强之比为，列出方程即可． 【详解】解：由题意，得：， 整理，得：； 故选A． 2．（23-24八年级下·湖南岳阳·阶段练习）某班同学到距离学校的烈士陵园扫墓．一部分同学骑自行车先行，20分钟后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是自行车的3倍．设骑自行车的速度为千米/小时，则列出的方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查从实际问题中抽象出分式方程，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程．骑自行车的速度为，则汽车的速度是，用时间作等量可列出方程． 【详解】解：根据题意得：，即， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·全国·课后作业）某危险品工厂采用甲型、乙型两种机器人代替人力搬运产品．甲型机器人比乙型机器人每小时多搬运产品，甲型机器人搬运产品所用时间与乙型机器人搬运产品所用时间相等． 根据以上信息，解答下列问题． (1)小华同学设乙型机器人每小时搬运产品，可列方程为__________．小惠同学设甲型机器人搬运产品所用时间为y小时，可列方程为__________． (2)求乙型机器人每小时搬运多少千克产品． 【答案】(1)， (2)乙型机器人每小时搬运产品 【分析】（1）设乙型机器人每小时搬运产品，则甲型机器人每小时搬运产品，根据甲型机器人搬运所用时间与乙型机器人搬运所用时间相等，即可得出关于的分式方程；设甲型机器人搬运所用时间为小时，根据甲型机器人比乙型机器人每小时多搬运，即可得出关于的分式方程； （2）任选一位同学的思路，解分式方程即可得出结论． 【详解】（1）设乙型机器人每小时搬运产品，则甲型机器人每小时搬运产品， 依题意得：； 设甲型机器人搬运所用时间为小时， 依题意得：． 故答案为：；． （2）选择小华同学的思路：， 化简得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 选择小惠同学的思路：， 变形得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ． 所以乙型机器人每小时搬运30kg产品． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 【经典例题十 分式方程的实际应用】 【例10】（23-24八年级下·河北邢台·阶段练习）学期末，班主任为获得“文明学生”和“劳动积极分子”称号的学生准备了A，B两种礼物．已知A，B两种礼物的总价分别为450元和420元．且A种礼物比B种礼物多10份，A，B两种礼物的单价分别是这一批礼物平均单价的和1.2倍，则这一批礼物的平均单价是（    ） A．15元 B．元 C．10元 D．元 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的应用，设这一批礼物平均单价是x元，则A礼物的单价是元，B礼物的单价是元，利用数量=总价÷单价，结合A种礼物比B种礼物多10份，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【详解】解：设这一批礼物平均单价是x元，则A礼物的单价是元，B礼物的单价是元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 所以，这一批礼物平均单价是15元． 故选：A． 1．（23-24八年级下·广西玉林·期末）为响应“绿色出行”的号召，小李上班由自驾车改为乘坐公交车．已知小李家距上班地点20km，他乘公交车平均每小时行驶的路程比他自驾车平均每小时行驶的路程少12km．他从家出发到上班地点，乘公交车所用的时间是自驾车所用时间的，小李乘公交车上班平均每小时行驶（    ） A．30km B．36km C．40km D．46km 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，解题的关键在于根据时间关系列出方程． 设小李乘公交车上班平均每小时行驶，则他自驾车平均每小时行驶，根据乘公交车所用的时间是自驾车所用时间的列出方程，解方程即可． 【详解】解：设小李乘公交车上班平均每小时行驶，则他自驾车平均每小时行驶的路程，根据题意列方程， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴小李乘公交车上班平均每小时行驶36km 故选：B． 2．（2024八年级·全国·竞赛）为锻炼身体，小陈由开车上班改为骑自行车上班，已知小陈家距离上班地点14千米，开车每小时行驶的路程比骑自行车每小时行驶的路程的3倍还多5千米，且骑自行车上班所需时间是开车上班所需时间的倍，则小陈骑自行车上班需要 小时． 【答案】 【分析】设小陈开车上班所需时间为x小时，小陈骑自行车上班需要小时，再根据开车每小时行驶的路程比骑自行车每小时行驶的路程的3倍还多5千米列出方程，求出解检验后即可得到答案. 本题主要考查了分式方程应用，根据数量之间的关系列出方程是解题的关键． 【详解】解：设小陈开车上班所需时间为x小时，小陈骑自行车上班需要小时，根据题意，得 ，      解得．                 经检验，是原方程的解且符合题意. ∴， 即小陈骑自行车上班需要小时． 故答案为： 3．（23-24八年级下·黑龙江牡丹江·期末）学校计划选购甲、乙两种图书作为“首届科技节”的奖品，已知甲种图书的单价比乙种图书单价多10元．用600元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少10本． (1)甲、乙两种图书每本分别为多少元？ (2)若学校计划购买这两种图书共40本，且投入的经费不超过1050元，要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量，则共有几种购买方案？ (3)每名获奖学生发给甲、乙两种图书各一本，由于全校学生踊跃参加“校园读书节”这样学校还需要再拿出900元，购买甲、乙两种图书，直接写出此次“首届科技节”获奖学生人数． 【答案】(1)甲种图书每本30元，乙种图书每本20元； (2)6种； (3)30人． 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程． （1）设乙种图书的单价为元本，则甲种图书的单价为元本，根据数量总价单价结合用600元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少10本，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设购买甲种图书本，则购买乙种图书本，根据购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量，且投入的经费不超过1050元，即可得出关于的一元一次不等式组，再求解即可； （3）由题意直接解答即可． 【详解】（1）设乙种图书的单价为元本，则甲种图书的单价为元本， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的根，且符合题意， ． 答：甲种图书的单价为30元本，乙种图书的单价为20元本． （2）设购买甲种图书本，则购买乙种图书本， 根据题意得：， 解得：， 为整数， 可取的值有6个． 共有6种购买方案； （3）由题意可得：此次“首届科技节”获奖学生人数为人． 【经典例题十一 分式方程的综合问题】 【例11】（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）若且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，所有符合条件的b的值和为（    ） A．277 B．240 C．272 D．256 【答案】C 【分析】此题考查了分式方程的解的含义，正确的计算与检验是解本题的关键．把代入方程，再解方程可得，且，；，再分类讨论即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 两边都乘以，得 ， 解得，且，；， ∴且， 解得：，， ∵正整数使关于的分式方程的解为整数， ∴， ∴或15或39或65或195， 即或5或29或55或185， 其中不符合题意， ∴， 故选C． 1．（23-24八年级下·重庆渝中·期末）若关于的不等式组有且只有2个奇数解，且关于的分式方程的解为非负数，则符合条件的所有整数的和为（    ） A．3 B．4 C．11 D．12 【答案】C 【分析】先解一元一次不等式组，再解分式方程，从而确定的值，进而解决此题． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 关于的不等式组有且只有2个奇数解， ， ， ， ， ， ， ， ， 关于的分式方程的解为非负数， ，且， 且， 所有满足条件的整数为：或或0或2或3或4或5， 所有满足条件的整数的值的和为：， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组、解分式方程，熟练掌握一元一次不等式组、分式方程的解法是解决本题的关键． 2．（2024八年级·全国·竞赛）若实数都是整数，且，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查分式的方程的应用，熟练解分式方程是正确解决本题的关键． 利用已知条件建立分式方程，并全面地进行分类讨论即可得出． 【详解】解：当时，， ， 不是整数，与题设矛盾， ， 令， 由题设m、n为正整数， 设， 由①得， 代入②，整理得， 是正整数， 或2或3， 又， 或， 当时， 由①②解得，（不合题意，舍去）， 当时， 由①②解得，， ． 故答案为：8. 3．（23-24八年级下·福建福州·期末）阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得， 当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式． 如：；． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当__________时，式子取到最小值，最小值为__________； (2)分式是__________（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式__________；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有__________个； (3)用篱笆围一个面积为的矩形花园，问这个矩形的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (4)已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 【答案】(1)3，6 (2)真分式，，4 (3)当这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米 (4)当时，分式取到最大值，最大值为 【分析】本题是材料题，考查学生对所给材料的理解分析能力，涉及分式的加减、二次根式的乘法、不等式的性质、完全平方公式、利用平方根解方程等知识，熟练运用已知材料和所学知识，认真审题，仔细计算，并注意解题过程中需注意的事项是本题的解题关键． （1）根据题中的公式确定出原式的最小值即可； （2）根据新定义判断分式是真分式，将假分式化为真分式再判断满足条件的整数x的值； （3）设这个矩形的长为x米，则宽=面积÷长，即宽米，则所用的篱笆总长为2倍的长倍的宽，本题就可以转化为两个负数的和的问题，从而根据： 求解； （4）根据实例剖析1和实例剖析2，将原式改写，然后使用不等式的性质进行计算即可得到答案；． 【详解】（1）解：令，则有， 得， 当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为6； 故答案为：3，6； （2）解：根据新定义分式是真分式， ， x为整数，且为整数， 或或或， 解得：或或或， 则满足条件的整数x的值有4个， 故答案为：真分式，，4； （3）解：设这个矩形的长为x米，则宽为米，所用的篱笆总长为y米， 根据题意得： 由上述性质知：∵， ∴， 此时， ， ∴， 答：当这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米； （4）解： ， ， ， 当且当时，即时，式子有最小值为4， 当时，分式取到最大值，最大值为． 1．（23-24八年级下·云南红河·期末）英国曼彻斯特大学的两位科学家因为成功地从石墨中分离出石墨烯，获得了诺贝尔物理学奖，石墨烯是目前世界上最薄却最坚硬的纳米材料，同时也是导电性最好的材料，其理论厚度仅米，将用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：C． 2．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）分式方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解分式方程，找出原分式方程的最简公分母，进行去分母，化为整式方程是解题的关键，注意：要检验所求的解是否为增根．先去分母，把原分式方程化为整式方程，解整式方程并检验即可得答案． 【详解】解：， ∴， 去分母得： 去括号、合并同类项得：， 解得：， 检验：时，， ∴是原分式方程的解． 故选：D． 3．（24-25八年级下·湖南娄底·期中）若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了根据分式方程无解的情况求参数，运用分类讨论思想解答是解题的关键； 根据分式方程“无解”，分两种情况：第一种是分式方程化为整式方程时，整式方程有解，但是整式方程的解会使最简公分母为，产生了增根；第二种情况是化为整式方程时，整式方程无解，则原分式方程也无解，据此解答即可求解． 【详解】解:方程两边乘以得，， 整理得，， 当，即之时，方程为，方程无解，故分式方程也无解； 当时，， 分式方程无解，即产生增根， 令，得， 解得； 综上，当或时，分式方程无解； 故选：D 4．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）下列说法中：①若，则；②若，，则；③若，则或；④若方程组的解也是方程组的解，则；其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据同底数的幂相除法则计算判定①正确；根据等式的性质判定②错误；根据，1的任何次幂等于1，的偶次幂等于1，判定③错误；根据求得，再把代入，求出m值判定④错误，即可得出答案． 【详解】解：①∵，∴，∴，故①正确； ②∵，∴，，∵，∴，∴，∴，故②错误； ③∵，∴或或，解得：或或，故③错误； ④由题意得，解得，把代入，得，解得，故④错误； ∴正确的有①一个， 故选：A． 【点睛】本题考查同底数幂的除法的应用，完全平方公式，等式性质，零指数幂，同解方程，解二元一次方程组．熟练掌握同底数幂相除的法则、完全平方公式、零指数幂、用加减法解二元一次方程组是解题的关键． 5．（24-25八年级下·贵州贵阳·阶段练习）甲、乙二人同驾一辆车出游，各匀速驾驶一半路程，共用，到达目的地后，甲对乙说：“我用你所花的时间，可以行驶”，乙对甲说：“我用你花的时间行驶”，从他们的交谈中可以判断乙驾驶的时长为多长时间，设乙驾驶的时长为，依题意可得（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的应用，解决本题的关键是正确理解题意，熟练掌握速度时间和路程之间的关系，找到题意中的等量关系．设乙驾车时长为，则甲驾车时长为，根据两人对话可知：甲的速度为，乙的速度为，根据“各匀速行驶一半路程”列出方程求解即可． 【详解】解：设乙驾车时长为，则甲驾车时长为，根据两人对话可知：甲的速度为，乙的速度为， 根据题意得：． 故选：A． 6．（24-25八年级下·江苏南通·开学考试）将数据用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义． 科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：； 故答案为：． 7．（2024八年级下·浙江宁波·竞赛）已知关于的方程无解，则的值是 ． 【答案】或0 【分析】本题考查了分式方程无解的情况，分式方程无解有两种情况：（1）原方程存在增根；（2）原方程约去分母化为整式方程后，整式方程无解，据此解答即可． 【详解】解：去分母，得， 整理，得， 当时，整式方程无解，则分式方程无解； 当时，分式方程有增根或， 当时，，解得； 当时，，此情况不存在， 综上，t的值是或0． 故答案为：或0． 8．（24-25八年级下·福建厦门·期中）计算：（） ；（） ； （） ；（） ； 【答案】 【分析】（）根据零指数幂即可求解； （）根据积的乘方运算法则即可求解； （）根据同底数幂的乘法运算法则计算即可； （）根据单项式乘以单项式的运算法则计算即可； 本题考查了整式分式的运算，掌握整式和分式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：（）， 故答案为：； （）， 故答案为：； （）， 故答案为：； （）， 故答案为：． 9．（24-25八年级下·湖南永州·期末）对于实数a，b，定义一种新运算“⊗”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义下的实数运算、解分式方程，根据新运算的法则，列出分式方程求解即可． 【详解】解：∵，方程， ∴， ， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴方程的解是， 故答案为：． 10．（24-25八年级下·山东聊城·阶段练习）我们把形如（不为零），且两个解分别为的方程称为“完美分式方程”． 例如为完美分式方程，可化为，∴，． 再如为分式方程，可化为，∴． 应用上面的结论解答问题：已知完美分式方程的两个解分别为； 若．则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键； 根据题中“完美分式方程”的解法确定，的值，即可求解； 【详解】解：完美分式方程两个解分别为，， ，， ； 故答案为： 11．（24-25八年级下·云南昆明·期末）解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟知解分式方程的步骤是解题的关键． （1）按照去分母，移项，合并同类项的步骤解方程，然后检验即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可． 【详解】（1）解： 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：， 检验，当时，， ∴原方程的解为； （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴原方程的解为． 12．（24-25八年级下·黑龙江·期末）阅读下列材料： 关于的分式方程的解是，；的解是，；的解是，． 请观察上述方程与解的特征，解决下列问题： (1)直接写出关于的方程（）的解为______； (2)直接写出关于的方程的解为______． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了分式方程的相关拓展，正确理解阅读材料中的方法、恰当变形是解题的关键． （1）根据阅读材料中方程与解的特征可直接得出答案； （2）先将原方程变形为：，再根据（2）的猜想可得或，进而可得结果． 【详解】（1）解：由题意可猜想：关于的方程的解是，； 故答案为：，； （2）解：方程可变形为：， 即， 则由（1）的猜想可得：方程的解为：或， 解得：，， 经检验，，都是原方程的解， 所以，． 13．（2025八年级下·全国·专题练习）（1）基本活动：______；______；______；______；______；_______． （2）结论总结：若n表示整数，分别求出和的值． （3）综合应用：求满足等式的x的值． 【答案】（1）1，1，1，，1，1；（2）．当n为奇数时，；当n为偶数时，；（3）x的值为或或． 【分析】本题考查了乘方的意义，零指数幂的意义． （1）根据乘方的意义计算即可； （2）根据（1）中的计算结果总结即可； （3）分3种情况求解：当指数为0且底数不为0时；当底数是1时；当底数是且指数是偶数时． 【详解】解：（1）；；；；；． 故答案为：1，1，1，，1，1； （2）由（1）可知，．当n为奇数时，；当n为偶数时，； （3）当指数为0且底数不为0时， ，∴，此时，符合题意； 当底数是1时； ，∴； 当底数是且指数是偶数时． ，∴，此时，符合题意； 综上可知，x的值为或或． 14．（24-25八年级下·云南昆明·期末）我们把形如（，不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如为十字分式方程，可化为，∴，； 再如为十字分式方程，可化为，∴，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)若为十字分式方程，则________，________． (2)若十字分式方程的两个解分别为，，求的值． (3)若关于的十字分式方程的两个解分别为，，求的值． 【答案】(1)3；1 (2) (3)2024 【分析】本题考查了新定义运算，利用完全平方公式求值、因式分解的应用等知识点，理解十字分式方程的定义是解题关键． （1）将方程改写成，再根据“十字分式方程”的定义作答即可； （2）先根据十字分式方程的定义求出，，再化简得，最后代入计算求解即可； （3）先根据十字分式方程的定义以及、、的取值范围求出，，即，，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：∵方程是十字分式方程，可化为， ∴， 故答案为：3，1． （2）解：十字分式方程的两个解分别为，， ∴，， ∴ ． （3）解：方程是十字分式方程，可化为， ∴，， ∵，， ∴，， 即，， ∴． 15．（24-25八年级下·北京大兴·期末）列方程解决实际问题： 2024年12月2日，中央广播电视总台《2025年春节联欢晚会》发布官方吉祥物形象“巳（sì）升升”，祝福全球华人在新的一年如意康宁，好事连连．2025蛇年春晚吉祥物的设计是从中华传统文化中寻找的灵感，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，其形象既憨态可掬，又富有古意． 某商店销售A，B两款“巳升升”吉祥物，已知A款吉祥物的单价比B款吉祥物的单价高20元．若顾客花800元购买A款吉祥物的数量与花600元购买B款吉祥物的数量相同，则A，B两款吉祥物的单价分别是多少元？ 【答案】每个B款吉祥物的售价为60元，每个A款吉祥物的售价为80元 【分析】本题考查了分式方程实际应用问题，根据题意找到相等关系是解题的关键． 设一个B款吉祥物的售价为x元，则一个A款吉祥物的售价为元，根据顾客花800元购买A款吉祥物的数量与花600元购买B款吉祥物的数量相同，即可列出等量关系求解． 【详解】解：设一个B款吉祥物的售价为x元，则一个A款吉祥物的售价为元． 根据题意得：， 解得：，   经检验，是所列方程的解，且符合实际意义，   ∴． 答：每个B款吉祥物的售价为60元，每个A款吉祥物的售价为80元． 学科网（北京）股份有限公司 $$