2025届高考物理二轮复习专项练：带电粒子在匀强磁场中的运动

带电粒子在匀强磁场中的运动专项训练 带电粒子在匀强磁场中的运动专项训练 考点一 带电粒子在匀强磁场中的圆周运动（不计重力） 1．（23-24高三上·山东烟台·期末）如图所示，S为一离子源，MN为荧光屏。由S到MN做垂线，垂足为P，SP=L，整个装置处在范围足够大的匀强磁场中。磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B。某时刻离子源S一次性沿平行纸面的各个方向均匀地射出大量的正离子，各离子的质量都为m，电荷量都为q，速率v均相同，不计离子的重力及离子间的相互作用力。 （1）若所有离子都打不到荧光屏上，求射出离子速率的取值范围； （2）若荧光屏足够大，当离子的速率时，求同一时刻发射出的离子达到荧光屏上的最大时间差； （3）若荧光屏足够大，当离子的速率时，求荧光屏上被离子打中的区域长度； （4）当离子的速率，P为荧光屏MN的中点，要便MN右侧能全部被离子打中，求MN的长度应满足怎样的条件？ 2．（23-24高三上·北京丰台·期末）恒星生命尽头，在一定条件下通过引力坍缩可以形成中子星。磁陀星是中子星的一种，拥有极强的磁场，两极的磁感应强度约为。地球表面的磁场磁感应强度最弱约，最强仅为。 （1）已知磁陀星和地球两极的磁场小范围内均可视作匀强磁场，忽略带电粒子与天体之间的万有引力。 a．带电粒子在地球和磁陀星两极以垂直于磁场的方向运动时可做匀速圆周运动，求比荷相同的带电粒子在地球与磁陀星两极运动时的周期之比； b．如图1所示，若磁陀星两极某圆心为O的圆形磁场区域的磁感应强度B随时间t均匀减小，即满足关系（k为常量），请分析并论证在磁场中到O点距离为r处某静止的带电粒子能否以O点为圆心做完整的圆周运动。 （2）磁陀星本身还会高频自转，形成并持续释放出和磁陀星一起自转的极细高能电磁辐射束，如图2所示。这个过程有点类似于海上的灯塔，发出的光周期性地掠过人们的眼球。当辐射束扫过地球的时候，地球就能接收到信号。中国天眼FAST凭借全球最高的灵敏度，成为深度监测宇宙辐射的主力。FAST监测到某次高能辐射（一种解释是此辐射源自于磁陀星）持续时间为，相当于接收太阳一个月（实际接收时间为）释放出的总能量。已知FAST每经过时间T能接收到一次信号，太阳的辐射功率为，日地距离为r，该磁陀星到地球的距离为L，假设FAST在某时刻处于磁陀星辐射束的中心，求磁陀星的辐射功率P（假设在辐射束内，到磁陀星距离相等的面上能量均匀分布）。 3．（24-25高三上·山东青岛·阶段练习）如图所示，在三维坐标系Oxyz中，z>0的空间内充满沿z轴负方向的匀强电场（电场强度大小E未知），z<0的空间内充满沿y轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B。甲、乙两离子从坐标为的A点以相同速率分别沿x轴正方向、y轴正方向出射，甲离子第一次到达x轴时速度方向与x轴正方向夹角为θ=37°。已知甲、乙离子的质量均为m、带电量均为+q，不计离子重力以及离子间的相互作用，已知sin37°=0.6，cos37°=0.8。求： （1）电场强度的大小E； （2）甲离子运动过程中的最低点到xOy面的距离与乙离子运动过程中的最低点到xOy面的距离之比k； （3）甲离子第n次进入磁场时的x坐标与乙离子第n次进入磁场时的x坐标之差。    4．（24-25高三上·北京朝阳·期末）利用磁场对带电粒子的运动进行控制是一些科学研究的基础。在处理物体的复杂运动问题时，可以在相互垂直的x、y两个方向上分别研究。已知以下情境中带电粒子质是为m，电荷是为q。均不考虑粒子重力影响及粒子间的相互作用。 (1)如图1所示，若从磁感应强度大小为B的匀强磁场中某点A发射一束带电粒子流，其速率均为v。 a.当粒子速度与磁场方向垂直时，求其运动的轨道半径R； b.设粒子速度与磁场方向的夹角为α（投射角），且。若投射角很小（可认为），各带电粒子会再次重新会聚，求相邻两次会聚点的距离L。 (2)科学家设计了一种中间弱两端强的磁场，它由两个平行的圆线图组成，磁场由两侧通有等大同向电流的线圈产生。带电粒子将被约束在左右两端之间来回运动不能逃脱。如图2所示，三维坐标系的原点为磁场的中心点，x轴为磁场的轴线，若某带电粒子从轴上的M点以大小为、方向与磁场方向夹角为（投射角）的速度进入该磁场，粒子运动过程中以x轴为对称轴向右做螺旋线运动并返回。由于磁场沿轴线方向的变化缓慢，则有定值（不考虑相对论情形），其中为粒子运动方向与磁场方向的夹角，r为粒子在该处时垂直磁场方向的圆周半径。 a.设M点的磁感应强度大小为，求粒子返回处磁感应强度大小； b.粒子运动到磁场最右端N点（图中未画出）时与x轴的距离为d，求粒子此时受到洛伦兹力大小利方向（可用三角函数值表示）。 考点二 带电粒子在匀强磁场中的圆周运动（计重力） 1．（23-24高三上·北京昌平·期末）法拉第提出场的概念，并且用场线直观地描绘了场，场线的疏密程度表示场的强弱，场线上每一点的切线方向表示场强的方向。 （1）狄拉克曾经预言，自然界应该存在只有一个磁极的磁单极子，其周围磁感线呈均匀辐射状分布，与点电荷的电场线分布相似。如图所示，若空间中有一固定的N极磁单极子，一带电微粒Q在其上方沿顺时针方向（俯视）做匀速圆周运动，运动轨迹的圆心O到磁单极子的距离为d，运动周期为T，重力加速度为g。 ①在图中画出N极磁单极子周围的磁感线； ②分析该微粒带正电还是负电，并求出该微粒运动轨迹的半径R。 （2）场的通量可以描述场线的数量，在研究磁场时我们引入了磁通量，定义磁通量，其中B为磁感应强度，S为垂直于磁场的面积。 ①如图所示，真空中存在电荷量为Q的正点电荷，以点电荷为球心，做半径为r、高度为h的球冠，已知真空中静电力常量为k，球冠的表面积为，请类比磁通量的定义，求通过球冠的电通量； ②真空中存在两个异种点电荷+q1和-q2，图中曲线为从+q1出发，终止于-q2的一条电场线，该电场线在两点电荷附近的切线方向与两电荷的连线夹角分别为α和β，求两点电荷的电荷量之比。 2．（24-25高三上·浙江宁波·阶段练习）如图所示，与水平面成37°的倾斜轨道AC，其延长线在D点与半圆轨道DF相切，全部轨道为绝缘材料制成且位于竖直面内，整个空间存在水平向左的匀强电场，MN的右侧存在垂直纸面向里的匀强磁场（C点处于MN边界上）。一质量为0.4kg的带电小球沿轨道AC下滑，至C点时速度为，接着沿直线CD运动到D处进入半圆轨道，进入时无动能损失，且恰好能通过F点，在F点速度（不计空气阻力，，）。求： （1）小球受到电场力的大小与方向； （2）半圆轨道的半径R； （3）在半圆轨道部分，摩擦力对小球所做的功。 3．（24-25高三上·上海徐汇·阶段练习）如图所示，质量为的小球，带有的正电荷，套在一根与水平方向成的足够长的绝缘杆上，小球与杆之间的动摩擦因数为，杆所在空间有磁感应强度的匀强磁场，小球由静止开始下滑，求： （1）小球刚开始运动时加速度大小； （2）小球运动过程中的最大速率（重力加速度g取） 考点三 带电粒子在直边界磁场中的运动 1．（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）磁谱仪是对未知粒子识别和分离的装置。如图为一种磁谱仪的工作原理图，圆弧形电极可以收集粒子，并用辐射型电场对粒子进行加速，使粒子进入磁场。已知圆弧形电极关于y轴对称，圆心在坐标原点O，圆心角为，轴上方存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在x轴的正半轴放置感光底片；圆弧形电极与坐标原点O间的电势差为U，氕核、氘核自圆弧形电极均匀无初速度释放，被电场加速后自O点进入磁场。已知氕核的质量为m，电荷量为q，重力影响不计，求： (1)氕核在磁场中运动的轨迹半径； (2)感光底片上能同时接收到氕核及氘核两种粒子的长度。 2．（24-25高三上·海南·阶段练习）如图，仅在第一象限存在垂直纸面向里的匀强磁场，一个带负电的微粒a从坐标处射入磁场，射入方向与y轴正方向夹角为45°，经时间t与静止在坐标处的不带电微粒b发生碰撞，碰后瞬间结合为微粒c，碰撞过程电荷量不发生变化。已知a、b质量相同（重力均不计），求： (1)碰后c的轨迹半径大小； (2)c在磁场中运动的时间。 3．（24-25高三上·江苏·阶段练习）为探测射线，威耳逊曾用置于匀强磁场或电场中的云室来显示它们的径迹。某研究小组设计了电场和磁场分布如图所示，在平面（纸面）内，在区间内存在平行y轴的匀强电场，。在的区间内存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，。一未知粒子从坐标原点与x正方向成角射入，在坐标为的P点以速度垂直磁场边界射入磁场，并从射出磁场。已知整个装置处于真空中，不计粒子重力，。求： (1)该未知粒子的比荷； (2)匀强电场电场强度E的大小及右边界的值； (3)如右图所示，若偏转磁场中磁感应强度由边界至由左向右在间距均为（很小）中，第一个区域磁感应强度为B，下面各区域磁感应强度依次为、、……，当粒子能达到磁场右侧边界（达到边界就被吸收），求应当满足的条件。[当时，取] 4．（2024·河北·模拟预测）如图所示，在到范围内存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为，在到范围内存在匀强电场区域，电场强度大小，电场方向与轴正方向成斜向右上方。在范围内存在匀强电场区域II，电场方向沿轴负方向。所有场区在竖直方向范围足够大。一个比荷的带正电粒子从点沿轴正方向射入匀强磁场，速度方向偏转时离开磁场进入匀强电场区域，当粒子进入电场区域II后经过轴的位置坐标（图中未画出），不计带电粒子重力和空气阻力，。求： (1)带电粒子进入磁场时的速度的大小； (2)带电粒子离开电场区域I时的纵坐标； (3)匀强电场区域II中的电场强度的大小。 考点四 带电粒子在弧形边界磁场中的运动 1．（24-25高三上·山西·期中）如图所示，在xOy坐标平面的第一、四象限内有正交的匀强电场和匀强磁场Ⅰ，电场沿y轴负方向，磁场垂直于坐标平面向里，在第二、三象限内，以为圆心、半径为R的圆形区域内有垂直于坐标平面向外的匀强磁场Ⅱ，磁场Ⅰ、Ⅱ的磁感应强度大小均为B，在磁场Ⅱ的边界上点，以垂直磁场的方向向磁场内射入一个质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，粒子经磁场Ⅱ偏转后从坐标原点O以垂直于y轴的方向进入正交的电磁场，已知电场强度大小，不计粒子重力，求： (1)粒子在P点的初速度大小和方向； (2)粒子在正交电磁场中运动过程中距x轴的最大距离； (3)粒子从O点进入正交电磁场后的运动轨迹与x轴相切点的横坐标。 2．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）中国航天科技集团自主研制的300瓦霍尔电推进系统已经顺利完成地轨卫星的机动变轨任务，整个卫星的运行轨道被抬升了300公里。我国现阶段霍尔推进器，在地面实验中，其推力达到了牛级，处于国际领先水平。小明同学受到启发设计了如图所示装置研究电荷运动及作用力，三束比荷为、速度为、相邻间距的平行带正电粒子a、b、c持续均匀射入一半径的圆形匀强磁场区域后汇聚于点（其中带电粒子束b的运动方向正对圆心磁场的圆心），随后进入右侧间距、边界为M、N的区域中。在边界N处放置一个足够大的荧光屏，圆形磁场圆心与点及荧光屏上坐标原点连线共轴且垂直荧光屏。 (1)求圆形磁场区域的磁感应强度的大小及方向； (2)若在的区域中加上水平向右、磁感应强度的匀强磁场，求a束粒子打在屏上的位置坐标；（可用表示） (3)若在的区域中加上（2）中磁场的同时再加上水平向右、电场强度的匀强电场。某次实验中，整个装置安装在一个飞船模型上，把荧光屏变为粒子喷射出口。已知粒子质量，单位时间内每束粒子有个喷出，求粒子持续从射入磁场到喷出过程对飞船模型的冲力大小。（冲力计算结果保留两位有效数字，可能用到的数据：，，） 3．（24-25高三上·辽宁大连·期中）竖直平面内有半径为的圆形边界匀强磁场Ⅰ，磁场感应强度大小为，磁场方向垂直xOy平面向内。以圆形边界磁场最底端O为原点建立xOy直角坐标系。一质量、电荷量的正粒子，由沿与x轴负方向进入圆形磁场区域，速度大小，在的某区域存在一个矩形匀强磁场Ⅱ（图中未画出），磁场感应强度与磁场Ⅰ相同，粒子经过该矩形磁场区域后恰能沿x轴负方向再次通过坐标原点O，不计粒子重力。求： (1)粒子从A点到第二次经过O点的运动时间： (2)矩形磁场区域的最小面积。 4．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）如图所示，在xOy直角坐标系中，y轴左侧存在圆形磁场区域，圆的半径为，圆心坐标为，磁感应强度大小为，方向垂直纸面向外；虚线CD与y轴的间距为，其间存在场强大小为、沿+x方向的匀强电场；显示屏PQ与虚线CD之间存在方向垂直纸面向里、磁感应强度的匀强磁场，PQ与CD平行且二者的间距lx可调。一平行于x轴的线状粒子源宽度为2R，能连续均匀地发射比荷均为、速度相同的带正电粒子，线状粒子源中心位置a发射的粒子正对圆形磁场的圆心，所有发射的粒子经圆形磁场偏转恰好从坐标原点O离开圆形磁场，不计粒子的重力及粒子间的相互作用力，求： (1)线状粒子源中心位置a发射的带电粒子到达虚线CD时的速度大小； (2)粒子经过虚线CD时，y坐标的最大值； (3)线状粒子源到达显示屏的粒子比例与的函数关系。 2 学科网（北京）股份有限公司 $$带电粒子在匀强磁场中的运动专项训练 带电粒子在匀强磁场中的运动专项训练 考点一 带电粒子在匀强磁场中的圆周运动（不计重力） 1．（23-24高三上·山东烟台·期末）如图所示，S为一离子源，MN为荧光屏。由S到MN做垂线，垂足为P，SP=L，整个装置处在范围足够大的匀强磁场中。磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B。某时刻离子源S一次性沿平行纸面的各个方向均匀地射出大量的正离子，各离子的质量都为m，电荷量都为q，速率v均相同，不计离子的重力及离子间的相互作用力。 （1）若所有离子都打不到荧光屏上，求射出离子速率的取值范围； （2）若荧光屏足够大，当离子的速率时，求同一时刻发射出的离子达到荧光屏上的最大时间差； （3）若荧光屏足够大，当离子的速率时，求荧光屏上被离子打中的区域长度； （4）当离子的速率，P为荧光屏MN的中点，要便MN右侧能全部被离子打中，求MN的长度应满足怎样的条件？ 【答案】（1）；（2）；（3）MN< 【详解】（1）分析知只要离子沿平行于MN方向向下射出时打不到屏上，则所有离子都打不到屏上，如图所示 所以离子做匀速圆周运动的半径 由 解得 联立解得所有离子都打不到荧光屏上，射出离子速率的取值范围 （2）当时，由得 R1=L 离子距离荧光屏最短弦长为SP，对应圆心角最小，离子能打中荧光屏的时间最短，如图所示 由几何关系可得=60°，可知周期为 离子能打中荧光屏的最短时间为 离子能打中荧光屏在磁场中运动时间最长时轨迹如图所示 轨迹与MN相切，对应圆心角=270°，离子能打中荧光屏的最长时间为 同一时刻发射出的离子达到荧光屏上的最大时间差 （3）如图所示，上侧一个圆与MN相切与A点，A为离子能打中的上侧最远点；下侧一个圆以SO为直径，Q就是离子能打中的下侧最远点。 荧光屏上被离子打中的区域长度 （4）当时，由得 要使MN右侧能全部被离子打中，MN的长度应在如图所示的圆内，如图所示 由几何知识可得： 由于 MN=2PN 即 MN< 能使MN右侧能全部被离子打中。 2．（23-24高三上·北京丰台·期末）恒星生命尽头，在一定条件下通过引力坍缩可以形成中子星。磁陀星是中子星的一种，拥有极强的磁场，两极的磁感应强度约为。地球表面的磁场磁感应强度最弱约，最强仅为。 （1）已知磁陀星和地球两极的磁场小范围内均可视作匀强磁场，忽略带电粒子与天体之间的万有引力。 a．带电粒子在地球和磁陀星两极以垂直于磁场的方向运动时可做匀速圆周运动，求比荷相同的带电粒子在地球与磁陀星两极运动时的周期之比； b．如图1所示，若磁陀星两极某圆心为O的圆形磁场区域的磁感应强度B随时间t均匀减小，即满足关系（k为常量），请分析并论证在磁场中到O点距离为r处某静止的带电粒子能否以O点为圆心做完整的圆周运动。 （2）磁陀星本身还会高频自转，形成并持续释放出和磁陀星一起自转的极细高能电磁辐射束，如图2所示。这个过程有点类似于海上的灯塔，发出的光周期性地掠过人们的眼球。当辐射束扫过地球的时候，地球就能接收到信号。中国天眼FAST凭借全球最高的灵敏度，成为深度监测宇宙辐射的主力。FAST监测到某次高能辐射（一种解释是此辐射源自于磁陀星）持续时间为，相当于接收太阳一个月（实际接收时间为）释放出的总能量。已知FAST每经过时间T能接收到一次信号，太阳的辐射功率为，日地距离为r，该磁陀星到地球的距离为L，假设FAST在某时刻处于磁陀星辐射束的中心，求磁陀星的辐射功率P（假设在辐射束内，到磁陀星距离相等的面上能量均匀分布）。 【答案】（1）a．；b．见解析；（2） 【详解】（1）a。设带电粒子电荷量为q，质量为m，粒子做圆周运动的半径为r，根据牛顿第二定律，洛伦兹力提供向心力，得 由圆周运动周期T与线速度v的关系得 联立得 即 由于地磁场两极磁感应强度最大，将数据代入得 b。磁感应强度B随时间t均匀减小，从上往下看，由楞次定律可得，感生电场线向上，感应电流为逆时针方向的同心圆。 ①若带电粒子电性为正，则其变速圆周运动的方向应为逆时针方向，根据左手定则，粒子所受洛伦兹力方向为沿半径背离圆心，无法提供向心力，假设不成立； ②若带电粒子电性为负，则其变速圆周运动的方向应为顺时针方向，根据左手定则，粒子所受洛伦兹力方向为沿半径背离圆心，无法提供向心力，假设不成立。 结论：带电粒子无法做完整的圆周运动。 （2）根据圆周运动可得辐射圆斑扫过地球的线速度v为 因此辐射圆斑的直径D与底面积S为 设FAST的接收面积为，在时间内接收到的太阳辐射总能量为，在时间内接收到的磁陀星辐射总能量为E，则 联立方程可得 3．（24-25高三上·山东青岛·阶段练习）如图所示，在三维坐标系Oxyz中，z>0的空间内充满沿z轴负方向的匀强电场（电场强度大小E未知），z<0的空间内充满沿y轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B。甲、乙两离子从坐标为的A点以相同速率分别沿x轴正方向、y轴正方向出射，甲离子第一次到达x轴时速度方向与x轴正方向夹角为θ=37°。已知甲、乙离子的质量均为m、带电量均为+q，不计离子重力以及离子间的相互作用，已知sin37°=0.6，cos37°=0.8。求： （1）电场强度的大小E； （2）甲离子运动过程中的最低点到xOy面的距离与乙离子运动过程中的最低点到xOy面的距离之比k； （3）甲离子第n次进入磁场时的x坐标与乙离子第n次进入磁场时的x坐标之差。    【答案】（1）；（2）；（3）， 【详解】（1）离子甲在电场中做类平抛运动，有 联立可得 （2）离子甲进入磁场之后做匀速圆周运动，有 可得甲做圆周运动的半径 甲离子运动过程中的最低点到xOy面的距离为 可得 乙离子沿z轴方向的分速度为 乙离子在磁场中的运动轨迹为等距螺旋线 乙离子运动过程中的最低点到xOy面的距离为 所以 （3）甲离子第一次进入磁场时的x坐标为 甲离子第二次进入磁场时的x坐标为 甲离子第三次进入磁场时的x坐标为 依此类推，第n次进入磁场时的x坐标为 即 乙离子第一次进入磁场时的x坐标为 乙离子第二次进入磁场时的x坐标为 乙离子第三次进入磁场时的x坐标为 依此类推，乙离子第n次进入磁场时的x坐标为 即 所以甲、乙离子第n次进入磁场时x坐标之差为 代值可得    4．（24-25高三上·北京朝阳·期末）利用磁场对带电粒子的运动进行控制是一些科学研究的基础。在处理物体的复杂运动问题时，可以在相互垂直的x、y两个方向上分别研究。已知以下情境中带电粒子质是为m，电荷是为q。均不考虑粒子重力影响及粒子间的相互作用。 (1)如图1所示，若从磁感应强度大小为B的匀强磁场中某点A发射一束带电粒子流，其速率均为v。 a.当粒子速度与磁场方向垂直时，求其运动的轨道半径R； b.设粒子速度与磁场方向的夹角为α（投射角），且。若投射角很小（可认为），各带电粒子会再次重新会聚，求相邻两次会聚点的距离L。 (2)科学家设计了一种中间弱两端强的磁场，它由两个平行的圆线图组成，磁场由两侧通有等大同向电流的线圈产生。带电粒子将被约束在左右两端之间来回运动不能逃脱。如图2所示，三维坐标系的原点为磁场的中心点，x轴为磁场的轴线，若某带电粒子从轴上的M点以大小为、方向与磁场方向夹角为（投射角）的速度进入该磁场，粒子运动过程中以x轴为对称轴向右做螺旋线运动并返回。由于磁场沿轴线方向的变化缓慢，则有定值（不考虑相对论情形），其中为粒子运动方向与磁场方向的夹角，r为粒子在该处时垂直磁场方向的圆周半径。 a.设M点的磁感应强度大小为，求粒子返回处磁感应强度大小； b.粒子运动到磁场最右端N点（图中未画出）时与x轴的距离为d，求粒子此时受到洛伦兹力大小利方向（可用三角函数值表示）。 【答案】(1)a.；b. (2)a.；b.， 【详解】（1）a．粒子在磁场中做匀速圆周运动，设轨道半径为R 解得 b．粒子沿磁场方向做匀速直线运动，垂直于磁场方向做匀速圆周运动，从发射开始经过一个周期再次相遇,投射角很小时有 且有 解得 （2）a．粒子在M处垂直于磁场方向做匀速圆周运动，轨道半径为 粒子在返回处做匀速圆周运动，轨道半径为 且有 解得 b．粒子运动到N点时受到的洛伦兹力大小 设此时洛伦兹力与x轴负向夹角为β，则有 其中为轨道半径，且有 解得 考点二 带电粒子在匀强磁场中的圆周运动（计重力） 1．（23-24高三上·北京昌平·期末）法拉第提出场的概念，并且用场线直观地描绘了场，场线的疏密程度表示场的强弱，场线上每一点的切线方向表示场强的方向。 （1）狄拉克曾经预言，自然界应该存在只有一个磁极的磁单极子，其周围磁感线呈均匀辐射状分布，与点电荷的电场线分布相似。如图所示，若空间中有一固定的N极磁单极子，一带电微粒Q在其上方沿顺时针方向（俯视）做匀速圆周运动，运动轨迹的圆心O到磁单极子的距离为d，运动周期为T，重力加速度为g。 ①在图中画出N极磁单极子周围的磁感线； ②分析该微粒带正电还是负电，并求出该微粒运动轨迹的半径R。 （2）场的通量可以描述场线的数量，在研究磁场时我们引入了磁通量，定义磁通量，其中B为磁感应强度，S为垂直于磁场的面积。 ①如图所示，真空中存在电荷量为Q的正点电荷，以点电荷为球心，做半径为r、高度为h的球冠，已知真空中静电力常量为k，球冠的表面积为，请类比磁通量的定义，求通过球冠的电通量； ②真空中存在两个异种点电荷+q1和-q2，图中曲线为从+q1出发，终止于-q2的一条电场线，该电场线在两点电荷附近的切线方向与两电荷的连线夹角分别为α和β，求两点电荷的电荷量之比。 【答案】（1）①，②带正电，；（2）①，② 【详解】（1）①根据题意，磁单极子的磁场线分布与点电荷的电场线分布相似，磁感线从N极出发，回到S极，可得磁单极子N极的磁场分布如图所示 ②设带电粒子的质量为，其轨迹上任意一点和磁单极子的连线与竖直方向的夹角为，做出带电粒子的受力分析如图所示 根据左手定则可知该粒子带正电。由几何关系可得 根据力的矢量关系可得 由牛顿第二定律有 联立以上各式解得 （2）①根据磁通量的定义，类比磁通量的计算公式，可得通过球冠的电通量 ②分别以、为球心，取一半径为的很小的球面，对应的球冠面积可以分别表示为 穿过两个球面的电通量分别为 由于电场线都是从正电荷出发回到负电荷，则在很小的球面上的球冠上的电通量相等，有 整理可得 2．（24-25高三上·浙江宁波·阶段练习）如图所示，与水平面成37°的倾斜轨道AC，其延长线在D点与半圆轨道DF相切，全部轨道为绝缘材料制成且位于竖直面内，整个空间存在水平向左的匀强电场，MN的右侧存在垂直纸面向里的匀强磁场（C点处于MN边界上）。一质量为0.4kg的带电小球沿轨道AC下滑，至C点时速度为，接着沿直线CD运动到D处进入半圆轨道，进入时无动能损失，且恰好能通过F点，在F点速度（不计空气阻力，，）。求： （1）小球受到电场力的大小与方向； （2）半圆轨道的半径R； （3）在半圆轨道部分，摩擦力对小球所做的功。 【答案】（1）3N，水平向左；（2）1m：（3） 【详解】（1）由题意可知，小球在CD间做匀速直线运动，电场力与重力的合力垂直于CD向下，故有 方向水平向左 （2）在D点速度为 在CD段做直线运动，分析可知，CD段受力平衡，故有 解得 在F点处由牛顿第二定律可得 把代入得 （3）小球在DF段，由动能定律可得 解得 3．（24-25高三上·上海徐汇·阶段练习）如图所示，质量为的小球，带有的正电荷，套在一根与水平方向成的足够长的绝缘杆上，小球与杆之间的动摩擦因数为，杆所在空间有磁感应强度的匀强磁场，小球由静止开始下滑，求： （1）小球刚开始运动时加速度大小； （2）小球运动过程中的最大速率（重力加速度g取） 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）小球由静止刚开始下滑时，洛伦兹力为0，根据牛顿第二定律有 代入数据解得 （2）小球下滑过程中，根据左手定则可知小球受到洛伦兹力垂直于杆向上，当小球达到最大速度时，加速度为0，则有 代入数据解得 考点三 带电粒子在直边界磁场中的运动 1．（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）磁谱仪是对未知粒子识别和分离的装置。如图为一种磁谱仪的工作原理图，圆弧形电极可以收集粒子，并用辐射型电场对粒子进行加速，使粒子进入磁场。已知圆弧形电极关于y轴对称，圆心在坐标原点O，圆心角为，轴上方存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在x轴的正半轴放置感光底片；圆弧形电极与坐标原点O间的电势差为U，氕核、氘核自圆弧形电极均匀无初速度释放，被电场加速后自O点进入磁场。已知氕核的质量为m，电荷量为q，重力影响不计，求： (1)氕核在磁场中运动的轨迹半径； (2)感光底片上能同时接收到氕核及氘核两种粒子的长度。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）对氕核在电场中的运动过程，根据动能定理得 氕核在磁场中运动，由洛伦兹力提供向心力得 解得 （2）进入磁场方向与x轴夹角为的氕核打到感光底片上的位置坐标 最远能打到的位置坐标 根据（1），氘核在磁场中的轨道半径 进入磁场时速度方向与x轴夹角为的氘核打到感光底片上的位置坐标 最远能打到的位置 重叠部分长度 解得 2．（24-25高三上·海南·阶段练习）如图，仅在第一象限存在垂直纸面向里的匀强磁场，一个带负电的微粒a从坐标处射入磁场，射入方向与y轴正方向夹角为45°，经时间t与静止在坐标处的不带电微粒b发生碰撞，碰后瞬间结合为微粒c，碰撞过程电荷量不发生变化。已知a、b质量相同（重力均不计），求： (1)碰后c的轨迹半径大小； (2)c在磁场中运动的时间。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）a粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律可得 由几何关系 a、b两粒子碰后瞬间结合为微粒c，碰撞前后系统动量守恒，由动量守恒定律可知 碰撞后动量大小、电荷量都不变，说明c粒子轨迹半径和a粒子轨迹半径相同，运动轨迹如图所示 则碰后C的半径也为 （2）a粒子运动时间 c在磁场中运动的时间为，所以运动时间为 联立可得 3．（24-25高三上·江苏·阶段练习）为探测射线，威耳逊曾用置于匀强磁场或电场中的云室来显示它们的径迹。某研究小组设计了电场和磁场分布如图所示，在平面（纸面）内，在区间内存在平行y轴的匀强电场，。在的区间内存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，。一未知粒子从坐标原点与x正方向成角射入，在坐标为的P点以速度垂直磁场边界射入磁场，并从射出磁场。已知整个装置处于真空中，不计粒子重力，。求： (1)该未知粒子的比荷； (2)匀强电场电场强度E的大小及右边界的值； (3)如右图所示，若偏转磁场中磁感应强度由边界至由左向右在间距均为（很小）中，第一个区域磁感应强度为B，下面各区域磁感应强度依次为、、……，当粒子能达到磁场右侧边界（达到边界就被吸收），求应当满足的条件。[当时，取] 【答案】(1) (2)， (3) 【详解】（1）粒子在磁场中，由洛伦兹力提供向心力，则有 由题意和几何关系可知 解得 粒子的比荷为 （2）粒子运动轨迹如图所示 粒子在电场中可逆向看成类平抛运动，则有 联立解得 由几何关系可得 解得 故有 （3）设竖直方向的速度为，水平方向的速度为，极短时间，则有 结合题意可得 故有 即 解得 即 4．（2024·河北·模拟预测）如图所示，在到范围内存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为，在到范围内存在匀强电场区域，电场强度大小，电场方向与轴正方向成斜向右上方。在范围内存在匀强电场区域II，电场方向沿轴负方向。所有场区在竖直方向范围足够大。一个比荷的带正电粒子从点沿轴正方向射入匀强磁场，速度方向偏转时离开磁场进入匀强电场区域，当粒子进入电场区域II后经过轴的位置坐标（图中未画出），不计带电粒子重力和空气阻力，。求： (1)带电粒子进入磁场时的速度的大小； (2)带电粒子离开电场区域I时的纵坐标； (3)匀强电场区域II中的电场强度的大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设带电粒子在磁场中做匀速圆周运动时的半径为，由几何关系可知 解得 根据洛伦兹力提供带电粒子做圆周运动的向心力有 解得 （2）粒子离开磁场时速度方向偏转，所以粒子进入电场时速度方向与区域I中电场方向垂直，轴方向上以沿轴负方向为正方向，粒子在磁场运动中轴方向偏转位移 解得 粒子在电场区域中有 解得 方向与区域中电场方向相同，即与轴正方向成斜向右上方。设粒子在电场中运动的时间为，沿轴方向有 解得 沿轴方向上有 解得 则带电粒子离开电场区域时的纵坐标 （3）粒子离开电场区域I时，沿轴和轴方向的分速度分别为 粒子进入电场区域II后轴方向做匀速直线运动，设在电场II中运动的时间为，有 解得 轴方向做匀变速直线运动，加速度沿轴负方向，有 解得 由 解得 考点四 带电粒子在弧形边界磁场中的运动 1．（24-25高三上·山西·期中）如图所示，在xOy坐标平面的第一、四象限内有正交的匀强电场和匀强磁场Ⅰ，电场沿y轴负方向，磁场垂直于坐标平面向里，在第二、三象限内，以为圆心、半径为R的圆形区域内有垂直于坐标平面向外的匀强磁场Ⅱ，磁场Ⅰ、Ⅱ的磁感应强度大小均为B，在磁场Ⅱ的边界上点，以垂直磁场的方向向磁场内射入一个质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，粒子经磁场Ⅱ偏转后从坐标原点O以垂直于y轴的方向进入正交的电磁场，已知电场强度大小，不计粒子重力，求： (1)粒子在P点的初速度大小和方向； (2)粒子在正交电磁场中运动过程中距x轴的最大距离； (3)粒子从O点进入正交电磁场后的运动轨迹与x轴相切点的横坐标。 【答案】(1)大小为，方向与y轴正向夹角为 (2) (3) 【详解】（1）由题意，粒子在x轴与磁场圆边界交点Q点出磁场Ⅱ，如图所示 设粒子在磁场Ⅱ中做圆周运动的半径为r，圆心为，由几何关系可知，与PQ垂直，并将PQ平分，由于与平行，可知 根据牛顿第二定律有 解得 由几何关系可知 因此粒子从P点射出的速度方向偏向左上，且与y轴正向夹角为。 （2）粒子刚进入正交电磁场时，由于 因此粒子会向上偏转。将粒子刚进叠加场时的速度分解为沿x轴正向的两个分速度，有 且满足 解得 此后，粒子在叠加场中的运动可以分解成以速度沿x轴正向的匀速直线运动和以速率的逆时针的匀速圆周运动。设做匀速圆周运动分运动的半径为r，根据牛顿第二定律有 解得 因此，粒子在正交电磁场中运动过程中，离x轴的最大距离 （3）粒子在正交电磁场中运动时，做圆周运动的分运动每运动一周粒子运动轨迹与x轴相切一次，分运动的周期 则运动轨迹与x轴相切点的横坐标为 2．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）中国航天科技集团自主研制的300瓦霍尔电推进系统已经顺利完成地轨卫星的机动变轨任务，整个卫星的运行轨道被抬升了300公里。我国现阶段霍尔推进器，在地面实验中，其推力达到了牛级，处于国际领先水平。小明同学受到启发设计了如图所示装置研究电荷运动及作用力，三束比荷为、速度为、相邻间距的平行带正电粒子a、b、c持续均匀射入一半径的圆形匀强磁场区域后汇聚于点（其中带电粒子束b的运动方向正对圆心磁场的圆心），随后进入右侧间距、边界为M、N的区域中。在边界N处放置一个足够大的荧光屏，圆形磁场圆心与点及荧光屏上坐标原点连线共轴且垂直荧光屏。 (1)求圆形磁场区域的磁感应强度的大小及方向； (2)若在的区域中加上水平向右、磁感应强度的匀强磁场，求a束粒子打在屏上的位置坐标；（可用表示） (3)若在的区域中加上（2）中磁场的同时再加上水平向右、电场强度的匀强电场。某次实验中，整个装置安装在一个飞船模型上，把荧光屏变为粒子喷射出口。已知粒子质量，单位时间内每束粒子有个喷出，求粒子持续从射入磁场到喷出过程对飞船模型的冲力大小。（冲力计算结果保留两位有效数字，可能用到的数据：，，） 【答案】(1)0.01T，方向垂直纸面向外 (2)(，) (3)1.6N 【详解】（1）由题意可知，带正电粒子由洛伦兹力提供向心力得 解得 方向垂直纸面向外 （2）由题意可知a束粒子的运动轨迹图，如图所示。 由几何关系可得 得 粒子运动周期 运动时间 运动半径 则束粒子打在屏上的位置坐标为(，)。 （3）在向右的方向上，对ac束粒子 对b束粒子 解得 m/s 在水平方向由动量定理得 得 在y方向上 解得 则粒子持续从射入磁场到喷出过程对飞船模型的冲力大小 3．（24-25高三上·辽宁大连·期中）竖直平面内有半径为的圆形边界匀强磁场Ⅰ，磁场感应强度大小为，磁场方向垂直xOy平面向内。以圆形边界磁场最底端O为原点建立xOy直角坐标系。一质量、电荷量的正粒子，由沿与x轴负方向进入圆形磁场区域，速度大小，在的某区域存在一个矩形匀强磁场Ⅱ（图中未画出），磁场感应强度与磁场Ⅰ相同，粒子经过该矩形磁场区域后恰能沿x轴负方向再次通过坐标原点O，不计粒子重力。求： (1)粒子从A点到第二次经过O点的运动时间： (2)矩形磁场区域的最小面积。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）粒子在圆形磁场区域，由洛伦兹力提供向心力得 周期 圆形磁场中，连接入射点、磁场圆心、轨迹圆心及出射点构成菱形，转过圆心角为 粒子从O点进入第四象限，速度与轴正向夹角为，在方形磁场中转，所以在两磁场中运动时间为 设粒子从P点进入方形磁场，从Q点离开方形磁场，由几何关系可知 粒子做匀速直线运动时间 全程时间 （2）由几何关系得，矩形磁场区域的最小面积 解得 4．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）如图所示，在xOy直角坐标系中，y轴左侧存在圆形磁场区域，圆的半径为，圆心坐标为，磁感应强度大小为，方向垂直纸面向外；虚线CD与y轴的间距为，其间存在场强大小为、沿+x方向的匀强电场；显示屏PQ与虚线CD之间存在方向垂直纸面向里、磁感应强度的匀强磁场，PQ与CD平行且二者的间距lx可调。一平行于x轴的线状粒子源宽度为2R，能连续均匀地发射比荷均为、速度相同的带正电粒子，线状粒子源中心位置a发射的粒子正对圆形磁场的圆心，所有发射的粒子经圆形磁场偏转恰好从坐标原点O离开圆形磁场，不计粒子的重力及粒子间的相互作用力，求： (1)线状粒子源中心位置a发射的带电粒子到达虚线CD时的速度大小； (2)粒子经过虚线CD时，y坐标的最大值； (3)线状粒子源到达显示屏的粒子比例与的函数关系。 【答案】(1) (2) (3)，当时，，当时， 【详解】（1）由题意可知，位置a发射的粒子在圆形磁场中的偏转半径为R，粒子在圆形磁场中运动时有 解得 从粒子进入电场到离开电场，根据动能定理有 解得粒子到达虚线CD时的速度 （2）当粒子沿y轴正方向射入电场时，粒子经过虚线CD时的y坐标最大。 设粒子在电场中运动的时间为t，则在平行x轴方向做匀加速直线运动，有 解得 在竖直方向做匀速直线运动，则y坐标的最大值 （3）设从O点射出圆形磁场的粒子中，与y轴正方向成θ角的粒子经电场和磁场B2偏转后刚好与PQ相切，根据y方向的动量定理可得 如图所示，由几何关系可得 代入数据，解上面二式可得 当时 当时 2 学科网（北京）股份有限公司 $$