5.1二次函数同步练习 2024-2025学年苏科版数学九年级下册

5.1二次函数 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，2），在x轴上任取一点M，完成以下作图步骤： ①连接AM．作线段AM的垂直平分线l1，过点M作x轴的垂线l2，记l1，l2的交点为P； ②在x轴上多次改变点M的位置，用①的方法得到相应的点P，把这些点用平滑的曲线顺次连接起来，得到的曲线是（ ）    A．直线 B．抛物线 C．双曲线 D．双曲线的一支 2．在下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（　　） A． B． C．y=x2 D．y=k2x（k为常数） 3．已知二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1图象经过原点，则a的取值为（　　） A．a＝±1 B．a＝1 C．a＝﹣1 D．无法确定 4．若是二次函数，则（    ） A． B． C． D． 5．下列函数是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 6．把元的电器连续两次降价后的价格为元，若平均每次降价的百分率是，则与的函数关系式为(        ) A．y=320(x-1) B．y=320(1-x) C．y=160(1-x2) D．y=160(1-x) 2 7．下列函数中，y是x的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 8．已知正方形，设，则正方形的面积与之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 9．下列说法中，错误的是（ ） A．二次函数的图象是开口向上的抛物线 B．二次函数的图象必在轴上方 C．二次函数图象的对称轴是轴或与轴平行的直线 D．二次函数图象的顶点必在图象的对称轴上 10．已知两个变量与之间的三组对应值如表，则与之间的函数解析式可能是（   ） 2 3 A． B． C． D． 11．下列函数关系中，是的二次函数的是 （    ） A． B． C． D． 12．下列关于的函数中，一定是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 13．如果函数是二次函数，则m的取值范围是 14．若是关于自变量x的二次函数，则 ． 15．如果函数是二次函数，那么m的值为 ． 16．若函数是关于x的二次函数，则 ． 17．已知函数y＝（2﹣k）x2+kx+1是二次函数，则k满足 ． 三、解答题 18．当为何值时，函数是二次函数． 19．若是二次函数，求这个函数解析式． 20．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，点P是AB边上一个动点，过点P作AB的垂线交AC边与点D，以PD为边作∠DPE=60°，PE交BC边与点E. （1）当点D为AC边的中点时，求BE的长； （2）当PD=PE时，求AP的长； （3）设AP 的长为，四边形CDPE的面积为，请直接写出与的函数解析式及自变量的取值范围. 21．当系数a，b，c满足什么条件时，函数y=ax2+bx+c是二次函数？是一次函数？是正比例函数？ 22．若函数y=（a-1）xb+1+x2+1是二次函数，试讨论a、b的取值范围. 23．已知函数 （为常数）． (1)求当为何值时是的二次函数？ (2)在（）的条件下，点在此函数图象上，求的值． 24．已知是关于的二次函数，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 《5.1二次函数》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C D D D C D B D 题号 11 12 答案 A B 1．B 【分析】首先根据作图步骤作图，再由所画出的图形，即可判定． 【详解】解：根据作图步骤作图，如图所示． 由此图可得出该曲线为抛物线． 故选：B．    【点睛】本题考查了基本作图，函数的图像，熟悉二次函数的图像特征是解答本题的关键． 2．C 【详解】试题分析：根据二次函数定义：形如y=ax2+bx+c的函数叫做二次函数，其中a、b、c都是常数且a≠0，即可进行判断. 解：A. 的右侧不是整式，故错误； B. 化简后最高次是1次，属于一次函数，故错误；   C. y=x2 满足二次函数的定义，故正确； D. y=k2x（k为常数），当时，不是函数，故错误. 故选C. 3．C 【分析】将（0，0）代入y＝（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1 即可得出a的值． 【详解】解：∵二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1 的图象经过原点， ∴a2﹣1＝0， ∴a＝±1， ∵a﹣1≠0， ∴a≠1， ∴a的值为﹣1． 故选：C 【点睛】本题考查了二次函数，二次函数图像上的点满足二次函数解析式，熟练掌握这一点是解题的关键，同时解题过程中要注意二次项系数不为0． 4．D 【分析】根据二次函数的定义可直接进行求解． 【详解】解：由是二次函数，则有： ，解得：， 故选D． 【点睛】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 5．D 【分析】本题考查二次函数的识别．掌握相关定义即可．二次函数的基本表示形式为．二次函数最高次必须为二次． 【详解】解：A：最高次项为一次，不符合题意； B：当时，不是二次函数，不符合题意； C：不是整式，不符合题意； D：满足二次函数的定义，符合题意； 故选：D． 6．D 【分析】由原价160元可以得到第一次降价后的价格是160(1-x)，第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的，为160(1-x)(1-x)，由此即可得到函数关系式. 【详解】解：第一次降价后的价格是160(1-x)， 第二次降价为160(1-x)×(1-x)=160(1-x)2， 则y与x的函数关系式为y=160(1-x)2. 故选D. 【点睛】本题考查从实际问题中得出二次函数解析式，需注意第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的，所以会出现自变量的二次，即关于x的二次函数. 7．C 【分析】本题考查了二次函数的定义等知识点，根据二次函数的定义即可求出答案，熟练掌握二次函数的定义是解决此题的关键． 【详解】A、是一次函数，故A不是二次函数，不符合题意； B、是反比例函数，故B不是二次函数，不符合题意； C、是二次函数，故C是二次函数，符合题意； D、，不是二次函数，故D不是二次函数，不符合题意． 故选：C． 8．D 【分析】本题考查了列二次函数关系式．根据正方形的面积=边长边长即可求得． 【详解】解：由正方形面积公式得：． 故选：D． 9．B 【分析】A选项为二次函数图像与系数的关系，B选项为抛物线与x轴的交点，C选项为抛物线的对称轴，D选项为抛物线的定点坐标，根据二次函数的各项性质对比进行判断. 【详解】A选项， a为正时则抛物线开口向上，正确； B选项，二次函数的△=-4a，由于只知a≠0，故△＞0或△＜0，当△＞0时抛物线一定与x轴有两个交点，错误； C选项，二次函数图像为轴对称图形，其对称轴是，正确； D选项，二次函数的顶点坐标为（，），其顶点坐标必在图像的对称轴上，正确； 故选择B. 【点睛】二次函数图像和其解析式是对应关系，牢记图像性质和参数的对应关系是解决此类题目的关键点. 10．D 【分析】把表格中的数据代入判断即可． 【详解】解：．将表格对应数据代入，不全符合方程，故不符合题意； ．将表格对应数据代入，不全符合方程，故不符合题意； ．将表格对应数据代入，不符合方程，故不符合题意； ．将表格对应数据代入，符合方程，故符合题意． 故选：． 【点睛】此题主要考查了求函数关系式，本题是开放性题目，需要找出题目中的两未知数的对应变化规律是解题关键．． 11．A 【分析】本题考查了二次函数的定义，形如（为常数，）的函数叫做二次函数，由此判断即可，熟知二次函数的定义是解题的关键． 【详解】解：、是二次函数，故此选项符合题意； 、不是二次函数，故此选项不符合题意； 、是一次函数，故此选项不符合题意； 、是反比例函数，故此选项不符合题意； 故选：． 12．B 【分析】本题考查了二次函数的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数的定义，从而完成求解．根据二次函数的定义，对各个选项逐个分析，即可得到答案． 【详解】解：当时，不是二次函数，故选项A错误； ，是二次函数，故选项B正确； 不是二次函数，故选项C错误； 不是二次函数，故选项D错误； 故选：B． 13． 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．根据二次函数的定义：形如，，为常数且，可得且，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： 且， 且， ， 故答案为： 14．2 【分析】根据二次函数的定义条件列出方程与不等式求解即可． 【详解】根据二次函数的定义，得：m2﹣2=2，解得：m=2或m=﹣2． 又∵m+2≠0，∴m≠﹣2，∴当m=2时，这个函数是二次函数． 故答案为2． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，利用二次函数的定义是解题的关键，注意二次项的系数不等于零． 15． 【分析】本题主要考查了二次函数的定义．根据形如“，其中a，b，c是常数的函数，称为y关于x的二次函数”，即可求解． 【详解】解：∵是二次函数， ∴，且， 解得：． 故答案为： 16．-3 【分析】判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． 【详解】∵是关于x的二次函数， ∴ ∴ 解得：k=−3. 故答案为−3. 【点睛】考查二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键. 17．k≠2 【分析】利用二次函数定义可得2﹣k≠0，再解不等式即可． 【详解】解：由题意得：2﹣k≠0， 解得：k≠2， 故答案为：k≠2． 【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，准确分析计算是解题的关键． 18． 【分析】根据二次函数的定义，即可求解． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴且， 解得：， 即当为时，函数是二次函数． 【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握形如的函数关系是解题的关键． 19． 【分析】本题考查二次函数的定义．一般地，我们把形如（其中，，是常数，的函数叫做二次函数．根据二次函数的定义得：且，由此即可求出的值即可得答案． 【详解】解：根据二次函数的定义得：且， 由解得：，由解得：， ． 这个函数解析式是． 20．（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据含有30°角的直角三角形的性质和勾股定理求出的长，从而求出BP的长，然后求出BE的长； （2）设AP= ，则BP=4—，根据含有30°角的直角三角形的性质和勾股定理求出PD和PE的长，再根据PD=PE列出方程即可. （3）分别用AP表示PD、PE、BE,再根据即可求出. 【详解】 （1）在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4， ∵点D为AC边的中点 , ∵∠DPE=60°，过点P作AB的垂线交AC边与点D， ∴∠EPB=30°，∴EB （2）设AP= ，则BP=4—，在两个含有30°的中得出： AD=2DP，BP=2BE，由勾股定理解得：， ∵PD=PE，∴解得 即有AP= （3）由（2）知：AP= ， 【点睛】本题主要考查了含有30°角的直角三角形的性质和勾股定理，以及二次函数，熟练掌握相关知识是解题的关键. 21．a≠0，b和c为任意常数时是二次函数； a=0，b≠0，c为任意常数时是一次函数； a=0，b≠0，c=0时是正比例函数． 【分析】根据二次函数和一次函数、正比例函数定义进行解答即可． 【详解】解：函数y=ax2+bx+c中当a≠0，b和c为任意常数时该函数是二次函数， 当a=0，b≠0，c为任意常数时该函数是一次函数； 当a=0，b≠0，c=0时该函数是正比例函数． 【点睛】此题主要考查了二次函数和一次函数、正比例函数定义，熟练掌握三种函数定义是解题的关键． 22．①a≠0；②b=0或-1，a取全体实数③当a=1，b为全体实数时，y=x2+1是二次函数 【详解】试题分析：根据二次函数的二次项的次数是2，二次项的系数不等于零，列出相应的不等式和方程，分类讨论，求解即可. 试题解析：①b+1=2， 解得b=1， a-1+1≠0， 解得a≠0； ②b+1≠2，则b≠1， ∴b=0或-1， a取全体实数． ③当a=1，b为全体实数时，y=x2+1是二次函数． 23．(1)； (2) 【分析】（）根据二次函数的定义即可求解； （）根据（）得出二次函数的解析式，再把点代入计算即可求解； 本题考查了二次函数的定义，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，且， 解得， ∴当时是的二次函数； （2）解：∵， ∴， ∵点在此函数图象上， ∴． 24． 【分析】本题主要考查二次函数的概念，因式分解求一元二次方程的解，根据题意可得，，，因式分解求值即可． 【详解】解：已知是关于的二次函数， ∴，， 解得：，， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$