2025年中考数学一轮复习专项巩固练习36--相似三角形的性质及判定

2025年中考数学一轮复习专项巩固练习36--相似三角形的性质及判定 一、单选题 1．如图，点，分别在的边，上，添加下列条件仍不能判断与相似的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在下列方格纸中的四个三角形，是相似三角形的是（   ） A．①和② B．③和④ C．②和④ D．①和④ 3．已知，若与的相似比为，则与的面积之比为（   ） A． B． C． D． 4．如图，点是上的一点，下列条件不能判定的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，，若，则的值为（   ） A．5 B．10 C．15 D．2.5 6．如图，平行四边形，是边延长线上一点，连结交于点，若，设面积为，则平行四边形面积为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，过点作于点，交于点．若，则的值是（   ） A． B． C． D． 8．如图，中，，，，平分，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如果两个相似三角形面积的比为，那么它们周长的比为 ． 10．如图，在中，C、E 和 D、F 分别是、的三等分点，且，则 ． 11．在中，，，点D在边上，且，点E在上，当 时，以B，D，E为顶点的三角形与相似． 12．如图，在矩形中，为的中点，与相交于点．若，，则的长为 ． 13．如图，，是边上的高，若，，则的长是 ． 14．如图，和均为直角三角形，点为中点，若，，，则的长为 ． 15．如图，在中，，是的中点，交于点，的延长线交的延长线于点，那么 ． 16．如图，正方形中，点分别在边上，且，连接，交于点，如果，那么的值为 ． 三、解答题 17．如图，在矩形中，若，，． (1)求证； (2)求的长． 18．如图，在中，，，，垂足分别为点，点．，交的延长线于点． (1)求证：； (2)求证：． 19．已知：如图，点是平行四边形的对角线上的一点，射线与交于点，与的延长线交于点． (1)求证：； (2)连接，若，，求证：四边形是菱形． 20．如图所示，和中，，，且平分． (1)求证：； (2)点E是边的中点，连接和，和交于点F，若，，求的长． 参考答案 1．B 【分析】本题考查了补充条件使两个三角形相似，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 利用相似三角形的判定方法，逐项分析判断即可． 【详解】解：A、∵，， ∴， 故选项不符合题意； B、添加时，仍无法判断与相似， 故选项符合题意； C、∵， ∴，， ∴， 故选项不符合题意； D、∵，， ∴， 故选项不符合题意； 故选：B． 2．D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．分别算出四个三角形的边长，然后根据相似三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：①三角形的三边的长度为：，2，， ②三角形的三边的长度为：，3，， ③三角形的三边的长度为：，2，， ④三角形的三边的长度为：，2，， ∵， ∴相似三角形的是①和④ 故选：D． 3．D 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方计算． 【详解】解：∵，相似比为， ∴与的面积之比为，即， 故选：D． 4．C 【分析】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定．根据相似三角形的判定即可求出答案． 【详解】解：A、，， ，，故A能判定； B、，， ，故B能判定； C、， ． 且， 由已知条件无法判定两三角形相似，故C不能判定 D、， ． 且， 根据两边成比例夹角相等两三角形相似，故D能判定， 故选：C． 5．B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，掌握以上知识是解题的关键． 根据，则有，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B ． 6．A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方． 根据平行四边形易得，，由得，，所以，即可得出答案． 【详解】解：平行四边形， ，，， ，， ， ，， ，， 面积为， ，， ， ， 故答案为：A． 7．D 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质．依据可得，再根据，即可得到相似比为，即可得到的值．解题的关键是掌握：相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三角形对应边上的高之比等于相似比． 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴或（负值不符合题意，舍去）， ∴， ∴， 即． 故选：D． 8．A 【分析】如图，过点D作交于点M，作交于点G，作交于点H，连接，勾股定理求出，根据，求出，角平分线的性质得出，根据等面积法求出，证明四边形是矩形，得出，结合，证出，在中，勾股定理列方程求出，证明，即可解答． 【详解】解：如图，过点D作交于点M，作交于点G，作交于点H，连接， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 则， 在中，， 解得：， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，角平分线的性质，矩形的性质和判定，平行线的性质，等腰三角形的判定等知识点，解题的关键是正确做出辅助线，掌握以上知识点． 9． 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比，进行求解即可． 【详解】解：由题意，相似三角形的相似比为：， ∴它们周长的比为； 故答案为：． 10．30 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的面积比是相似比的平方是解题的关键．由C、E 和 D、F 分别是、的三等分点，可得到，，再利用相似三角形的面积比是相似比的平方，分别求出和的面积，即可解答． 【详解】解：C、E 和 D、F 分别是、的三等分点， ，，，， ，， 又， ，， ，， ，， ． 故答案为：30． 11．或 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，能熟记相似三角形的判定定理是解此题的关键，注意：有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似．根据相似三角形的判定得出要使B，D，E三点组成的三角形与相似，必须满足或，再代入求出答案即可． 【详解】解：如图， ， ∴要使B，D，E为三点组成的三角形与相似，则需满足或， ∵，，， ∴或， 解得：或； 故答案为或． 12．/ 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据矩形的性质证明，得到，再根据，代入计算即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ∴，，， ∴在中，， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，， 故答案为： ． 13．8 【分析】由直角三角形的两个锐角互余可得，，进而可得，于是可证得，利用相似三角形的性质可得，利用比例的性质可得，然后利用直接开平方法解一元二次方程即可求出的长． 【详解】解：， ， 是边上的高， ，， ， ， ， ，， ， 即：， 解得：（负值舍去）， 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余，相似三角形的判定与性质，比例的性质，直接开平方法解一元二次方程等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 14． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，根据题意可证，由相似三角形的性质可得，根据点为中点，设，则，由此列式求解即可． 【详解】解：根据题意可得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点为中点， ∴设，则， ∴，则， ∴（负值舍去）， ∴， 故答案为：． 15．/ 【分析】本题考查平行四边形，全等三角形，相似三角形的知识，解题的关键是掌握平行四边形的小心脏，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，根据题意，则，根据平行线的性质，则，根据是的中点，可得，根据全等三角形的判定和性质，得到，推出，根据相似三角形的判定和性质，则，得到相似比，根据面积比等于相似比的平方，即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵且， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 16． 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，延长交于点，设，则，，由正方形的性质可知，，故，，根据相似三角形的性质求出，则，最后证明，根据相似三角形的性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交于点， 设， ∵，， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴，即， ∴，∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 17．(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识． （1）由矩形的性质得到，则，即可证明； （2）由勾股定理求出，由得到，即可得到的长． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； （2）在矩形中，若，，， ∴， ∵， ∴， ∴ 18．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据题意证明，即可求解； （2）设与交于点，可证，得到，再证，得到，则有，由，代入计算即可求解． 【详解】（1）证明： 如图所示， ，， ， ， ， ， ， ； （2）证明：设与交于点， ， ，， ， ，， ∴，， ， 又， ， ， ，， ， ， 即， ， ． 19．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）可得，，则，，即可证明； （2）先证明，再证明，再根据相似三角形的性质以及平行四边形的性质求证． 【详解】（1）证明：平行四边形 ，  ， ∴，，                                   ，                                                                                     ； （2）证明：如图，连接， ， ，又， ， ，                                            ，， ，，   ，                                             平行四边形， ， ， ， ， ，                                               ，又，    ，                                             即，   ，                                                     平行四边形， 四边形是菱形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，菱形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 20．(1)见详解 (2)2 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，则有，然后问题可求解； （2）由直角三角形斜边中线可得，然后可得，则有，进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； （2）解：∵点E是边的中点，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$