第三单元圆柱与圆锥（讲义）-2024-2025学年六年级下册数学人教版

第3单元复习讲义 板块一：知识精讲 1．圆柱的特征 【知识点归纳】 圆柱就是由两个大小相同的圆和一个侧面组成的．它的底面是完全相同的两个圆，侧面是一个曲面． 2．圆柱的展开图 【知识点归纳】 圆柱的侧面沿高剪开的展开图是一个长方形（或正方形），这个长方形（或正方形）的长等于圆柱底面的周长，宽等于圆柱的高． 3．圆柱的侧面积和表面积 【知识点归纳】 圆柱的表面积＝侧面积+2个底面积 侧面积＝底面周长×高。圆柱的侧面展开是一个长方形，其长就是圆柱底面周长，长方形的宽就是圆柱的高，所以圆柱的侧面积＝底面周长×高，圆柱的表面共有一个侧面和上下两个底面，所以表面积＝侧面积+2个底面积 4．长方体和正方体的体积 【知识点归纳】 长方体体积公式：V＝abh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高） 正方体体积公式：V＝a3．（a表示棱长） 5．圆柱的侧面积、表面积和体积 【知识点归纳】 圆柱的侧面积＝底面的周长×高，用字母表示： S侧＝Ch（C表示底面的周长，h表示圆柱的高），或S侧＝2πrh 圆柱的底面积＝πr2 圆柱的表面积＝侧面积+两个底面积，用字母表示： S表＝2πr2+2πrh 圆柱的体积＝底面积×高，用字母表示： V＝πr2h． 6．圆锥的体积 【知识点归纳】 圆锥体积底面积×高，用字母表示： VShπr2h，（S表示底面积，h表示高） 板块二：典题精练 一、选择题 1．圆柱体的侧面展开，如图所示，是（ ）   A．梯形或等腰梯形 B．长方形或正方形 C．三角形或等腰三角形 D．圆 2．圆柱的表面一共有（    ）。 A．6个面   B．3个面   C．1个面   D．4个面 3．一个圆柱的侧面展开是边长为18.84厘米的正方形，那么这个圆柱的高是（    ）。 A．6厘米 B．18.84厘米 C．3厘米 D．12厘米 4．一个圆柱与圆锥体的体积相等，圆柱的底面积是圆锥体的底面积的3倍，圆锥体的高与圆柱的高的比为（ ） A．3：1 B．1：3 C．9：1 D．1：9 5．一个拧紧瓶盖的瓶子里装有一些水（如图），根据图中的数据，可以计算出瓶中水的体积占瓶子容积的（ ）。 A． B． C． D． 6．下面各图都以虚线为轴旋转一周，下边四个图形旋转后形成的几何体与如图图形旋转后形成的几何体体积相等的是（    ）。 A． B． C． D． 7．如果一个圆柱的底面直径是d， 它的高是πd， 那么这个圆柱侧面展开图是（    ）． A．长方形     B．正方形     C．平行四边形       D．圆形 8．有下图这种包装盒，要装一种圆柱形的产品，规格如下，一个箱子能装（     ）个产品，（   ）个这样的箱子可以装350个产品． A．36，10 B．36，9 C．84，10 D．84，9 二、填空题 9．一个圆柱的体积是37.68dm3，与它等底等高的圆锥的体积是( )dm3。 10．圆柱有 条高。 11．把一个体积是立方分米的圆柱体钢材削成一个最大的圆锥体零件，这个圆锥体零件的体积是 立方分米，削掉的体积占原来圆柱体积的。 12．圆柱由 个面组成，圆柱上下两个面叫做 ，它们是完全相同的两个 ；圆柱的侧面是 ，圆柱两底面之间的距离叫做 ，圆柱有 条高． 13．一个圆柱和一个圆锥的底面积相等，圆柱的体积比圆锥的体积大36立方厘米．已知圆锥的高是12厘米，体积是24立方厘米，则圆柱的高是　 　厘米． 14．把一个圆柱形木块削成最大圆锥，体积减少了24cm3，原来圆柱的体积是　 　cm3，削成的圆锥体积是　 　cm3． 15．一个底面周长为6.28分米，高0.3米的圆柱形木头，沿直径垂直截成同样的两部分表面积增加了　 　，沿横截面截成同样的两部分，表面积增加了　 　． 16．把一个圆柱体的体积削去6立方厘米，正好削成一个和圆柱体等底等高的圆锥体，原来这个圆柱体的体积是 立方厘米。 三、判断题 17．将一个圆柱形铁块铸造成个圆锥形铁块，它的体积和质量都不变。( ) 18．一个圆柱形容器的体积是5立方分米，它的容积可能是5升。( ) 19．长方体、正方体、圆柱和圆锥的体积都可以用“底面积×高”计算。( ) 20．一个圆柱与圆锥等底等高，圆柱的体积比圆锥多18m，圆锥的体积是9m ．( ) 21．用同一个长方形任意边为轴旋转一周形成的形状体积都相等。( ) 22．圆锥的底面半径扩大到原来的3倍，高不变，它的体积不变。( ) 23．以边长是4cm的正方形的一条边为轴，旋转一周得到的圆柱体的侧面积是200.96cm2。( ) 24．侧面积相等的圆柱，高越小体积越大。( ) 四、作图题 25．下面的方格图中，每小格边长表示1厘米，请按要求操作。 （1）画出图形A向右平移5格后得到的图形B。 （2）如果以图形A的一条较长的直角边所在的直线为轴旋转一周，所形成的几何图形体积是（    ）立方厘米。 五、解答题 26．圆柱的侧面积＝底面周长×高，如果把长方体的前、后、左、右四个面称为侧面，那么长方体的侧面积可以用“底面周长×高”计算吗？请以下图的长方体为例，写出你的想法。 27．一个圆柱形粮仓，高8米，底面周长18.84米，如果每立方米小麦重720千克，这堆小麦共重多少千克？（取3.14） 28．一个圆锥形铁块，把它放入底面积为8平方分米，水面高为4分米的圆柱形水杯中，完全浸没，水面升到5.5分米。这个圆锥形铁块的体积是多少立方分米？ 29．下图是一个用硬纸板做的礼品盒，用彩带过底面圆心捆扎，打结处彩带长25厘米。 （1）做这个礼品盒至少需要多少硬纸板？ （2）捆扎这个礼品盒，至少需要彩带多少厘米？ （3）礼品盒里装了一个三层蛋糕，直径分别是20厘米、15厘米、10厘米，每层高度4厘米，蛋糕露在外面的面都涂上一层奶油巧克力酱，涂奶油巧克力酱的面积是多少？ 30．芳芳用卡纸制作了一个底面直径是10厘米，高12厘米的笔筒，至少需要多少平方厘米的卡纸？ 31．一个装满水圆柱形容器里有两个体积完全相同的石块，圆柱的底面周长是12.56厘米，高是10厘米，把两个石块拿出水面后，水深降低了2厘米，那么一个石块的体积是多少？ 32．某钟表的分针长10厘米，时针长8厘米。 （1）从2时到3时，分针针尖走过了多少厘米？ （2）从1时到4时，时针扫过的面积是多少平方厘米？ （3）从某天上午7：25到这天晚上7：52，分针扫过的面积是多少平方厘米？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第三单元圆柱与圆锥（讲义）-2024-2025学年六年级下册数学（人教版）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B B C C B B A 1．B 【详解】解：由图中可以得到，如图侧面展开后，是长方形．当底面周长等于高时，侧面展开后是正方形 2．B 【分析】观察圆柱的表面，根据观察到的情况判断。 【详解】观察圆柱的表面，发现圆柱有上面和下面，还有侧面，所以圆柱的表面一共有3个面，故正确答案是：B。 【点睛】本题考查圆柱的组成，熟记圆柱是由三个面围成的，分别是上面、下面、侧面。 3．B 【分析】圆柱侧面展开是正方形，说明圆柱的底面周长和高都与正方形边长一样，据此分析。 【详解】一个圆柱的侧面展开是边长为18.84厘米的正方形，那么这个圆柱的高是18.84厘米。 故答案为：B 【点睛】关键是熟悉圆柱特征，掌握圆柱侧面展图与圆柱之间的关系。 4．C 【详解】解：设圆锥的底面积为s，则圆柱的底面积也是3s，设圆锥的高为h1 ， 圆柱的高为h2 ， 根据题意可知： sh1=3sh2 ， 则h1：h2=3s： s=9：1； 故选C． 【分析】设圆锥的底面积为s，则圆柱的底面积也是3s，设圆锥的高为h1 ， 圆柱的高为h2 ， 根据圆锥和圆柱的体积相等可得： sh1=3sh2 ， 如果h1是比的外项，则 s是外项，则h2和3s是内项，进而根据题意，进行比，然后化为最简整数比即可． 5．C 【分析】瓶子容积有水的体积和空白部分两部分，观察第一幅图水的高是12厘米，观察第二幅图空白部分的高是21－15厘米，瓶子容积相当于高是21－15＋12厘米的圆柱容积，瓶子的底面积一样，只看高的关系即可。 【详解】12÷（21－15＋12） ＝12÷18 ＝ 故答案为：C 【点睛】本题考查了组合体的容积和分数的意义，圆柱体积＝底面积×高。 6．B 【分析】根据题意，虚线所在的边为立体图形的高，另外一条已知边为底面半径；长方形旋转得到的是圆柱，用公式：圆柱体积＝底面积×高，代入数据计算即可；直角三角经过旋转得到的是圆锥，用公式：圆锥体积＝底面积×高×，代入数据计算出结果即可；把选项中的旋转后的图形体积计算出来，找出符合的即可。 【详解】经旋转得到的图形体积为： ＝π×9×2 ＝π×18 ＝18π（cm3） A．，经旋转得到的图形体积为： ＝π×4×3 ＝π×12 ＝12π（cm3） 12π＜18π，结果不符题意； B．，经旋转得到的图形体积为： ＝ ＝ ＝18π（cm3） 18π＝18π，符合题意； C．，经旋转得到的图形体积为： ＝ ＝ ＝ ＝24π（cm3） 24π＞18π，不符合题意； D．，经旋转得到的图形体积为： ＝ ＝ ＝ ＝36π（cm3） 36π＞18π，不符合题意； 故答案为：B 【点睛】此题考查了圆柱与圆锥的体积计算，关键熟记公式以及理解图形旋转后对应的高与半径。 7．B 【分析】对圆柱的侧面展开图的理解． 【详解】圆柱的底面直径是d，那么底面周长是πd， 它的高是πd，所以这个圆柱侧面展开图是正方形． 8．A 【详解】产品是个圆柱，底面半径为8cm，直径为16cm，高为8cm 100÷16=6.25，40÷16=2.5，30÷8=3.75 因此一个箱子可以放这个的圆柱形产品个数为6×2×3=36（个） 350÷36≈9.72 所以放350个这样的圆柱形产品，需要10个这样的大箱子． 故答案为A． 9．12.56 【分析】根据圆柱的体积公式：V＝Sh，圆锥的体积公式：V＝Sh，据此可知与圆柱等底等高的圆锥的体积是圆柱的，即用37.68乘即可求出圆锥的体积。 【详解】37.68×＝12.56（dm3） 则与它等底等高的圆锥的体积是12.56dm3。 【点睛】本题考查圆柱和圆锥的体积，明确等底等高的圆柱和圆锥体积之间的关系是解题的关键。 10．无数 【分析】圆柱的特征：圆柱是由3个面围成的。圆柱的上、下两个面叫做底面。圆柱周围的面（上、下底面除外）叫做侧面。圆柱的两个底面之间的距离叫做高；据此解答。 【详解】 如图： 圆柱有无数条高。 11．； 【分析】如果把圆柱体的钢材削成一个最大的圆锥体零件，那么这个圆锥零件就应该和原来的圆柱是等底等高的，再根据圆锥的体积是与它等底等高的圆柱的体积的，据此解答。 【详解】（立方分米） 削掉的体积：（立方分米） 【点睛】解答本题的关键是要掌握圆锥的体积与它等底等高的圆柱体积的关系。 12． 三 底面 圆 曲面 高 无数 13．10 【详解】试题分析：因为“圆锥的高是12厘米，体积是24立方厘米”，代入圆锥的体积V=Sh，先求出其底面积，也就等于知道了圆柱的底面积，又因“圆柱的体积比圆锥的体积大36立方厘米”，则圆柱的体积为（36+24）立方厘米，圆柱的底面积已求出，再代入圆柱的体积V=Sh，即可求出圆柱的高． 解：圆锥的底面积：24×3÷12， =72÷12， =6（平方厘米）， 圆柱的体积：24+36=60（立方厘米）， 圆柱的高：60÷6=10（厘米）； 答：圆柱的高是10厘米． 故答案为10． 点评：此题主要考查圆柱与圆锥的体积的计算方法的灵活应用，关键是先求出圆锥的底面积，从而逐步求解． 14．36，12 【详解】试题分析：圆柱内最大的圆锥与原圆柱等底等高，由此可得这个最大的圆锥的体积是圆柱的体积的，所以削去部分的体积就是圆柱木料的体积的，有此利用分数的除法的意义，即可求出圆柱木料的体积，再用圆柱的体积乘即可得到削成的圆锥的体积，列式解答即可得到答案． 解：圆柱的体积为：24÷=36（立方厘米）， 圆锥的体积为：36×=12（立方厘米）， 答：原来圆柱的体积是36立方厘米，削成的圆锥体积是12立方厘米． 故答案为36，12． 点评：此题考查了圆柱内最大的圆锥的特点以及等底等高的圆锥与圆柱的体积倍数关系的灵活应用． 15．12平方分米；6.28平方分米 【详解】试题分析：（1）沿底面直径垂直切成两个半圆柱后，表面积增加的部分是指：增加了两个以直径和高为边长的长方形的面积，由此只要根据底面周长求得直径的长度，利用长方形的面积公式即可求出这个圆柱切开后增加的表面积； （2）沿横截面截成同样的两部分，表面积是增加了两个圆柱的底面积，根据圆的面积公式即可解答． 解：底面半径是：6.28÷3.14÷2=1（分米），0.3米=3分米， 所以沿直径垂直截成同样的两部分表面积增加了：1×2×3×2=12（平方分米）， 沿横截面截成同样的两部分，表面积增加了：3.14×12×2=6.28（平方分米）， 故答案为12平方分米；6.28平方分米． 点评：根据圆柱的切割特点，得出两种不同的切割方法下增加部分的面积是解决本题的关键． 16．9 【分析】削成的圆锥体和原来的圆柱等底等高，而等底等高的圆锥是圆柱的体积的，则削去的体积占整个圆柱的（1﹣），找到这个关系后，就可以列方程算出要求的问题。 【详解】解：设原来这个圆柱体的体积是X立方厘米，根据题意得： （1﹣）X＝6 X＝6 X＝9 原来这个圆柱体的体积是9立方厘米。 17．√ 【分析】将一个圆柱形铁块铸造成个圆锥形铁块，因为是同一块铁块，所以体积和质量都不变。 【详解】将一个圆柱形铁块铸造成个圆锥形铁块，它的体积和质量都不变，说法正确。 【点睛】本题考查了体积的等积变形，变形前的体积＝变形后的体积。 18．× 【分析】求物体的体积是从物体的外面测量它的长、宽、高进行计算，而求物体的容积则必须从里面来测量它的长、宽、高，然后计算。因此，对于同一个物体，一般地说，它的容积要比体积小。 【详解】一个圆柱形容器的体积是5立方分米，它的容积小于5立方分米（5升），所以原题说法错误。 故答案为：× 19．× 【分析】长方体、正方体、圆柱的体积都可以用底面积×高来计算，但是圆锥的体积＝×底面积×高，由此即可判断。 【详解】由分析可得：因为圆锥的体积计算是×底面积×高，所以原题说法错误。 故答案为：× 【点睛】此题考查了长方体、正方体、圆柱、圆锥的体积公式的灵活应用。 20．√ 21．× 【分析】以长方形的长或宽为轴旋转一周得到一个圆柱体，假设出长方形的长和宽，以长为轴旋转时，圆柱的底面半径等于宽，圆柱的高等于长；以宽为轴旋转时，圆柱的底面半径等于长，圆柱的高等于宽；利用“圆柱的体积＝底面积×高”求出两个圆柱的体积，即可求得。 【详解】假设长方形的长为4cm，宽为2cm。 以长为轴旋转一周： ＝ ＝（cm3） 以宽为轴旋转一周： ＝ ＝（cm3） 由上可知，两个圆柱的体积不相等。 故答案为：× 【点睛】掌握圆柱的体积计算公式是解答题目的关键。 22．× 【分析】圆锥的体积=底面积×高×，高不变，圆锥的底面积扩大的倍数是体积扩大倍数的3倍。 【详解】圆锥的底面半径扩大到原来的3倍，底面积就扩大到原来的9倍，高不变，体积扩大到原来的3倍。原题说法错误。 故答案为：错误。 23．× 【分析】如下图，以边长是4cm的正方形的一条边为轴，旋转一周得到底面半径是4cm，高是4cm的圆柱。根据求出圆柱的侧面积，再与200.96cm2作比较。 【详解】2×3.14×4×4 ＝3.14×2×4×4 ＝3.14×（2×4×4） ＝3.14×32 ＝100.48（cm2） 所以得到的圆柱的侧面积是100.48cm2，100.48≠200.96，所以原题说法错误。 故答案为：× 【点睛】明确圆柱的底面半径和高是解决此题的关键。 24．√ 【分析】根据圆柱侧面展开图的特征，圆柱的侧面沿高展开是一个长方形，这个长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于圆柱的高，得到侧面积相等，则rh相等，当h越小，r就越大，即可根据积的变化规律求解。 【详解】假设圆柱的底面周长是2πr，高是h， 侧面积：2πr×h＝2πrh， 体积：πr2h＝πrh×r， 由于侧面积相等，则rh相等，当h越小，r就越大，则体积越大， 所以题干的说法是正确的。 故答案为：√。 【点睛】本题考查圆柱的侧面积公式、体积公式及应用，关键是熟记公式。 25．（1）见详解； （2）12.56 【分析】（1）把三角形的三个顶点向右边平移5格，然后顺次连接，画出图形A向右平移5格后得到的图形B。 （2）以图形A的一条较长的直角边所在的直线为轴旋转一周，为轴的直角边的长度是圆锥的高，另一条直角边的长度是圆锥的底面半径，根据圆锥体积＝×底面积×高，求出所形成的几何图形体积即可。 【详解】（1）如图： （2）圆锥体积： （立方厘米） 所以所形成的几何图形体积是12.56立方厘米。 26．可以；见详解 【分析】要去求长方体的侧面积，首先根据长方体的表面积公式可得：S＝a×h×2＋b×h×2，代入数据即可求出长方体的侧面积。再根据长方形的周长公式，求出长方体的底面周长，再乘高，即可求出“底面周长×高”的值，与前面用长方体的表面积公式求出的值比较，如果相等，说明长方体的侧面积可以用“底面周长×高”来计算；如果不相等，则不能用此公式计算，据此解答。 【详解】 ＝80＋40 ＝120（平方厘米） ＝12×2×5 ＝120（平方厘米） 两种方法求出的侧面积相等，说明可以用“底面周长×高”计算。 答：长方体的侧面积可以用“底面周长×高”计算。 【点睛】此题的解题关键是充分理解长方体的侧面积的特征，并熟练运用不同的方法求出长方体的侧面积。 27．162777.6千克 【分析】先利用圆的周长公式，代入底面周长的数据求出底面半径，然后再根据底面半径和高求出这个圆柱形粮仓的体积，最后再用它乘每立方米小麦的重量求出这堆小麦的重量。 【详解】18.84÷2÷3.14＝3（米） 3.14×32×8×720 ＝3.14×3×3×8×720 ＝28.26×8×720 ＝162777.6（千克） 答：这堆小麦共重162777.6千克。 【点睛】此题主要考查了圆柱体积的实际应用，关键是求出这堆小麦的底面半径。 28．12立方分米 【分析】水面上升的体积就是圆锥形铁块的体积，用圆柱形水杯底面积×升高的水的高度即可。 【详解】8×（5.5－4） ＝8×1.5 ＝12（立方分米） 答：这个圆锥形铁块的体积是12立方分米。 【点睛】要用转化思想将圆锥形铁块的体积转化成圆柱体积来计算。 29．（1）1570平方厘米； （2）235厘米； （3）879.2平方厘米 【分析】（1）这个礼品盒是一个圆柱体，求做这个礼品盒需要硬纸板的面积就是求圆柱的表面积，利用“”求出需要硬纸板的面积； （2）由图可知，至少需要彩带的长度＝底面直径×3×2＋高×6＋打结处彩带的长度，把图中数据代入计算； （3）由图可知，蛋糕露在外面的面包括三个圆柱的侧面积和最大圆柱的一个底面积，根据“”分别表示出三个圆柱的侧面积，最后加上最大圆柱的一个底面积，据此解答。 【详解】（1）3.14×20×15＋2×3.14×（20÷2）2 ＝3.14×20×15＋2×3.14×100 ＝62.8×15＋6.28×100 ＝942＋628 ＝1570（平方厘米） 答：做这个礼品盒至少需要1570平方厘米硬纸板。 （2）20×3×2＋15×6＋25 ＝120＋90＋25 ＝210＋25 ＝235（厘米） 答：至少需要彩带235厘米。 （3）3.14×20×4＋3.14×15×4＋3.14×10×4＋3.14×（20÷2）2 ＝3.14×20×4＋3.14×15×4＋3.14×10×4＋3.14×100 ＝3.14×（20×4＋15×4＋10×4＋100） ＝3.14×（80＋60＋40＋100） ＝3.14×280 ＝879.2（平方厘米） 答：涂奶油巧克力酱的面积是879.2平方厘米。 【点睛】掌握圆柱的侧面积、表面积计算公式，分析题意明确需要计算哪些面的面积是解答题目的关键。 30．455.3平方厘米 【分析】由图可知，笔筒是无盖的，求需要多少平方厘米的卡纸，只要求出圆柱的侧面积和一个底面积即可，利用公式，代入数据进行解答即可。 【详解】3.14×10×12＋3.14×（10÷2）2 ＝3.14×120＋3.14×25 ＝376.8＋78.5 ＝455.3（平方厘米） 答：至少需要455.3平方厘米的卡纸。 【点睛】此题主要考查了圆柱体的表面积的意义及在生活中的实际应用。 31．12.56立方厘米 【详解】试题分析：要求一个石块的体积，先求出2个石块的体积，根据题意2个石块的体积就等于圆柱形容器里下降的水的体积，下降的水的体积就是一个底面周长是12.56厘米、高2厘米的圆柱，根据圆柱的体积计算公式列式解答即可． 解：圆柱的底面半径：12.56÷2÷3.14=2（厘米）， 2个石块的体积：3.14×22×2=25.12（立方厘米）， 每个石块的体积：25.12÷2=12.56（立方厘米）． 答：一个石块的体积是12.56立方厘米． 点评：此题考查了探索某些实物体积的测量方法，解决本题关键是明白：圆柱形容器里水下降的体积就是2个石块的体积；也考查了圆柱的体积=底面积×高的运用． 32．（1）62.8厘米（2）50.24平方厘米（3）3909.3平方厘米 【详解】① 答：分针针尖走过了62.8厘米。 ② 答：时针扫过的面积是50.24平方厘米。 ③ 答：分针扫过的面积是3909.3平方厘米。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$