精品解析：福建省福州市闽侯县第二中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试卷

闽侯二中2024-2025学年度第一学期高一12月月考数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 出卷人：叶丽芳 审核人：林丽平 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 即不充分也不必要条件 3. 用二分法求方程的近似解，求得的部分函数值数据如表所示： x 1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.812 5 f（x） －6 3 －2.625 －1.459 －0.14 1.341 8 0.579 3 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取为（　　） A. 1.6 B. 1.7 C. 1.8 D. 1.9 4. 已知函数（且）是奇函数，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 5. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 若，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. 4 D. 5 8. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题；本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若角的终边上有一点，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的单调递增区间是 B. 不等式的解集为 C. 已知函数，若，则的最大值和最小值分别是，1 D. 11. 已知函数，若存在不相等的实数满足且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 的取值范围为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若扇形的弧长是8，面积是16，则这个扇形的圆心角的弧度数是______． 13. 今年8月24日，日本不顾国际社会的强烈反对，将福岛第一核电站核污染废水排入大海，对海洋生态造成不可估量的破坏.据有关研究，福岛核污水中的放射性元素有21种半衰期在10年以上；有8种半衰期在1万年以上.已知某种放射性元素在有机体体液内浓度与时间（年）近似满足关系式（，为大于0的常数且）.若时，；若时，.则据此估计，这种有机体体液内该放射性元素浓度为时，大约需要________年（最终结果四舍五入，参考数据： ，） 14. 已知函数为奇函数.，与的图象有8个交点，分别为，则______ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 计算下列各式的值： （1） （2） 16. 已知角满足． （1）若，求，的值； （2）若角的终边与角的终边关于轴对称，求的值． 17. 已知函数，若函数在区间上的最大值与最小值之和为. （1）求函数解析式，并求出关于的不等式的解集； （2）求函数，的值域，并求出取得最值时对应的的值. 18. 为了号召并鼓励学生利用课余时间阅读名著，学校决定制定一个课余时间阅读名著考核评分制度，建立一个每天得分（单位：分）与当天阅读时间（单位：分钟）的函数关系，要求如下： （i）函数的部分图象接近图示； （ii）每天阅读时间为分钟时，当天得分为分； （iii）每天阅读时间为分钟时，当天得分为分； （iiii）每天最多得分不超过分. 现有以下三个函数模型供选择： ①； ②； ③. （1）请你根据函数图像性质从中选择一个合适的函数模型，不需要说明理由； （2）根据你对（1）的判断以及所给信息完善你的模型，给出函数的解析式； （3）已知学校要求每天的得分不少于分，求每天至少阅读多少分钟？ 19. 已知函数在区间上有最大值4和最小值1. （1）求的值； （2）设. ①若时，，求实数的取值范围； ②若方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 闽侯二中2024-2025学年度第一学期高一12月月考数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 出卷人：叶丽芳 审核人：林丽平 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数有意义、根式有意义列不等式求解即可． 【详解】因为函数， 所以，解之可得， 函数的定义域为． 故选：C． 2. “”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 即不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由三角函数正切值与角的关系结合充分不必要条件的定义即可得解. 【详解】若，则，故满足充分性； 若，则，故不满足必要性. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 用二分法求方程的近似解，求得的部分函数值数据如表所示： x 1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.812 5 f（x） －6 3 －2.625 －1.459 －0.14 1.341 8 0.579 3 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取为（　　） A. 1.6 B. 1.7 C. 1.8 D. 1.9 【答案】C 【解析】 【分析】根据二分法求方程的的近似解以及零点存在定理得出零点存在区间即可. 【详解】由表格可得，函数的零点在区间内. 结合选项可知，方程的近似解可取为1.8. 故选：C. 4. 已知函数（且）是奇函数，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用奇函数定义，可得，进而利用奇函数定义验证求解即可. 【详解】因为函数是奇函数，定义域为， 所以， 即，即，又，故解得， 此时， 则， 所以函数是奇函数，满足题意， 所以. 故选：B. 5. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性可得正确的选项. 【详解】，，，所以． 故选：A. 6. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据函数的奇偶性排除部分选项，然后利用特值法，结合图象分析求解. 【详解】因为函数定义域为R， 且，所以函数是奇函数， 由题可知，选项D的函数图象不关于原点对称，不是奇函数，故排除D， 当时，，故排除AB. 故选：C. 7. 若，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】先化简已知等式，再应用基本不等式计算求解即可. 【详解】因为，，且，则， ，同理， 则， 当且仅当时，的最小值为. 故选：B. 8. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，判断其奇偶性以及单调性，将化为，利用函数的单调性即可求解. 【详解】设，， ， ，即， 设 ， 由于，故， 故， 则，故为奇函数，且在R上单调递增， 则， 即， 故，解得． 故选：D. 二、选择题；本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若角的终边上有一点，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据角终边上一点应用任意角的正弦及余弦的定义计算即可. 【详解】因为角的终边上有一点，， 当时，， 当时，， 故选：AD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的单调递增区间是 B. 不等式的解集为 C. 已知函数，若，则的最大值和最小值分别是，1 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，由函数定义域以及对数函数和二次函数单调性即可判断；对于B，由一元二次不等式解法结合指数函数性质即可求解判断；对于C，依次求出和的范围，从而可求出的范围即可判断；对于D，由诱导公式即可计算判断. 【详解】对于A，，所以函数的定义域为， 因为为减函数；在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 即函数的单调递减区间是，单调递增区间是，故A正确； 对于B，即，解得， 因为为增函数，所以解得， 所以不等式的解集为，故B正确； 对于C，若，则，所以即， 所以，所以，故， 又因为， 所以，即的最大值和最小值分别是，1，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：ABC. 11. 已知函数，若存在不相等的实数满足且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，画出与的图象，数形结合得到，A正确；B选项，由对称性可知，；C选项，求出，，故，得到；D选项，变形得到，结合和对勾函数单调性得到取值范围. 【详解】A选项，画出与的图象如下： 要想满足，则，故A正确； B选项，由对称性可知，，故B错误， C选项，令，解得，故， 由，故，所以，故C正确； D选项，， 其中，而在上单调递减， 所以，则，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：函数零点问题：将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若扇形的弧长是8，面积是16，则这个扇形的圆心角的弧度数是______． 【答案】2 【解析】 【分析】利用扇形的面积、弧长公式求圆心角的弧度即可. 【详解】令扇形的圆心角的弧度数为，半径为， 则，即， 又，故. 故答案为：2. 13. 今年8月24日，日本不顾国际社会的强烈反对，将福岛第一核电站核污染废水排入大海，对海洋生态造成不可估量的破坏.据有关研究，福岛核污水中的放射性元素有21种半衰期在10年以上；有8种半衰期在1万年以上.已知某种放射性元素在有机体体液内浓度与时间（年）近似满足关系式（，为大于0的常数且）.若时，；若时，.则据此估计，这种有机体体液内该放射性元素浓度为时，大约需要________年（最终结果四舍五入，参考数据： ，） 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件得，解方程组求出的值，当时，在等式两边取对数即可求解. 【详解】由题意得：，解得，所以， 当时，得，即， 两边取对数得（其中应用换底公式：）. 所以， 即这种有机体体液内该放射性元素浓度时，大约需要年. 故答案是：. 14. 已知函数为奇函数.，与的图象有8个交点，分别为，则______ 【答案】16 【解析】 【分析】根据奇函数的定义以及图像平移可知与的图像的交点关于点对称，结合对称性即可得结果. 【详解】因为函数为奇函数， 则，可得， 可知的图象关于点对称， 又因为， 将向右平移1个单位，再向上平移3个单位，即可得， 可知的图象关于点对称， 由题意可知：与的图象的交点关于点对称， 可得， 所以. 故答案为：16. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 计算下列各式的值： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据分数指数幂的运算法则求解即可； （2）根据对数的运算法则求解即可. 【小问1详解】 【小问2详解】 16. 已知角满足． （1）若，求，的值； （2）若角的终边与角的终边关于轴对称，求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）确定，根据，结合角度范围解得答案. （2）确定，，，变换，计算得到答案. 【小问1详解】 由，则， 又，故，即， 又，故，. 【小问2详解】 角的终边与角的终边关于轴对称，则， 由，则， 所以， 则， 故. 17. 已知函数，若函数在区间上的最大值与最小值之和为. （1）求函数解析式，并求出关于的不等式的解集； （2）求函数，的值域，并求出取得最值时对应的的值. 【答案】（1），或； （2），取最小值时，取最大值时. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用对数函数单调性求出最值列式求出，再利用单调性解不等式. （2）由（1）的结论求出并换元，转化为二次函数求解. 【小问1详解】 函数定义域为，且在上单调， 由函数在区间上的最大值与最小值之和为， 得，即，解得， 于是； ， 解，得或； 解，即，得或， 因此或， 所以不等式的解集或. 【小问2详解】 由（1）知，， 令，由，得，， 当时，，此时；当时，，此时， 所以函数的值域为，取最小值时，取最大值时. 18. 为了号召并鼓励学生利用课余时间阅读名著，学校决定制定一个课余时间阅读名著考核评分制度，建立一个每天得分（单位：分）与当天阅读时间（单位：分钟）的函数关系，要求如下： （i）函数的部分图象接近图示； （ii）每天阅读时间为分钟时，当天得分为分； （iii）每天阅读时间为分钟时，当天得分为分； （iiii）每天最多得分不超过分. 现有以下三个函数模型供选择： ①； ②； ③. （1）请你根据函数图像性质从中选择一个合适的函数模型，不需要说明理由； （2）根据你对（1）的判断以及所给信息完善你的模型，给出函数的解析式； （3）已知学校要求每天的得分不少于分，求每天至少阅读多少分钟？ 【答案】（1） （2） （3）分钟 【解析】 【分析】（1）根据图像和函数性质选择模型； （2）将，代入求解系数即可； （3）根据对数函数的性质求解不等式即可. 【小问1详解】 从题图看应选择先快后慢增长的函数模型， 故选. 【小问2详解】 将，代入解析式， 得到，解得，， 即 令，可得， 解得，， 所以函数的解析式为. 【小问3详解】 由，即， 即，解得， 所以每天得分不少于分，至少需要阅读分钟. 19. 已知函数在区间上有最大值4和最小值1. （1）求的值； （2）设. ①若时，，求实数的取值范围； ②若方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由已知可得在上单调递增，列关于的方程组求解； （2）①利用换元法将问题化为，利用配方法求不等式右侧的最小值，从而得解； ②将问题转化为有两个，数形结合得到或，从而转化为关于的不等式组求解. 【小问1详解】 ， 在上单调递增， 故，解得； 【小问2详解】 ①由（1）知，， ， 不等式可化为， 即，令，则， ，原命题等价于， 记，则， 的取值范围是； ②方程可化为： ， 令，则方程化为， 方程有三个不同实数解， 由的图象知， 方程有两个， 且或， 记， 则或， 解得， 实数的取值范围是. 【点睛】方法点睛：关于方程根的个数问题的思路有： （1）对方程进行整体换元； （2）根据换元的对象，由图象变换，画出其图象； （3）根据方程根的个数，分析函数值的取值范围及二次方程根的个数； （4）利用二次函数根的分布问题进行解决即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $