1.2 二次函数的图像与性质 （课件） 2024-2025学年湘教版九年级数学下册

湘教版九年级上册 二次函数y=ax²+k的图象与性质 1.已知二次函数 ① y=-x2; ② y= x2; ③ y=15x2; ④ y=-4x2; ⑤ y=- x2; ⑥ y=4x2. (1)其中开口向上的有 (填题号)； (2)其中开口向下，且开口最大的是 (填题号)； (3)当自变量由小到大变化时，函数值先逐渐变大，然后逐渐变小的有 (填题号). ②③⑥ ⑤ ①④⑤ 复习引入 2.一次函数y=2x与y=2x+2的图象的位置关系. 3.你能由此推测二次函数y=2x2与y=2x2+1的图象之间有何关系吗？二次函数y=2x2+1与y=2x2-1的图象之间又有何关系? 平行 一、研究思路与方向 特殊 一般 y=ax² y=ax²+bx+c hhhgggsnm 逐渐过渡 二、画y=ax²+k的图象 画函数图象三部曲：列表、描点、连线. x ... -3 -2 -1 0 1 2 3 ... y ... 9 4 1 0 1 4 9 ... z ... ... 解：列表（自变量在上，函数值在下） 描点：（x,y)即（自变量，函数值） 连线：从左至右平滑曲线并出头 x y 0 例1 在同一坐标系中画出y=x²及y=x²+1的图象. 二、研究y=ax²+k的图象 观察： y=2x²与y=2x²+1的图象 有什么区别和联系？ 1.开口方向相同 2.开口大小相同 3.对称轴相同 位置不同，顶点不同. 在同一坐标系中画出y=x²-1的图象. 观察： y=2x²与y=2x²-1的图象 有什么区别和联系？ 1.开口方向相同 2.开口大小相同 3.对称轴相同 位置不同，顶点不同. 对称轴右侧y随x增大而增大. 5 3 2 1 -6 -4 -2 2 4 6 4 o x y -1 y=2x2-1 对称轴左侧y随x增大而减小 解析式 形状 开口方向 对称轴 顶点坐标 顶点高低 函数最值 函数的增减性 y=2x2-1 y=2x2 y=2x2+1 向上 直线x=0 或y轴 最低 (0,0) (0,1) (0,-1) 最小,y=0 最小,y=1 最小,y=-1 对称轴左侧y随x增大而减小 对称轴右侧y随x增大而增大 抛物线 形状 开口方向 顶点 坐标 顶点高低 函数最值 函数的增减性 三个图像分别具有什么性质？ 根据图象回答下列问题: (1)图象的形状都是 . (2)三条抛物线的开口方向_______; (3)对称轴都是__________ (4) 从上而下顶点坐标分别是 _____________________ (5)顶点都是最____点，函数都有 最____值，从上而下最大值分别 为_______、_______﹑________ (6) 函数的增减性都相同： ____________________________ _____________________________ 抛物线 向下 直线x=0 ( 0,0) ( 0，2) ( 0,-2) 高 大 y=0 y= -2 y=2 0 对称轴左侧(x＜0)y随x增大而增大 对称轴右侧(x＞0)y随x增大而减小 y -2 -2 2 2 -4 x 三条抛物线之间有什么关系？ 三、总结y=ax²+k的性质 问题1：y=ax²+k的图象与y=ax²的图象有什么关系？a决定什么？k决定什么？ 上下平移k个单位长度得到.k决定顶点的纵坐标，以及与y轴的交点 问题2：说出y=ax²+k的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标. 二次函数 图象 开口方向 对称轴 顶点坐标 y=ax² a>0开口向上 a<0开口向下 y轴（直线x=0） 原点（0，0） y=ax²+k a>0开口向上 a<0开口向下 y轴（直线x=0） （0，K) 上下平移规律： 平方项不变，常数项上加下减. 1.y=x²+3是由y=x²怎样平移得到的？ 2.抛物线的顶点坐标为（-2，0），开口大小与y=-x²一致，开口方向与y=3x²一致.求解析式. 3.y=3x²+c的图象顶点在y轴负半轴，求c的取值范围. 四、练习巩固 4.点（1，a）（3，b）在y=3x²+c的图象上，判断a,b的大小. 二次函数y=ax2+k（a≠0)的图象和性质 图象 性质 与y=ax2的关系 开口方向由a的符号决定； k决定顶点位置； 对称轴是y轴. 增减性结合开口方向和对称轴才能确定. 平移规律： k正向上； k负向下. 课堂小结 五、课堂小结 a决定开口方向和开口大小 常数决定图象与y轴的交点 当堂练习 1.抛物线y=2x2向下平移4个单位，就得到抛物线 2.填表： y = 2x2－４ 函数 开口方向 顶点 对称轴 有最高（低）点 y = ３x2 y = 3x2＋1 y = -4x2－5 向上 向上 向下 （0,0） (0,1) (0,-5) y轴 y轴 y轴 有最低点 有最低点 有最高点 3.已知（m,n)在y=ax2+a（a不为0）的图象上，(-m,n) ___（填“在”或“不在”）y=ax2+a（a不为0）的图象上. 4. 若y=x2+（k-2）的顶点是原点，则k____；若顶点位于x轴上方，则k____；若顶点位于x轴下方，则k . 在 =2 >2 <2 5.不画函数y=-x2和y=-x2+1的图象回答下面的问题： （1）抛物线y=-x2+1经过怎样的平移才能得到抛物线y=-x2. （2）函数y=-x2+1，当x 时， y随x的增大而减小；当x 时，函数y有最大值，最大值y是 ，其图象与y轴的交点坐标是 ，与x轴的交点坐标是 . （3）试说出抛物线y=x2-3的开口方向、对称轴和顶点坐标. 向下平移1个单位. >0 =0 1 (0,1) (-1,0) ,(1,0) 开口方向向上，对称轴是y轴，顶点坐标（0，-3）. 6.在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋k和二次函数y＝ax2＋k的图象大致为(　　) 方法总结：熟记一次函数y＝kx＋b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质(开口方向、对称轴、顶点坐标等)是解决问题的关键． D 例2：已知二次函数y＝ax2+5,当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x＝x1+x2时，其函数值为________. 解析：由二次函数y＝ax2+5图象的性质可知，x1，x2关于y轴对称，即x1+x2＝0.把x＝0代入二次函数表达式求出纵坐标为5. 5 4.下列各组抛物线中能够互相平移彼此得到对方的是( ) A.y＝2x2与y＝3x2 B.y ＝ x2+2与y ＝ 2x2+ C.y＝2x2与y＝x2+2 D.y＝x2与y＝x2－2 5.对于二次函数y＝- x2+2，当x为xl和x2时，对应的函数值分别为y1和y2，若x1>x2>0，则y1与y2的大小关系是( ) A.y1>y2 B.y1<y2 C.y1＝y2 D.无法比较 B D 拓展延伸 6.求抛物线y=2x2-1关于x轴对称的抛物线的解析式. 解：抛物线y=2x2-1关于x轴对称的抛物线的解析式为y=-2x2+1. 能力提升 7.对于二次函数y=(m+1)xm2-m+3,当x>0时y随x的增大而增大，则m=____. 8.已知二次函数y=(a-2)x2+a2-2的最高点为（0，2）则a=____. 9.抛物线y=ax2+c与x轴交于A（-2,0）﹑B两点，与y轴交于点C(0，-4),则三角形ABC的面积是_______. 2 -2 8 10.已知二次函数y＝ax2+c,当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x＝x1+x2时，其函数值为________. 解析：由二次函数y＝ax2+c图象的性质可知，x1，x2关于y轴对称，即x1+x2＝0.把x＝0代入二次函数表达式求出纵坐标为c. c 【方法总结】二次函数y＝ax2+c的图象关于y轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，函数值相等的两点的对应横坐标互为相反数． 思考题：如图，抛物线y＝x2－4与x轴交于A、B两点，点P为抛物线上一点，且S△PAB＝4，求P点的坐标． $$