专题02 分式的加减乘除重难点题型专训（13大题型+15道提优训练）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（华东师大版）

专题02 分式的加减乘除重难点题型专训（13大题型+15道提优训练） 题型一 同分母分式加减法 题型二 异分母分式加减法 题型三 整式与分式相加减 题型四 已知分式恒等式，确定分子或分母 题型五 分式加减混合运算 题型六 分式加减的实际应用 题型七 分式乘法 题型八 分式除法 题型九 分式乘除混合运算 题型十 分式乘方 题型十一 含乘方的分式乘除混合运算 题型十二 分式加减乘除混合运算 题型十三 分式化简求值 知识点01 同分母分式的加减 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 上述法则可用式子表为： . 注意： （1） “把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号， 当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误. （2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式. 知识点02 异分母分式的加减 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 上述法则可用式子表为： . 注意： （1） 异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成同分母分 式的加减法. （2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分式. 知识点03 分式的乘除 分式的乘除法运算 乘法 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即 除法 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即 知识点04 分式的乘方 分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为： （为正整数）. ⑴、（是正整数） ⑵、（是正整数） ⑶、（是正整数） ⑷、（，是正整数，） ⑸、（是正整数） ⑹、（，n是正整数） 【经典例题一 同分母分式加减法】 【例1】（23-24八年级下·福建厦门·期末）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·四川内江·阶段练习）设a，b，c，d都是正数，且S＝，那么S的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·河南驻马店·期中）一次数学活动课上，聪聪发现“在周长一定的矩形中，正方形面积最大”，那么当矩形周长为16时，其面积最大值是 ；再发现“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”，进而推导出“式子”的最小值，则这个最小值是 ． 3．（23-24八年级下·全国·课后作业）计算： (1) (2) (3) 【经典例题二 异分母分式加减法】 【例2】（2024·河南周口·一模）若，则 的值为（   ） A．负数 B．非负数 C．0 D．正数 1．（23-24八年级下·山西晋城·期末）有一道分式化简题：，甲、乙两位同学的解答过程分别如下： 甲同学：， 乙同学： 下列说法正确的是（　　） A．只有甲同学的解答过程正确 B．只有乙同学的解答过程正确 C．两人的解答过程都正确 D．两人的解答过程都不正确 2．（23-24八年级下·广西百色·期中）定义：若两个分式A与B满足：，则称A与B这两个分式互为“美妙分式”．若分式与互为“美妙分式”，且a，b均为不等于0的实数，则分式 ． 3．（24-25八年级下·陕西汉中·期中）【生活观察】数学来源于生活，众所周知“糖水加糖会变甜”．人们常用糖水中糖与糖水的比表示糖水的甜度． （1）若a克糖水中含b克糖（），则该糖水的甜度为，若再加入m克（）糖，此时糖水的甜度为________，充分搅匀后，感觉糖水更甜了．由此我们可以得到一个不等式_______________；（请用含a、b、m的式子表示）请用分式的相关知识验证所得不等式； 【数学思考】（2）若，，则（1）中的不等式是否依然成立？若不成立，请写出正确的式子并证明． 【知识迁移】（3）已知甲、乙两船同时从A港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为、，水流速度为，两船同向顺流航行1小时后立即返航，甲、乙两船返航所用时间分别为、，利用（1）（2）中探究的结论，比较、的大小，可判断出先返回A港的是_____________．（填所选序号即可） ①甲    ②乙    ③甲乙同时          ④无法判断 【经典例题三 整式与分式相加减】 【例3】（23-24八年级下·吉林长春·期末）对于，，有以下两个结论：①若，则；②若，则．对于这两个结论，说法正确的是（    ） A．①对②不对 B．①不对②对 C．①②都对 D．①②都不对 1．（23-24八年级下·福建厦门·期末）下列运算正确的是 A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·四川·课后作业）-( ) 3．（23-24八年级下·河南南阳·期中）阅读理解 材料1：小学时常常会遇到将一个假分数写成带分数的问题，在这个过程中，先计算分子中包含几个分母，求出整数部分，再把剩余的部分写成一个真分数． 例如：． 类似地，我们可以将分式写成一个整数与一个新分式的和． 例如：． 材料2：为了研究字母x和分式得变化关系，小明制作了如下表格： 无意义 … 请根据上述材料完成下列问题： (1)把下列分式写成一个整数与一个新分式的和的形式； = ，= ． (2)随着x值的变化，分式的值是如何变化的？ (3)当x大于2时，随着x的增大，分式的值无限趋近于一个数，这个数是 ． 【经典例题四 已知分式恒等式，确定分子或分母】 【例4】（23-24八年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知x+＝3，那么分式的值为（　　） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·全国·课后作业）如果分式，那么A，B的值是(　　) A．A＝－2，B＝5 B．A＝2，B＝－3 C．A＝5，B＝－2 D．A＝－3，B＝2 2．（23-24八年级下·四川成都·期中）已知＝＋是恒等式，则A＝ ，B＝ . 3．（23-24八年级下·湖南衡阳·阶段练习）课堂上，李老师提出这样一个问题：已知，求整数A，B的值.小明回答了解题思路：首先对等式右边进行通分，得，即，利用多项式相等，则对应的系数相等可列方程组，解这个方程组即可求出整数A，B的值.  李老师肯定了小明的解题思路是正确的，请你根据上述思路解答下列问题：已知，求整数A，B的值. 【经典例题五 分式加减混合运算】 【例5】（23-24八年级下·福建莆田·期末）如果，，是正数，且满足，，那么的值为（    ） A． B． C．2 D． 1．（2024·天津津南·模拟预测）对于下列说法，错误的个数是（　　） ①是分式；②当x≠1时，成立；③当x=﹣3时，分式的值是零；④a；⑤；⑥2﹣x． A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 2．（23-24八年级下·全国·课后作业）观察下列各式：，…．请利用你观察所得的结论，化简代数式（且n为整数），其结果是 ． 3．（24-25八年级下·吉林长春·期末）我们知道：分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学阶段，我们把分子小于分母的数称为真分数．类似地，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式．反之，称为假分式．对于任意一个假分式，都可以化成整式与真分式的和的形式． 例如： (1)在分式①，②，③，④中，属于真分式的是 （填序号）． (2)将假分式化成整式与真分式的和的形式． (3)若假分式的值是整数，则整数x的值为 ． 【经典例题六 分式加减的实际应用】 【例6】（23-24八年级下·四川攀枝花·期中）甲、乙两人分两次在同一粮店内买粮食，两次的单价不同，甲每次购粮100千克，乙每次购粮100元．若规定：谁两次购粮的平均单价低，谁的购粮方式就合算．那么这两次购粮（        ） A．甲合算 B．乙合算 C．甲、乙一样 D．无法确定 1．（23-24八年级下·河南周口·期末）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为m米的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了n千克．设“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦的单位面积产量分别为P千克/米和Q千克/米．下列说法： ①；②；③；④P是Q的倍．其中正确的个数有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2024·福建厦门·一模）对于正整数，定义，例如：，，，…，则的值为 ． 3．（23-24八年级下·河南开封·期末）通常把脏衣服用洗衣液清洗后会进行拧干，但由于不可能拧净衣服上的全部污水，所以还需要用清水进行多次漂洗，不断降低衣服中污水的含量．某小组研究了如何用清水漂洗衣服效果更好，部分内容如下，请补充完整：实验研究：先准备几件相同的洗过一次并拧干（存留一些污水）的衣服，把每件衣服分别用一定量的清水浸泡，经过充分搓洗，使清水与衣服上存留的污水混合均匀，然后拧干，视为一次漂洗，称重、记录每次漂洗后衣服上存留的污水重量和比例，如：把一件存留1斤污水的衣服用10斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的，在多次实验后，通过对收集的数据进行分析，该小组决定使用20斤清水，采用三种不同的方案，对每件衣服分别进行漂洗，并假设每次拧干后的衣服上都存留约1斤的污水． 数据计算：对三种漂洗方案进行计算、比较． 方案一：采用一次漂洗的方式.将20斤清水一次用掉，漂洗后衣服中存有的污物是原来的______； 方案二：采用两次漂洗的方式，且两次用水量不同.如第一次用12斤清水，第二次用8斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原来的______； 方案三：采用两次漂洗的方式，且两次用水量相同，每次用10斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原来的______． 实验结论：对比可知，在这三种方案中，方案______的漂洗效果最好（填“一”“二”或“三”）． 推广证明：将脏衣服用洗衣液清洗后，再用清水进行漂洗，假设每次拧干后还存留斤污水，现用斤清水漂洗（方案二中第一次用水量为x斤），证明上面实验中得到的结论． 【经典例题七 分式乘法】 【例7】（23-24八年级下·山东菏泽·期末）计算的结果是(     ) A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·全国·单元测试）计算的结果是(　　) A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·四川成都·期末）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”.这个三角形给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）：请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是 . 3．（23-24八年级下·河北张家口·期中）长为的春游队伍，以的速度向东行进，如图1和图2，当队伍排尾行进到位置时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为，当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进． (1)求甲这次往返的时间，；（用含的代数式表示） (2)求甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程． 【经典例题八 分式除法】 【例8】（23-24八年级下·河北邢台·期中）在等式中，M为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·全国·课后作业）下列计算结果正确的有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24八年级下·上海闵行·阶段练习）计算的值是 3．（23-24八年级下·河北保定·期中）嘉琪准备完成如下这样一道填空题．其中一部分被墨水污染了，若该题化简的结果为． 化简：的结果为 (1)求被墨水污染的部分； (2)嘉琪认为当时，原分式的值等于1，你同意嘉琪的说法吗？如果不同意，请说明理由？ 【经典例题九 分式乘除混合运算】 【例9】（2024·河北·模拟预测）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式分简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示： 接力中，自己负责的一步没有出现错误的是（    ） A．只有甲 B．甲和丙 C．乙和丙 D．乙和丁 1．（23-24八年级下·山东烟台·期中）计算÷•的结果是（    ） A． B．x C． D．2y 2．（23-24八年级下·山东泰安·阶段练习）计算：= ． 3．（23-24八年级下·全国·假期作业）计算： (1) (2)． 【经典例题十 分式乘方】 【例10】（23-24八年级下·湖南邵阳·期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·全国·课时练习）（为正整数）的值是（    ） A． B． C． D． 2．（2024九年级·浙江·专题练习）分式的运算法则： （1）符号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何 个，分式的值不变． 用式子表示为：． （2）分式的加减法： 同分母相加减： ； 异分母相加减： ． （3）分式的乘除法： ； ． （4）分式的乘方： （n为正整数）． 3．（23-24八年级下·全国·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)． 【经典例题十一 含乘方的分式乘除混合运算】 【例11】（23-24八年级下·山东威海·阶段练习）下列计算不正确的题是（    ） A． B． C． D． 1．（2024九年级·陕西·专题练习）的结果是（    ） A． B． C． D．1 2．（23-24八年级下·全国·课时练习）（1） ；              （2） ； （3） ；   （4） ； （5） ． 3．（2024八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【经典例题十二 分式加减乘除混合运算】 【例12】（23-24八年级下·浙江台州·期末）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·河南郑州·期末）试卷上一个正确的式子被莹莹不小心滴上墨汁，被墨汁遮住的部分的代数式是（　　）​ A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）已知是互不相等的实数，是任意实数，化简： ． 3．（23-24八年级下·重庆巴南·期末）计算： (1)； (2)． 【经典例题十三 分式化简求值】 【例13】（23-24八年级下·北京西城·开学考试）如果，那么代数的值为（   ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）已知，则的值为（    ） A． B．2 C．4 D． 2．（2024八年级下·湖北·专题练习）已知 ，则分式的值是 ． 3．（23-24八年级下·甘肃庆阳·期末）先化简，再求值：，再从，，，中选择一个合适的数作为的值代入求值． 1．（23-24八年级下·广东梅州·期中）设，，则，的关系是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·全国·单元测试）已知，， 则P与Q 的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 3．（2024·四川南充·模拟预测）已知实数a，b，c，满足（其中，），则的值为（    ） A．6 B． C．8 D． 4．（23-24八年级下·浙江舟山·期末）小明的爸爸妈妈各有一辆汽车，但加油习惯有所不同．爸爸每次加油都说“师傅，给我加元的油”，而妈妈则说“师傅帮我把油箱加满”，这个时候小明若有所思，如果爸爸、妈妈各加油两次，第一次加油汽油单价都为元/升，第二次加油汽油单价都为元/升（），妈妈每次加满油箱，需加油升，我们规定谁的平均单价低谁就合算，请问爸爸、妈妈谁更合算呢（    ） A．爸爸 B．妈妈 C．一样 D．不确定 5．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）已知代数式，第一次操作将作为新的x代入中化简后得到新的式子记为，第二次操作将作为新的x代入中化简后得到新的式子记为，第三次操作将作为新的x代入中化简后得到新的式子…以此类推重复上述操作，以下结论中正确的有（   ） ①； ②若，则； ③不存在整数x使得的值为负整数． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．（24-25八年级下·湖北恩施·期末）已知，则代数式的值为 ． 7．（24-25八年级下·湖南怀化·期末）已知为整数，且为整数，则所有符合条件的的值的积为 ． 8．（24-25八年级下·山东济宁·期中）甲乙两地之间公路全长，公共汽车从甲地到乙地的速度为，轿车行驶的速度比公共汽车快，那么从甲地到乙地轿车比公共汽车早到 小时． 9．（24-25八年级下·山东淄博·阶段练习）甲厂决定包租一辆车送员工返乡过年，租金为3000元．出发时，乙厂有3名同乡员工也随车返乡（车费自付），总人数达到名，如果包车租金不变，那么甲厂为每位员工平均每人支付车费可比原来少多少钱 ． 10．（24-25八年级下·全国·课后作业）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）：请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是 ． 11．（2024八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 12．（江苏省苏州四市2024—2025学年上学期阶段性学业水平阳光测评八年级数学试题）先化简，再求值：，其中a的值为． 13．（23-24八年级下·全国·单元测试）课堂上，李老师出了这样一道题： 已知 求整式 A，B． 本题是这样思考的：已知是等式，首先对等式的右边进行通分，可得 已知两个分式相等，分母相等，则分子也相等，即：，利用多项式相等则对应的系数相等可求得A，B． 请你根据上面的思路解决下列问题： 已知 ，求 A，B 的值． 14．（2024八年级下·全国·专题练习）对于正数，规定． 例如：，，． (1)求值： ______ ； ______ ． (2)猜想： ______ ． (3)应用：请结合（）的结论，计算下面式子的值：． 15．（24-25八年级下·河南信阳·阶段练习）通常把脏衣服用洗衣液清洗后会进行拧干，但由于不可能拧净衣服上的全部污水，所以还需要用清水进行多次漂洗，不断降低衣服中污水的含量．某小组研究了如何用清水漂洗衣服效果更好，部分内容如下，请补充完整： 实验研究：先准备几件相同的洗过一次并拧干(存留一些污水)的衣服，把每件衣服分别用一定量的清水浸泡，经过充分搓洗，使清水与衣服上存留的污水混合均匀，然后拧干，视为一次漂洗，称重、记录每次漂洗后衣服上存留的污水重量和比例，如：把一件存留1斤污水的衣服用10斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的，在多次实验后，通过对收集的数据进行分析，该小组决定使用20斤清水，采用三种不同的方案，对每件衣服分别进行漂洗，并假设每次拧干后的衣服上都存留约1斤的污水． 数据计算：对三种漂洗方案进行计算、比较． （1）方案一：采用一次漂洗的方式，将20斤清水一次用掉，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的________； （2）方案二：采用两次漂洗的方式，且两次用水量不同，如第一次用12斤清水，第二次用8斤清水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的________； （3）方案三：采用两次漂洗的方式，且两次用水量相同，每次用10斤清水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的__________． 实验结论：（4）对比可知，在这三种方案中，方案________的漂洗效果最好（填“一”“二”或“三”）． 推广证明：（5）将脏衣服用洗衣液清洗后，再用清水进行漂洗，假设每次拧干后还存留斤污水，现用斤清水漂洗（方案二中第一次用水量为x斤，其中，且），请比较并证明方案二与方案三的漂洗效果． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 分式的加减乘除重难点题型专训（13大题型+15道提优训练） 题型一 同分母分式加减法 题型二 异分母分式加减法 题型三 整式与分式相加减 题型四 已知分式恒等式，确定分子或分母 题型五 分式加减混合运算 题型六 分式加减的实际应用 题型七 分式乘法 题型八 分式除法 题型九 分式乘除混合运算 题型十 分式乘方 题型十一 含乘方的分式乘除混合运算 题型十二 分式加减乘除混合运算 题型十三 分式化简求值 知识点01 同分母分式的加减 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 上述法则可用式子表为： . 注意： （1） “把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号， 当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误. （2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式. 知识点02 异分母分式的加减 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 上述法则可用式子表为： . 注意： （1） 异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成同分母分 式的加减法. （2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分式. 知识点03 分式的乘除 分式的乘除法运算 乘法 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即 除法 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即 知识点04 分式的乘方 分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为： （为正整数）. ⑴、（是正整数） ⑵、（是正整数） ⑶、（是正整数） ⑷、（，是正整数，） ⑸、（是正整数） ⑹、（，n是正整数） 【经典例题一 同分母分式加减法】 【例1】（23-24八年级下·福建厦门·期末）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据得到，再逆用同分母分式加减的法则即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：B 【点睛】本题考查了分式的加减等知识，理解同分母分式加减法则并根据题意正确逆用是解题关键，本题也可以根据比例的性质求解． 1．（23-24八年级下·四川内江·阶段练习）设a，b，c，d都是正数，且S＝，那么S的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，进而对原式变形可以证明，，由此即可得到答案． 【详解】解：∵a，b，c，d都是正数， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了同分母分式的加法，不等式的性质，正确得到，是解题的关键． 2．（23-24八年级下·河南驻马店·期中）一次数学活动课上，聪聪发现“在周长一定的矩形中，正方形面积最大”，那么当矩形周长为16时，其面积最大值是 ；再发现“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”，进而推导出“式子”的最小值，则这个最小值是 ． 【答案】 16 6 【分析】此题考查了分式的运算，弄清题意是解题的关键． 根据“在周长一定的矩形中，正方形面积最大”，即可求出面积最大值；在面积为9的矩形中，设一边长为x，则另一边长为，根据“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”，即可解答． 【详解】解：∵在周长一定的矩形中，正方形面积最大， ∴当矩形周长为16时，其面积最大值， 在面积为9的矩形中，设一边长为x，则另一边长为， ∵在面积一定的矩形中，正方形的周长最短， ∴面积为9的矩形中，周长最小值为， ∴， 故答案为：16，6． 3．（23-24八年级下·全国·课后作业）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】本题考查分式的加减法，解答本题的关键是明确分式的加减法的计算方法，注意最后结果要化为最简． （1）根据同分母分式加减法则进行运算即可； （2）将式子整理后，利用同分母分式加减法则进行运算即可； （3）将式子整理后，利用同分母分式加减法则进行运算即可； 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：， ， ． 【经典例题二 异分母分式加减法】 【例2】（2024·河南周口·一模）若，则 的值为（   ） A．负数 B．非负数 C．0 D．正数 【答案】D 【分析】本题考查分式的减法运算，先通分，计算后，根据条件判断值的符号即可． 【详解】解：原式； ∵， ∴， ∴， ∴； 即：的值为正数； 故选D． 1．（23-24八年级下·山西晋城·期末）有一道分式化简题：，甲、乙两位同学的解答过程分别如下： 甲同学：， 乙同学： 下列说法正确的是（　　） A．只有甲同学的解答过程正确 B．只有乙同学的解答过程正确 C．两人的解答过程都正确 D．两人的解答过程都不正确 【答案】D 【分析】将分式化简，再比较甲乙两人的结果即可． 【详解】解： ， ∴两人的解答过程都不正确， 故选：． 【点睛】此题考查分式了的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 2．（23-24八年级下·广西百色·期中）定义：若两个分式A与B满足：，则称A与B这两个分式互为“美妙分式”．若分式与互为“美妙分式”，且a，b均为不等于0的实数，则分式 ． 【答案】或 【分析】本题考查了分式的加减法和实数的性质，绝对值的意义，熟练掌握分式加减法的法则，对新定义的理解是解题关键． 根据分式与互为“美妙分式”，得到，求出①，②，分别把①②代入分式中求出结果即可． 【详解】与互为“美妙分式”， ， ， 或， 或， 、均为不等于的实数， ①，②， 把①代入， 把②代入， 综上：分式的值为或． 故答案为：或． 3．（24-25八年级下·陕西汉中·期中）【生活观察】数学来源于生活，众所周知“糖水加糖会变甜”．人们常用糖水中糖与糖水的比表示糖水的甜度． （1）若a克糖水中含b克糖（），则该糖水的甜度为，若再加入m克（）糖，此时糖水的甜度为________，充分搅匀后，感觉糖水更甜了．由此我们可以得到一个不等式_______________；（请用含a、b、m的式子表示）请用分式的相关知识验证所得不等式； 【数学思考】（2）若，，则（1）中的不等式是否依然成立？若不成立，请写出正确的式子并证明． 【知识迁移】（3）已知甲、乙两船同时从A港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为、，水流速度为，两船同向顺流航行1小时后立即返航，甲、乙两船返航所用时间分别为、，利用（1）（2）中探究的结论，比较、的大小，可判断出先返回A港的是_____________．（填所选序号即可） ①甲    ②乙    ③甲乙同时          ④无法判断 【答案】（1），；（2）不成立，，证明见解析；（3）① 【分析】本题考查的是列代数式，分式的加减运算，分式的值的大小比较，理解题意，选择合适的方法解题是关键． （1）用糖水中糖与糖水的比表示即可；再利用作差法比较与的大小即可； （2）利用作差法比较与的大小即可； （3）根据题意分别表示出、，然后比较大小求解即可． 【详解】解：（1）∵a克糖水中含b克糖（），则该糖水的甜度为， ∴再加入m克（）糖，此时糖水的甜度为，充分搅匀后，感觉糖水更甜了． ∵ ， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴由此我们可以得到一个不等式， 故答案为：，； （2）（1）中的不等式不成立，正确式子为：，理由如下： ∵ ， ∵，， ∴，，， ∴， ∴； （3）∵， ∴，， 由（2）得，， ∴， ∴， ∵，， ∴甲船先返回A港． 故答案为：①． 【经典例题三 整式与分式相加减】 【例3】（23-24八年级下·吉林长春·期末）对于，，有以下两个结论：①若，则；②若，则．对于这两个结论，说法正确的是（    ） A．①对②不对 B．①不对②对 C．①②都对 D．①②都不对 【答案】C 【分析】根据分式的加减计算，进而判断①②，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ①若，则， ∴，故①正确； ②若，即，则，则，故②正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的加减运算，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键． 1．（23-24八年级下·福建厦门·期末）下列运算正确的是 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用分式的加减运算法则以及结合整式除法运算法则和因式分解法分别分析得出答案． 【详解】A. ，故此选项错误； B. ，故此选项错误； C.，正确； D. ≠(2x-1)(3x-1)，故此选项错误； 故选C. 【点睛】本题考查的知识点是分式的加减法，整式的混合运算，因式分解-十字相乘法，解题关键是依照相关知识点进行化简，同时注意因式分解是在实数范围内. 2．（23-24八年级下·四川·课后作业）-( ) 【答案】错误 【分析】对分式先通分，再进行加减运算. 【详解】- 【点睛】本题考查了分式的加减法运算，解题的关键是先通分再进行运算. 3．（23-24八年级下·河南南阳·期中）阅读理解 材料1：小学时常常会遇到将一个假分数写成带分数的问题，在这个过程中，先计算分子中包含几个分母，求出整数部分，再把剩余的部分写成一个真分数． 例如：． 类似地，我们可以将分式写成一个整数与一个新分式的和． 例如：． 材料2：为了研究字母x和分式得变化关系，小明制作了如下表格： 无意义 … 请根据上述材料完成下列问题： (1)把下列分式写成一个整数与一个新分式的和的形式； = ，= ． (2)随着x值的变化，分式的值是如何变化的？ (3)当x大于2时，随着x的增大，分式的值无限趋近于一个数，这个数是 ． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)2 【分析】（1）根据题中给出的例子即可写出答案； （2）将分式转换成形式，利用的变化情况解答即可； （3）将分式转换成形式，利用随着的增大，逐渐增大，逐渐减小，趋近与0，进而得出结论． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，； （2）根据表格可知，当或时，随着x的增大，的值逐渐减小，随着x的减小，的值逐渐增大，， ∴当或时，随着x的增大，的值逐渐减小；随着x的减小，的值逐渐增大． （3）∵， 当x大于2时，随着x的增大，逐渐增大，逐渐减小，趋近与0， ∴分式的值无限趋近于一个数，这个数是2， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了分式的加减法，分式的变化，分式的值，本题是阅读型题目，理解题干值的定义并熟练应用是解题的关键． 【经典例题四 已知分式恒等式，确定分子或分母】 【例4】（23-24八年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知x+＝3，那么分式的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件可知，则在分式的分子和分母同时除以，然后对分母运用完全平方公式变形，代入条件求解即可． 【详解】由条件可知， 则， 将代入上式得： 原式， 故选：C． 【点睛】本题考查分式求值问题，灵活结合分式的性质以及完全平方公式进行变形是解题关键． 1．（23-24八年级下·全国·课后作业）如果分式，那么A，B的值是(　　) A．A＝－2，B＝5 B．A＝2，B＝－3 C．A＝5，B＝－2 D．A＝－3，B＝2 【答案】A 【详解】因为=，所以，解得，故选A. 2．（23-24八年级下·四川成都·期中）已知＝＋是恒等式，则A＝ ，B＝ . 【答案】 2 -2 【分析】将等式右边通分，这样等式两边分母是一样的，所以只要分子相等就可以了，于是Ax+Bx+A-B=4，即（A+B）x+A-B=4，对于这样一个恒等式，因为含有一个未知数x，所以要使x的取值对等式的成立没有影响，可以知道A+B=0时x取任何值都成立，再代入有A-B=4，根据以上两个式子可以知道B=-2，A=2. 【详解】+ = = ∴A+B=0，A-B=4 解得A=2，B=-2． 【点睛】此题考查了分式的加减法和解二元一次方程组．解本题的关键是首先将右边的分母变成和左边的分母相同，然后根据对应项系数相等，得到关于A，B的方程组，解方程组即可. 3．（23-24八年级下·湖南衡阳·阶段练习）课堂上，李老师提出这样一个问题：已知，求整数A，B的值.小明回答了解题思路：首先对等式右边进行通分，得，即，利用多项式相等，则对应的系数相等可列方程组，解这个方程组即可求出整数A，B的值.  李老师肯定了小明的解题思路是正确的，请你根据上述思路解答下列问题：已知，求整数A，B的值. 【答案】 【分析】先通分计算，可得再建立方程组，从而可得答案. 【详解】解：∵ ∴ ∴ 解得： 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，分式的加减运算的逆运算，掌握“分式的加减运算的逆运算”是解本题的关键. 【经典例题五 分式加减混合运算】 【例5】（23-24八年级下·福建莆田·期末）如果，，是正数，且满足，，那么的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】先根据题意得出a=1-b-c，b=1-a-c，c=1-a-b，再代入原式进行计算即可． 【详解】解：∵a，b，c是正数，且满足a+b+c=1， ∴a=1-b-c，b=1-a-c，c=1-a-b， ∴ = = = =2 故选：C 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 1．（2024·天津津南·模拟预测）对于下列说法，错误的个数是（　　） ①是分式；②当x≠1时，成立；③当x=﹣3时，分式的值是零；④a；⑤；⑥2﹣x． A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】B 【分析】①不是分式，本选项错误；②当x≠1时，原式成立，本选项正确；③当x=﹣3时，分式没有意义，错误；④原式先计算除法运算，再计算乘法运算得到结果，即可做出判断；⑤原式通分并利用同分母分式的加法法则计算得到结果，即可做出判断；⑥原式先计算乘法运算，相减得到结果，即可做出判断． 【详解】①不是分式，本选项错误； ②当x≠1时， ==x+1，本选项正确； ③当x=﹣3时，分式分母为0，没有意义，错误； ④a÷b×，本选项错误； ⑤ ，本选项错误； ⑥2-x•，本选项错误， 则错误的选项有5个． 故选B 【点睛】此题考查分式的混合运算，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式． 2．（23-24八年级下·全国·课后作业）观察下列各式：，…．请利用你观察所得的结论，化简代数式（且n为整数），其结果是 ． 【答案】 【分析】根据所列的等式找到规律，由此计算的值． 【详解】∵，，， ∴ ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了数字变化类以及分式的加减，此题在解答时，看出的是左右数据的特点是解题关键． 3．（24-25八年级下·吉林长春·期末）我们知道：分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学阶段，我们把分子小于分母的数称为真分数．类似地，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式．反之，称为假分式．对于任意一个假分式，都可以化成整式与真分式的和的形式． 例如： (1)在分式①，②，③，④中，属于真分式的是 （填序号）． (2)将假分式化成整式与真分式的和的形式． (3)若假分式的值是整数，则整数x的值为 ． 【答案】(1)①④ (2) (3)0或 【分析】本题主要考查了分式的定义、分式的加减运算等知识点，灵活运用分式的加减运算法则成为解题的关键． （1）根据真分式的定义逐一判断即可； （2）先对原式变形，然后逆用分式加法并约分即可解答； （3）由（2）的信息可得：是整数，可得或，然后再解方程即可． 【详解】（1）解：∵分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式， ∴①是真分式，②是假分数，③是假分数，④是真分式． 故答案为：①④． （2）解：． （3）解：∵假分式的值是整数， ∴，即是整数． ∴或，解得：或或0或， ∵x的值为整数， ∴x的值为0或． 故答案为：0或． 【经典例题六 分式加减的实际应用】 【例6】（23-24八年级下·四川攀枝花·期中）甲、乙两人分两次在同一粮店内买粮食，两次的单价不同，甲每次购粮100千克，乙每次购粮100元．若规定：谁两次购粮的平均单价低，谁的购粮方式就合算．那么这两次购粮（        ） A．甲合算 B．乙合算 C．甲、乙一样 D．无法确定 【答案】B 【分析】分别算出两次购粮的平均单价，用作差法比较即可． 【详解】解：设第一次购粮时的单价是x元/千克，第二次购粮时的单价是y元/千克， 甲两次购粮共花费：，一共购买了粮食：千克，甲购粮的平均单价是：； 乙两次购粮共花费：100+100=200元，一共购买粮食：（千克），乙购粮的平均单价是：； 甲乙购粮的平均单价的差是：， 即， 所以甲购粮的平均单价高于乙购粮的平均单价，乙的购粮方式更合算，故选B． 【点睛】本题考查分式的减法，解题关键是列出分式并作差，掌握分式的减法法则． 1．（23-24八年级下·河南周口·期末）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为m米的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了n千克．设“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦的单位面积产量分别为P千克/米和Q千克/米．下列说法： ①；②；③；④P是Q的倍．其中正确的个数有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】分别表示出，，再计算出和，即可判断． 【详解】解：由题意可得：，， ∵ ， ∵， ∴，即， ∵ 故③④正确，共2个， 故选B． 【点睛】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法． 2．（2024·福建厦门·一模）对于正整数，定义，例如：，，，…，则的值为 ． 【答案】 【分析】，，， 可得，代入即可求解． 【详解】，，， 可得， = = = 【点睛】本题主要考查根据已知条件找出题目隐含信息，进而把待求式用已知关系进行转化． 3．（23-24八年级下·河南开封·期末）通常把脏衣服用洗衣液清洗后会进行拧干，但由于不可能拧净衣服上的全部污水，所以还需要用清水进行多次漂洗，不断降低衣服中污水的含量．某小组研究了如何用清水漂洗衣服效果更好，部分内容如下，请补充完整：实验研究：先准备几件相同的洗过一次并拧干（存留一些污水）的衣服，把每件衣服分别用一定量的清水浸泡，经过充分搓洗，使清水与衣服上存留的污水混合均匀，然后拧干，视为一次漂洗，称重、记录每次漂洗后衣服上存留的污水重量和比例，如：把一件存留1斤污水的衣服用10斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的，在多次实验后，通过对收集的数据进行分析，该小组决定使用20斤清水，采用三种不同的方案，对每件衣服分别进行漂洗，并假设每次拧干后的衣服上都存留约1斤的污水． 数据计算：对三种漂洗方案进行计算、比较． 方案一：采用一次漂洗的方式.将20斤清水一次用掉，漂洗后衣服中存有的污物是原来的______； 方案二：采用两次漂洗的方式，且两次用水量不同.如第一次用12斤清水，第二次用8斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原来的______； 方案三：采用两次漂洗的方式，且两次用水量相同，每次用10斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原来的______． 实验结论：对比可知，在这三种方案中，方案______的漂洗效果最好（填“一”“二”或“三”）． 推广证明：将脏衣服用洗衣液清洗后，再用清水进行漂洗，假设每次拧干后还存留斤污水，现用斤清水漂洗（方案二中第一次用水量为x斤），证明上面实验中得到的结论． 【答案】数据计算：，，；实验结论：三；推广证明：见解析 【分析】本题考查分式的实际应用： 数据计算：把一件存留1斤污水的衣服用x斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的，由此可解； 实验结论：根据前一问结论，比较大小即可； 推广证明：用含x，a，m的式子表示出进行漂洗后衣服中存有污物与原有污物的比，利用分式的性质将分子化为相同，比较分母的大小即可． 【详解】解：数据计算： 方案一，漂洗后衣服中存有的污物是原来的， 方案二，漂洗后衣服中存有的污物是原来的， 方案三，漂洗后衣服中存有的污物是原来的， 故答案为：，，； 实验结论： ， 方案三的漂洗效果最好， 故答案为：三； 推广证明： 依题意可得， 选择方案一进行一次漂洗后，衣服中存有的污物是原来的，可化为； 选择方案二进行两次漂洗后，衣服中存有的污物是原来的，整理得； 选择方案三进行两次漂洗后，衣服中存有的污物是原来的，整理得； 因为三个分式的分子，分母都是正数，且分子相同， 所以要判断三个分式值的大小，只需比较分母的大小， 因为，且，， 所以， 所以， 所以， 即方案二比方案一的漂洗效果好， 因为，且， 所以， 所以， 所以， 即方案三比方案二的漂洗效果好， 综上，在这三种方案中，方案三的漂洗效果最好． 【经典例题七 分式乘法】 【例7】（23-24八年级下·山东菏泽·期末）计算的结果是(     ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把分子与分母能因式分解的先进行因式分解，然后再约分即可得到答案． 【详解】． 故选:A． 【点睛】此题主要考查了分 的乘法运算，正确掌握分式的基本性质是解题的关键． 1．（23-24八年级下·全国·单元测试）计算的结果是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将第一个分式的分子、分母进行因式分解后，再约分即可得解. 【详解】， =， =. 故选A. 【点睛】本题考查分式的乘法，约分是分式乘法的关键. 2．（23-24八年级下·四川成都·期末）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”.这个三角形给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）：请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是 . 【答案】 【分析】首先确定x2017是展开式中第几项，根据杨辉三角即可解决问题 【详解】解：展开式中含项的系数， 由可知， 展开式中第二项为 ∴展开式中含项的系数是4038. 故答案为4038． 【点睛】本题考查分式的混合运算、杨辉三角等知识，解题的关键是灵活运用杨辉三角解决问题． 3．（23-24八年级下·河北张家口·期中）长为的春游队伍，以的速度向东行进，如图1和图2，当队伍排尾行进到位置时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为，当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进． (1)求甲这次往返的时间，；（用含的代数式表示） (2)求甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程． 【答案】(1)， (2)甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程为 【分析】本题考查了列分式及分式运算，读懂题目，列出式子是解题关键． （1）根据路程速度和时间，列出方程即可求解； （2）由甲这次往返队伍的过程中队伍行进的时间为，结合路程速度和时间即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，， ∴，； （2）， ． 所以甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程为． 【经典例题八 分式除法】 【例8】（23-24八年级下·河北邢台·期中）在等式中，M为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将等式左边的分式的分子、分母分别因式分解后约去相同的因式，利用等式的性质即可求解． 【详解】， 即， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了等式的性质，分式的乘除，解题的关键是对分式的分子与分母分别因式分解，然后约去公因式，分式的约分是分式运算的基础． 1．（23-24八年级下·全国·课后作业）下列计算结果正确的有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据分式的乘法法则计算可判断①②，根据分式的除法法则计算可判断③，根据分式的乘除混合运算法则计算可判断④⑤，进而可得答案． 【详解】解：，故①计算正确； ，故②计算正确； ，故③计算正确； ，故④计算错误； ，故⑤计算正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了分式的乘除运算，属于常考题型，熟练掌握分式的乘除运算法则是解题的关键． 2．（23-24八年级下·上海闵行·阶段练习）计算的值是 【答案】1 【分析】将除法运算转化为乘法运算，再进行约分即可得到答案. 【详解】， = =1. 故答案为：1. 【点睛】此题主要考查了分式的除法运算，关键把除法运算转化为乘法运算，然后进行约分. 3．（23-24八年级下·河北保定·期中）嘉琪准备完成如下这样一道填空题．其中一部分被墨水污染了，若该题化简的结果为． 化简：的结果为 (1)求被墨水污染的部分； (2)嘉琪认为当时，原分式的值等于1，你同意嘉琪的说法吗？如果不同意，请说明理由？ 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）根据分式的除法运算法则即可求出答案． （2）由原分式的值等于1可知x的值，然后根据分式有意义的条件即可判定． 【详解】（1）设被墨水污染的部分是， 则， 解得：； （2）不同意，理由如下： 若，则 由原题可知，当时，原式，原分式无意义， 所以当时，原分式的值不能等于1． 【经典例题九 分式乘除混合运算】 【例9】（2024·河北·模拟预测）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式分简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示： 接力中，自己负责的一步没有出现错误的是（    ） A．只有甲 B．甲和丙 C．乙和丙 D．乙和丁 【答案】B 【分析】运用分式的乘除运算法则逐项排查即可． 【详解】解：，即甲正确； ，即乙错误； ，即丙正确． 故选B． 【点睛】本题主要考查了分式乘除的运算法则，掌握并灵活运用分式乘除的运算法则成为解答本题的关键． 1．（23-24八年级下·山东烟台·期中）计算÷•的结果是（    ） A． B．x C． D．2y 【答案】A 【分析】原式从左到右依次计算即可求出值． 【详解】解：原式＝ ＝． 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 2．（23-24八年级下·山东泰安·阶段练习）计算：= ． 【答案】 【分析】首先计算乘方、把除法转化成乘法运算，然后进行约分即可； 【详解】解：原式== 故答案为： 【点睛】本题主要考查分式的混合运算，约分是解答的关键． 3．（23-24八年级下·全国·假期作业）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的乘除法运算，解题的关键是掌握分式的乘除法法则． （1）根据分式的乘除法法则运算即可； （2）根据分式的除法法则运算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 【经典例题十 分式乘方】 【例10】（23-24八年级下·湖南邵阳·期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把四个选项分别先利用分式的乘方法则，将分子分母分别乘方，再利用幂与积的乘方法则分别进行运算即可． 【详解】解：A、，本选项错误，不符合题意； B、，本选项错误，不符合题意； C、，本选项正确，符合题意； D、，本选项错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的乘方法则、积的乘方法则、幂的乘方法则、完全平方公式等知识，掌握这些法则以及乘法公式是解题的关键． 1．（23-24八年级下·全国·课时练习）（为正整数）的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式的乘方计算法则解答． 【详解】． 故选：B． 【点睛】此题考查分式的乘方计算法则：等于分子、分母分别乘方，熟记法则是解题的关键． 2．（2024九年级·浙江·专题练习）分式的运算法则： （1）符号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何 个，分式的值不变． 用式子表示为：． （2）分式的加减法： 同分母相加减： ； 异分母相加减： ． （3）分式的乘除法： ； ． （4）分式的乘方： （n为正整数）． 【答案】 两 【分析】（1）根据分式的基本性质解答； （2）根据分式的加减法计算法则解答； （3）根据分式的乘除法计算法则解答； （4）根据分式的乘方法则解答． 【详解】解：（1）符号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变． 用式子表示为：． 故答案为：两； （2）分式的加减法： 同分母相加减：； 异分母相加减：． 故答案为：，； （3）分式的乘除法： ；． 故答案为：，； （4）分式的乘方： （n为正整数） 故答案为：． 【点睛】此题考查分式的基本性质，分式的加减、乘除、乘方运算法则，熟记法则是解题的关键． 3．（23-24八年级下·全国·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式的乘法、分式的乘方，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据分式的乘方的运算法则进行计算即可； （2）根据分式的乘方的运算法则进行计算即可； （3）根据分式的乘方以及分式的乘法的运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【经典例题十一 含乘方的分式乘除混合运算】 【例11】（23-24八年级下·山东威海·阶段练习）下列计算不正确的题是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的乘除混合运算法则以及分式的乘方逐一化简，即可判断答案． 【详解】解：A、，原计算正确，本选项不符合题意； B、，原计算正确，本选项不符合题意； C、，原计算错误，本选项符合题意； D、，原计算正确，本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了含乘方的分式的乘除混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 1．（2024九年级·陕西·专题练习）的结果是（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】先计算分式的乘方，再把除法转换为乘法，约分后即可得解． 【详解】解： 故选：B． 【点睛】此题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键． 2．（23-24八年级下·全国·课时练习）（1） ；              （2） ； （3） ；   （4） ； （5） ． 【答案】 【分析】（1）根据分式的乘法法则计算即可； （2）先算乘方，再算乘法即可； （3）先算乘方，再算除法即可； （4）先算乘方，再算乘除法即可； （5）先算乘方，再算除法即可； 【详解】解：（1） （2）； （3）原式=； （4）原式=； （5）； 故答案为：，，，， 【点睛】本题考查了分式的乘、除、乘方的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键 3．（2024八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了含乘方的分式乘除混合计算，分式的混合计算： （1）先算乘方，再算乘除，即可解答； （2）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 【经典例题十二 分式加减乘除混合运算】 【例12】（23-24八年级下·浙江台州·期末）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式化简，先通分算括号内的，再把分子，分母分解因式约分即可． 【详解】解： ； 故选：A． 1．（23-24八年级下·河南郑州·期末）试卷上一个正确的式子被莹莹不小心滴上墨汁，被墨汁遮住的部分的代数式是（　　）​ A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的混合运算，据已知分式得出被墨汁遮住部分的代数式是，再根据分式的运算法则进行进行化简是解此题的关键，注意运算顺序． 【详解】解：由题意可得： 被墨汁遮住部分的代数式是， ， 故选：D． 2．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）已知是互不相等的实数，是任意实数，化简： ． 【答案】1 【分析】本题考查了分式的化简求值．先计算前两项的和，再求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：1． 3．（23-24八年级下·重庆巴南·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的加减乘除混合运算． （1）先用提公因式法和公式法分解因式，再将除法转化为乘法，最后约分即可； （2）先将括号里的通分，再将除法转化为乘法，最后约分即可． 【详解】（1） ； （2） 【经典例题十三 分式化简求值】 【例13】（23-24八年级下·北京西城·开学考试）如果，那么代数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的化简求值，利用分式化简法则将化简，再把代入即可，熟练掌握分式混合运算的法则是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， 原式， 故选：B． 1．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）已知，则的值为（    ） A． B．2 C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的化简求值，根据分式的混合运算将化简为，再将代入化简后的式子计算，即可解题． 【详解】解：， ， ， ， ， 上式的值为， 故选：A． 2．（2024八年级下·湖北·专题练习）已知 ，则分式的值是 ． 【答案】2 【分析】此题考查了分式的值，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 将变形为，再把已知代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：2． 3．（23-24八年级下·甘肃庆阳·期末）先化简，再求值：，再从，，，中选择一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】，． 【分析】本题考查了分式的化简求值，先计算括号内分式减法运算，然后将除法转换成乘法进行约分化简，最后选取符合题意的代入求值，熟练掌握运算顺序和运算法则是解题关键． 【详解】解： ， ， ， ， 由题意得，且， ∴时， 原式， ． 1．（23-24八年级下·广东梅州·期中）设，，则，的关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的加减运算，掌握分式的加减运算法则是解答本题的关键． 把两个式子进行相加运算，从而可得结果． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， 即， 故选：C． 2．（23-24八年级下·全国·单元测试）已知，， 则P与Q 的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，先利用分式的运算法则化简、，再计算与的差，最后分类讨论得结论． 【详解】解析：， ， ∵， ∴时，， 即； 当且时，， 即． 故无法确定P 与 Q的大小关系， 故选：D． 3．（2024·四川南充·模拟预测）已知实数a，b，c，满足（其中，），则的值为（    ） A．6 B． C．8 D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的化简求值，设得到是解此题的关键．设，得出，，，即可得出，结合，，即可得出，代入即可求解． 【详解】解：设， 则，，， ，，， ，，， ，，， ， ，． ，， ， ， 故选：D． 4．（23-24八年级下·浙江舟山·期末）小明的爸爸妈妈各有一辆汽车，但加油习惯有所不同．爸爸每次加油都说“师傅，给我加元的油”，而妈妈则说“师傅帮我把油箱加满”，这个时候小明若有所思，如果爸爸、妈妈各加油两次，第一次加油汽油单价都为元/升，第二次加油汽油单价都为元/升（），妈妈每次加满油箱，需加油升，我们规定谁的平均单价低谁就合算，请问爸爸、妈妈谁更合算呢（    ） A．爸爸 B．妈妈 C．一样 D．不确定 【答案】A 【分析】本题考查了分式的加减运算的实际应用，根据题意列出式子通分时解题的关键． 根据题意可得妈妈每次加油共需付款钱元，爸爸两次能加油的升数为，设爸爸两次加油的平均单价为元/升，妈妈两次加油的平均单价为元/升，则，，故爸爸和妈妈两次加油的平均单价的差值与零的关系，即可求出答案． 【详解】解：根据题意，得妈妈每次加油共需付款元，爸爸两次能加升油， 设爸爸两次加油的平均单价为元/升，妈妈两次加油的平均单价为元/升， ∵爸爸两次加油总共花了元，妈妈加了升油， ∴爸爸两次加油的平均单价为，妈妈两次加油的平均单价为， ∵爸爸和妈妈两次加油的平均单价的差值为， ∴爸爸的加油方式更合算． 故选． 5．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）已知代数式，第一次操作将作为新的x代入中化简后得到新的式子记为，第二次操作将作为新的x代入中化简后得到新的式子记为，第三次操作将作为新的x代入中化简后得到新的式子…以此类推重复上述操作，以下结论中正确的有（   ） ①； ②若，则； ③不存在整数x使得的值为负整数． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的加减法，除法运算，依据题意，根据所给信息逐个求出，然后按照分式的加减法法则进行计算，即可判断得解． 【详解】解：由题意，∵， ∴，故①错误． ∴，，． ∴． ∵， ∴． ∴，即，故②正确． ∵， 又若整数x使得为整数， ∴． ∴此时，为15． ∴不存在整数x使得的值为负整数，故③正确． 综上，正确的有②③共2个． 故选：C． 6．（24-25八年级下·湖北恩施·期末）已知，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练的掌握分式的化简求值． 根据，得出，再把代入要求的代数式即可得出答案． 【详解】解：， ， ， 把代入 ， 故答案为：． 7．（24-25八年级下·湖南怀化·期末）已知为整数，且为整数，则所有符合条件的的值的积为 ． 【答案】180 【分析】本题考查了分式的加减，先通分，再根据分式的加减法法则计算，根据题意求出符合条件的的值，计算即可，熟练掌握分式的加减法法则是解题的关键． 【详解】解： ∵为整数，且为整数， ∴或或或， 解得：或或或， ∴符合条件的的值的积为： 故答案为：． 8．（24-25八年级下·山东济宁·期中）甲乙两地之间公路全长，公共汽车从甲地到乙地的速度为，轿车行驶的速度比公共汽车快，那么从甲地到乙地轿车比公共汽车早到 小时． 【答案】 【分析】本题主要考查了列代数式，分式的加减运算等知识点，根据路程、速度和时间三者的关系，分别表示出公共汽车和轿车所需时间运算即可解决问题，熟练掌握路程、速度和时间三者的关系是解决此题的关键． 【详解】公共汽车用的时间：小时， 轿车用的时间：小时，     轿车比公共汽车早到的时间：小时， 故答案为：． 9．（24-25八年级下·山东淄博·阶段练习）甲厂决定包租一辆车送员工返乡过年，租金为3000元．出发时，乙厂有3名同乡员工也随车返乡（车费自付），总人数达到名，如果包车租金不变，那么甲厂为每位员工平均每人支付车费可比原来少多少钱 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式减法的应用，掌握异分母减法法则是解题关键．由题意可知，原来人均车费为元，实际人均车费为元．作差求解即可． 【详解】解：由题意可知，原来人均车费为元，实际人均车费为元． 则， 答：甲厂为员工支付的人均车费可比原来少元， 故答案为：． 10．（24-25八年级下·全国·课后作业）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）：请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的混合运算、杨辉三角等知识，解题的关键是灵活运用杨辉三角解决问题． 首先确定是展开式中第几项，根据杨辉三角即可解决问题． 【详解】解：由可知， 展开式中第二项为， ∴展开式中含项的系数是4038． 故答案为4038． 11．（2024八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题关键． （1）先化简、将除法变形为乘法，再计算分式的乘法即可得； （2）先计算括号内的减法，再计算乘方，然后计算除法，最后计算加减法即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 12．（江苏省苏州四市2024—2025学年上学期阶段性学业水平阳光测评八年级数学试题）先化简，再求值：，其中a的值为． 【答案】，． 【分析】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．根据分式的运算法则进行计算，再将代入即可求出． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 13．（23-24八年级下·全国·单元测试）课堂上，李老师出了这样一道题： 已知 求整式 A，B． 本题是这样思考的：已知是等式，首先对等式的右边进行通分，可得 已知两个分式相等，分母相等，则分子也相等，即：，利用多项式相等则对应的系数相等可求得A，B． 请你根据上面的思路解决下列问题： 已知 ，求 A，B 的值． 【答案】， 【分析】本题考查的是分式的加减法，根据题意得出、的二元一次方程组是解答此题的关键．先把分式右边通分，再根据题意得出关于的方程组，求出、的值即可． 【详解】解：原分式可化为， ，即， ， 解得． 14．（2024八年级下·全国·专题练习）对于正数，规定． 例如：，，． (1)求值： ______ ； ______ ． (2)猜想： ______ ． (3)应用：请结合（）的结论，计算下面式子的值：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（）根据新定义的运算法则进行计算即可； （）根据规律得出答案； （）利用加法的结合律以及（）中的规律得出答案； 本题考查了分式的加减运算，理解新定义的运算及掌握分式加减的计算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ， ， 故答案为：，； （2）解： ， 故答案为：； （3）解：原式 ． 15．（24-25八年级下·河南信阳·阶段练习）通常把脏衣服用洗衣液清洗后会进行拧干，但由于不可能拧净衣服上的全部污水，所以还需要用清水进行多次漂洗，不断降低衣服中污水的含量．某小组研究了如何用清水漂洗衣服效果更好，部分内容如下，请补充完整： 实验研究：先准备几件相同的洗过一次并拧干(存留一些污水)的衣服，把每件衣服分别用一定量的清水浸泡，经过充分搓洗，使清水与衣服上存留的污水混合均匀，然后拧干，视为一次漂洗，称重、记录每次漂洗后衣服上存留的污水重量和比例，如：把一件存留1斤污水的衣服用10斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的，在多次实验后，通过对收集的数据进行分析，该小组决定使用20斤清水，采用三种不同的方案，对每件衣服分别进行漂洗，并假设每次拧干后的衣服上都存留约1斤的污水． 数据计算：对三种漂洗方案进行计算、比较． （1）方案一：采用一次漂洗的方式，将20斤清水一次用掉，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的________； （2）方案二：采用两次漂洗的方式，且两次用水量不同，如第一次用12斤清水，第二次用8斤清水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的________； （3）方案三：采用两次漂洗的方式，且两次用水量相同，每次用10斤清水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的__________． 实验结论：（4）对比可知，在这三种方案中，方案________的漂洗效果最好（填“一”“二”或“三”）． 推广证明：（5）将脏衣服用洗衣液清洗后，再用清水进行漂洗，假设每次拧干后还存留斤污水，现用斤清水漂洗（方案二中第一次用水量为x斤，其中，且），请比较并证明方案二与方案三的漂洗效果． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）三；（5）方案三比方案二漂洗效果好，证明见解析 【分析】本题考查分式的实际应用，根据题意列式等．解题的关键是理解题意． （1）计算出方案一漂洗后衣服中存有的污物与原来的污物关系即可解答； （2）计算出方案二漂洗后衣服中存有的污物与原来的污物关系即可解答； （3）计算出方案三漂洗后衣服中存有的污物与原来的污物关系即可解答； （4）比较数据计算得出的数据，即可作出判断； （5）先用字母表示出两种方案漂洗后衣服中存有的污物与原来污物间的关系，再利用求差法比较即可解决问题． 【详解】解：根据题意可知： （1）方案一：漂洗后衣服中存有的污物是原来的， 故答案为：； （2）方案二：漂洗后衣服中存有的污物是原来的， 故答案为：； （3）方案三：漂洗后衣服中存有的污物是原来的， 故答案为：； （4）， ∴方案三的漂洗效果最好， 故答案为：三； （5）推广证明：方案三比方案二效果好，理由如下： 方案二：漂洗后衣服中存有的污物是原来的； 方案三：漂洗后衣服中存有的污物是原来的， ， 当，时，， ∴方案三比方案二效果好， 综上所述：方案三漂洗效果最好． 学科网（北京）股份有限公司 $$