3.1 圆 课件 2024--2025学年北师大版九年级数学下册

第三章 圆 3.1 圆 新课引入 一切立体图形中最美的是球形， 一切平面图形中最美的是圆形。 —毕达哥拉斯 学习目标 1.能叙述圆的描述性定义和集合性定义。（重点） 2.知道弦、直径、弧、半圆、等圆、等弧的意义，并能结合图形描述它们。（重难点） 3.理解点与圆的三种位置关系。（重难点） 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆．以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”. 圆 O A 圆 O A 根据圆的基本定义得： 1.圆上的各点到圆心的距离都等于半径长； 2.确定圆的基本条件：圆心的位置和半径的长短。其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小。 3.圆是一条线，圆面才有面积。圆不是圆面。 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆．以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”. 同圆/等圆/同心圆 圆心相同，半径相同——同圆 圆心相同，半径不同——同心圆 半径相同——等圆 等圆 同心圆 · C O A B 弦/弧/弦心距 1.连接圆上任意两点的线段（如AC）叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。直径是同一圆中最长的弦，是半径的2倍。 2.圆心到弦的距离叫做弦心距。 · C O A B 证：连接OC, 在△AOC中，根据三角形三边关系有AO+OC>AC, 又∵AB=2OA,AO=OC, ∴AB>AC. 弦/弧/弦心距 求证：直径是同一圆中最长的弦 弦/弧/弦心距 · C O A B D 5.在一个圆中，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的叫做劣弧。 比如 是劣弧， 是优弧。 例1 判断正误 半圆是弧； 半径相等的两个圆是等圆； 过圆心的线段是直径； 两个端点能够重合的弧是等弧； 圆的任意一条弦把圆分成优弧和劣弧两部分； 长度相等的弧是等弧； 半圆所对的弦是直径； 两个劣弧的和是半圆； 圆的半径R，则弦长的取值范围是0<弦长≤2R. √ × √ × × × √ × √ 圆周角和圆心角 · C O A B 顶点在圆心上的角叫做圆心角； 顶点在圆上，两条边都和圆相交的角是圆周角。 点与圆的位置关系 点与圆的位置关系有3种： 点在圆内 点在圆上 点在圆外 点与圆的位置关系 若将圆心到点的距离记作d，半径记作r.d和r的关系是什么？反过来呢？ 点在圆内 点在圆上 点在圆外 d<r d=r d>r 点与圆的位置关系 若将圆心到点的距离记作d，半径记作r.d和r的关系是什么？反过来呢？ 点在圆内 点在圆上 点在圆外 d<r d=r d>r 点与圆的位置关系 若将圆心到点的距离记作d，半径记作r.d和r的关系是什么？反过来呢？ 点在圆内 点在圆上 点在圆外 d<r d=r d>r 由此可知： 点在圆内 点在圆上 点在圆外 d<r d=r d>r 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对应的弧 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对应的弧. 推论2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦。 在圆中，对于某一条直线“经过圆心”、 “垂直于弦”、“平分弦”、 “平分弦所对的优弧”、“平分弦所对的劣弧”，这五组关系，可以“知二推三”。 例2-1 如图，AB为⊙O的直径，E是 的中点，OE交BC于点D，BD=3，AB=10，则AC=______ 8 例2-2 半圆形纸片的半径为1cm，用如图所示的方法将纸片对折，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则折痕CD的长为_____cm. 例3 已知在圆O中，半径r=5，AB、CD是两条平行弦，且AB=8，CD=6，求AC的长。 平行弦所夹弧长相等 例4 如图，在圆O中有折线OABC，其中OA=8，AB=12，∠A=∠B=60°，则BC的长为______. 12 例5 如图，在圆O中有折线OABC，其中OA=8，AB=12，∠A=∠B=60°，则BC的长为______. 20 圆周角 一、弧、弦、弦心距、圆心角的关系 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等。 推论：在同圆或等圆中， 其中有一组量相等，则另外几 组分别相等 1.两个圆心角 2.两个弦心距 3.两条弧 4.两条弦 圆周角 举例： 如图， 若∠AOB=∠COD，则AB=CD, 若AB=CD,则∠AOB=∠COD， 若 ，则∠AOB=∠COD，AB=CD 圆周角 二、圆周角定理 1.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。 推论 1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。 推论 2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 圆周角 二、圆周角定理 1.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。 推论 1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。 推论 2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 O C B A O C A B A O C B D P 圆周角 O C B A 圆周角 2.圆内接多边形： 如果一个多边形的所有顶点都在同一圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做多边形的外接圆。 圆内接四边形的对角互补。 有一些同学正在做投壶游戏，他们呈“一”字形排开，这样的游戏对每个人来说公平吗？ 有一些同学正在做投壶游戏，他们呈“一”字形排开，这样的游戏对每个人来说公平吗？ 不公平 每个同学到壶的距离不是都相等的。 思考：这些同学站成一个什么队形才能使得游戏公平呢？ 在投壶游戏中，我们可以这样画圆： 一、圆的相关概念 O A 圆的描述性定义： 在一个平面内，_______ 绕着它固定的一个_______旋转____，另一个_______所形成的图形叫做圆. 线段OA 端点O 一周 端点A 活动：在草稿纸上用圆规画出一个圆 思考： “固定点”——圆心 “固定长”——半径 （2）在你所画的圆上任意找几个点，量一量这些点到圆心的距离，你有什么发现？ 圆上各点到定点（圆心）的距离都等于定长 B C （3）平面内，到定点O距离等于定长的所有点在同一个圆上吗？由此你能描述圆的另一个定义吗？ （1）确定一个圆需要哪些要素？ 一、圆的相关概念 O D 圆的集合性定义： 平面上到_______ 的距离等于_______的_______组成的图形， 定点 定长 所有点 定点就是______， 定长就是______. 圆心 半径 以点O为圆心的圆记作______ ,读作______. 连接圆上任意两点的线段叫做______， 弦 A B 如弦AB； 这样的弦有_________条； 无数 弦的定义： 经过圆心的弦叫做______， C 直径 如CD； 注意：弦_____是直径,直径_____是弦. 直径是_________的弦；______最短的弦 最长 不一定 一定 没有 一、圆的相关概念 O D A B C 弧的定义： 圆上任意两点间的部分叫做______，简称_____ 圆弧 弧 如：以A、B 为端点的弧记作____ ，读作_______或______ ( AB 圆弧AB 弧AB 圆的任意一条直径的两个端点分圆成___条弧， 两 每一条弧都叫做______. 半圆 大于半圆的弧叫做_____， 小于半圆的弧叫做_____. 优弧 劣弧 如：以A、D 为端点的弧有___条,________(记作____ )，________(记作_____或______） 两 优弧ACD ( ACD 劣弧ABD ( AD ( ABD 注意：（1）半圆是___，但弧不一定是_____. （2）半圆既不是_____，也不是_____. 弧 半圆 优弧 劣弧 针对练习 C 弦 2.如图，AB是 的直径，则图中的弦 有____条，分别是___________; 劣弧有____条，分别是_________________. 并说出其中的一条优弧______ 2 弦AB,弦CD 5 AC， ( CD， ( BD， ( AD， ( BC ( CAB... ( 一、圆的相关概念 新课讲授 等圆的定义： 能够_____的两个圆叫做______. 重合 等圆 在_____或______中，能够互相_____的弧叫做______. 同圆 等圆 等弧 （半径相等的圆） 想一想： 长度相等的弧就是等弧吗？ _____相等的圆才有等弧. 重合 半径 二、点与圆的位置关系 新课讲授 观看视频片段，思考：师徒三人站在哪里是安全的？ 二、点与圆的位置关系 新课讲授 探究1：把避魔圈抽象成一个圆，师徒三人抽象成三个点. O .A .B .C 这三个点与圆有怎样的位置关系？ 点与圆的位置关系 总结： 点在圆外 点在圆上 点在圆内 二、点与圆的位置关系 新课讲授 探究2： 是一个半径为r的圆，将点到圆心的距离记为d, 探究点与圆的位置关系以及d与r的数量关系有什么联系？ O .A .B .C 发现： d>r d=r 点在圆外 点在圆上 点在圆内 d<r 位置关系 数量关系 数形结合思想 二、点与圆的位置关系 基础练习 1.已知 的面积为 . (1)若PO=5.5，则点P在______ . (2)若PO=4，则点P在______ . (3)若PO=____，则点P在 上 . 圆外 圆内 5 由数量关系确定位置关系 2.已知点P在半径为r的 内，且OP=3，则r的值可能为（ ）. . A.1 B.2 C.3 D.4 D 由位置关系确定数量关系 二、点与圆的位置关系 素养提升 1. 2. 平面内，一个点到圆上的点的最短距离是3,最长 距离是7,则圆的半径是_________ 设P为 外一点，若点P到 上的点的最短距离为3，最长距离为7，则圆的半径是____ 2 2或5 .P 点在圆外 点在圆内或圆外 .P 课堂小结 圆 课后作业 1.如图,在 中， =90°,AB=10,BC=8,CD AB于D. 以C为圆心、6为半径作圆C,试计算判断点A,B,D与 的位置关系. 课后作业 2.设AB=3cm,画图说明满足下列要求的图形. (1)到点A和点B的距离都等于2cm的所有点组成的图形. (2)到点A和点B的距离都小于2cm的所有点组成的图形. 结束语 祝同学们在往后的学习生涯中，能以梦想为圆心，行动为半径，画出一个美丽的圆！ Lavf60.16.100 Lavf58.76.100 Lavf60.16.100 $$