精品解析：江西省赣州市石城县2024-2025学年八年级上学期期末质量监测数学试题

石城县2024—2025学年度第一学期期末质量监测 八年级数学试题卷 （说明：本卷共有六大题，23小题，全卷满分120分，考试时间120分钟．） 一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1. 对称的形式被公认为是和谐、美丽且真实的，在图案设计中被广泛运用．以下手机应用的标志（Logo）是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 2024年9月9日，工业和信息化部宣布中国首台氟化氩光刻机，实现套刻技术，标志着我国在高端芯片制造领域取得了关键性进展．已知8纳米米，0.000000008用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知一个三角形的两边长分别是8cm和5cm，则其第三边的长可以是（ ） A. 1cm B. 2cm C. 3cm D. 4cm 5. 如图，是一个平分角的仪器，其中，．将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边，上，沿 画一条射线， 交于点，是的平分线．依据的数学原理是（　　） A. 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 B. 三边分别相等的两个三角形全等 C. 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 D. 角平分线上的点到角的两边的距离相等 6. 如图，在中，，分别平分，，平分，交的延长线于点，记，，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，共18分） 7. 使分式有意义的取值范围是 __． 8. 已知点关于y轴的对称点是，则_____． 9. 如图所示，将正六边形与正五边形按此方式摆放，正六边形与正五边形的公共顶点为O，且正六边形的边AB与正五边形的边DE在同一条直线上，则∠COF的度数为______． 10. 如图，中，，于点．于点，且，则下列结论中正确的有________． ①平分；②；③；④． 11. 如图，在中，，面积是14，的垂直平分线分别交边于E、F点.若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则的最小值为________ 12. 等腰中，，过的某个顶点作一条直线，恰好能将原三角形分割成两个等腰三角形，则的度数可以是_______． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13 计算： （1）； （2） 14. 解分式方程∶． 15. 已知：如图，点C，D在上，，，．求证：． 16. 如图1，图2都是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．如图，线段的两端点均在格点上，在给定的网格中，按下列要求用无刻度的直尺画等腰，使点在格点上． （1）在图1中，画以为腰三角形； （2）在图2中，画以为底的三角形． 17. 先化简，再求值 ，其中， ． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在中，．点在外，连接，作于点，交于点，． （1）求证：； （2）若，求的长． 19. 为有效落实双减工作，切实做到减负提质，很多学校决定在课后看护中增加乒乓球项目．体育用品商店得知后，第一次用900元购进乒乓球若干盒，第二次又用900元购进该款乒乓球，但这次每盒进价是第一次进价的倍，购进数量比第一次少了30盒． （1）求第一次每盒乒乓球的进价是多少元？ （2）若要求这两次购进的乒乓球按同一价格全部销售完后获利不低于510元，则每盒乒乓球的售价至少是多少元？ 20. （1）请同学们观察：用4个长为a宽为b的长方形硬纸片拼成的图形（如图），根据图形的面积关系，我们可以写出一个代数恒等式为：； （2）根据（1）中的等量关系，解决如下问题： ①已知，，请利用上述等式求的值； ②若，，求的值． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 【课本再现】本学期同学们在学习第十三章《轴对称》，第三单元等腰三角形，第二课等边三角形时，学习了一个定理． 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 【定理探索】（1）书中对上面定理没有给出证明，请你结合图1，给出定理的证明． 【定理应用】（2）如图2，中，，交于点D，，则 ． （3）如图3，在中，，，．点D是斜边上一点，把沿折叠，得到． ①若，则 ； ②当折痕时，求点D的位置（即求的长）． 22. 我们已经学习过多项式除以单项式，多项式除以多项式一般可用竖式计算，例如：计算，可用竖式除法． 步骤如下： ①把被除式、除式按某个字母降幂排列，并把所缺的项用零补齐； ②用被除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项； ③用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），再把两式相减； ④把相减所得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止． 被除式=除式×商式+余式．若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除． 余式为0，可以整除． 请根据阅读材料，回答下列问题（直接填空）： （1）请在两个方框内分别填入正确的数或式子； （2）多项式除以商式为______，余式为______； （3）多项式的一个因式是，则该多形式因式分解的结果为______． 六、（本大题共1小题，共12分） 23. 学习全等三角形知识后，我们知道，当有中线时，通常会倍长中线构造“8”字型全等的方法来解决问题，如图1，已知中，点E为中点，连结并延长到点D，使，连接则有“8”字全等型．利用这种方法解下列问题． 【课例回顾】（1）如图2，为测量河对岸点A到点B的距离，借鉴上述方法，过点B画直线l，并在直线l上依次取点C和点D，使得，，请利用上述方法补全图形，指出测量哪条线段就可知道的长； 【猜想探究】（2）如图3，在中，D是的中点，，，，猜想线段与有什么数量关系？并证明； 【拓展提升】（3）如图4，在中，，，为中线，且，过点D作交于点E．请求线段的长．（用含d的式子表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石城县2024—2025学年度第一学期期末质量监测 八年级数学试题卷 （说明：本卷共有六大题，23小题，全卷满分120分，考试时间120分钟．） 一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1. 对称的形式被公认为是和谐、美丽且真实的，在图案设计中被广泛运用．以下手机应用的标志（Logo）是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的定义，掌握轴对称图形的概念是解决的关键．在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，故符合题意； B、不是轴对称图形，故不符合题意； C、不是轴对称图形，故不符合题意； D、不是轴对称图形，故不符合题意； 故选：A． 2. 2024年9月9日，工业和信息化部宣布中国首台氟化氩光刻机，实现套刻技术，标志着我国在高端芯片制造领域取得了关键性进展．已知8纳米米，0.000000008用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：B． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查合并同类项，同底数幂的乘法、除法，积的乘方，根据相应运算法则逐项计算，即可得出答案． 【详解】解：A，与不是同类项，不能合并，，该选项运算错误，不合题意； B，，该选项运算错误，不合题意； C，，该选项运算正确，符合题意； D，，该选项运算错误，不合题意； 故选C． 4. 已知一个三角形的两边长分别是8cm和5cm，则其第三边的长可以是（ ） A. 1cm B. 2cm C. 3cm D. 4cm 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，求出第三边的长度范围，根据范围逐一判断即可得出结论． 【详解】解：根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边， 所以第三边的长度需要满足大于，小于， 观察选项，只有D选项符合题意． 故选：D． 5. 如图，是一个平分角的仪器，其中，．将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边，上，沿 画一条射线， 交于点，是的平分线．依据的数学原理是（　　） A. 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 B. 三边分别相等的两个三角形全等 C. 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 D. 角平分线上的点到角的两边的距离相等 【答案】B 【解析】 【详解】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． 由判定，然后由该全等三角形的对应角相等证得是的平分线． 【解答】解：在和中， ∴ ∴， ∴是的平分线， ∴依据的数学原理是三边分别相等的两个三角形全等． 故选：B． 6. 如图，在中，，分别平分，，平分，交的延长线于点，记，，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的内角和定理，三角形外角的定义及性质，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键； 根据角平分线的定义得，，根据三角形外角的性质得，可判断选项A；根据角平分线的定义得，，由即可判断选项，，； 【详解】解：为外角的平分线，平分， ，， 又是的外角， ， ，故选项A不符合题意； ，分别平分，， ，， ， ， 故选项C、D不符合题意，选项B符合题意， 故选：B 二、填空题（本大题共6小题，共18分） 7. 使分式有意义的的取值范围是 __． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义条件，根据分式的分母不为0列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 8. 已知点关于y轴的对称点是，则_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化-轴对称，熟知关于轴对称点纵坐标相同，横坐标互为相反数是解题的关键． 根据关于轴对称的点纵坐标相同，横坐标互为相反数求出a，b的值即可得到答案． 【详解】解：∵点关于轴的对称点为， ， ， 故答案为：1． 9. 如图所示，将正六边形与正五边形按此方式摆放，正六边形与正五边形的公共顶点为O，且正六边形的边AB与正五边形的边DE在同一条直线上，则∠COF的度数为______． 【答案】84° 【解析】 【分析】利用正多边形性质求出∠EOF，∠BOC，∠BOE即可解决问题． 【详解】解：由题意得：∠EOF＝108°，∠BOC＝120°，∠OEB＝72°，∠OBE＝60°， ∴∠BOE＝180°﹣72°﹣60°＝48°， ∴∠COF＝360°﹣108°﹣48°﹣120°＝84°， 故答案为：84°． 【点睛】本题考查正多边形，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 10. 如图，中，，于点．于点，且，则下列结论中正确的有________． ①平分；②；③；④． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】根据角平分线的判定定理，得平分，根据三线合一得出其它相应结论． 【详解】解：∵于点．于点，且， ∴平分；故①正确； ∵，平分， ∴；；故②③正确； 由题目已知条件无法得证； 故答案为：①②③ 【点睛】本题考查角平分线的判定，等腰三角形三线合一性质；理解等腰三角形三线合一性质是解题的关键． 11. 如图，在中，，面积是14，的垂直平分线分别交边于E、F点.若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则的最小值为________ 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称-最短路线问题、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟知等腰三角形的三线合一是解题的关键． 如图：连接，由于是等腰三角形，点D为边的中点，故；再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点C关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，然后运用等面积求的的长即可． 【详解】解：如图：连接， ∵是等腰三角形，点D为边的中点， ∴， ∴，解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴点C关于直线的对称点为点A， ∴的长为的最小值， ∴的最小值为7． 故答案为7． 12. 等腰中，，过的某个顶点作一条直线，恰好能将原三角形分割成两个等腰三角形，则的度数可以是_______． 【答案】或或或 【解析】 【分析】于本题中经过等腰三角形顶点的直线没有明确是经过顶角的顶点还是底角的顶点，因此本题要分情况讨论．当直线过等腰三角形的顶点时，有两种情况：一种情况是把分成两个等腰三角形，且、；另一种情况是把分成两个等腰三角形，且、；当直线过等腰三角形底边上的点时，有两种情况：一种是把分成两个等腰三角形，且、；另一种是把分成两个等腰三角形，且、． 【详解】解：如下图所示，当过的顶点A把分成两个等腰三角形，且、时， 设，则， ， 三角形内角和为， ， ， 解得：， ； 如下图所示，当过的顶点A把分成两个等腰三角形，且、时， 设， 则，， 三角形内角和为， ， ， 解得：， ； 如下图所示，当过的点把分成两个等腰三角形，且、时， 设， 则， ， 三角形内角和为， ， ， 解得：， ； 如下图所示，过的点把分成两个等腰三角形，且、时， 设， 则，， ， 三角形内角和为， ， ， 解得：． 综上所述，的度数可以是或或或． 故答案为： 或或或． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、分类讨论的思想、等腰三角形的性质、三角形外角定理．由于本题中经过等腰三角形顶点的直线没有明确是经过顶角的顶点还是底角的顶点，因此本题要分情况讨论． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1）； （2） 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算、整式的混合运算：（1）利用乘方、平方根以及立方根的定义即可计算；（2）利用完全平方公式和平方差公式化简即可计算． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 14. 解分式方程∶． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程，分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：， 去分母得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：当时，， 所以是分式方程的解． 15. 已知：如图，点C，D在上，，，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． 利用证明，根据全等三角形的性质及线段的和差即可得证． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 16. 如图1，图2都是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．如图，线段的两端点均在格点上，在给定的网格中，按下列要求用无刻度的直尺画等腰，使点在格点上． （1）在图1中，画以为腰的三角形； （2）在图2中，画以为底的三角形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了在网格中画等腰三角形， （1）根据题意画出以为腰的三角形； （2）根据题意画出以为底的三角形． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求， 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求， 17. 先化简，再求值 ，其中， ． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，再根据负整数指数幂和零指数幂的计算法则求出x、y的值，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在中，．点在外，连接，作于点，交于点，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、线段的和与差， （1）根据证明直角三角形全等的定理证明即可得证； （2）连接，证，利用全等三角形的性质证的，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， 在和， ， ∴（）， ∴， 小问2详解】 解：如图，连接， ∵， ∴， 在和， ， ∴（）， ∴， ∴； 19. 为有效落实双减工作，切实做到减负提质，很多学校决定在课后看护中增加乒乓球项目．体育用品商店得知后，第一次用900元购进乒乓球若干盒，第二次又用900元购进该款乒乓球，但这次每盒的进价是第一次进价的倍，购进数量比第一次少了30盒． （1）求第一次每盒乒乓球的进价是多少元？ （2）若要求这两次购进的乒乓球按同一价格全部销售完后获利不低于510元，则每盒乒乓球的售价至少是多少元？ 【答案】（1）5元 （2）7元 【解析】 【分析】（1）设第一次每盒乒乓球的进价是x元，则第二次每盒乒乓球的进价是元，根据购进数量比第一次少了30盒列方程即可； （2）设每盒乒乓球的售价为y元，根据全部销售完后获利不低于510元列出不等式即可． 【小问1详解】 解：设第一次每盒乒乓球的进价是x元，则第二次每盒乒乓球的进价是元， 由题意得： 解得：x＝5， 经检验：x＝5是原分式方程的解，，且符合题意， 答：第一次每盒乒乓球的进价是5元； 【小问2详解】 解：设每盒乒乓球的售价为y元， 第一次每盒乒乓球的进价为5元，则第二次每盒乒乓球的进价为（元）， 由题意得：， 解得：． 答：每盒乒乓球的售价至少是7元． 【点睛】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解题关键是准确理解题意，根据题目中的数量关系列出方程和不等式． 20. （1）请同学们观察：用4个长为a宽为b的长方形硬纸片拼成的图形（如图），根据图形的面积关系，我们可以写出一个代数恒等式为：； （2）根据（1）中的等量关系，解决如下问题： ①已知，，请利用上述等式求的值； ②若，，求的值． 【答案】（1），；（2）①；② 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用， （1）根据大正方形的面积减去小正方形的面积等于4个长方形的面积和解答即可； （2）①由（1）可得，代入即可求解； ②仿照①解答即可． 【详解】解：（1）由图形可得，四个小长方形（阴影部分）的面积之和为，或表示为， ∴得到恒等式为． 故答案为：，； （2）①由（1）可得 ∵，， ∴， ∴． ②∵，又，， ∴， ∴． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 【课本再现】本学期同学们在学习第十三章《轴对称》，第三单元等腰三角形，第二课等边三角形时，学习了一个定理． 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 【定理探索】（1）书中对上面的定理没有给出证明，请你结合图1，给出定理的证明． 【定理应用】（2）如图2，中，，交于点D，，则 ． （3）如图3，在中，，，．点D斜边上一点，把沿折叠，得到． ①若，则 ； ②当折痕时，求点D的位置（即求的长）． 【答案】（1）见解析；（2）12；（3）①40；② 【解析】 【分析】（1）延长到D，使，进而证明是等边三角形，即可得证； （2）先根据等边对等角得出，进而得可得，根据含30度角的直角三角形的性质得出，根据，即可求解； （3）①设，根据折叠的性质得出，进而根据，求得，在中，根据三角形内角和定理，即可求解；②在中，根据含30度角的直角三角形的性质得出，当时根据含30度角的直角三角形的性质得出，进而根据，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，延长到 D，使 ， ， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， 即； （2）解：∵在中，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的长为； 故答案为：12； （3）①设， ∵把沿折叠，得到， ∴， ∵， ∴， ∵， 即， 解得 ∵， ∴， 故答案为：40； ②在中， ∵，，， ∴，， ∴， 在中， ∵， ∴是直角三角形， ∵， ∴， ∴， 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，折叠的性质，三角形内角和定理；熟练掌握它们性质是解题的关键． 22. 我们已经学习过多项式除以单项式，多项式除以多项式一般可用竖式计算，例如：计算，可用竖式除法． 步骤如下： ①把被除式、除式按某个字母降幂排列，并把所缺的项用零补齐； ②用被除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项； ③用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），再把两式相减； ④把相减所得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止． 被除式=除式×商式+余式．若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除． 余式为0，可以整除． 请根据阅读材料，回答下列问题（直接填空）： （1）请在两个方框内分别填入正确的数或式子； （2）多项式除以商式为______，余式为______； （3）多项式的一个因式是，则该多形式因式分解的结果为______． 【答案】（1）2， （2）， （3） 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，解题的关键是读懂题意，能用竖式计算多项式除以多项式． （1）用竖式计算即可得到答案； （2）用竖式计算即可得到答案； （3）用竖式计算即可得到答案． 【小问1详解】 解： 故答案为：2； 【小问2详解】 解： 故答案为：；； 【小问3详解】 解： ∴， 故答案为： 六、（本大题共1小题，共12分） 23. 学习全等三角形知识后，我们知道，当有中线时，通常会倍长中线构造“8”字型全等的方法来解决问题，如图1，已知中，点E为中点，连结并延长到点D，使，连接则有“8”字全等型．利用这种方法解下列问题． 【课例回顾】（1）如图2，为测量河对岸点A到点B的距离，借鉴上述方法，过点B画直线l，并在直线l上依次取点C和点D，使得，，请利用上述方法补全图形，指出测量哪条线段就可知道的长； 【猜想探究】（2）如图3，在中，D是的中点，，，，猜想线段与有什么数量关系？并证明； 【拓展提升】（3）如图4，在中，，，为中线，且，过点D作交于点E．请求线段的长．（用含d的式子表示） 【答案】（1）见解析，知道就可知道的长；（2），见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）作交l于点D，延长交于点，证明即可得到结论； （2）延长到G，使得，由得，，根据平行线的性质得到，求得，证明即可得到结论； （3）如图4，延长到F使，证明得，，再证明，得出，然后根据含30度角的直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：（1）①补充如图，作交l于点D，延长交于点M，则，即知道就可知道的长； 证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2），理由如下： 延长到G，使得，则， 由（1）知，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴； （3）如图4，延长到F使， ∵D为中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $