2.4.2 二次函数的应用利用二次函数解决实际中最值问题（第二课时） 课件 2024--2025学年北师大版九年级数学下册

北师大版数学九年级下册 第二章 二次函数 2.4.2 二次函数的应用 （第2课时）利用二次函数解决实际中最值问题 解：如图所示： 解：如图所示： 变式：（4）点P是坐标轴上一点，当△PAC是等腰三角形，请直接写出点P的坐标。 变式：（5）点P是坐标轴上一点，当△PAC是等腰直角三角形，请直接写出点P的坐标。 变式：（3）点P是对称轴上一点，求△PAB的周长的最小值及点P的坐标。 变式：（1）点P是对称轴上一点，求PA-PB差的最大值时点P的坐标。 变式：（2）点P是对称轴上一点，求PA-PB差的最小值时点P的坐标。 复习回顾 二次函数y=ax2+bx+c的图象与a、b、c的关系 字母符号 图象的特征 a＞0 开口_____________________ a＜0 开口_____________________ b=0 对称轴为_____轴 a、b同号 对称轴在y轴的____侧 a、b异号 对称轴在y轴的____侧 c=0 经过原点 c＞0 与y轴交于_____半轴 c＜0 与y轴交于_____半轴 顶点坐标 向上 向下 y 左 右 正 负 复习回顾 1.当一个二次函数是y= a(x-h)2+k(顶点式）时， 当x= 时，y有最值为 . 2.当一个二次函数是y= ax2+bx+c(一般式）时， 当x= 时，y有最值为 . 3.单件利润= 减去 . 4.总利润= 乘以 . 售价 进价（成本） 单件利润 销售数量 h k 复习回顾 1、已知抛物线y= 3(x-1)2-4的顶点坐标是 ，当x= 时,y有最 值，是 . 2、已知抛物线y= - 4x2+8x+1，当x= 时,y有最 值，是 . 3、已知某商品单件的利润是x元，商店一天卖出20件，总利润为y元，请列出函数关系式 . 4、已知某商品进价30元，售价为x元，商店一天卖出20件，总利润为y元，请列出函数关系式 . (1,-4) -4 1 小 1 大 5 y= 20x y= 20（x-30） 复习回顾 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，已知商品的进价为每件40元，则单件的利润是 元，总利润 元. 20 6000 数量关系 （1）单件利润=售价-进价 （2）总利润= 单件利润×销售数量 （3）或总利润= （售价-进价）×销售数量 例题精讲 例1 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？如何定价才能使利润最大？ 解:设每件涨价x元，则每星期的销售数量为（300-10x),利润为y元. y=(60+x-40)(300-10x) y= - 10x2 + 100x+6000 ∴当x=5时，y最大为6250 ∴60+x=65（元） 答：定售价为65元时，利润最大，最大为6250元. 当x取何值时，y有最大值？ 目标：求顶点坐标 方法：配方法、公式法 y= - 10（x-5）2+6250 例题精讲 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？ 解:设每件降价x元，则每星期的销售量为（300+20x）件，每星期的利润为y元。 y=(60-x-40)(300+20x) y= - 20x2 + 100x+6000 ∴当x=2.5时，y最大为6125 ∴60-x=57.5（元） 答：定售价为57.5元时，利润最大，最大为6125元. 探究 用二次函数表示实际问题 根据实际问题列二次函数的关系式，一般要经历以下 几个步骤： (1)确定自变量与因变量代表的实际意义； (2)找到自变量与因变量之间的等量关系，根据等量关系 列出方程或等式． (3)将方程或等式整理成二次函数的一般形式． 用二次函数表示实际问题 例1 如图，已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10 cm，AC与MN在同一直线上，开始时点A与M重合，让△ABC向右移动，最后点A与点N重合．问题： (1)试写出重叠部分面积y(cm2)与线段MA的长度x(cm)之 间的函数关系式； (2)当MA＝1 cm时，重叠部分的面积是多少？ 分析：(1)根据图形及题意所述可得出重叠部分是等腰直角三角形，从而根据MA的长度可得出y与x之间的函数关系式； (2)将x＝1代入可得出重叠部分的面积． 用二次函数表示实际问题 例1 如图，已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10 cm，AC与MN在同一直线上，开始时点A与M重合，让△ABC向右移动，最后点A与点N重合．问题： (1)试写出重叠部分面积y(cm2)与线段MA的长度x(cm)之 间的函数关系式； (2)当MA＝1 cm时，重叠部分的面积是多少？ 解：(1)由题意知，开始时A点与M点重合， 让△ABC向右移动，两图形重叠部分为等腰直 角三角形， 所以y＝ x2(0＜x≤10)； (2)当MA＝1 cm时，重叠部分的面积是 cm2. 用二次函数表示实际问题 例1 如图，已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10 cm，AC与MN在同一直线上，开始时点A与M重合，让△ABC向右移动，最后点A与点N重合．问题： (1)试写出重叠部分面积y(cm2)与线段MA的长度x(cm)之 间的函数关系式； (2)当MA＝1 cm时，重叠部分的面积是多少？ 此题主要考查的是求动态几何图形中面积的 函数关系式，判断出重叠部分是等腰直角三角形 比较关键．在确定实际问题中的函数关系式时， 通常根据题目中的等量关系列出恰当的函数关系 式．但要特别注意自变量的取值范围． 利用二次函数的最值解实际问题 服装厂生产某品牌的T恤衫成本是每件10元.根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5 000件，并且表示单价每降价0.1元，愿意多经销500件. 请你帮助分析，厂家批发单价是多少时可以获利最多？ 1．利用二次函数解决实际生活中的利润问题，一般运 用“总利润＝每件商品所获利润×销售件数”或“总利 润＝总售价－总成本”建立利润与销售单价之间的二 次函数关系式，求其图象的顶点坐标，获取最值． 利用二次函数的最值解实际问题 服装厂生产某品牌的T恤衫成本是每件10元.根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5 000件，并且表示单价每降价0.1元，愿意多经销500件. 请你帮助分析，厂家批发单价是多少时可以获利最多？ 拓展： 现实生活中的许多最值问题都可通过建立二次函数的 模型进行解决． 2．易错警示：实际问题中的最大利润未必是顶点的纵 坐标，即顶点的横坐标不在自变量的取值范围内时， 要根据函数的性质去确定最大值． 例2 某旅馆有客房120间，每间房的日租金为160元时，每天都客满.经市场调查发现，如果每间客房的日租金增加10元，那么客房每天出租数会减少6间．不考虑其他因素，旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？最高总收入是多少？ 利用二次函数的最值解实际问题 解：设每间客房的日租金提高10x元，则每天客房出租数会 减少6x间.设客房日租金总收入为 y元， 则 y = (160+10x) (120-6x)= -60 (x-2)2+ 19 440. ∵x≥0,且120-6x>0，∴0≤x< 20. 当x=2时，y最大= 19 440. 这时每间客房的日租金为160 +10×2=180 (元). 因此，每间客房的日租金提高到180元时，客房总收人 最高，最高收入为 19 440 元. 例3 一玩具厂去年生产某种玩具，成本为10元/件，出厂价为12元/件，年销售量为2万件．今年计划通过适当增加成本来提高产品的档次，以拓展市场，若今年这种玩具每件的成本比去年每件的成本增加0.7x倍，今年这种玩具每件的出厂价比去年每件的出厂价相应提高0.5x倍， 则预计今年年销售量将比去年年销售量增加x倍(0＜x≤1)． (1)用含x的代数式表示：今年生产的这种玩具每件的成本为___元，今年 生产的这种玩具每件的出厂价为____元； (2)求今年这种玩具每件的利润y(元)与x之间的函数关系式； (3)设今年这种玩具的年销售利润为W万元，求当x为何值时，今年的年销售利润最大，最大年销售利润是多少万元？ 利用二次函数的最值解实际问题 导引：由题意知今年这种玩具每件的成本是去年的(1＋0.7x)倍，每件的出厂价是去年每件的出厂价的 (1＋0.5x)倍，今年的年销售量是去年年销售量的 (1＋x)倍． 解： (1)(10＋7x)；(12＋6x) (2)y＝(12＋6x)－(10＋7x)＝2－x， 即y与x的函数关系式为y＝2－x. (3)W＝2(1＋x)(2－x)＝－2x2＋2x＋4＝－2(x-5)2＋4.5， ∵0＜x≤1，∴当x＝0.5时，W有最大值． W最大值＝4.5. 答：当x＝0.5时，今年的年销售利润最大，最大年销 售利润为4.5万元． 利用二次函数的最值解实际问题 本题利用建模思想求解，由今年与去年这种玩具的成本价、出厂价、销售量的倍数关系可以得到今年这种玩具的成本价、出厂价、销售量的表达式，再由“总利润＝每件商品所获利润×销售件数”可得二次函数的表达式，进而求出其最大值． 利用二次函数的最值解实际问题 巩固练习 某景区商店销售一种纪念品，每件的进货价为40元．经市场调研，当该纪念品每件的售价为50元时，每天可销售200件；当每件的售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件． （1）当每件的售价为52元时，该纪念品每天的销售数量为 件； （2）当每件的售价为多少时，销售该纪念品每天获得的利润最大？并求出最大利润． 180 某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价是每个30元，市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y（单位：个）与销售单价x（单位：元）有如下关系：y=-x+60.设这种双肩包每天的利润为w元。 （1)求w与x之间的函数关系式. 巩固练习 某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价是每个30元，市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y（单位：个）与销售单价x（单位：元）有如下关系：y=-x+60.设这种双肩包每天的利润为w元。 （2)这种双肩包的单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 巩固练习 某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价是每个30元，市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y（单位：个）与销售单价x（单位：元）有如下关系：y=-x+60.设这种双肩包每天的利润为w元。 （3）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元，该商店销售这种双肩包每天要获利200元，销售单价应定为多少元？ 巩固练习 某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式； 巩固练习 某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示． （2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？ 巩固练习 某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示． （3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围． 巩固练习 巩固练习 4.5m D 如图，池中心竖直水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管的长为 。 巩固练习 2.25m 巩固练习 （2021 衢州）如图2-4-16甲是一座抛物线型拱桥侧面示意图.水面宽AB与桥长CD均为24m，在距离点D6m的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系. （1）求桥拱顶部O离水面的距离； 巩固练习 （2）如图2-4-16乙，桥面上方有3根高度均为4m 的支柱CG、OH、DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1m. ①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式； 巩固练习 ②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值. 巩固练习 x y O 巩固练习 巩固练习 课后练习 1.如图，一名学生推铅球，铅球行进高度 y （单位: m ）与水平距离 x （单位: m ）之间的关系是 y=−1/12(x−10)(x+4) ，则铅球推出的距离 OA= _____ m ． 【解析】 令 y=0 ，则 −1/12(x−10)(x+4)=0 ，解得 x=10 或 x=−4 （不合题意，舍去）， ∴A(10,0) ， ∴OA=10 m ． 10 2.要建一个圆形喷水池，计划在池中心位置竖直安装一根顶部带有喷水头的水管，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 1 m 处达到最高，高度为 3 m ，水柱落地处离池中心的水平距离也为 3 m ，那么水管的设计高度应为________． 【解析】 以池的中心为原点，竖直安装的水管为 y 轴，与水管垂直的直 线为 x 轴建立平面直角坐标系．因为在距池中心的水平距离为 1 m 时达到 最高，高度为 3 m ，所以设抛物线的表达式为 y=a(x−1)^2+3(0≤x≤3) ，将 (3,0) 代入，得 a=−3/4 ，所以该抛物 线的表达式为 y=−3/4(x−1)^2+3(0≤x≤3) .令 x=0 ，则 y=2.25 ， 故水管的设计高度应为 2.25 m ． 2.25 m 3.教材P61T22变式[2022广安中考]如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降____米，水面宽8米. 【解析】 如图，以水平面所在的直线 AB 为 x 轴，以过拱顶 C 且垂直于 AB 的直线 为 y 轴建立平面直角坐标系， O 为原点. 由题意可得， AO=OB=1/2AB=3 米， 3.教材P61T22变式[2022广安中考]如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降____米，水面宽8米. 抛物线顶点 C 的坐标为 (0,2) ，可设抛物线的表达式为 y=ax^2+2 ， 把点 A(−3,0) 的坐标代入抛物线的表达式，得 9a+2=0 ，解得 a=−2/9 ， 所以抛物线的表达式为 y=−2/9x^2+2 ， 当 x=4 时， y=−2/9×16+2=−14/9 ，所以水面下降 14/9 米. 4.施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度 OM 为12米．现以 O 点为原点， OM 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系（如图）． （1）求出这条抛物线的函数表达式，并写出自变量 x 的取值范围. 解： ∵M(12,0) ， ∴P(6,6) ， ∴ 设这条抛物线的函数表达式为 y=a(x−6)^2+6 . ∵ 抛物线过 O(0,0) ， ∴a(0−6)^2+6=0 ，解得 a=−1/6 ， ∴ 这条抛物线的函数表达式为 y=−1/6(x−6)^2+6 ， 即 y=−1/6x^2+2x(0≤x≤12) ． 4.施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度 OM 为12米．现以 O 点为原点， OM 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系（如图）． （2）隧道中的公路是双向行车道（正中间是一条宽1米的隔离带），其中的一条行车道能否行驶宽2.5米、高5米的特种车辆？请通过计算说明. 解：当 x=6−0.5−2.5=3 （或 x=6+0.5+2.5=9 ）时， y=4.5<5 ， 故不能行驶宽2.5米、高5米的特种车辆． 课堂总结 1.考查的是求动态几何图形中面积的函数关系式，判断出重叠部分是等腰直角三角形比较关键．在确定实际问题中的函数关系式时， 通常根据题目中的等量关系列出恰当的函数关系式．但要特别注意自变量的取值范围． 2.利用建模思想求解，由今年与去年这种玩具的成本价、出厂价、销售量的倍数关系可以得到今年这种玩具的成本价、出厂价、销售量的表达式，再由“总利润＝每件商品所获利润×销售件数”可得二次函数的表达式，进而求出其最大值． 利润问题的基本关系式： 总利润＝单件利润×销售总量． 若销售单价每提高m元，销售量相应减少n件， 设提高x元，则现销售量＝原销售量－ $$