预习08 组合与组合数（八大考点）-2025年高二数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019）

2025年高二数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019） 预习08 组合与组合数 知识点 1 ：组合 ①组合的定义：一般地，从n个不同元素中取出个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. ②组合数、组合数公式：从n个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示. ，其中，且 规定： ③排列与组合的关系 相同点 两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 不同点 排列问题中元素有序，组合问题中元素无序 （关键是看选出的元素是否与顺序有关,若有关系,则是排列问题，若无关系，则是组合问题） ④组合数的性质 性质1：；性质2：. 知识点 2 ：组合问题 问题 方法 平均分组问题 一般先分堆，再除以. 不平均分组问题 先分堆，其中有组个数一样，再除以 相同元素的“分配”问题 “隔板法”：将个相同的元素分成份,每份至少一个元素,可以用块隔板，插入个元素排成一排的个空隙中， 考点01 组合概念的理解 【方法点拨】区分排列与组合问题的关键是看结果是否与元素的顺序有关,若交换某两个元素的位置对结果产生影响,则是排列问题,若交换任意两个元素的位置对结果没有影响,则是组合问题,也就是,说排列问题与选取元素的顺序有关,组合问题与选取元素的顺序无关. 【例1】判断正误，正确的写正确，错误的写错误． （1）从3，5，7，11中任取两个数相除属于组合问题.( ) （2）由于组合数的两个公式都是分式，所以结果不一定是整数.( ) （3）区别组合与排列的关键是看问题元素是否与顺序有关.( ) （4）从三个不同元素中任取两个元素作为一组是组合问题．( ) （5）“”“”与“”是三种不同的组合．( ) （6）组合数.( ) （7）两个组合相同，则其对应的元素一定相同．( ) 【答案】 错误 错误 正确 正确 错误 正确 正确 【详解】（1）由于两个数相除与顺序有关，所以是排列问题，故错误； （2）表示从个元素中取个元素的情况种数，故一定是正整数，故错误； （3）组合与排列不同之处是组合选出的元素没有顺序而排列有顺序，故正确； （4）由于从三个元素中取两个元素与顺序无关，所以是组合问题，故正确； （5）由于组合与顺序无关，所以“”“”与“”是一种情况，故错误； （6）由组合数的计算可得，故正确； （7）两个组合相同的充要条件就是其中元素完全相同，一一对应，故正确； 故答案为：错误，错误，正确，正确，错误，正确，正确 【例2】下列四个问题属于组合问题的是（   ） A．从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作 B．从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数 C．从全班同学中选出3名同学参加某大学生运动会开幕式 D．从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员 【答案】C 【详解】A.从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作，顺序不同，结果不同，与顺序有关，是排列问题. B. 从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数，顺序不同，结果不同，与顺序有关，是排列问题. C. 从全班同学中选出3名同学参加某大学生运动会开幕式，与顺序无关，是组合问题. D. 从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员，顺序不同，结果不同，与顺序有关，是排列问题. 故选：C. 【变式1-1】下列选项中，属于组合问题的是（    ） A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法 B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案 C．从3，5，7，9中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂 D．从1，2，3，4中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点 【答案】B 【详解】对于A：从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，因为学科不一样，且学生各不相同，所以为排列问题，故A错误； 对于B：有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，可分为四组，三人一组无先后顺序，属于组合问题，故B正确； 对于C：从，，，中任取两个数进行指数运算，底数与指数有顺序，所以为排列问题，故C错误； 对于D：从，，，中任取两个数作为点的坐标，横、纵坐标与顺序有关，所以为排列问题，故D错误. 故选：B 【变式1-2】给出下列问题： ①有10个车站，共需要准备多少种车票？ ②有10个车站，共有多少种不同的票价？ ③平面内有10个点，共可作出多少条不同的有向线段？ ④有10个同学，假期约定每两人通电话一次，共需通话多少次？ ⑤从10个同学中选出2名分别参加数学和物理竞赛，有多少种选派方法？ 以上问题中，属于组合问题的是 ．（填写问题序号） 【答案】②④ 【详解】对于①，相当于从10个不同元素任取2个按一定顺序排列起来，属于排列问题； 对于②，相当于从10个不同元素任取2个并成一组，属于组合问题； 对于③，相当于从10个不同元素任取2个按一定顺序排列起来，属于排列问题； 对于④，相当于从10个不同元素任取2个并成一组，属于组合问题； 对于⑤，相当于从10个不同元素任取2个按一定顺序排列起来，属于排列问题； 所以以上问题中，属于组合问题的是②④． 故答案为：②④ 【变式1-3】已知平面内A，B，C，D这4个点中任何3点不共线，请列举出由其中每3点为顶点的所有三角形 ． 【答案】△ABC，△ABD，△ACD，△BCD 【详解】由于与顺序无关，所以是组合问题， 所以共有4个：△ABC，△ABD，△ACD，△BCD． 故答案为：△ABC，△ABD，△ACD，△BCD 考点02 组合数的计算 【方法点拨】涉及具体数字问题可以直接运算； 组合数公式的主要作用:一是计算较大时的组合数;二是对含有字母的组合数的式子进行变形和证明. 【例3】已知且，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，， 所以，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：C 【例4】若一组数据的第百分位数是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】将这组数据按从小到大的顺序排列得，因为， 所以这组数据的第百分位数，所以. 故选：A. 【变式2-1】可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】. 故选：D. 【变式2-2】计算的值为 ． 【答案】 【详解】依题意，. 故答案为：. 【变式2-3】证明下列各等式． (1)＝； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）由，知右边 所以，左边右边，故原式成立． （2）由组合数的性质，知左边 所以，左边右边，故原式成立． 考点03 组合数的方程及不等式 【方法点拨】关注组合数中的隐含条件,且,求解时应检验其结果是否满足这一条件. 【例5】若，则（   ） A．5 B．20 C．60 D．120 【答案】D 【详解】因为，所以或， 解得（舍去）或， 所以. 故选：D 【例6】已知组合数，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】不等式， 即不等式， 解得，又因且为正整数， 所以原不等式的解集为． 故答案为：. 【变式3-1】已知，则 ． 【答案】 【详解】根据题意， 则解之得， 又或者， 解之（舍）或. 故答案为： 【变式3-2】若，则的值为（    ） A．2 B．8 C．2或8 D．2或4 【答案】A 【详解】由组合数的性质可得，解得， 又，所以或， 解得（舍去）或. 故选：A. 【变式3-3】求r的取值范围：． 【答案】或 【详解】由 ，又因为，所以或. 考点04 实际问题中的组合计数问题 【例7】小沉从5瓶不同香味的香水中选择2瓶进行试香，则小沉共有 种选择. 【答案】10 【详解】根据题意可得小沉的选择种数为. 故答案为： 【例8】已知某校教学楼共有四层，每层有8个班级，先从四个楼层中选取两层，然后从所选的楼层中一层选3个班级，另一层选4个班级进行卫生检查，则不同的选取方式共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】A 【详解】先从四个楼层中选取两层，方案有种， 从所选的楼层中一层选3个班级，另一层选4个班级进行卫生检查， 方案有种， 综上，不同的选取方式有种. 故选：A 【变式4-1】袜子由袜口､袜筒､脚趾三部分组成，现有四种不同颜色的布料，设计袜子的颜色配比，要求相连的部分颜色不同，共可以设计出不同颜色类型的袜子种数为（    ） A．12 B．24 C．36 D．48 【答案】C 【详解】若袜口和脚趾颜色相同，则有种， 若袜口和脚趾颜色不同，则有种， 共有种． 故选:C 【变式4-2】两名运动员参加一场七局四胜制的斯诺克短赛制比赛，比赛结束时所有可能比赛结果种数为（   ） A．80 B．70 C．40 D．35 【答案】B 【详解】因为采用7局4胜制，先赢4局者获胜，所以可能赛4局，5局，6局，7局， 若赛4局，则有2种；若赛5局，则有种； 若赛6局，则有种；若赛7局，则有种； 综上所有赛事情况种数为种， 故选：B 【变式4-3】从7人中选派5人到10个不同岗位中的5个参加工作，则不同的选派方法有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【详解】第一步，选出5人，共有种不同选法； 第二步，选出5个岗位，共有种不同选法； 第三步，将5人分配到5个岗位，共有种不同选法. 由分步乘法计数原理，知不同的选派方法有（种）. 故选：D. 考点05 代数中的组合计数问题 【例9】已知四个函数：①，②，③，④，从中任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为 . 【答案】/0.5 【详解】 作出函数图象， 由图可得③与①有一个公共点，②和④有一个公共点，②和③有一个公共点，其余不符合题意， 所以事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为， 故答案为：. 【例10】从2，3，，8中任意取三个不同的数字，组成无重复数字的三位数，要求个位数最大，百位数最小，则这样的三位数的个数为（    ） A．35 B．42 C．105 D．210 【答案】A 【详解】由于取出三个数字后大小次序已确定， 只需把最小的数字放在百位，最大的数字放在个位，剩下的数字放在十位， 因此满足条件的三位数的个数为. 故选：A. 【变式5-1】从1∼9这九个自然数中，任取三个数作数组，且，则不同的数组共有 个． 【答案】84 【详解】由题意可知任取三个数作数组，且，即这3个数大小关系确定， 故不同的数组共有（个）， 故答案为：84 【变式5-2】从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成_____个没有重复数字的四位数． A．720 B．560 C．540 D．1260 【答案】D 【详解】 不含有0的四位数有(个)． 含有0的四位数有(个)． 综上，四位数的个数为720＋540＝1260． 故选：D. 【变式5-3】费马大定理又被称为“费马最后的定理”，由17世纪法国数学家皮耶·德·费马提出．他断言当整数时，关于x，y，z的方程没有正整数解．他提出后，历经多人猜想辩证，最终在1995年被英国数学家安德鲁·怀尔斯彻底证明．甲同学对这个问题很感兴趣，他决定从集合中的5个自然数中随机选两个数字分别作为方程中n的指数，则方程存在正整数解的概率为 ． 【答案】/ 【详解】从5个自然数中随机选两个数字，总的选择方法有种. 当选出的两个数都大于2时，即从中，任意选择两个时，方程不存在正整数解，选择方法有种；当选出的数为1或2时，方程存在正整数解； 所以，方程存在正整数解的选法有， 所以，方程存在正整数解的概率为. 故答案为：. 考点06 几何组合计数问题 【例11】已知某圆上的10个不同的点，过每3个点画一个圆内接三角形，一共可画 个圆内接三角形. 【答案】 【详解】不共线的三点确定一个圆 从10个点任选3个点取法有， 故一共可画个圆内接三角形 故答案为： 【例12】从五棱锥的6个顶点中随机选取4个，则这4个顶点在同一个平面内的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】从五棱锥的6个顶点中随机选取4个的不同选取方法有种， 其中选取的4个顶点在同一个平面内的不同选取方法有种， 则所求概率． 故选：C. 【变式6-1】在直角坐标平面中，平行直线与平行直线组成的图形中，平行四边形共有（    ） A．25个 B．36个 C．100个 D．225个 【答案】D 【详解】从平行直线中选2条， 再从平行直线选2条，即可确定1个平行四边形， 所以可确定平行四边形的个数为：个. 故选：D 【变式6-2】北斗七星是夜空中的七颗亮星，我国汉代纬书《春秋运斗枢》就有记载，它们组成的图像我国古代舀酒的斗，故命名北斗七星．北斗七星不仅是天上的星象，也是古人藉以判断季节的依据之一．如图，用点表示某一时期的北斗七星．其中四点看作共线，其他任何三点均不共线，过这七个点中任意两个点作直线，所得直线的条数为（    ） A．18 B．17 C．16 D．15 【答案】C 【详解】根据题意从七个点中任意选两个点作直线共有种， 其中四点中任意选两点只能作一条直线，有种重复， 所以所得直线的条数为种. 故选：C 【变式6-3】如图，已知圆，以圆内横坐标与纵坐标均为整数的点为顶点构造三角形，这样的三角形一共有多少个？    【答案】76 【详解】将代入圆方程左边有， 又因为圆内横坐标与纵坐标均为整数的点，共有9个点，其中三点共线的有8(种)， 所以不共线三点共有(种)，所以三角形共有76(个).    考点07 分组分配问题 【方法点拨】完全均匀分组，应注意不要重复，有组均匀，最后必须除； 部分均匀分组，应注意不要重复，有组均匀，最后必须除； 完全非均匀分组,这种分组不考虑重复现象 【例13】已知某班级将学生分为4个不同的大组，每个大组均有14名学生，现从这个班级里抽取5名学生参加年级活动，要求每个大组至少有1名同学参加，则不同的抽取结果共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【详解】由题意，要求每个大组至少有1名同学参加，即在4个大组中，必有一个大组有2名同学参加活动，其余组别各有1个同学. 运用分步乘法计数原理解决：先从4个大组中抽取一个有2名同学参加的组，有种， 再从另外三个大组中分别各取1名同学，有种， 最后确定有2个同学参加的组的人选，有种. 由分步乘法计数原理，抽取结果共有个． 故选：C. 【例14】2025年的寒假就要到了，甲、乙、丙、丁四个同学都计划去旅游，除常见的五个旅游热门地北京、上海、广州、深圳、成都外，延边打卡也火爆全国，则甲、乙、丙、丁四个同学恰好选择三个城市旅游的方法种数共有（   ） A．1800 B．1080 C．720 D．360 【答案】C 【详解】第一步，先选恰有个同学所选的旅游地相同，有种； 第二步，从个旅游地中选出个排序，有种， 根据分步计数原理可得，方法有种. 故选：C 【变式7-1】现将4名志愿者分配到3个服务点，要求每位志愿者都要到一个服务点服务，每个服务点都要安排志愿者，有（    ）种分配方式 A．30 B．36 C．60 D．72 【答案】B 【详解】依题意个服务点的志愿者的人数为、、， 所以有种分配方式. 故选：B 【变式7-2】某市政工作小组就民生问题开展社会调研，现派遣三组工作人员对市内甲、乙、丙、丁四区的居民收人情况进行抽样调査，若每区安排一组工作人员调研，且每组工作人员至少负责一个区调研，则不同的派遣方案共有（   ） A．12种 B．36种 C．48种 D．72种 【答案】B 【详解】先将甲、乙、丙、丁四个区分成三组，即任意选两个成为一组，剩余两个各自一组，共种， 再将分好的三组不同的区分配给三组工作人员，共有种分配方法； 因此共种. 故选：B 【变式7-3】2024年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕某校足球社的6名学生准备分成三组前往村超球队所在的平地村､口寨村､忠诚村3个村寨进行调研，每个村各有一组来调研，每个组至多3名学生，则不同的安排方法种数为（    ） A．900 B．600 C．450 D．150 【答案】C 【详解】由题意可知6个人分成三组且每组最多3名学生， 所以可以分成1，2，3或2，2，2两类， 当6人分成1，2，3三组，有种分法， 当6人分成2，2，2三组，有种分法， 所以不同的安排方法种数为种， 故选：C 考点08 x+y+z=n的整数解的个数 【方法点拨】隔板法：将个相同的元素分给个不同的对象，有种方法可描述为个空中插入块板. 【例15】已知，且，，，则方程的解的组数为 . 【答案】15 【详解】由题意，原问题等价于将7个相同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子中至少放入1个小球的方法个数，在7个相同的小球之间形成的6个空中，任选2个放入两个隔板，共有种方法， 即方程的解的组数为15. 故答案为：15 【例16】个相同的篮球，分给甲、乙、丙三位同学（每人至少分得一个），不同分法的总数为 ． 【答案】 【详解】问题等价于：在个相同的篮球中间形成的个空位中插入两块板， 所以，不同的分法种数为种. 故答案为：. 【变式8-1】有本相同的画册要分给个小朋友，每个小朋友至少一本，则不同的分法种数为 （用数字作答）． 【答案】 【详解】将本相同的画册要分给个小朋友，每个小朋友至少一本， 只需在本相同的画册形成的个空位中（不包括两端的空位）插入块板即可， 所以，不同的分法种数为种. 故答案为：. 【变式8-2】袋中有十个完全相同的乒乓球，四个小朋友去取球，每个小朋友至少取一个球，所有的球都被取完，最后四个小朋友手中乒乓球个数的情况一共有（    ） A．84种 B．504种 C．729种 D．39种 【答案】A 【详解】四个小朋友去取球，每个小朋友至少取一个球，所有的球都被取完， 即将个球分成了份： 个球有个空隙，选个空隙插上“隔板”即可分成4份， 即：种. 故选：A. 【变式8-3】已知，满足方程，则这个方程解的组数为 ．（用数字作答） 【答案】286 【详解】解：当解中没有0时，相当于10个球分成4堆，则10个球中间有9个空，分成4堆也就是在其中插上3个板，有种， 当有1个解为0时，相当于10个球分成三堆，但先要选出谁为0，所以共有种， 当有2个解为0时，相当于10个球分成两堆，所以共有， 当有3个解为0时，相当于10个球分成一堆，所以有， 所以共有， 这个方程解的组数为286组， 故答案为：286 1．（2023-24高二下·江苏徐州·期中）一个口袋内装有大小相同的5个白球和2个黑球，从中取3个球，则不同的取法种数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意，一个口袋内装有大小相同的个白球和个黑球，共个球， 从中取个球，则有种取法． 故选：D． 2．（2023-24高二上·甘肃白银·期末）已知，则（    ） A．4 B．3 C．5 D．1 【答案】C 【详解】根据题意，得或，解得（舍去）或. 故选：C 3．（2023-24高二下·山西长治·期中）已知，则（    ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】B 【详解】因为，所以， 又，所以，所以，解得. 故选：B 4．（2024·广东佛山·一模）印度数学家卡普列加在一次旅行中，遇到猛烈的暴风雨，他看到路边写有3025的一块牌子被劈成了两半，一半上写着30，另一半上写着25.这时，他发现，，即将劈成两半的数加起来，再平方，正好是原来的数字.数学家将3025等符合上述规律的数字称之为雷劈数（或卡普列加数）.则在下列数组：92，81，52，40，21，14中随机选择两个数，其中恰有一个数是雷劈数的概率是（   ） A． B． C． D．0 【答案】C 【详解】因为，所以是雷劈数.其余的不是雷劈数. 记： “从6个数中随机选择两个数，其中恰有一个数是雷劈数”为事件， 则. 故选：C 5．（2023-24高三上·湖北武汉·期末）某校举办中学生运动会，某班的甲，乙，丙，丁，戊名同学分别报名参加跳远，跳高，铅球，跑步个项目，每名同学只能报个项目，每个项目至少有名同学报名，且甲不能参加跳远，则不同的报名方法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【详解】满足条件的报名方法可分为两类： 第一类：甲单独参加某项比赛， 先安排甲，由于甲不能参加跳远，故甲的安排方法有种， 再将余下人，安排到与下的三个项目， 由于每名同学只能报个项目，每个项目至少有名同学报名， 故满足条件的报名方法有, 所以甲单独参加某项比赛的报名方法有种， 第二类：甲与其他一人一起参加某项比赛， 先选一人与甲一起，再将两人安排至某一项目，有种方法， 再安排余下三人，有种方法， 所以甲不单独参加某项比赛的报名方法有种， 所以满足条件的不同的报名方法共有种方法. 故选：C. 6．（2023-24高二上·甘肃甘南·期末）在以“旅行丝绸路，研学在甘肃”为主题的甘肃研学旅行大会活动中，某学校有10名志愿者参加接待工作.若每天排早、中、晚三班，每班3人，每人每天最多值一班，则第一天不同的排班种数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】首先从10人中选出3人上早班，共有种， 从剩下的7人中选出3人上中班，共有种， 再从剩下的4人中选出3人上晚班，共有种， 共有种. 也可以先从10人中选出9人，共有种， 再从9人中选出3人上早班，共有种， 从剩下的6人中选出3人上中班，共有种， 其余3人上晚班，则共有种排法. 故选：D 7．（2023-24高二下·浙江绍兴·期中）（多选）下列有关排列数､组合数的等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B, 因为，所以，故B错误； 对于C, 因为，所以，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：ACD 8．（2023-24高三上·吉林白城·阶段练习）（多选）现安排甲､乙､丙､丁､戊这5名同学参加志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，且每人只安排一个工作，则下列说法正确的是（    ） A．不同安排方案的种数为 B．若每项工作至少有1人参加，则不同安排方案的种数为 C．若司机工作不安排，其余三项工作至少有1人参加，则不同安排方案的种数为 D．若每项工作至少有1人参加，甲不能从事司机工作，则不同安排方案的种数为 【答案】BD 【详解】对A，若每人都安排一项工作，每人有4种安排方法，则不同安排方案的种数为，故A错误； 对B，先将5人分为4组，再将分好的4组全排列，安排4项工作， 则不同安排方案的种数为，故B正确； 对C，先将5人分为3组，有种分组方法， 将分好的三组安排翻译､导游､礼仪三项工作，有种情况， 则不同安排方案的种数是，故C错误； 对D，第一类，先从乙，丙，丁，戊中选出1人从事司机工作，再将剩下的4人分成三组， 安排翻译､导游､礼仪三项工作，则不同安排方案的种数为； 第二类，先从乙，丙，丁，戊中选出2人从事司机工作， 再将剩下的3人安排翻译、导游、礼仪三项工作， 则不同安排方案的种数为.所以不同安排方案的种数是，故D正确. 故选：BD. 9．（2023-24高二上·上海·阶段练习）已知，则 . 【答案】6 【详解】，解得或， 因为，所以. 故答案为：. 10．（2025·宁夏内蒙古·模拟预测）有8张卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，现从这8张卡片中随机抽出3张，则抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为 ． 【答案】 【详解】从8张卡片中随机抽出3张，则样本空间中总的样本点数为， 因为， 所以要使抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等， 则抽出的3张卡片上的数字之和应为， 则抽出的3张卡片上的数字的组合有或或共3种， 所以符合抽出的3张卡片上的数字之和为的样本点个数共3个， 所以抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为. 故答案为：. 11．（2023-24高三上·湖南·阶段练习）从中任意选取四元数组，满足，则这样的四元数组的个数为 .（用数字作答） 【答案】70 【详解】由题意得， 将连同右边的3个空位捆绑，连同右边的4个空位捆绑，连同右边的5个空位捆绑， 分别看作一个元素，还剩个元素. 四元数组的个数相当于从8个元素中选取4个， 故这样的四元数组的个数是. 故答案为：70 12．（2023-24高二下·广东深圳·阶段练习）求等式中的值. 【答案】9. 【详解】由，得，即，因此， 显然，且，即， 则， 整理得，解得， 所以. 13．（2024高三·全国·专题练习）将6本不同的书，甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本，有多少种不同的分配方式？ 【答案】360 【详解】先将6本不同的书分成1本一份，2本一份，3本一份，共有种方法， 由于甲、乙、丙是不同的三人，还应考虑再分配，共有（种）分配方式. 14．（2024高三·全国·专题练习）现在4本不同的书，按以下方式进行分配． (1)分成两堆，每堆2本，则有多少种分法； (2)分成两堆，一堆3本、一堆1本，则有多少种分法； (3)分给甲、乙两人，每人2本，则有多少种分法； (4)分给甲、乙两人，一个3本、一人1本，则有多少种分法． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）先将4本书分成有顺序的2堆，其中第1堆有2本书，第2堆有2本书，则有种情况，由于这两堆书数量相同并无实际的顺序，因此需要除以个来去序， 综上所述，不同分法的种数为． （2）先将4本书分成有顺序的2堆，其中第1堆为3本书，第2堆为1本书，则有种情况， 由于这两堆书数量不同因此确实有顺序．综上所述，不同分法的种数为． （3）先将4本书分成有顺序的2堆，其中第1堆为2本书，第2堆为2本书，则有种情况， 由于是4本不同的书，因此无需去序．综上所述，不同分法的种数为． （4）先将4本书分成有顺序的2堆，其中第1堆为3本书，第2堆为1本书，则有种情况， 由于甲、乙一个拿3本书、一个拿1本书，因此甲和乙有差异，同时也有顺序差异，于是需要乘．综上所述，不同分法的种数为． 15．（2023-24高三·上海·课堂例题）球台上有标有1、2、3、4的4个黄球和标有1、2、3、4、5、6的6个红球，击黄球入袋记2分，击红球入袋记1分，欲将此十球中的4球击入袋中，但总分不低于5分，击球方法有几种？ 【答案】 【详解】设击入黄球个、红球个符合要求， 则有（且、），得. 所以 相应每组解，击球方法数分别为，，，. 共有不同击球方法数为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年高二数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019） 预习08 组合与组合数 知识点 1 ：组合 ①组合的定义：一般地，从n个不同元素中取出个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. ②组合数、组合数公式：从n个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示. ，其中，且 规定： ③排列与组合的关系 相同点 两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 不同点 排列问题中元素有序，组合问题中元素无序 （关键是看选出的元素是否与顺序有关,若有关系,则是排列问题，若无关系，则是组合问题） ④组合数的性质 性质1：；性质2：. 知识点 2 ：组合问题 问题 方法 平均分组问题 一般先分堆，再除以. 不平均分组问题 先分堆，其中有组个数一样，再除以 相同元素的“分配”问题 “隔板法”：将个相同的元素分成份,每份至少一个元素,可以用块隔板，插入个元素排成一排的个空隙中， 考点01 组合概念的理解 【方法点拨】区分排列与组合问题的关键是看结果是否与元素的顺序有关,若交换某两个元素的位置对结果产生影响,则是排列问题,若交换任意两个元素的位置对结果没有影响,则是组合问题,也就是,说排列问题与选取元素的顺序有关,组合问题与选取元素的顺序无关. 【例1】判断正误，正确的写正确，错误的写错误． （1）从3，5，7，11中任取两个数相除属于组合问题.( ) （2）由于组合数的两个公式都是分式，所以结果不一定是整数.( ) （3）区别组合与排列的关键是看问题元素是否与顺序有关.( ) （4）从三个不同元素中任取两个元素作为一组是组合问题．( ) （5）“”“”与“”是三种不同的组合．( ) （6）组合数.( ) （7）两个组合相同，则其对应的元素一定相同．( ) 【例2】下列四个问题属于组合问题的是（   ） A．从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作 B．从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数 C．从全班同学中选出3名同学参加某大学生运动会开幕式 D．从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员 【变式1-1】下列选项中，属于组合问题的是（    ） A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法 B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案 C．从3，5，7，9中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂 D．从1，2，3，4中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点 【变式1-2】给出下列问题： ①有10个车站，共需要准备多少种车票？ ②有10个车站，共有多少种不同的票价？ ③平面内有10个点，共可作出多少条不同的有向线段？ ④有10个同学，假期约定每两人通电话一次，共需通话多少次？ ⑤从10个同学中选出2名分别参加数学和物理竞赛，有多少种选派方法？ 以上问题中，属于组合问题的是 ．（填写问题序号） 【变式1-3】已知平面内A，B，C，D这4个点中任何3点不共线，请列举出由其中每3点为顶点的所有三角形 ． 考点02 组合数的计算 【方法点拨】涉及具体数字问题可以直接运算； 组合数公式的主要作用:一是计算较大时的组合数;二是对含有字母的组合数的式子进行变形和证明. 【例3】已知且，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【例4】若一组数据的第百分位数是，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】可表示为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】计算的值为 ． 【变式2-3】证明下列各等式． (1)＝； (2). 考点03 组合数的方程及不等式 【方法点拨】关注组合数中的隐含条件,且,求解时应检验其结果是否满足这一条件. 【例5】若，则（   ） A．5 B．20 C．60 D．120 【例6】已知组合数，则关于的不等式的解集为 ． 【变式3-1】已知，则 ． 【变式3-2】若，则的值为（    ） A．2 B．8 C．2或8 D．2或4 【变式3-3】求r的取值范围：． 考点04 实际问题中的组合计数问题 【例7】小沉从5瓶不同香味的香水中选择2瓶进行试香，则小沉共有 种选择. 【例8】已知某校教学楼共有四层，每层有8个班级，先从四个楼层中选取两层，然后从所选的楼层中一层选3个班级，另一层选4个班级进行卫生检查，则不同的选取方式共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【变式4-1】袜子由袜口､袜筒､脚趾三部分组成，现有四种不同颜色的布料，设计袜子的颜色配比，要求相连的部分颜色不同，共可以设计出不同颜色类型的袜子种数为（    ） A．12 B．24 C．36 D．48 【变式4-2】两名运动员参加一场七局四胜制的斯诺克短赛制比赛，比赛结束时所有可能比赛结果种数为（   ） A．80 B．70 C．40 D．35 【变式4-3】从7人中选派5人到10个不同岗位中的5个参加工作，则不同的选派方法有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 考点05 代数中的组合计数问题 【例9】已知四个函数：①，②，③，④，从中任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为 . 【例10】从2，3，，8中任意取三个不同的数字，组成无重复数字的三位数，要求个位数最大，百位数最小，则这样的三位数的个数为（    ） A．35 B．42 C．105 D．210 【变式5-1】从1∼9这九个自然数中，任取三个数作数组，且，则不同的数组共有 个． 【变式5-2】从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成_____个没有重复数字的四位数． A．720 B．560 C．540 D．1260 【变式5-3】费马大定理又被称为“费马最后的定理”，由17世纪法国数学家皮耶·德·费马提出．他断言当整数时，关于x，y，z的方程没有正整数解．他提出后，历经多人猜想辩证，最终在1995年被英国数学家安德鲁·怀尔斯彻底证明．甲同学对这个问题很感兴趣，他决定从集合中的5个自然数中随机选两个数字分别作为方程中n的指数，则方程存在正整数解的概率为 ． 考点06 几何组合计数问题 【例11】已知某圆上的10个不同的点，过每3个点画一个圆内接三角形，一共可画 个圆内接三角形. 【例12】从五棱锥的6个顶点中随机选取4个，则这4个顶点在同一个平面内的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】在直角坐标平面中，平行直线与平行直线组成的图形中，平行四边形共有（    ） A．25个 B．36个 C．100个 D．225个 【变式6-2】北斗七星是夜空中的七颗亮星，我国汉代纬书《春秋运斗枢》就有记载，它们组成的图像我国古代舀酒的斗，故命名北斗七星．北斗七星不仅是天上的星象，也是古人藉以判断季节的依据之一．如图，用点表示某一时期的北斗七星．其中四点看作共线，其他任何三点均不共线，过这七个点中任意两个点作直线，所得直线的条数为（    ） A．18 B．17 C．16 D．15 【变式6-3】如图，已知圆，以圆内横坐标与纵坐标均为整数的点为顶点构造三角形，这样的三角形一共有多少个？    考点07 分组分配问题 【方法点拨】完全均匀分组，应注意不要重复，有组均匀，最后必须除； 部分均匀分组，应注意不要重复，有组均匀，最后必须除； 完全非均匀分组,这种分组不考虑重复现象 【例13】已知某班级将学生分为4个不同的大组，每个大组均有14名学生，现从这个班级里抽取5名学生参加年级活动，要求每个大组至少有1名同学参加，则不同的抽取结果共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【例14】2025年的寒假就要到了，甲、乙、丙、丁四个同学都计划去旅游，除常见的五个旅游热门地北京、上海、广州、深圳、成都外，延边打卡也火爆全国，则甲、乙、丙、丁四个同学恰好选择三个城市旅游的方法种数共有（   ） A．1800 B．1080 C．720 D．360 【变式7-1】现将4名志愿者分配到3个服务点，要求每位志愿者都要到一个服务点服务，每个服务点都要安排志愿者，有（    ）种分配方式 A．30 B．36 C．60 D．72 【变式7-2】某市政工作小组就民生问题开展社会调研，现派遣三组工作人员对市内甲、乙、丙、丁四区的居民收人情况进行抽样调査，若每区安排一组工作人员调研，且每组工作人员至少负责一个区调研，则不同的派遣方案共有（   ） A．12种 B．36种 C．48种 D．72种 【变式7-3】2024年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕某校足球社的6名学生准备分成三组前往村超球队所在的平地村､口寨村､忠诚村3个村寨进行调研，每个村各有一组来调研，每个组至多3名学生，则不同的安排方法种数为（    ） A．900 B．600 C．450 D．150 考点08 x+y+z=n的整数解的个数 【方法点拨】隔板法：将个相同的元素分给个不同的对象，有种方法可描述为个空中插入块板. 【例15】已知，且，，，则方程的解的组数为 . 【例16】个相同的篮球，分给甲、乙、丙三位同学（每人至少分得一个），不同分法的总数为 ． 【变式8-1】有本相同的画册要分给个小朋友，每个小朋友至少一本，则不同的分法种数为 （用数字作答）． 【变式8-2】袋中有十个完全相同的乒乓球，四个小朋友去取球，每个小朋友至少取一个球，所有的球都被取完，最后四个小朋友手中乒乓球个数的情况一共有（    ） A．84种 B．504种 C．729种 D．39种 【变式8-3】已知，满足方程，则这个方程解的组数为 ．（用数字作答） 1．（2023-24高二下·江苏徐州·期中）一个口袋内装有大小相同的5个白球和2个黑球，从中取3个球，则不同的取法种数是（    ） A． B． C． D． 2．（2023-24高二上·甘肃白银·期末）已知，则（    ） A．4 B．3 C．5 D．1 3．（2023-24高二下·山西长治·期中）已知，则（    ） A．11 B．10 C．9 D．8 4．（2024·广东佛山·一模）印度数学家卡普列加在一次旅行中，遇到猛烈的暴风雨，他看到路边写有3025的一块牌子被劈成了两半，一半上写着30，另一半上写着25.这时，他发现，，即将劈成两半的数加起来，再平方，正好是原来的数字.数学家将3025等符合上述规律的数字称之为雷劈数（或卡普列加数）.则在下列数组：92，81，52，40，21，14中随机选择两个数，其中恰有一个数是雷劈数的概率是（   ） A． B． C． D．0 5．（2023-24高三上·湖北武汉·期末）某校举办中学生运动会，某班的甲，乙，丙，丁，戊名同学分别报名参加跳远，跳高，铅球，跑步个项目，每名同学只能报个项目，每个项目至少有名同学报名，且甲不能参加跳远，则不同的报名方法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 6．（2023-24高二上·甘肃甘南·期末）在以“旅行丝绸路，研学在甘肃”为主题的甘肃研学旅行大会活动中，某学校有10名志愿者参加接待工作.若每天排早、中、晚三班，每班3人，每人每天最多值一班，则第一天不同的排班种数为（   ） A． B． C． D． 7．（2023-24高二下·浙江绍兴·期中）（多选）下列有关排列数､组合数的等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 8．（2023-24高三上·吉林白城·阶段练习）（多选）现安排甲､乙､丙､丁､戊这5名同学参加志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，且每人只安排一个工作，则下列说法正确的是（    ） A．不同安排方案的种数为 B．若每项工作至少有1人参加，则不同安排方案的种数为 C．若司机工作不安排，其余三项工作至少有1人参加，则不同安排方案的种数为 D．若每项工作至少有1人参加，甲不能从事司机工作，则不同安排方案的种数为 9．（2023-24高二上·上海·阶段练习）已知，则 . 10．（2025·宁夏内蒙古·模拟预测）有8张卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，现从这8张卡片中随机抽出3张，则抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为 ． 11．（2023-24高三上·湖南·阶段练习）从中任意选取四元数组，满足，则这样的四元数组的个数为 .（用数字作答） 12．（2023-24高二下·广东深圳·阶段练习）求等式中的值. 13．（2024高三·全国·专题练习）将6本不同的书，甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本，有多少种不同的分配方式？ 14．（2024高三·全国·专题练习）现在4本不同的书，按以下方式进行分配． (1)分成两堆，每堆2本，则有多少种分法； (2)分成两堆，一堆3本、一堆1本，则有多少种分法； (3)分给甲、乙两人，每人2本，则有多少种分法； (4)分给甲、乙两人，一个3本、一人1本，则有多少种分法． 15．（2023-24高三·上海·课堂例题）球台上有标有1、2、3、4的4个黄球和标有1、2、3、4、5、6的6个红球，击黄球入袋记2分，击红球入袋记1分，欲将此十球中的4球击入袋中，但总分不低于5分，击球方法有几种？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$