精品解析：浙江省杭州市滨江区2024-2025学年八年级上学期期末试卷数学试题

2024学年第一学期期末学业水平测试 八年级 数学 考生须知： 1．本试卷满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题纸指定位置写上学校、班级、姓名、座位号． 3．必须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其他地方无效．答题方式详见答题纸上的说明． 4．如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑． 试题卷 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 如果三角形的两边长分别为3和7，那么这个三角形的第三边长可能是（ ） A 2 B. 4 C. 5 D. 10 3. 若，则下列式子一定成立的是（ ） A B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，将线段平移后得到线段，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 能说明命题“若，则”是假命题反例可以是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 已知一次函数（k是常数，且）的图象经过点P，且y随x的增大而增大，则点P的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，分别平分和，，相交于点P，则下列结论不一定成立的是（ ） A. B. 与的面积比等于边与之比 C. D. 若，则 8. 如图，已知一次函数，的图象交于点A，它们分别交x轴于点B，C，则的面积为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 9. 如图，，相交于点O，下列不能判定的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 在中，，直线交于点，交于点，点关于直线的对称点在边上，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分． 11. 命题：面积相等的两个三角形是全等三角形是___命题（填“真”或“假”） 12. 如图，两根竹竿和斜靠在墙上，量得，的度数分别为，，则这两根竹竿的夹角的度数为______°． 13. 函数和（是常数，且）的图象相交于点，则关于的方程的解为______． 14. 小滨用元钱去购买笔记本和水笔共件．已知每本笔记本元，每支水笔元，则小滨最多能买的笔记本数是______本． 15. 如图，在中，，点D为中点，点E在上，且，则的长为______． 16. 已知一次函数（为常数，且），在的范围内，至少有一个的值使得，则的取值范围为______． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解不等式（组）： （1）； （2） 18. 已知等腰三角形的周长为12，设腰长为x，底边长为y． （1）求y关于x的函数表达式． （2）当腰长为4时，求底边的长． 19. 如图，在四边形中，，． （1）求证：． （2）当时，求证是等边三角形． 20. 如图，在平面直角坐标系中，线段的两个端点分别为，． （1）在此图中画出点A向左平移2个单位后得到的点C，再画出点B关于x轴的对称点D点，并写出点C，点D的坐标． （2）连接，，请直接写出，的关系． 21. 如图，在中，边，的垂直平分线，分别交于点D，E． （1）若，求的周长． （2）若，求的度数． 22. 小滨一家从家里出发，驾驶一辆充满电的新能源汽车到古刹时，剩余电量为．他们再从古刹出发，沿如图的景区公路去飞瀑游玩．已知该车从古刹出发行驶过程中，剩余电量与行驶路程之间的关系如图所示． （1）求关于的函数表达式． （2）已知这辆车的“满电量”为，小滨一家到飞瀑游玩后原路返回家里，电量够吗？请说明理由． 23. 为了测量如图墙体是否与地面垂直，即是否垂直于点，在没有角尺、量角器、刻度尺，只有足够长、足够多的若干条无弹性的绳子的情况下，三个数学兴趣小组分别设计了三种不同解决方案，其中第一、第二组的设计方案如下表． 问题 如何测量墙体是否与地面垂直？ 工具 若干条无弹性的绳子 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 模仿古埃及人用结绳的方法，在一条绳子上打个结，得到条线段，且用叠合法使得这条线段都相等，设每一条线段长为．如下图放置这总长是的绳子，使在上的绳子，在上的绳子，若，则，即于点，否则不垂直． 如图2，在射线，上分别取点，，放置绳子，对折得到相等的两段，，放置绳子，用叠合法比较与的长度，若，则墙体与地面垂直，即于点，否则不垂直． 测量示意图 （1）第一、二小组方案可行吗?如果可行，请分别给出证明；如果不可行，请说明理由． （2）请你代表第三小组，写出一个方案的应用原理不同于上述第一、第二小组的测量方案，并画出测量示意图，然后证明方案的可行性． 24. 如图，在等边三角形的，边上分别取点，，使，连结，相交于点． （1）求的度数． （2）若，，求的长． （3）如图，连结，若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第一学期期末学业水平测试 八年级 数学 考生须知： 1．本试卷满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题纸指定位置写上学校、班级、姓名、座位号． 3．必须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其他地方无效．答题方式详见答题纸上的说明． 4．如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑． 试题卷 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据各象限内点的坐标特征进行判断即可得. 【详解】因 则点位于第四象限 故选：D. 【点睛】本题考查了平面直角坐标系象限的性质，象限的符号规律：第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，熟记象限的性质是解题关键. 2. 如果三角形的两边长分别为3和7，那么这个三角形的第三边长可能是（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，求出第三边的取值范围是解题关键．根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可得答案． 【详解】解：设第三边为a， 根据三角形的三边关系：， 解得：． 四个选项，第三边可能是5， 故选：C． 3. 若，则下列式子一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查不等式的基本性质：性质1，不等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号方向不变；性质2，不等式两边同时乘或除同一个正数，不等号方向不变；性质3，不等式两边同时乘或除同一个负数，不等号方向改变．根据不等式的基本性质逐一判断即可． 【详解】解：A、若，，则；若，，则；若，，则；故本选项的式子不一定成立； B、不等式两边同乘负数，不等号方向改变，故，本选项的式子成立； C、不等式两边同乘负数，不等号方向改变，故，不等式两边同时加或减去同一个数，不等号方向不变，故，本选项的式子不成立； D、不等式两边同时加或减去同一个数，不等号方向不变，故，本选项的式子不成立． 故选：B 4. 在平面直角坐标系中，将线段平移后得到线段，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变换——平移，熟练掌握图形平移性质是解题的关键．根据图形平移的性质，即可求解． 【详解】解：∵将线段平移后得到线段，点的对应点的坐标为， ∴线段向左平移4个单位， ∴点的对应点的坐标为． 故选：B 5. 能说明命题“若，则”是假命题的反例可以是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了利用举反例说明一个命题错误，要证明一个例题不成立，可以通过举反例：即符合命题条件，但不符合命题结论． 【详解】解：A．当，时，，而，条件不成立，故A不符合题意； B．当，，，且，能说明，且成立，不是反例，故B不符合题意； C．当，，，而，能够说明，但不成立，故C符合题意； D．，，，而，条件不成立，故D不符合题意． 故选：C． 6. 已知一次函数（k是常数，且）的图象经过点P，且y随x的增大而增大，则点P的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的知识，先根据一次函数的解析式可以判断其必过点，再根据一次函数是递增函数，将点与选项各点逐一比较即可得解． 【详解】， 当时，，即必过点 A．，，此时满足y随x的增大而增大，故A项正确，符合题意； B．，，此时不满足y随x的增大而增大，故B项错误，不符合题意； ，，在平行于轴的同一直线上，C，D不符合题意； 故选：A． 7. 如图，在中，，分别平分和，，相交于点P，则下列结论不一定成立的是（ ） A. B. 与的面积比等于边与之比 C. D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查角平分线的判定及性质，三角形的内角和定理，三角形的面积公式． 过点P作于点M，作于点N，作于点H，根据角平分线的性质及判定可证明选项A；根据三角形的面积公式可证明选项B，根据三角形的内角和定理可证明选项D，据此即可解答． 详解】解：过点P作于点M，作于点N，作于点H， ∵平分，，， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， ∵，， ∴平分， ∴．故选项A的结论一定成立； ．故选项B的结论一定成立； ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴．故选项D的结论一定成立． 根据题意无法证明选项C的结论一定成立． 故选：C 8. 如图，已知一次函数，的图象交于点A，它们分别交x轴于点B，C，则的面积为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】题目主要考查一次函数的基本性质及交点和三角形面积问题，根据题意得出，，结合图形计算面积即可，熟练掌握一次函数与坐标轴的交点方法是解题关键 【详解】解：∵一次函数， ∴当时，， 解得：， ∵一次函数, ∴当时，， 解得： ， ∴， 当时，， 解得：， ∴， ∴， ∴， 边上的高即为点A的纵坐标1， ∴的面积为：， 故选：B 9. 如图，，相交于点O，下列不能判定的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角，根据全等三角形的判定和性质依次判断即可，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． 【详解】解：A、，，结合条件，可以利用证明，故不符合题意； B、∵，，， ∴， ∴， ∴， 结合条件，可以利用证明，故不符合题意； C、∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴， 结合条件，可以利用证明，故不符合题意； D、无法证明，故符合题意． 故选：D． 10. 在中，，直线交于点，交于点，点关于直线的对称点在边上，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、轴对称的性质以及等腰直角三角形的性质，根据已知条件画图，通过分类讨论即可作答． 详解】如图，过点作于，连接 当点在上时： 和关于对称 ，即 得： 当点在的延长线上时，同理可得 故选：A． 二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分． 11. 命题：面积相等的两个三角形是全等三角形是___命题（填“真”或“假”） 【答案】假 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定进行判断． 【详解】解：面积相等的两个不一定三角形全等，是假命题； 故答案为：假． 【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 12. 如图，两根竹竿和斜靠在墙上，量得，的度数分别为，，则这两根竹竿的夹角的度数为______°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角定理，三角形的外角定理是：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和．因为是的外角，所以有，根据、的度数分别为、，求出两根竹竿的夹角的度数． 【详解】解：是的外角， ， ，， ． 故答案为： ． 13. 函数和（是常数，且）的图象相交于点，则关于的方程的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、一元一次方程的解法．因为函数和（是常数，且）的图象相交于点，把点的坐标代入一次函数的解析式中求出，再把代入方程，得到关于的一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：函数和（是常数，且）的图象相交于点， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 把代入方程， 可得：， 解得： 故答案为： ． 14. 小滨用元钱去购买笔记本和水笔共件．已知每本笔记本元，每支水笔元，则小滨最多能买的笔记本数是______本． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设小滨购买了本笔记本，则购买了支水笔，根据小滨买笔记本和水笔的钱数最多为元，可列不等式，不等式的解集为，因为笔记本的数量只能为正整数，所以的值应在解集中取最大整数． 【详解】解：设小滨购买了本笔记本，则购买了支水笔， 根据题意可得：， 解得：， 为正整数， ， 答：小滨最多能买的笔记本数是本． 故答案为： ． 15. 如图，在中，，点D为中点，点E在上，且，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形判定和性质，等腰三角形的性质，三角形中位线定理．作于点，作于点，利用等腰三角形的性质求得，推出是中位线，证明，再证明，据此求解即可． 【详解】解：作于点，作于点，如图， ∵， ∴， ∵点D为中点， ∴是中位线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：． 16. 已知一次函数（为常数，且），在的范围内，至少有一个的值使得，则的取值范围为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质．因为一次函数当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，所以可以得到关于的不等式或，解不等式求出的取值范围即可． 【详解】解：是一次函数， 当时，随的增大而减小， 至少有一个的值使得， 当时，有， 解得：； 当时，随的增大而增大， 至少有一个的值使得， 当时，有， 解得：； 的取值范围为或． 故答案为： 或． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解不等式（组）： （1）； （2） 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法和一元一次不等式组的解法，求一元一次不等式组的解集就是要找不等式组中不等式的解集的公共部分． 根据解不等式的步骤：移项、合并同类项、系数化为解不等式，系数化为时要注意不等号的方向是否需要改变； 分别求出不等式组中两个不等式的解集，再找到这两个解集的公共部分即为不等式组的解集． 【小问1详解】 解：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为：； 【小问2详解】 解： 解不等式得：， 解不等式得：， 原不等式组的解是． 18. 已知等腰三角形的周长为12，设腰长为x，底边长为y． （1）求y关于x的函数表达式． （2）当腰长为4时，求底边的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了求一定函数解析式，求一次函数的函数值，解题的关键是理解题意，熟练掌握等腰三角形的性质． （1）根据等腰三角形的周长为12，腰长为x，表示出底边长即可； （2）把代入函数解析式，求出y的值即可． 【小问1详解】 解：∵等腰三角形的周长为12，腰长为x， ∴底边长为， 根据三角形三边关系可知：， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：把得：， ∴当腰长为4时，求底边的长为4． 19. 如图，在四边形中，，． （1）求证：． （2）当时，求证是等边三角形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、勾股定理、等边三角形的判定等： （1）根据全等三角形的判定即可证明； （2）根据全等三角形的性质得到，再利用勾股定理求出，利用等边三角形的判定即可证明． 【详解】解：（1）因为在和中， ，，． 所以 （2）因为，所以， 所以，所以， 所以，所以为等边三角形，所以． 20. 如图，在平面直角坐标系中，线段的两个端点分别为，． （1）在此图中画出点A向左平移2个单位后得到的点C，再画出点B关于x轴的对称点D点，并写出点C，点D的坐标． （2）连接，，请直接写出，的关系． 【答案】（1）作图见解析，， （2）， 【解析】 【分析】本题考查平移作图及性质，轴对称作图，平移与轴对称的点的坐标变化， （1）根据题意直接作出点C，点D，根据点的平移的坐标变化得到点C的坐标，根据关于y轴对称的点的坐标变化得到点D的坐标； （2）线段可以看作由线段平移得到，根据平移的性质即可解答． 【小问1详解】 解：如图，点C，D为所求． ，． 【小问2详解】 解：线段，如图所示， ∵，，， ∴点B向右平移1个单位长度，向下平移3个单位长度得到点A，点C通过相同的平移得到点D， ∴线段可以看作由线段平移得到， ∴，． 21. 如图，在中，边，的垂直平分线，分别交于点D，E． （1）若，求的周长． （2）若，求的度数． 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线、三角形内角和、等腰三角形的知识，理解垂直平分线的性质是解题的关键； （1）结合题意，根据垂直平分线的性质，得，，从而完成求解； （2）结合（1）的结论，根据等腰三角形的性质得，，再根据三角形内角和的性质计算，即可得到答案． 【小问1详解】 ∵，分别垂直平分，， ∴，， ∴的周长． 【小问2详解】 由（1）可知，， ∴，， ∴， ∴． 22. 小滨一家从家里出发，驾驶一辆充满电的新能源汽车到古刹时，剩余电量为．他们再从古刹出发，沿如图的景区公路去飞瀑游玩．已知该车从古刹出发行驶过程中，剩余电量与行驶路程之间的关系如图所示． （1）求关于的函数表达式． （2）已知这辆车的“满电量”为，小滨一家到飞瀑游玩后原路返回家里，电量够吗？请说明理由． 【答案】（1）； （2）电量够，见解析． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是根据函数图象求出一次函数的解析式． 首先设关于的函数表达式为：，从函数图象上可以看出一次函数经过点和，用待定系数法求出函数的解析式即可； 根据小滨一家到飞瀑游玩后原路返回到古刹行驶的路程为，代入函数解析式可得，由函数解析式可以看出小滨从家到古刹共用电，所以从古刹到家所用电量也是，所以他们游玩后从飞瀑原路返回家里，电量够． 【小问1详解】 解：设关于的函数表达式为：， 根据题意得：， 解得：， 关于的函数表达式为：； 【小问2详解】 解：电量够， 理由如下： 这辆车的“满电量”为， 小滨从家到古刹共用电， 当时， 可得： 他们游玩后从飞瀑原路返回家里，电量够． 23. 为了测量如图墙体是否与地面垂直，即是否垂直于点，在没有角尺、量角器、刻度尺，只有足够长、足够多的若干条无弹性的绳子的情况下，三个数学兴趣小组分别设计了三种不同解决方案，其中第一、第二组的设计方案如下表． 问题 如何测量墙体否与地面垂直？ 工具 若干条无弹性的绳子 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 模仿古埃及人用结绳的方法，在一条绳子上打个结，得到条线段，且用叠合法使得这条线段都相等，设每一条线段长为．如下图放置这总长是的绳子，使在上的绳子，在上的绳子，若，则，即于点，否则不垂直． 如图2，在射线，上分别取点，，放置绳子，对折得到相等的两段，，放置绳子，用叠合法比较与的长度，若，则墙体与地面垂直，即于点，否则不垂直． 测量示意图 （1）第一、二小组的方案可行吗?如果可行，请分别给出证明；如果不可行，请说明理由． （2）请你代表第三小组，写出一个方案的应用原理不同于上述第一、第二小组的测量方案，并画出测量示意图，然后证明方案的可行性． 【答案】（1）第一、二小组的方案都可行，见解析； （2）见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理、三角形内角和定理、等腰三角形的性质，解决本题的关键是利用勾股定理的逆定理、三角形内角和定理、等腰三角形的性质证明． 根据绳子、、，利用勾股定理的逆定理可证； 根据，可得：，，根据三角形内角和定理可证，从而可证； 以点为顶点构造等腰，根据等腰三角形的三线合一定理可知，若点是的中点，则． 【小问1详解】 解：第一、二小组的方案都可行， 理由如下： 方案一 如下图所示， 证明：因为， 若， 则， ， ， ； 方案二、 证明：如下图所示， ，若，则， ，， 又， ， ， ． 【小问2详解】 解：第三小组的测量方案是： 如下图所示， 在射线，，上分别取点，，， 放置绳子，，使， 用叠合法比较与的长度， 若，则墙体与地面垂直，即于点， 否则不垂直， 证明：， 是等腰三角形， 若，则是等腰三角形的中线， 根据等腰三角形性质可知， 即． 24. 如图，在等边三角形的，边上分别取点，，使，连结，相交于点． （1）求的度数． （2）若，，求的长． （3）如图，连结，若，，求的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】由等边三角形的性质可得，，，利用可证得，由全等三角形的性质可得，再利用三角形外角的性质即可求出的度数； 过点作于点，由含度角的直角三角形的性质可得，利用勾股定理可求得，由等腰直角三角形的性质可得，然后利用勾股定理即可求出的长度； 过点作于点，构造，设，利用可证得，利用勾股定理可建立关于的方程，解方程即可求得的长，进而可求得的长． 【小问1详解】 解：是等边三角形， ，，， 在和中， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点， ， ， ，， ，， ， ； 【小问3详解】 解：如图，过点作于点， 设， 在中，， ， ， 在等边三角形中，，， 又， ， 又，， 在和中， ， ， ， ， 在中，， ， 解得：， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，一元二次方程的解法，三角形外角的性质等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$