第四单元 比例（讲义）-2024-2025学年六年级下册数学人教版

第4单元复习讲义 板块一：知识精讲 1．比例的意义和基本性质 【知识点归纳】 比例的意义：表示两个比相等的式子，叫做比例． 组成比例的四个数，叫做比例的项． 组成比例两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项． 比例的性质：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质． 如：4：5＝16：20⇔4×20＝5×16 2．正比例和反比例的意义 【知识点归纳】 1．正比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系．如果用字母x和y表示这两种相关联的量，用k表示它们的比值（一定），正比例关系可以用式子表示为：k（一定）． 2．反比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系．如果用字母x和y表示这两种相关联的量，用k表示它们的乘积（一定），反比例的关系可以表示为：xy＝k（一定）． 3．辨识成正比例的量与成反比例的量 【知识点归纳】 1．成正比例的量： （1）“变化方向”相同，一种量扩大或缩小，另一种量也扩大或缩小． （2）相对应的两个数的比值（商）一定． （3）关系式：k（一定）． 2．成反比例的量： （1）“变化方向”相反，一种量扩大或缩小，另一种量反而缩小或扩大． （2）相对应的两个数的乘积一定． （3）关系式：xy＝k（一定）． 3．判断方法：关键是看着两种相关量中相对应的两个数是商一定还是积一定，如果商一定，就成正比例；如果积一定，就成反比例． 4．解比例 【知识点归纳】 根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个比例中的另外一个未知项．求比例中的未知项，叫做解比例． 一般来说，求比例的未知项有以下两种情况： （1）求未知外项 （2）求未知内项 5．比例的应用 【知识点归纳】 根据问题中的不变量找出两种相关联的量，并判断这两种相关联的量成什么比例关系，根据正、反比例关系式列出相应的方程并求解． 6．比例尺 【知识点归纳】 1．比例尺： 表示图上距离比实地距离缩小的程度，因此也叫缩尺．图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺． 即：图上距离：实际距离＝图上距离÷比例尺 比例尺分类： 比例尺一般分为数值比例尺和线段比例尺： （1）数值比例尺：例如一幅图的比例尺是1：20000或．为了方便，通常把比例尺写成前项（或后项）是1的比． （2）线段比例尺是在图上附上一条标有数量的线段，用来表示实际相对应的距离． 2．比例尺表示方法： 用公式表示为：实际距离＝图上距离÷比例尺．比例尺通常有三种表示方法． （1）数字式，用数字的比例式或分数式表示比例尺的大小．例如地图上1厘米代表实地距离500千米，可写成：1：50000000或写成：． （2）线段式，在地图上画一条线段，并注明地图上1厘米所代表的实际距离． （3）文字式，在地图上用文字直接写出地图上1厘米代表实地距离多少千米，如：图上1厘米相当于地面距离500千米，或五千万分之一． 3．比例尺公式： 图上距离＝实际距离×比例尺 实际距离＝图上距离÷比例尺 比例尺＝图上距离÷实际距离． 板块二：典题精练 一、选择题 1．表中，如果a和b成反比例，括号里应填（    ）。 a 4 8 b （    ） 12 A．2 B．8 C．18 D．24 2．在下面各比中能与0.2∶25%组成比例的是（    ）。 A．4∶5 B．3∶4 C．0.75∶3 D． 3．一个电子零件的实际长度是5毫米，画在图纸上的长度是4厘米，这张图纸的比例尺是（   ）． A．5：4 B．4：5 C．8：1 D．1：8 4．广场长120米，宽80米，在图纸上画图，选用（    ）做比例尺比较好。 A． B． C． D． 5．这幅图上的1厘米表示实际距离是（    ）。 A．100千米 B．400千米 C．200千米 D．300千米 6．下面各组中的两个比，能组成比例的是（    ）。 A．42∶2.4和2.8∶16 B．4.5∶1.5和1∶ C．0.2∶2.5和8∶50 D．∶和1∶2 7．一个等腰三角形，底角与顶角度数的比是4∶1，则这个三角形的顶角是(  )． A．36° B．20° C．30° D．144° 8．图1是一个三角形，沿直线折叠后得到图2，这个多边形的面积是原三角形面积的．已知图2中阴影部分的面积和为15平方厘米，那么原三角形的面积是（　　）平方厘米． A．26 B．27 C．28 D．29 二、填空题 9．一张嵩县地图上的比例尺如右图，它表示图上1厘米代表实际的　 　米． 10．这个比例尺化成数字比例尺是( )。 11．如果a与b是两种相关联的量（a≠0，b≠0）当时，a与b成( )比例关系，当2a＝b时，a与b成( )比例关系，当a＝b＋4时，a与b( )比例关系。 12．如果在简易杠杆的右边刻度5处挂2个棋子，左边刻度2处应挂( )个棋子才能平衡。 13．在一个比例中，两个外项互为倒数，其中一个内项是，另一个内项是( )。 14．1.2÷3=( )：5==( )小数=( )% 15．在比例尺是1∶2000的图上，量得学校操场长6厘米，宽3厘米。学校操场的实际面积是( )平方米。 16．如图：已知在直角三角形ABC中，AF=8厘米，EC=15厘米．正方形EDFB的面积是　 　平方厘米． 三、判断题 17．根据4×3＝2×6，可以写出其中一个比例4∶6＝3∶2。( ) 18．把两个比用等号连起来就是一个比例。( ) 19．飞机飞行的航程一定，飞行的平均速度和时间成反比例。( ) 20．为了计算简便，比例尺通常写成前项是1的比，或者后项是1的比。( ) 21．六年级二班学生的出勤人数与缺勤人数成反比例．( ) 22．小明从家到学校已走的路与剩下的路程成正比例。( ) 23．在比例a∶＝∶b中，a和b一定互为倒数。( ) 24．乐乐去学校，去时每分走60米，返回时每分走50米，她往返的平均速度一定是55米/分。( ) 四、解答题 25．一辆汽车3小时行驶了165km，按照这样的速度，这辆汽车9小时可以行驶多少km？（用比例解答） 26．一个直角三角形ABC的两条直角边长分别是3cm和4cm，把它按2∶1放大后得到三角形DEF。三角形ABC与DEF的周长之比是多少？面积之比呢？ 27．六年级办公室进一包白纸，计划每天用20张，可以用28天。由于注意了节约用纸实际每天比计划少用4张，实际用了多少天？ 28．如图所示：小明家距医院1000米。 （1）求出这幅图的比例尺？算出小明家到学校的实际距离是多少米？ （2）在小明家的东偏南45度方向1500米处要建少年宫，请你在图上画出少年宫的位置。 29．在一节“测量大树的高度”的数学实践课上，周胜将一根3米长的竹竿竖直立在操场，量出它的影子长1.2米，同时小组的王峰量得一颗大树的影子长5.2米，请你帮助计算出这棵大树的高度． 30．某人步行4小时走了22.4千米，照这样的速度，如果再走3小时，一共可以走多少千米？（用比例解） 31．小明看一本故事书，计划每天看20页，18天看完，实际每天看30页，实际多少天看完？（用比例知识解） 32．有一批树苗,原计划40人去栽,每人要栽15棵,后来增加10人去栽,每人要栽多少棵? 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第四单元比例（讲义）-2024-2025学年六年级下册数学（人教版）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A C D A B B B 1．D 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。因为a和b成反比例，所以它们的乘积一定，可先求出其中一组数值的乘积，再除以4，就是所求。 【详解】因为a和b成反比例，所以ab＝8×12＝96（一定）。 96÷4＝24 故答案为：D 【点睛】抓住反比例的概念来判断，利用反比例关系灵活地解决问题，是解题关键。 2．A 【分析】根据比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例。算出各选项的比值，找出与0.2∶25%比值相等的选项组成比例。 【详解】0.2∶25% ＝0.2∶0.25 ＝0.2÷0.25 ＝0.8 A．4∶5＝4÷5＝0.8，所以4∶5能与0.2∶25%组成比例； B．3∶4＝3÷4＝0.75，所以3∶4不能与0.2∶25%组成比例； C．0.75∶3＝0.75÷3＝0.25，所以0.75∶3不能与0.2∶25%组成比例； D．，所以不能与0.2∶25%组成比例。 故答案为：A 【点睛】此题考查比例的意义，只有两个比的比值相等才可以组成比例。 3．C 4．D 【分析】根据图上距离＝实际距离×比例尺，分别计算出用各比例尺计算出的图上长和宽，然后根据实际情况进行选择即可。 【详解】120米＝12000厘米，80米＝8000厘米 A .12000 ×＝20000（厘米） 8000 ×＝（厘米）  尺寸过大，不符合实际。 B .12000 ×＝600（厘米）  8000×＝400（厘米）    尺寸过大，不符合实际。 C .12000 ×＝60（厘米）  8000×＝40（厘米）   尺寸过大，不符合实际。 D .12000 ×＝6（厘米）8000 ×＝4（厘米）     尺寸比较合适，符合实际。 故答案为：D 【点睛】本题考查了实际距离、图上距离、比例尺之间的关系，注意结合生活实际。 5．A 【分析】 比例尺的表现形式分为数值比例尺与线段比例尺。从线段比例尺中可知，图上1厘米的距离等于100千米，据此解答。 【详解】由分析可得：这幅图上的1厘米表示实际距离是100千米。 故答案为：A 6．B 【分析】若两组的比值相等，则这两组比就可组成比例。据此逐一分析各项即可。 【详解】A．42∶2.4＝17.5，2.8∶16＝0.175，17.5≠0.175，所以42∶2.4和2.8∶16不能组成比例； B．4.5∶1.5＝3，1∶＝3，3＝3，所以4.5∶1.5和1∶能组成比例； C．0.2∶2.5＝0.08，8∶50＝0.16，0.08≠0.16，所以0.2∶2.5和8∶50不能组成比例； D．∶＝2，1∶2＝，2≠，所以∶和1∶2不能组成比例。 故答案为：B 【点睛】本题考查比例的意义，明确比例的意义是解题的关键。 7．B 8．B 【分析】先设原三角形面积为x平方厘米，再由阴影部分的面积为15平方厘米可得图2的面积为+15=，求出x的值即可． 【详解】解：设原三角形面积为x平方厘米， 图2的面积为+15=， 由题意得：x=， 9（x+15）=2×7x， 9x+135=14x， 5x=135， x=27． 答：原三角形的面积是27平方厘米． 故选B． 9．600 【详解】试题分析：这是线段比例尺，表示图上5厘米的距离相当于地面上3000米的实际距离；进而推出此地图的比例尺是图上1厘米的距离代表地面600米的距离． 解：这是线段比例尺，表示图上1厘米的距离代表地面600米的距离； 故答案为600． 点评：此题考查辨识比例尺的类型：用图上1厘米的线段代表地面上若干米或千米的距离，就是线段比例尺． 10．1∶200000 【分析】由题意可知，图上1厘米代表实际距离2000米，再根据比例尺＝图上距离∶实际距离，即可把线段比例尺转化为数字比例尺。 【详解】1厘米＝0.01米 1厘米∶2000米 ＝0.01米∶2000米 ＝1∶200000 【点睛】掌握比例尺的意义是解答题目的关键，在计算比例尺时要注意转化单位。 11． 反 正 不成 【分析】两种相关联的量，若它们的比值一定，两种量成正比例；若它们的乘积一定，两种量成反比例。据此解答。 【详解】由，得a×b＝35，乘积一定，符合反比例的意义，所以a与b成反比例； 由2a＝b，得＝2，比值一定，符合正比例的意义，所以a与b成正比例； 由a＝b＋4，得a－b＝4，差一定，所以a与b不成比例关系。 【点睛】辨识两种相关联的量成正比例还是成反比例，就看它们是比值一定还是乘积一定。 12．5 【分析】杠杆要保持平衡，在一侧的刻度数和所挂棋子数乘积一定的情况下，另一侧的刻度数和所挂棋子数成反比例关系，即右边的刻度数×棋子数＝左边的刻度数×棋子数。据此解答即可。 【详解】5×2÷2＝5（个） 所以左边刻度2处应挂5个棋子。 【点睛】本题主要考查反比例知识的应用。 13． 【分析】由“在一个比例里，两个外项互为倒数”，根据比例的性质“两内项的积等于两外项的积”，可知两个内项也互为倒数，乘积是1；再根据“其中一个内项是”，进而用两内项的积1除以一个内项即得另一个内项的数值。 【详解】因为两个外项互为倒数，乘积是1， 所以两个内项也互为倒数，乘积也是1， 则另一个内项是：1÷＝1×＝ 【点睛】此题考查比例性质的运用：在比例里，两内项的积等于两外项的积。 14．2，40，0.4，40． 【详解】试题分析：解决此题关键在于1.2÷3，1.2÷3可得小数商为0.4；0.4可转化成百分数40%；0.4也可转化成分数，的分子和分母同时乘8可转化成；也可化成比2：5；由此进行转化并填空． 解：1.2÷3=2：5==0.4=40%； 点评：此题考查小数、分数、百分数之间与比、除法之间的转化，根据它们之间的关系和性质进行转化即可． 15．7200 【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，换算出操场的实际长和宽，根据长方形面积＝长×宽，列式计算即可。 【详解】6÷＝6×2000＝12000（厘米）＝120（米） 3÷＝3×2000＝6000（厘米）＝60（米） 120×60＝7200（平方米） 学校操场的实际面积是7200平方米。 16．120 【详解】试题分析：因为FD∥BC，所以三角形AFD与三角形DEC相似，所以AF：DE=FD：EC，由此设出正方形的边长为x厘米，即可求出正方形的面积． 解：因为FD∥BC，所以三角形AFD与三角形DEC相似， 所以AF：DE=FD：EC， 设正方形的边长为x厘米， AF：x=x：EC， x2=AF×EC， x2=8×15， x2=120， 答：正方形EDFB的面积是120平方厘米． 故答案为120． 点评：本题主要利用相似三角形的性质，对应边的比相等，列出比例解决问题． 17．× 【分析】根据比例的基本性质可知，在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。题目中写出的比例是4∶6＝3∶2，利用比例的基本性质判断即可。 【详解】若比例4∶6＝3∶2成立， 则6×3＝4×2应该成立才对，但6×3＝18，4×2＝8，18≠8，显然6×3＝4×2不成立。 所以题目中写出的比例是错误的。 故答案为：× 【点睛】此题的解题关键是灵活运用比例的基本性质求解。 18．× 【详解】如：1∶3＝，2∶6＝，比值相等，1∶3和2∶6可以组成比例为：1∶3＝2∶6； 1∶3＝，6∶2＝3，比值不相等，1∶3和6∶2不能组成比例。 根据比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例；可知，把两个比值相等的比用等号连起来就是一个比例。原说法错误。 故答案为：× 19．√ 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【详解】飞行的航程＝飞行的平均速度×飞行的时间，飞机飞行的航程一定，则飞行的平均速度和飞行的时间的乘积一定，符合反比例的意义，所以飞行的平均速度和时间成反比例。 故答案为：√ 【点睛】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断。 20．√ 【分析】图上距离与实际距离的比叫做比例尺，当实际距离较小时，把前项化为1，当实际距离较小时，把实际距离化为1。 【详解】因为比例尺是指图上距离与实际距离的比，为了计算简便，比例尺通常写成前项是1的比，或者后项是1的比。原题干说法正确。 故答案为：√ 【点睛】比例尺指的是图上距离与实际距离的比，一般都是实际距离较大，图上距离较小，但也有实际距离较小，图上距离较大的情况。 21．× 【详解】因为出勤人数+缺勤人数＝班级人数（一定）， 是和一定，既不符合正比例的意义也不符合反比例的意义， 所以班级人数一定，出勤人数与缺勤人数不成反比例． 故答案为：×． 22．× 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，就成反比例，如果是其它的量一定或乘积、比值不一定，就不成比例。 【详解】因为已走的路程＋剩下的路程＝小明从家到学校的路程（一定），所以已走的路与剩下的路程的和一定，则小明从家到学校已走的路与剩下的路程不成比例。原题干说法错误。 故答案为：× 【点睛】本题考查正反比例的判定，明确正反比例的定义是解题的关键。 23．√ 【分析】比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积；乘积为1的两个数，互为倒数。先根据比例的基本性质将比例式改写成两数相乘的形式，然后看a和b的乘积，如果是1，则a和b互为倒数。 【详解】a∶＝∶b ab＝×＝1 a和b的乘积为1，则a和b互为倒数，原题说法正确。 故答案为：√ 【点睛】灵活运用比例的基本性质，掌握倒数的意义是解题的关键。 24．× 【分析】首先根据速度×时间＝路程，可得路程一定时，时间和速度成反比，据此求出去时和返回用的时间的比是多少；然后根据路程÷时间＝速度，用往返的路程除以往返用的总时间，求出她往返的平均速度是每分钟走多少米即可。 【详解】乐乐去时和返回用的时间的比是：50∶60＝5∶6， 设去时用的时间是5t，则返回用的时间是6t， （60×5t×2）÷（5t＋6t） ＝600t÷11t ＝600÷11 ＝54（米/分） 故答案为：× 【点睛】此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间＝路程，路程÷时间＝速度，路程÷速度＝时间，要熟练掌握。 25．495km 【分析】由题意可知：汽车的速度是一定的，即汽车行驶的路程与时间的比值是一定的，则汽车行驶的路程与时间成正比例，据此即可列比例求解。 【详解】解：设这辆汽车9小时可以行驶xkm， 165∶3＝x∶9 3x＝165×9 3x＝1485 x＝495 答：这辆汽车9小时可以行驶495km。 【点睛】解答此题的关键是弄清楚哪两种量成何比例，进而列比例求解。 26．2∶1；4∶1 【分析】根据图形放大或缩小的特征可知：放大后的三角形周长之比为边长之比，面积之比为边长之比的平方的比，据此解答。 【详解】把三角形ABC按2∶1放大后得到三角形DEF。 周长之比是2∶1；面积之比是22∶12＝4∶1。 答：三角形ABC与DEF的周长之比是2∶1，面积之比是4∶1。 【点睛】根据图形放大或缩小的特征，熟练掌握放大或缩小后的图形周长之比、面积之比与边长之比的关系是解决本题的关键。 27．35天 【分析】由题意可知：这包白纸的总数量是一定的，即每天用的张数与用的天数的乘积是一定的，则每天用的张数与用的天数成反比例，据此即可列比例求解。 【详解】解：设实际用了x天， 20×28＝（20－4）×x 560＝16x x＝560÷16 x＝35 答：实际用了35天。 【点睛】解答此题的关键是弄清楚哪两种量成何比例，进而列比例求解。 28．（1）1∶25000；1500米 （2） 【分析】（1）根据图上距离∶实际距离＝比例尺，实际距离＝图上距离÷比例尺，列式解答即可； （2）弄清要标示的物体在哪个方位上，有多少度，按要求的方位和度数准确画图；注意离中心点的距离，根据要求的比例画出相应的长度。 【详解】（1）4厘米∶1000米＝4厘米∶100000厘米＝1∶25000，6×25000＝150000（厘米）＝1500（米） 答：这幅图的比例尺是1∶25000，小明家到学校的实际距离是1500米。 （2） 【点睛】本题考查了比例尺、实际距离与图上距离的换算及根据方向和距离确定位置，作图时要尽量精准。 29．这棵大树的高度是13米 【详解】试题分析：由题意可知：在同样的条件下，树高与其影长的比值是一定的，即物体的高与其影子的长度成正比例，据此即可列比例求解． 解：设这棵大树的高度为x米， 则3：1.2=x：5.2， 1.2x=5.2×3， 1.2x=15.6， x=13； 答：这棵大树的高度是13米． 点评：解答此题的主要依据是：若两个量的商一定，则这两个量成正比例，从而可以列比例求解． 30．一共可以走39.2千米 【详解】试题分析：根据题意知道，速度一定，路程和时间成正比例，注意时间某人步行4小时，如果再走3小时，一共走了（4+3）小时，求7小时走的路程，由此列式解答即可． 解；设一共可以走x千米， 22.4：4=x：（4+3）， 22.4：4=x：7， 4x=156.8， 4x÷4=156.8÷4， x=39.2． 答：一共可以走39.2千米． 点评：解答此题的关键是，弄清题意，根据路程，时间和速度三者的关系，列式解答即可． 31．12天 【分析】根据题意可知，每天看的页数×天数＝总页数（一定），每天看的页数和天数成反比例，据此设实际x天看完，列方程为30x＝20×18，然后解出方程即可。 【详解】解：实际x天看完。 30x＝20×18 30x＝360 x＝360÷30 x＝12 答：实际12天看完。 【点睛】本主要考查了反比例的应用，判断相应的量是正比例还是反比例是解答本题的关键。 32．解:设每人要栽x棵． 40×15=(40+10)×x x=12 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$