精品解析：福建省龙岩市漳平第一中学2024-2025学年高一上学期第二次月考数学试卷

漳平一中2024-2025学年第一学期第二次月考 高一数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数的图象过定点（ ） A. B. C. D. 4. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 6. 砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气.如图，一扇环形砖雕，可视为将扇形截去同心扇形所得图形，已知，，则该扇环形砖雕的面积为（ ）. A. B. C. D. 7. 已知函数，则“”是“函数是偶函数”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 定义区间的长度均为，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如，的长度.用表示不超过x的最大整数，记，其中.设，当时，不等式解集的区间长度为，则实数的最小值为（ ） A. B. C. 6 D. 7 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 下列说法正确的是（ ） A. 与角的终边相同 B. 若的终边经过，，则 C. 若，则 D. 若为第三象限角，则点在第二象限 10. 已知定义在上的函数满足，且当时，恒有，则（ ） A. 是奇函数 B. 在单调递减 C. 的对称轴为 D. 不等式的解集为 11. 已知函数若函数有四个零点，从小到大依次为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最小值为4 C. D. 方程最多有10个不同的实根 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 集合，，若，求实数a的取值范围__________. 13. 已知，，则________. 14. 若集合的两个非空子集满足，则称为集合的一组“互斥子集”，与视为同一组互斥子集，则共有互斥子集______组. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）化简求值：； （2）计算. 16. 已知幂函数是奇函数，且在上单调递增. （1）解不等式； （2）若实数满足，求的最小值. 17. 已知，函数是奇函数，. （1）求实数的值； （2）若，使得，求实数的取值范围. 18. 某大学毕业生团队主动创业，计划销售轻食，每个月的店租和水电等成本为2万元，且每销售1份轻食，需再投入成本5元.已知该团队轻食的月销售量为万份，该团队每个月保底能够销售5000份轻食，且当时，月销售收入为万元；当时，月销售收入为万元. （1）求该团队的月销售利润（万元）与月销售量为x（万份）之间的函数解析式； （2）当月销售量为何值时，该团队的月销售利润最小？最小利润为多少万元？ 19. 列奥纳多达芬奇（Leonardo da Vinci，1452-1519）是意大利文艺复兴三杰之一.他曾提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数表达式，其中为悬链线系数，称为双曲余弦函数，其函数表达式为，相反地，双曲正弦函数的函数表达式为. （1）求的值； （2）解不等式：； （3）函数的图象在区间上与轴有2个交点，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 漳平一中2024-2025学年第一学期第二次月考 高一数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由一元二次不等式求出集合，再由交集求结果即可； 【详解】，， 所以， 故选：D. 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由分段函数的性质结合正弦特殊角及指数函数求解即可； 【详解】由分段函数的性质当时，可得， 当时，， 故选：A. 3. 函数的图象过定点（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令即可求解. 【详解】令，可得，此时， 即函数的图象过定点， 故选：B 4. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性可得，而根据角的终边位置可得，故可得三者之间的大小关系. 【详解】，而，故， ，而， 故，故， 故选：C. 5. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求得函数的定义域，然后结合复合函数的单调性求解函数的单调区间即可. 【详解】由可得：或， 函数定义域为， 由二次函数单调性可知：函数在单调递增，在单调递减； 由对数型复合函数单调性可知：的单调递减区间是， 故选：B 6. 砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气.如图，一扇环形砖雕，可视为将扇形截去同心扇形所得图形，已知，，则该扇环形砖雕的面积为（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用扇形的面积公式，即可求得扇环的面积，得到答案. 【详解】由题意知，，，，可得， 可得扇形的面积为，扇形的面积为， 所以该扇环形砖雕的面积为. 故选：C. 7. 已知函数，则“”是“函数是偶函数”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据偶函数的定义计算求参，再根据充分不必要条件定义判断即可. 【详解】当时，，可得，所以是偶函数； 函数，因为是偶函数，所以， 所以，所以，即，不能得出; 故“”是“函数是偶函数”的充分不必要条件. 故选：C. 8. 定义区间的长度均为，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如，的长度.用表示不超过x的最大整数，记，其中.设，当时，不等式解集的区间长度为，则实数的最小值为（ ） A. B. C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】由函数新定义，将不等式转化为，再分的范围进行讨论即可； 【详解】，， 即， 当时，，得：，∴，其区间长度为； 当 时，，得：，∴；当 时，，得：，∴； 当 时，，得：，∴； 当 时，，得：，∴； 当 时，，得：，∴，其区间长度为； 当 时，，得：，∴，其区间长度为； 所以当 时， 不等式的解集为； ∴当时，不等式解集的区间长度为 ， 所以实数的最小值为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是能利用函数新定义将已知不等式转化为，再分的范围逐项讨论即可. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 下列说法正确的是（ ） A. 与角的终边相同 B. 若的终边经过，，则 C. 若，则 D. 若为第三象限角，则点在第二象限 【答案】ACD 【解析】 【分析】由任意角的性质可得A正确；由正弦函数定义可得B错误；同除可得C正确；由第三象限角的正弦，正切值特点可得D正确； 【详解】对于A，，所以与角的终边相同，故A正确； 对于B，若，则，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，因为为第三象限角，所以，所以点在第二象限，故D正确； 故选：ACD. 10. 已知定义在上的函数满足，且当时，恒有，则（ ） A. 是奇函数 B. 在单调递减 C. 的对称轴为 D. 不等式的解集为 【答案】BC 【解析】 【分析】由函数的奇偶性，对称性，单调性可得A错误，B正确，C正确；令，由函数的奇偶性和单调性解抽象函数不等式可得D错误； 【详解】因为定义在上的函数满足，所以关于直线对称， 又当时，恒有，即在上为增函数， 对于A，由图像平移的性质可得关于对称，故A错误； 对于B，由关于直线对称且在上为增函数，则在单调递减；故B正确； 对于C，的对称轴为，故C正确； 对于D，令，则为偶函数，且在上单调递减， 所以， 两边平方可得，即，解得或， 故D错误. 故选：BC. 11. 已知函数若函数有四个零点，从小到大依次为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最小值为4 C. D. 方程最多有10个不同的实根 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意结合图象分析可知：，且，根据指数函数性质结合基本不等式分析判断A；根据对数函数性质结合基本不等式分析判断B；根据题意结合函数单调性分析判断C；令，方程化为，讨论的取值范围，结合图象分析判断D. 【详解】由，得， 函数的零点，即为的图象与直线交点的横坐标， 如图，作出函数的图象. 如图，，且， 对于A，由，得， 整理得，即，则，故A正确； 对于B，由，得， 则，整理得，解得，故B错误； 对于C，由，得，解得， 则，， 因函数在上单调递增，则函数在上单调递增， 且，因此，故C正确； 对于D，方程，即，令，则，而， ①若，则方程无实根，即方程无实根，方程无实根； ②若，则方程有2个不相等的实根，且有2个不相等的实根； 有3个不相等的实根，方程有5个不相等的实根； ③若，则方程有4个不相等的实根满足：， 且无实根，有4个不相等的实根，或均有3个不相等的实根， 因此方程有10个不相等的实根； ④若，则方程有4个不相等的实根满足：， 且无实根，或或均有3个不相等的实根， 因此方程有9个不相等的实根； ⑤若，则方程有3个不相等的实根满足：， 且无实根，或均有3个不相等的实根， 因此方程有6个不相等的实根； 综上，方程最多有10个不同的实根，D正确. 故选：ACD 【点睛】方法点睛：应用函数思想确定方程解的个数的两种方法： ①转化为两个常见的函数图象的交点个数问题、数形结合、构建不等式（方程）求解； ②分离参数、转化为求函数的值域问题求解． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 集合，，若，求实数a的取值范围__________. 【答案】或 【解析】 【分析】由一元二次不等式求出集合，再分的范围由集合之间的包含关系列不等式组求解即可； 【详解】，， 因为，所以， 所以当时，，所以，解得； 当时，，不符合题意； 当时，，所以，解得； 综上数a的取值范围或. 故答案为：或. 13. 已知，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】利用同角的三角函数关系式求解即可. 【详解】， ， 即， 又，则，，， 故， 可得，，. 故答案为： 14. 若集合的两个非空子集满足，则称为集合的一组“互斥子集”，与视为同一组互斥子集，则共有互斥子集______组. 【答案】25 【解析】 【分析】由新定义，通过讨论元素个数，再结合非空子集个数即可求解. 【详解】若有1个元素，这样的集合有4种情况，此时每种情况对应的为其他3个元素的非空子集，这样的有个； 若有2个元素，这样的集合有6种情况，此时每种情况对应的为其他2个元素的非空子集，这样的有个； 若有3个元素，这样的集合有3种情况，此时每种情况对应的为其他1个元素的非空子集，这样的有个. 又与视为同一组互斥子集， U共有互斥子集种. 故答案为：25 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）化简求值：； （2）计算. 【答案】（1）；（2）0 【解析】 【分析】（1）由同角三角函数的平方关系即可化简； （2）由指对数的运算性质即可化简求值. 【详解】（1） 原式 . （2）原式=. . 16. 已知幂函数是奇函数，且在上单调递增. （1）解不等式； （2）若实数满足，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由幂函数的定义，奇函数的性质求解即可； （2）由基本不等式的乘“1”法计算即可； 【小问1详解】 ，， 在上单调递增，为奇函数，即， ， ，， 不等式解集为. 【小问2详解】 由题可知，. 当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值是. 17. 已知，函数是奇函数，. （1）求实数的值； （2）若，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由奇函数的性质结合对数函数的运算求解即可； （2）将所求化为，再结合对数函数和指数函数的单调性计算即可； 【小问1详解】 因为函数是奇函数，所以， 即，即，解得， 因为，所以. 当时，，此时的定义域为， 关于原点对称，满足题意. 综上，. 【小问2详解】 由题意得， 由（1）知，， 易得在上单调递增，故. ， 当时，，所以， 所以，即实数的取值范围为. 18. 某大学毕业生团队主动创业，计划销售轻食，每个月的店租和水电等成本为2万元，且每销售1份轻食，需再投入成本5元.已知该团队轻食的月销售量为万份，该团队每个月保底能够销售5000份轻食，且当时，月销售收入为万元；当时，月销售收入为万元. （1）求该团队的月销售利润（万元）与月销售量为x（万份）之间的函数解析式； （2）当月销售量为何值时，该团队的月销售利润最小？最小利润为多少万元？ 【答案】（1）； （2）月销售量万份时，月销售利润最小，最小为2万元 【解析】 【分析】（1）分和两种情况，得到函数解析式； （2）时，由基本不等式求出最小值，当时，由函数单调性求出值域，从而得到答案. 【小问1详解】 由题意， 当时，， 当时，， ∴； 【小问2详解】 当时，， 当且仅当，即时取等， 当时，单调递增， 故， 由于，故当月销售量为万份时，该团队的月销售利润最小，最小值为2万元 19. 列奥纳多达芬奇（Leonardo da Vinci，1452-1519）是意大利文艺复兴三杰之一.他曾提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数表达式，其中为悬链线系数，称为双曲余弦函数，其函数表达式为，相反地，双曲正弦函数的函数表达式为. （1）求的值； （2）解不等式：； （3）函数的图象在区间上与轴有2个交点，求实数的取值范围. 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合双曲余弦函数和双曲正弦函数代入计算即可； （2）求出的单调性和奇偶性，根据函数性质解不等式即可； （3）参变分离得到在有2个实数根，换元得到，由对勾函数单调性得到的值域，与有两个交点，列不等式求解即可. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 因为恒成立，故是奇函数. 又因为在上严格递增，在上严格递减， 故是上的严格增函数， 所以，即， 由可得，解得， 即所求不等式的解集为. 【小问3详解】 因为的图象在区间上与轴有2个交点， 所以， 即在有2个实数根， 所以在有2个实数根， 令，易知在上单调递增， 所以， 则， 令，， 由对勾函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增， 又，. 作函数草图如图， 当时，函数与有两个交点， 即函数的图象在区间上与轴有2个交点， 所以，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $