2025年中考数学二轮专题复习-二次函数压轴题（特殊四边形问题）

2025年中考数学二轮专题复习-二次函数压轴题（特殊四边形问题） 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点． 与轴交于点． 且点的坐标为，点的坐标为． 点是直线上方抛物线上的一个动点，过作轴交于点． 连结、．    (1)该抛物线的表达式 ：直线的表达式为 ． (2)当四边形 是平行四边形时，求点的坐标． 2．如图，已知抛物线的对称轴为直线，且与y轴的交点坐标为，直线l与x轴相交于点C．    (1)求该抛物线的表达式； (2)如图，点P是该抛物线对称轴右侧图象上一动点，过点P作轴，，垂足分别为A，B．设点P的横坐标为m．当四边形为正方形时，求m的值． 3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点左侧，B点的坐标为（4，0），与y轴交于C（0，﹣4）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，抛物线的对称轴l与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求点A、B的坐标； (2)C为该抛物线上的一个动点，点D为点C关于直线l的对称点（点D在点C的左侧），点M在坐标平面内，请问是否存在这样的点C，使得四边形是正方形？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 5．综合与实践 如图，在半面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线经过点，点，与轴交于点，过作轴的垂线交抛物线于点，过作轴的垂线交轴于点，连接，是第一象限抛物线上一个动点，设点的横坐标为． (1)求的值； (2)过点作交直线于点．求线段的最大值和此时点的坐标； (3)点在上（点不与点、点重合），连接，过点作于点，的平分线交于点． ①当直线经过的中点时，点也恰好在直线上，求此时点坐标． ②在①的情况下，平面内有一点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点的坐标． 6．如图，四边形是平行四边形，过点、、作抛物线，与轴的另一交点为，点、、的坐标分别为、、．求此抛物线的函数关系式． 7．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线的解析式为． (1)求抛物线的解析式； (2)已知为正数，当时，的最大值和最小值分别为，，且，求的值； (3)点是平面内任意一点，在抛物线对称轴上是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图①，抛物线与直线交于点A、B，其中A点在x轴上，它们与y轴交点分别为C和D，P为抛物线的顶点，且点Р纵坐标为4，抛物线的对称轴交直线于点Q． （1）求点A的坐标，并用含k的代数式表示点B的坐标； （2）如图②，当四边形CDOP为平行四边形时， ①求k的值； ②设E、F为线段DB上的点（含端点），横坐标分别为a，（n为正整数），轴交抛物线于点G．问是否存在正整数n，使满足的点E有两个？若存在，求出n；若不存在，请说明理由． 9．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，， 三点． (1)求抛物线解析式； (2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出当m为何值时，S有最大值，这个最大值是多少？ (3)若点Q是直线上的动点，过Q作y轴的平行线交抛物线于点P，判断有几个Q能使以点P，Q，B，O为顶点的四边形是平行四边形的点，直接写出相应的点Q的坐标． 10．如图，已知二次函数图象的对称轴为直线，直线AB与该二次函数的图像交于A，B两点，与二次函数图象的对称轴交于点D，其中A点的坐标为，B点的坐标为． (1)求这个二次函数的解析式； (2)若P为直线上的一个动点（点P与A，B不重合），过点P作y轴的平行线与这个二次函数的图象交于点E，在直线AB上是否存在点P，使得以点D，C，E，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由． 11．在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于A，B两点，点A在y轴上，点B的横坐标为，点P是抛物线上不与A，B重合的一动点，点的横坐标为m． (1)求c的值． (2)如图，点A与点C关于抛物线的对称轴对称，当点P在AC上方的抛物线上时，若AC平分，求m的值． (3)当点P在y轴右侧的抛物线上运动时，过点P作交y轴于点M，作轴交AB于点N，设四边形的周长为l． ①求l关于m的函数解析式； ②若点都在l关于m的函数图象上，当时，直接写出m的取值范围． 12．综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A．B两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点． （1）求直线AC的解析式及B．D两点的坐标； （2）点P是x轴上一个动点，过P作直线l∥AC交抛物线于点Q，试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A．P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． （3）请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，求出M点的坐标． 13．如图，经过，两点的抛物线与y轴交于点C．    (1)求抛物线对应的函数表达式及点C的坐标； (2)若线段上有一动点M（不与B，C重合），过点M作轴交抛物线于点N． ①当线段的长度最大时，求此时点M的坐标； ②是否存在一点M，使得四边形为菱形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 14．有一张轴对称纸片，曲线部分为抛物线，如图1，以抛物线对称轴所在直线为y轴建立平面直角坐标系，其中点A，B在x轴上，点C在y轴上，且． (1)求该抛物线的函数关系式 (2)在纸片中裁剪出一个正方形，如图2，其中点E，F在该抛物线上，点G，H在x轴上．求点F的坐标． 15．如图，抛物线与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴负半轴交于点C，，，． (1)点C的坐标为______；抛物线的函数表达式为______； (2)点D是上一点（不与点A、O重合），过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交于点F，当时，求点E的坐标； (3)设抛物线的对称轴l交x轴于点G，在（2）的条件下，点M是抛物线对称轴上一点，点N是坐标平面内一点，是否存在点M、N，使以A、E、M、N为顶点的四边形是菱形．若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1)， (2) 2．(1) (2)0或1 3．（1）二次函数的表达式为：y=x2-3x-4；（2）存在，P点的坐标为（，-2）． 4．(1)， (2)存在这样的点C，使得四边形是正方形，点C的坐标为或 5．(1)， (2)， (3)①，②，，， 6． 7．(1) (2) (3)存在，或或或或 8．（1）；（2）①；②不存在 9．(1)； (2)S关于m的函数关系式为，当时，S有最大值9； (3)Q坐标为或或时，使点P，Q，B，O为顶点的四边形是平行四边形． 10．(1) (2)存在，点P的坐标为或或 11．(1) (2) (3)①；② 12．（1）直线AC的解析式为y=3x+3，B的坐标为（3，0），顶点D的坐标为（1，4）；（2）Q1（2，3），Q2（1+，﹣3），Q3（1﹣，﹣3）；（3）M点的坐标为（）． 13．(1)抛物线对应的函数表达式为，点C的坐标为 (2)①点M的坐标为；②不存在点M使得四边形为菱形 14．(1) (2) 15．(1)， (2) (3)存在：，， 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$