2.5.1 二次函数与一元二次方程的关系（第一课时） 课件 2024--2025学年北师大版九年级数学下册

第二章 二次函数 第一课时 二次函数与一元二次方程 课前讲评 九（下）数学教材习题 习题 2.8 问题解决 1．一根铝合金型材长为6 m，用它制作一个“日”字形窗户的框架ABCD（如图），如果恰好用完整条铝合金型材，那么AB，AD分别为多少米时，窗户的面积最大？ 解：设窗户的长AD为x m，则宽AB为 m． 则 要使窗户的面积S最大，则x=1.5，则宽为 所以AB，AD分别为1.5 m，1 m时，窗户的面积最大． 2．如图，小亮父亲想用长为80 m的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈ABCD，已知房屋外墙长50 m,设矩形ABCD的边AB=x m,面积为S m2． （1）写出S与x之间的关系式，并指出x的取值范围； 解：∵AB=CD=x m,∴BC=（80-2x）m, ∴S=x（80-2x）=-2x2+80x（15≤x＜40）． 2．如图，小亮父亲想用长为80 m的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈ABCD，已知房屋外墙长50 m,设矩形ABCD的边AB=x m,面积为S m2． （2）当AB，BC分别为多少米时， 羊圈的面积最大？最大面积是多少？ 解：∵S=-2x2+80x=-2（x-20）2+800，15≤x＜40， ∴当x=20时，S有最大值为800． ∴当AB=20 m,BC=40 m时，面积S有最大值为800m2． 4．如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽AB=20 m，当水位上升3 m时，水面宽CD=10 m.（1）按如图所示的直角坐标系，求此抛物线的函数表达式； 解：设抛物线的表达式为y=ax2， 桥拱最高点O到水面CD的距离为h m． 则D（5，-h），B（10，-h-3）.∴ 解得 ∴抛物线的表达式为 4．如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽AB=20 m，当水位上升3 m时，水面宽CD=10 m. （2）有一条船以5 km/h的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥35 km,桥下水位正好在AB处，之后水位每小时上涨0.25 m,当水位达到CD处时，将禁止船只通行，如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？ 解：由题意，得 船行驶到桥下的时间为35÷5=7（h）， 水位上升的高度为0.25×7=1.75（m）． ∵1.75＜3． ∴如果船的速度不变，那么它能安全通过此桥． 3．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成.长方形的长是8 m，宽是2 m,抛物线可以用y=- x2+4表示． （1）一辆货运卡车高4 m,宽2 m,它能通过该隧道吗？ 解：把y=4-2=2代入y=- x2+4，解得 ∴此时可通过物体的宽度为 ∴它能通过该隧道． 3．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成.长方形的长是8 m，宽是2 m,抛物线可以用y=- x2+4表示． （2）如果该隧道内设双行道，那么这辆货运卡车是否可以通过？ 解：由题意，把y=4-2=2代入y=- x2+4， 解得 ∵ ∴这辆货运卡车能通过． 习题 2.9 1．某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元.旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团每增加一人，每人的单价就降低10元.你能帮助算一下，当一个旅游团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额？最大营业额是多少？ 解：设旅游团的人数为x,由题意得 营业额={800-[10（x-30）]}x=x（1100-10x）= -10x2+1100x=-10（x2-110x）=-10[（x-55）2-3025]=-10（x-55）2+30250（x≥30）， ∴当x=55时，营业额最大，为30250元． 答：当一个旅游团的人数是55时，旅行社可以获得最大营业额，最大营业额是30250元． 2．某商店购进一批单价为8元的商品，如果按每件10元出售，那么每天可销售100件.经调查发现，这种商品的销售每提高1元，其销售量相应减少10件．将销售价定为多少，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？ 解：设销售单价定为x元（x≥10），每天所获利润为y元， 则y=[100-10（x-10）]•（x-8）= -10x2+280x-1600=-10（x-14）2+360． 当x=14时，y最大为360． 所以将销售价定为14元时，每天所获销售利润最大，最大利润是360元． 3．在测量时，为了确定被测对象的最佳值，经常要对同一对象测量若干次，然后选取与各测量数据的差的平方和为最小的数作为最佳近似值．例如，在测量5个大麦穗长之后，得到的数据（单位：cm）是：6.5、5.9、6.0、6.7、4.5．那么这些大麦穗的最佳近似长度可以取使函数y=（x-6.5）2+（x-5.9）2+（x-6.0）2+（x-6.7）2+（x-4.5）2为最小值的x的值．整理上式，并求出大麦穗长的最佳近似长度． 解：y=（x-6.5）2+（x-5.9）2+（x-6.0）2+（x-6.7）2+（x-4.5）2 =x2-13x+6.52+x2-11.8x+5.92+x2-12x+62+x2-13.4x+6.72+x2-9x+4.52=5x2-59.2x+178.2=5（x-5.92）2+2.968． ∵a=5， ∴x=5.92时，y有最小值． ∴大麦穗长的最佳近似长度为5.92 cm． 第1课时 二次函数与一元二次方程 导入新课 导入新课 情境引入 问题 如图，以 40m/s 的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度 h（单位：m）与飞行时间 t（单位：s）之间具有关系：h=20t-5t2， 你能否解决以下问题： （1）球的飞行高度能否达到 15m？如果能，需要多少飞行时间？ （2）球从飞出到落地要用多少时间？ 现在不能解决也不要紧，学完本课，你就会清楚了！ 新课讲授 二次函数与一元二次方程的关系 思考 观察思考下列二次函数的图象与 x 轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当 x 取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此你能得出相应的一元二次方程的根吗？ （1）y = x2+x-2； （2）y = x2-6x+9； （3）y = x2-x+1. 1 x y O y = x2－6x＋9 y = x2－x＋1 y = x2＋x－2 观察图象，完成下表： 抛物线与x轴公共点个数 公共点 横坐标 相应的一元二次 方程的根 y = x2－x＋1 0 y = x2－6x＋9 y = x2＋x－2 0个 1个 2个 x2-x+1=0无解 3 x2-6x+9=0，x1=x2=3 -2, 1 x2+x-2=0，x1=-2,x2=1 二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x轴交点 一元二次方程 ax2+bx+c=0的根 b2-4ac 有两个交点 有两个不相等的实数根，为交点的横坐标 b2-4ac > 0 有一个交点 有两个相等的实数根，为交点的横坐标 b2-4ac = 0 没有实数根 b2-4ac < 0 知识要点 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交点的坐标与 一元二次方程 ax2+bx+c=0 根的关系 没有交点 例1 已知关于 x 的二次函数 y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)． (1) 求证：此抛物线与 x 轴总有交点； (2) 若此抛物线与 x 轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数 m 的值． (1) 证明：∵m≠0， ∴Δ＝(m＋2)2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2. ∵(m－2)2≥0， ∴Δ≥0， ∴此抛物线与x轴总有交点. (2)解：令 y＝0，则(x－1)(mx－2)＝0， 所以 x－1＝0或mx－2＝0， 解得 x1＝1，x2＝ . 当m为正整数 1 时，x2 为整数且 x1≠x2，即抛物线与 x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数． 所以正整数 m 的值为1. 例1 已知关于x的二次函数 y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)． (2) 若此抛物线与 x 轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数 m 的值． 变式：已知：抛物线 y＝x2＋ax＋a－2. (1) 求证：不论 a 取何值时，抛物线 y＝x2＋ax＋a－2与 x 轴都有两个不同的交点； (2) 设这个二次函数的图象与 x 轴相交于 A(x1，0)，B(x2，0)，且 x1、x2 的平方和为 3，求 a 的值． (1) 证明：∵Δ＝a2－4(a－2)＝(a－2)2＋4＞0， ∴不论 a 取何值时，抛物线 y＝x2＋ax＋a－2 与 x 轴 都有两个不同的交点； (2) 解：∵x1＋x2＝－a，x1·x2＝a－2， ∴x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝a2－2a＋4＝3， ∴a＝1. 运动中的抛物线问题 例2 如图，以 40m/s 的速度将小球沿与地面成 30° 角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度 h（单位：m）与飞行时间 t（单位：s）之间具有关系：h=20t-5t2， 你能否解决以下问题： （1）球的飞行高度能否达到 15 m ？如果能，需要多少飞行时间？ O h t 15 1 3 ∴当球飞行 1s 或 3s 时，它的高度为 15 m. 解：解方程 15=20t-5t2, t2-4t+3=0, t1=1，t2=3. 你能结合上图，指出为什么在两个时间球的高度为 15 m 吗？ h=20t-5t2 （2）球的飞行高度能否达到20 m？如果能，需要多少飞行时间？ 你能结合图形指出为什么只在一个时间球的高度为 20 m 吗？ O h t 20 4 解方程： 20=20t-5t2, t2-4t+4=0, t1=t2=2. 当球飞行 2s 时，它的高度为 20 m. h=20t-5t2 （3）球的飞行高度能否达到20.5 m？如果能，需要多少飞行时间？ O h t 你能结合图形指出为什么球不能达到20.5 m 的高度? 20.5 解方程： 20.5 = 20t-5t2, t2-4t+4.1 = 0, 因为(-4)2-4 ×4.1 < 0， 所以方程无解. 即球的飞行高度达不到 20.5 m. h=20t-5t2 （4）球从飞出到落地要用多少时间？ O h t 0=20t-5t2, t2-4t=0, t1=0,t2=4. 当球飞行 0 s 和 4 s 时，它的高度为 0 m. 即 0 s 时球从地面飞出，4 s 时球落回地面. h=20t-5t2 从上面发现，二次函数 y=ax2+bx+c 何时为一元二次方程? 一般地，当 y 取定值且 a≠0 时，二次函数为一元二次方程. 如：y=5 时，则 5=ax2+bx+c 就是一个一元二次方程. 为一个常数 （定值） 所以二次函数与一元二次方程关系密切． 例如，已知二次函数 y = －x2＋4x 的值为 3，求自变量 x 的值，可以解一元二次方程－x2＋4x = 3（即 x2－4x+3=0）． 反过来，解方程 x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为 0，求自变量 x 的值． 1. 如图，某足球运动员站在点 O 处练习射门，将足球从离地面 0.5 m 的 A 处正对球门踢出（点 A 在 y 轴上），足球的飞行高度 y（单位：m）与飞行时间 t（单位：s）之间满足函数关系 y=at2+5t+c，已知足球飞行 0.8 s 时，离地面的高度为 3.5 m． （1）足球的飞行时间是多少？ 针对训练 解：（1）由题意得：函数 y=at2+5t+c 的图象经过（0， 0.5）（0.8，3.5）， ∴ 解得： ∴抛物线的解析式为 ， 故足球的飞行时间为 解得 （舍） （2）足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？ 解：∵抛物线的解析式为 ∴当 t = 时，y最大= 4.5； （3）若足球飞行的水平距离x（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系x=10t，已知球门的高度为2.44 m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28 m，他能否将球直接射入球门？ 解：把 x = 28 代入 x =10t 得 t =2.8， ∴当 t=2.8 时， ∴他能将球直接射入球门． 3. 若一元二次方程 无实根， 则抛物线 的图象位于（ ） A. x 轴上方 B. 第一、二、三象限 C. x 轴下方 D.第二、三、四象限 A 4. 已知函数 y＝(k－3)x2＋2x＋1 的图象与 x 轴有交点，求 k 的取值范围． 解：当 k＝3 时，函数 y＝2x＋1 是一次函数． ∵一次函数 y＝2x＋1 与 x 轴有一个交点， ∴k＝3； 当 k≠3 时，y＝(k－3)x2＋2x＋1 是二次函数． ∵二次函数 y＝(k－3)x2＋2x＋1 的图象与 x 轴有交点， ∴Δ＝b2－4ac≥0. ∵b2－4ac＝22－4(k－3)＝－4k＋16， ∴－4k＋16≥0.∴k≤4且k≠3.综上所述，k的取值范围是k≤4. 5. 如图，某学生推铅球，铅球出手（点 A 处）的高度是 0.6 m，出手后的铅球沿一段抛物线运行，当运行到最高 3 m 时，水平距离 x=4 m． (1) 求这个二次函数的解析式； (2) 该同学把铅球推出去多远？ 解：(1) 设二次函数的解析式为 y=a（x-4）2+3， 把（0，0.6）代入得 0.6=a（0-4）2+3，解得 (2) 当 y = 0 时， 答：该男同学把铅球推出去 (4+2 )m 远． 解得 （舍） 课堂小结 二次函数与一元二次方程 二次函数与一元二次方程的关系 y = ax2+bx+c (a ≠0)，当 y 取定值时就成了一元二次方程；ax2+bx+c=0 (a ≠0)，右边换成 y 时就成了二次函数. 二次函数与一元二次方程根的情况 二次函数与 x 轴的交点个数 判别式 的符号 一元二次方程根的情况 Δ 第2课时 利用二次函数求方程的近似根 复习导入 1. 若方程 的根为 和 ，则二次函数 的图象与x轴交点坐标是 . 2. 二次函数 的图象如图所示，则一元二次方程 的解为 . (-2，0)，(3，0) 问题：上节课我们学习了一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 和二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 之间的关系，那么如何利用二次函数图象直接求出一元二次方程的根呢? 回顾与思考 导入新课 新课讲授 例1：求一元二次方程 的近似根（精确到 0.1）. 分析：一元二次方程 x²-2x-1=0 的根就是抛物线 y=x²-2x-1 与 x 轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找它与 x 轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法. 利用图象法求一元二次方程的近似根 解：画出函数 y=x²-2x-1 的图象（如下图），由图象可知，方程有两个实数根，一个在 -1 与 0 之间，另一个在 2 与 3 之间. 先求位于 -1 到 0 之间的根，由图象可估计这个根是-0.4 或 -0.5，利用计算器进行探索，见下表： x … -0.4 -0.5 … y … -0.04 0.25 … 观察上表可以发现，当 x 分别取 -0.4 和 -0.5 时，对应的 y 由负变正，可见在 -0.5 与 -0.4 之间肯定有一个 x 使 y=0，即有y=x2-2x-1的一个根，题目只要求精确到 0.1，这时取 x=-0.4 或 x=-0.5 都符合要求.但当 x=-0.4 时更为接近 0. 故 x1≈-0.4. 同理可得另一近似值为 x2≈2.4. (1) 用描点法作二次函数 y = ax2+bx+c 的图象； (2) 观察估计二次函数的图象与 x 轴的交点的横坐标； (可将单位长度十等分，借助计算器确定其近似值); (3) 确定方程 ax2+bx+c=0 的近似根. 方法归纳 利用图象法求一元二次方程的近似根 1. 已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，则一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的近似根为(　　) A. x1≈－2.1，x2≈0.1 B. x1≈－2.5，x2≈0.5 C. x1≈－2.9，x2≈0.9 D. x1≈－3，x2≈1 解析：由图象可得二次函数 y＝ax2＋bx＋c 图象的对称轴为 x＝－1，而对称轴右侧图象与 x 轴交点到原点的距离约为 0.5，∴x2≈0.5；又∵对称轴为 x＝－1，则 ＝－1，∴x1＝2×(－1)－0.5＝－2.5.故 x1≈－2.5，x2≈0.5.故选 B. B 针对训练 解答本题首先需要根据图象估计出一个根，再根据对称性计算出另一个根，估计值的精确程度，直接关系到计算的准确性，故估计尽量要准确． 方法总结 例2 求一元二次方程 的近似根（精确到0.1）. 分析：令 y = x²-2x-1-3=x²-2x-4，则 x²-2x-1=3 的根就是抛物线 y=x²-2x-4 与 x 轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与 x 轴的交点的横坐标. 2 x y O 解：y=x²-2x-4 的图象如图所示. 解：由图象可知方程的一根在 3 到 4 之间，另一根在 -1 到 -2 之间. (1) 先求 3 到 4 之间的根.利用计算器进行探索： x … 3.2 3.3 … y … -0.16 0.29 … 因此，x = 3.2 是方程的一个近似根. (2) 可类似地求出另一个根为 x = -1.2. 例2变式：你还能利用 y=x²-2x-1 的图象求一元二次方程 的近似根吗（精确到0.1）？ 分析：在 y=x²-2x-1的图象中作直线 y=3，再用图象法求出直线与抛物线交点的横坐标，则横坐标的近似值即为所求方程的近似根. y=3 一元二次方程 ax2+bx+c = m 的根就是二次函数y=ax2+bx+c 与直线 y=m（m 是实数）图象交点的横坐标 . 既可以用求根公式求二次方程的根，也可以通过画二次函数图象来估计一元二次方程的根. 方法归纳 问题1 函数 y = ax2+bx+c 的图象如图，那么 方程 ax2+bx+c=0 的根是 ___________; 不等式 ax2+bx+c>0 的解集是_____________; 不等式 ax2+bx+c<0 的解集是___________. 3 -1 O x x1=-1， x2=3 x < -1或 x > 3 -1< x <3 合作探究 *利用函数的图象求一元二次不等式的解集 拓广探索： 函数 y=ax2+bx+c 的图象如图，那么 方程 ax2+bx+c = 2 的根是 ______________; 不等式 ax2+bx+c > 2 的解集是___________; 不等式 ax2+bx+c < 2 的解集是_________. 3 -1 O 2 (4,2) (-2,2) x1=-2， x2=4 x<-2 或 x >4 -2<x<4 y 问题 2 如果不等式 ax2+bx+c>0（a≠0）的解集是 x ≠ 2 的一切实数，那么函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴有____ 个交点，坐标是______.方程 ax2+bx+c=0 的根是______. 1 (2,0) x = 2 问题3 如果方程 ax2+bx+c=0 （a≠0）没有实数根，那么 函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴有______个交点； 不等式 ax2+bx+c < 0 的解集是多少？ 0 解：(1) 当 a>0 时, ax2+bx+c < 0 无解； (2) 当 a＜0 时, ax2+bx+c < 0 的解集是一切实数. 试一试：利用函数图象解下列方程和不等式: (1) ①-x2+x+2=0; ②-x2+x+2>0; ③-x2+x+2<0. (2) ①x2-4x+4=0; ②x2-4x+4>0; ③x2-4x+4<0. (3) ①-x2+x-2=0; ②-x2+x-2>0; ③-x2+x-2<0. x y 0 2 0 x y -1 2 x y 0 y = -x2+x+2 x1=-1 , x2=2 -1 ＜ x＜2 y=x2-4x+4 x=2 x≠2 的一切实数 x 无解 y=-x2+x-2 x 无解 x 为全体实数 二次函数y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交点 a＞0 a＜0 有两个交点x1,x2 (x1＜x2) 有一个交点x0 没有交点 y＜0，x1＜x＜x2. y＞0，x2＜x或x＜x1 y＞0，x1＜x＜x2. y＜0，x2＜x或x＜x1 y＞0,x0之外的所有实数；y＜0，无解 y＜0,x0之外的所有实数；y＞0，无解 y＞0，所有实数；y＜0，无解 y＜0，所有实数；y＞0，无解 要点归纳 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交点的坐标与一元二次不等式的关系 当堂练习 判断方程 ax2+bx+c =0 (a≠0,a,b,c 为常数)一个解 x 的范围是（ ） A. 3< x < 3.23 B. 3.23 < x < 3.24 C. 3.24 <x< 3.25 D. 3.25 <x< 3.26 x 3.23 3.24 3.25 3.26 y = ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09 C 1. 根据下列表格的对应值: 2. 小颖用计算器探索方程 ax2+bx+c=0 的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根 x=-3.4，则方程的另一个近似根（精确到 0.1）为（　　） A．4.4 B．3.4 C．2.4 D．1.4 D 3. 用图象法求一元二次方程 的近似根（精确到 0.1）. 解：画出 x2+x-1=0 的图象，如图所示，由图象知，方程有两个根，一个在 -2 和 -1 之间，另一个在 0 到 1 之间.通过计算器估算，可得到抛物线与 x轴交点的横坐标大约为 -1.6 和 0.6.即一元二次方程的实数根为x1≈-1.6，x2≈0.6. 随堂练习 利用二次函数的图象求一元二次方程－2x2+4x+1=0的近似根. 解：由图象可知，图象与x轴有两个交点，其横坐标一个在－1与0之间，另一个在2与3之间. y=－2x2+4x+1 随堂练习 利用二次函数的图象求一元二次方程－2x2+4x+1=0的近似根. （1）先求－1和0之间的根. 利用计算器进行探索: x y －0.1 0.58 －0.2 0.12 －0.3 －0.38 因此，x=－0.2是方程的一个近似根. y=－2x2+4x+1 利用二次函数的图象求一元二次方程－2x2+4x+1=0的近似根. 随堂练习 （2）再求2和3之间的根. 利用计算器进行探索: x y 2.1 0.58 2.2 0.12 2.3 －0.38 因此，x=2.2是方程的另一个近似根. 课堂小结 二次函数图象 由图象与 x 轴的交点位置，判断方程根的近似值 一元二次方程的根 一元二次不等式的解集 1. 求下列二次函数的图象与x轴的交点的坐标，并画草图验证: （1） （2）y =－2x2＋20x－49. 习题 2.10 2．二次函数y = x2+bx－1 （b为常数）的图象与x轴相交吗？如果相交，有几个交点？ 3. 一元二次方程x2－6x+4=1的根与二次函数y=x2－6x+4的图象有什么关系?试把方程的根在图象上表示出来. 4．二次函数y = －x2+3x＋4的图象与一次函数y = 2x－1的图象相交吗？如果相交，请求出它们的交点坐标. 作业 1.勤学早 谢谢观看 $$