3.2.2奇偶性 课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.2.2 函数的奇偶性 第三章 函数的概念与性质 人教A版高中数学必修第一册 新课导入 课堂小结 例题讲解 新课讲授 函数的性质 单调性 奇偶性 概念 判断证明 应用 ? ? ? 轴对称 中心对称 轴对称 中心对称 问题1：剪纸是中国传统民间艺术，图案漂亮却很复杂。下图展示了几张剪纸，你感受到了什么美？这种美对应数学中的何种关系？ 新课导入 课堂小结 例题讲解 新课讲授 这两个函数的图象都关于y轴对称 问题2：画出并观察函数和的图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？ 新课导入 课堂小结 例题讲解 新课讲授 问题3：类比函数单调性，你能用符号语言精确地描述“函数图象关于y轴对称”这一特征吗？ x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … … … … … 任意，都有 0 -1 2 1 0 1 -1 4 9 0 1 4 1 9 新课导入 课堂小结 例题讲解 新课讲授 可以发现，当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等. 例如，对于函数，有 ； ； . ， 任意，都有 证明：任意的，有， 且 ， 任意，都有 证明：任意的，有， 且 新课导入 课堂小结 例题讲解 新课讲授 我们称函数和为偶函数. 偶函数的定义：一般地，设函数的定义域为D，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数. 抽象概括 新课导入 课堂小结 例题讲解 新课讲授 这两个函数的图象都关于原点中心对称 问题4：观察函数和的图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？ 新课导入 课堂小结 例题讲解 新课讲授 可以发现，当自变量x取一对相反数时，相应的两个函数值也是一对相反数. 例如，对于函数，有 ； ； . 任意，都有 问题5：你能用符号语言精确地描述“函数图象关于原点中心对称”这一特征吗？ 新课导入 课堂小结 例题讲解 新课讲授 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … … … … … 不存在 任意，都有 任意，都有 ， 证明：任意的，有， 且 ， 证明：任意的，有， 且 新课导入 课堂小结 例题讲解 新课讲授 我们称函数和为奇函数. 奇函数的定义：一般地，设函数的定义域为D，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数. 问题6：类比偶函数的定义，你能给出奇函数的定义吗? 新课导入 课堂小结 例题讲解 新课讲授 例1 判断下列函数的奇偶性： （1）； （2）； （3）； （4）； 新课导入 课堂小结 例题讲解 新课讲授 追问：如果将例1（1）中函数的定义域由R改为，该函数是否为偶函数？ 偶函数的定义域要关于原点对称，如，. 新课导入 课堂小结 例题讲解 新课讲授 方法小结 判断（证明）函数奇偶性的方法 函数 奇偶性 确定 定义域 定义域 关于原点对称 否 既不是奇函数也不是偶函数 是 计算 确定与的关系 结论 偶函数 图象关于y轴对称 图象关于原点对称 奇函数 定义法 图象法 数 形 新课导入 课堂小结 例题讲解 新课讲授 例2 （1）判断函数的奇偶性. （2）如图是函数图象的一部分，如何画出函数在整个定义域上的图象? 新课导入 课堂小结 例题讲解 新课讲授 例2 （1）判断函数的奇偶性. （2）如图是函数图象的一部分，如何画出函数在整个定义域上的图象? 解：（1）对于函数，定义域为R， 对任意，都有， 且， 所以函数是奇函数. 新课导入 课堂小结 例题讲解 新课讲授 例2 （1）判断函数的奇偶性. （2）如图是函数图象的一部分，如何画出函数在整个定义域上的图象? 新课导入 课堂小结 例题讲解 新课讲授 例3 已知函数是定义域为R的奇函数，当时，，画出函数的图象，并求出函数的解析式. 解：当时，， 由于时，，所以 又因为函数是定义域为R的奇函数 所以 则 故 函数图象为 新课导入 课堂小结 例题讲解 新课讲授 在研究函数时，如果知道它是奇函数或偶函数，就可以先研究它在非负区间上的性质，然后再利用对称性便可知它在非正区间上的性质，从而减少工作量. 方法小结 新课导入 课堂小结 例题讲解 新课讲授 偶函数 奇函数 定义 定义域 代数特征 几何特征 一般地，设函数的定义域为D，如果，都有 ，且，那么函数就叫做偶函数. 一般地，设函数的定义域为D，如果，都有 ，且，那么函数就叫做奇函数. 关于原点对称 图象关于原点对称 图象关于y轴对称 新课导入 课堂小结 例题讲解 新课讲授 新课导入 课堂小结 例题讲解 新课讲授 奇偶性 定义 应用 归纳、类比思想 数形结合思想 判断证明 定义法 图象法 谢谢 $$