离心率问题 专项训练-2025届高三数学二轮复习

离心率问题专项训练 离心率问题专项训练 考点一 直接求、、，进而求离心率 1．（24-25高三上·福建·开学考试）已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】双曲线的渐近线方程为，依题意，， 所以双曲线的离心率. 故选：B 2．（24-25高三上·广东茂名·阶段练习）已知椭圆C：的一个焦点为F，C上不与F共线的两点A，B满足周长的最大值为12，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设椭圆的另一个焦点为,根据椭圆的定义， 周长为,即， 当三点共线时，周长取最大值，此时,所以， 解得，又已知，根据可得， 离心率. 故选：D 3．（2024·甘肃白银·一模）椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由椭圆， 可得：， 所以离心率为. 故选：C 4．（24-25高三上·广东·阶段练习）已知双曲线 的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可知，,则 的离心率 . 故选：A. 5．（2024·浙江杭州·一模）已知直线是双曲线的一条渐近线，则的离心率等于（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【详解】的渐近线方程为， 因此，故， 故离心率为， 故选：A 6．（24-25高三上·河南·阶段练习·多选）古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的面积为，则该椭圆的离心率可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】根据题意有： 由“逼近法”原理可知， 又因为，所以或或或或或， 当或时，椭圆离心率； 当或时，椭圆离心率； 当或时，椭圆离心率. 故选：ABD. 7．（24-25高三上·贵州黔东南·开学考试·多选）已知，椭圆：，：的离心率分别为，.若，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】若，则，，则， 解得. 若，则，，则， 解得或（舍去）. 若，则，，，方程无解. 故选：AB. 8．（24-25高三上·广西·期末）若双曲线：与双曲线：的焦距相等，则的离心率为 . 【答案】2 【详解】由题设，可得，则， 所以，即离心率为2. 故答案为：2 考点二 构造关于、的齐次方程，进而求离心率 1．（24-25高三上·陕西咸阳·阶段练习）已知椭圆的左焦点为，右顶点为，上顶点为，若为等腰三角形，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】不妨设椭圆的长轴、短轴、焦距分别为、、， 则，且根据椭圆的性质易知、、， 所以，，，则，， 显然若为等腰三角形，则只能有， 即，等式两边同时除以可得， 即，因为，解得. 故选：B. 2．（24-25高三上·山东泰安·期末）设双曲线C：的左、右焦点分别为，，左、右顶点为，，P为双曲线一条渐近线上一点，若.则双曲线C的离心率（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题双曲线一条渐近线为，不妨设在该渐近线上， 则可得， 由得，故， 所以，所以， 所以或，由对称性不妨设即， 因为即，所以， 所以，所以. 故选：A. 3．（24-25高三上·吉林长春·阶段练习）已知是椭圆的左、右焦点，是上一点.过点作直线的垂线，过点作直线的垂线.若的交点在上(均在轴上方)，且，则的离心率为(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】    如图，设，，， 由题意可知，， 则直线的斜率，可知直线的方程为， 同理可得的方程为， 联立方程，解得，即， 因为在上，可知关于轴对称，且， 则，可得， 又因为，即， 所以，整理得， 解得或(舍去)，则， 所以椭圆的离心率为. 故选：A. 4．（2024·四川德阳·一模）设为双曲线的左右焦点，O为坐标原点，P为的一条渐近线上一点，且，若，则的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【详解】依题意，不妨设点在第二象限，如图， 因为，所以， 则，故， 所以， 又，双曲线的渐近线方程为， 所以在中，， 即，故， 所以双曲线的离心率为. 故选：B. 5．（24-25高三上·福建福州·阶段练习）已知椭圆的左右焦点分别为，，过的直线交椭圆C于A，B两点，若，点M满足，且，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由椭圆定义可知，由，故，， 点满足，即，则， 又，， 即，又， 故，则，即， 即平分，又，故， 则，则， ， ， 由， 故，即， 即，即，故. 故选：B. 6．（24-25高三上·山东·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，若上存在一点，使得，则的离心率 ． 【答案】 【详解】由题意作图如下：    设，在中，， 易知边上的高， 则该三角形面积，解得， 由，则， 在中，由余弦定理可得， 整理可得，则， 代入可得， 可得，解得， 由，且，则. 故答案为：. 7．（24-25高三上·湖南长沙·期末）已知双曲线的左焦点为，过坐标原点的直线与交于两点，且，，则的离心率为 ． 【答案】 【详解】记C的右焦点为，连接，，如图所示. 过坐标原点O的直线与C交于A，B两点， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为，， 所以，. 因为，所以. 在中，由余弦定理可得， 因为，所以， 即，即C的离心率为. 故答案为：. 8．（2024·北京·模拟预测）设双曲线（）的右顶点为F，且F是抛物线的焦点．过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，满足，若点A也在双曲线C上，则双曲线C的离心率为 ． 【答案】/ 【详解】抛物线的焦点，直线不垂直于轴，设其方程为， 由消去得：，设，则， 由，得，由对称性不妨令点在第一象限，解得，， 由点在双曲线上得，，又，解得， 所以双曲线C的离心率. 故答案为：    9．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上且，的平行线OQ与的角平分线交于Q，，则椭圆C的离心率为 . 【答案】 【详解】设的角平分线交轴于点,延长与交于,则为中点, ， 即 在中,由余弦定理得 即 又结合椭圆中,整理得 所以椭圆的离心率为 故答案为：. 10．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）我们可以通过将平面直角坐标三角换元得到平面内一点绕坐标原点O的坐标旋转公式：如图，平面直角坐标系中，已知点，设，角始边在x轴非负半轴，终边与重合，则可得，将绕坐标原点O逆时针旋转后，P点旋转到. (1)求证：； (2)已知曲线C是函数的图象，它是某双曲线绕原点O逆时针旋转后得到的，求C的离心率； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）经过逆时针旋转到后，角终边与重合， 所以， ，得证. （2）法一：直接求离心率（抓住离心率与渐近线夹角即双曲线开口宽阔程度相关的本质） 易知曲线C的渐近线是与y轴，它们夹角为，顺时针旋转回去后两渐近线夹角仍为， 设曲线C的离心率为e，则. 法二：先求双曲线标准方程，再求离心率（轨迹思想，旋转不改变形状） 设曲线C上一点为，逆时针旋转后的点在的图象上， 由（1）知：，若将以上坐标代入 得，即， 化简即得曲线C的方程：， 由于旋转不改变形状，所以曲线C的离心率为. 考点三 求离心率的最值或范围 1．（24-25高三上·江苏南京·阶段练习）已知点为椭圆的上顶点，点，在椭圆上，满足且，若满足条件的有且只有一个，则的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题知直线斜率存在，且不等于0，所以设直线， 则，且，不妨取， 直线与椭圆方程联立，消去得， 解得， 所以，则. 因为，所以， 整理得， 易知符合. 因为满足条件的有且只有一个， 所以无之外的解，整理得， 所以，即， 所以离心率. 故选：B 2．（24-25高三上·河南郑州·阶段练习）双曲线的右顶点为在轴上，若上存在一点（异于点）使得，则的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，因为， 则点的轨迹方程为以为直径的圆， 又中点为，， 所以点的轨迹方程为． 联立，得， 分解因式可得， 解得（舍去），，由题意知点在双曲线的右支上，即， 故，化简得，因为，所以. 故选：D． 3．（24-25高三上·吉林四平·期末）已知双曲线的上、下焦点分别为、，是的上支上的一点（不在轴上），与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设该内切圆在、上的切点分别为、， 由切线长定理可得，，， 又，，则， 即，解得， 由，即，得，所以． 故选：A. 4．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上，从①的周长为，且轴时，；②，其中这两个条件中选择一个作为已知条件，则椭圆的离心率的取值范围是 ． 【答案】 【详解】若选择条件①：因为的周长为，所以，即． 因为轴时，， 令得，即，解得． 又，所以， 故椭圆的离心率的取值范围是． 若选择条件②：因为，且， 所以，即， 两边同除以得，解得． 又，所以， 故椭圆的离心率的取值范围是． 故答案为：. 5．（24-25高三上·山东济南·阶段练习）已知直线与椭圆：交于两点，线段的中点为，则的离心率的取值范围为 ． 【答案】 【详解】设，， 则，所以， 故， 由题意可得，， 故，又， 所以，即， 因为，所以，所以的离心率， 又，所以的离心率的取值范围为， 故答案为： 6．（24-25高三上·广东湛江·期中）已知双曲线的焦距为，直线与的交点为，若点到的左焦点的距离不小于点到的右焦点的距离的5倍，则C的离心率最大值为 . 【答案】 【详解】记的左焦点和右焦点分别为，，因为直线过点，所以①， ②，联立①②，解得 ，，故， 解得，则的离心率的最大值为. 故答案为：. 7．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）已知椭圆C：1（）的左、右焦点分别为，，若椭圆C上存在一点P，使得的内切圆的半径为，则椭圆C的离心率的取值范围是 . 【答案】 【详解】令点的纵坐标为，则，的周长， 依题意，，解得， 因此，即，而，则， 解得，即，所以椭圆C的离心率的取值范围是. 故答案为： 8．（24-25高三上·黑龙江·期末）已知椭圆和双曲线的对称中心均为坐标原点，左、右焦点均为，，与在第一象限有交点，若，则与的离心率之差的取值范围是 . 【答案】 【详解】不妨设椭圆：，双曲线：， 与的离心率分别为，， 由椭圆的定义，有：，由，故， 由双曲线的定义，有：，故， 因此，两边同时除以，有，故， 由于，故， 所以， 不妨令，， 所以原式等于，在时，单调递减，故. 故答案为：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$离心率问题专项训练 离心率问题专项训练 考点一 直接求、、，进而求离心率 1．（24-25高三上·福建·开学考试）已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·广东茂名·阶段练习）已知椭圆C：的一个焦点为F，C上不与F共线的两点A，B满足周长的最大值为12，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 3．（2024·甘肃白银·一模）椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·广东·阶段练习）已知双曲线 的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·浙江杭州·一模）已知直线是双曲线的一条渐近线，则的离心率等于（    ） A． B． C． D．或 6．（24-25高三上·河南·阶段练习·多选）古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的面积为，则该椭圆的离心率可能为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·贵州黔东南·开学考试·多选）已知，椭圆：，：的离心率分别为，.若，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·广西·期末）若双曲线：与双曲线：的焦距相等，则的离心率为 . 考点二 构造关于、的齐次方程，进而求离心率 1．（24-25高三上·陕西咸阳·阶段练习）已知椭圆的左焦点为，右顶点为，上顶点为，若为等腰三角形，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·山东泰安·期末）设双曲线C：的左、右焦点分别为，，左、右顶点为，，P为双曲线一条渐近线上一点，若.则双曲线C的离心率（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·吉林长春·阶段练习）已知是椭圆的左、右焦点，是上一点.过点作直线的垂线，过点作直线的垂线.若的交点在上(均在轴上方)，且，则的离心率为(   ) A． B． C． D． 4．（2024·四川德阳·一模）设为双曲线的左右焦点，O为坐标原点，P为的一条渐近线上一点，且，若，则的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 5．（24-25高三上·福建福州·阶段练习）已知椭圆的左右焦点分别为，，过的直线交椭圆C于A，B两点，若，点M满足，且，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·山东·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，若上存在一点，使得，则的离心率 ． 7．（24-25高三上·湖南长沙·期末）已知双曲线的左焦点为，过坐标原点的直线与交于两点，且，，则的离心率为 ． 8．（2024·北京·模拟预测）设双曲线（）的右顶点为F，且F是抛物线的焦点．过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，满足，若点A也在双曲线C上，则双曲线C的离心率为 ． 9．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上且，的平行线OQ与的角平分线交于Q，，则椭圆C的离心率为 . 10．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）我们可以通过将平面直角坐标三角换元得到平面内一点绕坐标原点O的坐标旋转公式：如图，平面直角坐标系中，已知点，设，角始边在x轴非负半轴，终边与重合，则可得，将绕坐标原点O逆时针旋转后，P点旋转到. (1)求证：； (2)已知曲线C是函数的图象，它是某双曲线绕原点O逆时针旋转后得到的，求C的离心率； 考点三 求离心率的最值或范围 1．（24-25高三上·江苏南京·阶段练习）已知点为椭圆的上顶点，点，在椭圆上，满足且，若满足条件的有且只有一个，则的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·河南郑州·阶段练习）双曲线的右顶点为在轴上，若上存在一点（异于点）使得，则的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·吉林四平·期末）已知双曲线的上、下焦点分别为、，是的上支上的一点（不在轴上），与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上，从①的周长为，且轴时，；②，其中这两个条件中选择一个作为已知条件，则椭圆的离心率的取值范围是 ． 5．（24-25高三上·山东济南·阶段练习）已知直线与椭圆：交于两点，线段的中点为，则的离心率的取值范围为 ． 6．（24-25高三上·广东湛江·期中）已知双曲线的焦距为，直线与的交点为，若点到的左焦点的距离不小于点到的右焦点的距离的5倍，则C的离心率最大值为 . 7．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）已知椭圆C：1（）的左、右焦点分别为，，若椭圆C上存在一点P，使得的内切圆的半径为，则椭圆C的离心率的取值范围是 . 8．（24-25高三上·黑龙江·期末）已知椭圆和双曲线的对称中心均为坐标原点，左、右焦点均为，，与在第一象限有交点，若，则与的离心率之差的取值范围是 . 2 学科网（北京）股份有限公司 $$