数列新定义专项训练-2025届高三数学二轮复习

数列新定义专项训练 数列新定义专项训练 考点一 数列新定义 1．（2024·浙江温州·一模）已知数列的通项公式，在其相邻两项之间插入个，得到新的数列，记的前项和为，则使成立的的最小值为（    ） A．28 B．29 C．30 D．31 【答案】B 【详解】由题意得数列的前项依次为： ，个，，个，，个，，个，，， 当时， ， 当时， ， 所以使成立的的最小值为. 故选：B. 2．（2024·福建宁德·二模）若数列相邻两项的和依次构成等差数列，则称是“邻和等差数列”.例如，数列1，2，4，5，7，8，10为“邻和等差数列”.已知数列是“邻和等差数列”，是其前项和，且，，，则（   ） A．39700 B．39800 C．39900 D．40000 【答案】A 【详解】设，由，得，则， 故 ． 故选：A 3．（2024·上海长宁·一模）数列为严格增数列，且对任意的正整数n，都有，则称数列满足“性质Ω”． ①存在等差数列满足“性质Ω”； ②任意等比数列，若首项，则满足“性质Ω”； 下列选项中正确的是（   ） A．①是真命题，②是真命题； B．①是真命题，②是假命题； C．①是假命题，②是真命题； D．①是假命题，②是假命题． 【答案】B 【详解】设等差数列的首项和公差分别为， 若等差数列满足“性质Ω”； 由可得，故，即，故只需要即可满足“性质Ω”；故①是真命题， 设等比数列的首项和公比分别为，若，，则显然不成立， 因此存在等比数列不满足“性质Ω”；故②是假命题 故选：B 4．（2024·上海奉贤·一模）已知数列不是常数列，前项和为，．若对任意正整数，存在正整数，使得，则称是“可控数列”．现给出两个命题： ①若各项均为正整数的等差数列满足公差，则是“可控数列”； ②若等比数列是“可控数列”，则其公比． 则下列判断正确的是（    ） A．①与②均为真命题 B．①与②均为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为真命题，②为假命题 【答案】C 【详解】对于①，由于数列的各项均为正整数，且公差， 但对，有对任意正整数恒成立（否则，矛盾）， 故对时有. 这表明不是“可控数列”，故①错误； 对于②，若等比数列是“可控数列”，由于数列不是常数列，，故公比. 所以， 从而， 则， 当时，则， 令，则可知当时，不成立； 当时，显然成立，而对于恒成立， 由于为严格增数列，且时，， 故问题等价于存在，使得， 记，随m的增大，减小，故， 故只需，解得，故②正确. 综上，①是假命题，②是真命题. 故选：C. 5．（24-25高三上·陕西咸阳·阶段练习）若数列中不超过的项数恰为，则称数列是数列的生成数列，称相应的函数是数列生成的控制函数.已知数列满足，且是数列生成的控制函数，数列的前项和为，若，则的值为（    ） A．19 B．21 C．22 D．23 【答案】B 【详解】由题意可知，当时，可得，则； 当时，可得，则，所以， 则当时，， 则，因为，所以无解； 当时，，所以，因为，所以， 即的值为21. 故选：B. 6．（2024·新疆·模拟预测）定义：对于数列若存在，使得对一切正整数，恒有成立，则称为有界数列.设数列的前项和为，则下列选项中，满足为有界数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于选项A：因为为等差数列，则， 可知对任意，当时，， 不满足有界数列的定义，故A错误； 对于选项B：因为， 则， 可知对任意，当时，， 不满足有界数列的定义，故B错误； 对于选项C：当为偶数时，， 可知对任意，当时，， 不满足有界数列的定义，故C错误； 对于选项D：可知数列是以首项、公比均为的等比数列， 则， 可知当时，，符合有界数列的定义，故D正确； 故选：D. 7．（2024·上海徐汇·一模）已知数列的前项和为，设（为正整数）.若存在常数，使得任意两两不相等的正整数，都有，则称数列为“轮换均值数列”.现有下列两个命题：①任意等差数列都是“轮换均值数列”.②存在公比不为1的等比数列是“轮换均值数列”.则下列说法正确的是（    ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①､②都是真命题 D．①､②都是假命题 【答案】A 【详解】对于①，设等差数列的公差为，则， 代入 可得 ，即可得到，①正确； 对于②，设等比数列的公比为，则， 代入， 可得 要使其为常数，化简后会发现很难对于任意的都满足为常数（因为公比）， 故不存在公比不为1的等比数列是“轮换均值数列. ②不正确. 故选：A 8．（24-25高三上·北京朝阳·期末）设是无穷数列，若存在正整数使得对任意，均有，则称是间隔递减数列，其中称为数列的间隔数．给出下列三个结论： ①若，则是间隔递减数列； ②若，则是间隔递减数列； ③若，则是间隔递减数列且的间隔数的最小值是． 其中所有正确结论的序号是（    ） A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【详解】对于①，因为，则数列为单调递减数列，即对任意恒成立， 此时，，满足题中条件，①对； 对于②，若，假设数列是间隔递减数列， 则存在，使得，即， 若为奇数，则有，可得， 因为，显然当为奇数时，合乎题意； 当为偶数时，，不等式不成立，故为奇数； 若为偶数，则有，可得， 当为奇数时，不成立， 故假设不成立，即数列不是间隔递减数列，②错； 对于③，若， 因为， 则，所以，数列是间隔递减数列， 假设存在正整数，使得，即， 可得， 由于，当且仅当且时，等号成立， 当时，，这与为正整数矛盾， 故，所以，，解得， 所以，若，则是间隔递减数列且的间隔数的最小值是，③对. 故选：B. 9．（24-25高三上·陕西咸阳·阶段练习·多选）对于数列，若存在正数，使得对一切正整数，都有，则称数列是有界的，若这样的正数不存在，则称数列是无界的.记数列的前项和为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则数列是无界的 B．若，则数列是有界的 C．若，则数列是有界的 D．若，则数列是有界的 【答案】BCD 【详解】对于选项A：因为，所以，所以存在正数， 使得恒成立，所以数列是有界的，故A错误； 对于选项B：因为，所以， 所以 ， 所以存在正数，使得恒成立，所以数列是有界的，故B正确； 对于选项C：因为，所以当时，； 当时，；所以， 所以存在正数，使得恒成立，所以数列是有界的，故C正确； 对于选项D：因为， 所以， 又，所以， 所以存在正数，使得恒成立，所以数列是有界的，故D正确. 故选：BCD. 10．（24-25高三上·黑龙江绥化·阶段练习·多选）若数列前项和为，满足，其中、，则称是数列，则下面选项正确的是（    ） A．若，则是数列 B．若，则是数列 C．数列是等差数列 D．数列是等比数列 【答案】BCD 【详解】对于A，由可得，等式两边同时取倒数，可得， 所以，所以是数列，故A错误； 对于B，由可得，所以， 即有， 所以是数列，故B正确； 对于C，已知数列，则有， 当时，，， 两式相减得， 又，所以， 即， 整理得， 又，所以，所以是等差数列，故选项C正确； 对于D，因为数列是数列，所以， 所以，． 当时，（i），（ii）， （i）（ii）可得， 因为，所以， 所以，整理可得， 又，所以等比数列，故选项D正确． 故选：BCD. 11．（24-25高三上·山东烟台·期末·多选）若数列满足，则称其为“数列”.给定数列，若为“数列”，定义上的变换：从中任取两项，将添加在所有项的最前面，然后删除，记新数列为（约定：一个数也视作数列），下列结论正确的有（    ） A．若，则数列为“数列” B．若，则数列为“数列” C．若无穷数列为“数列”，则为“数列” D．若数列为，则为 【答案】BCD 【详解】A项，若，取， 由，则， 则，故A错误； B项，若， 设， 则， 故在单调递增，所以，即. 故任意，则， 由，依次递推可知， 故数列满足，则数列为“数列”，故B正确； C项，首先证明，都有. 证明：对， 则有， 且， 所以，即， 故由所证结论可知，若无穷数列为“数列”， 则数列中任意项，都满足，则任意两项，都有. 依次类推可知经过任意次变换操作后，新数列仍为“数列”，故C正确； D项，由于每次变换操作中都是增加一项，删除两项， 所以对数列经过变换一次，则项数减少一项， 故对项的数列可进行次变换操作，且最后数列只剩下一项. 对于任意，定义运算. 下面证明这种运算满足交换律与结合律. 证明：由，则， 所以，即该运算满足交换律； 由； 且； 故，即该运算满足结合律. 由上所证结论可知，中的项与实施的变换具体操作顺序无关， 不妨选择的依序操作过程求. 由当时，，由，则； 当时，，则由，，则； 当时，，则由，，， 则； 当时，，则由，，， ，则； ； 由数列， 故猜想：. 记为最后数列中仅剩的一项（），设， 则由题意可知数列满足，. 下面用数学归纳法证明：. （i）当时，，又， 故当时，成立； （ii）假设当时，成立， 即，下面证明当时，也成立. 则当时， ， 故当时，也成立，得证. 综合（i）（ii）可得，对任意，成立，故D正确. 故选：BCD. 12．（24-25高三上·山东济宁·阶段练习）已知是各项均为正数，公差不为0的等差数列，其前n项和为，且成等比数列.则数列的通项公式为 ；若定义在数列中，使为整数的叫做“调和数”，则在区间内所有“调和数”之和为 . 【答案】 1086 【详解】因为成等比数列，所以， 因为是各项均为正数，公差不为0的等差数列，设其公差为， 所以，所以，所以. 设，所以，令，且b为整数， 又由，， 所以b可以取1，2，3，4，5，6，此时分别为， 所以区间内所有“调和数”之和 故答案为：；1086 13．（24-25高三上·湖南衡阳·阶段练习）已知是各项均为正整数的无穷递增数列，对于，定义集合，设为集合中元素的个数，若时，规定. （1）若，则 （2）若数列是等差数列，则数列的前50项之和为 【答案】 3 210 【详解】（1）由题可知，又因为，，所以，； （2）由题可知，所以，所以， 若，则，， 所以，，与是等差数列矛盾，所以， 设，因为是各项均为正整数的递增数列，所以， 假设存在使得，设，由得， 由，得，，与为等差数列矛盾， 所以对任意都有，所以数列是等差数列，， 所以. 故答案为：3；210. 14．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知函数，数列满足.给出下列4个结论： ①当时，为常数列； ②当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立； ③当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立； ④若，则存在，使得. 则所有正确的结论的序号为 . 【答案】①②③ 【详解】对于①，当时，，依次有，故为常数列， ①正确； 对于②③，， 而（不恒为零），故在上为增函数， 故时，，当时，， 故若，则，依次有，故， 故此时，所以为递增数列，取，则恒成立， 故②正确； 而当，则，依次有，故， 故此时，所以为递减数列，取，则恒成立， 故③正确； 对于④，设，则由②③的分析可得： 当时，则， 故当，总有， 若为偶数，则，故此时为递增数列， 若为奇数，则，故此时为递减数列， 综上，不存在，使得，故④错误. 故答案为：①②③ 15．（24-25高三上·湖北武汉·期末）数列满足对任意的正整数都成立，则称为数列. (1)设是等差数列，是正项等比数列，记，证明：数列是数列； (2)若为数列，且，求证：； (3)若正项数列的前项和为，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1） ∵数列为等差数列， ∵数列为等比数列，设数列的公比为， ∴，又 ， ∴数列为数列； （2）由为数列则 设则， ， ∴， ， ∴， ， ∴， 解得：； （3） 由且， ∴， ∴ 又 ， ∴， ∴. 16．（24-25高三上·安徽阜阳·期末）记表示中第项除以整数所得的余数为，（其中，若关于的方程有解，则称数列为的数列. (1)若，判断数列是否为5的2数列，并说明理由. (2)若满足. （i）证明：. （ii）证明：若，则对任意，数列恒为的0数列. 【答案】(1)是，理由见解析 (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【详解】（1）因为，所以数列是5的2数列， （2）（i）记， 记， 则， 又因为 所以， 则有， 同理可得所有的项均以周期性出现，周期为8，故有 （ii）对任意，数列恒为的0数列，即对任意，均存在m，使得是m的整数倍.，则只需保证q能够整除即可； 显然，当时，命题成立； 当时，， 为了观察对于中的项，不妨先任取其中相邻两项， 定义集合，集合A共有个元素，， 而显然不可能为，因为如果，可得对任意正整数n，都有，即都能够被整除，矛盾；可得只能取A中非的元素，最多有种取法，则必有和相同，则可得是以j为周期的数列； ， 即， 则有， ， 可得， 得， 即能够被整除，即，得证. （都可以满足） 17．（24-25高三上·湖南长沙·期末）错排问题最早由伯努利与欧拉系统研究，历史上称为伯努利一欧拉的装错信封问题.现在定义错排数为将，，，，共个元素排列在，，，，共个位置上，其中有个元素不在其对应位置上的情况数（的对应位置为，，）.容易得到，，，，规定. (1)计算：，； (2)记，的前项和为，证明：； (3)定义错排概率为随机将，，，，共个元素排列在，，，，共个位置上，其中恰有个元素不在其对应位置上的概率，证明：. 【答案】(1)9，44 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）可以排在，，上，有种排法. 不妨设排在上，接下来讨论. 当排在上时，剩下两个元素，的排法有（种）. 当不排在上时，可以排在，上，有种情况. 若排在上，剩下两个元素，只有1种排法. 所以. 可以排在，，，上，有种情况. 不妨设排在上，接下来讨论， ①当排在上时，剩下三个元素，，分别不排在，，上， 则，，的不同排法有（种）. ②当不排在上时，可以排在，，上，有种排法， 若排在上，接下来讨论. （ⅰ）当排在上时，剩下两个元素，的排法有（种）； （ⅱ）当不排在上时，可以排在，上，有种排法， 剩下两个元素，只有1种排法. 故. （2）当时，，满足. 当时，要证明，只需证明， 所以只需证明，. 当时，，成立. 回到定义，当时，对于，不妨从开始排列， 设排在上，有种排法. 接下来讨论， ①当排在上时，剩下，，，，，，共个元素 分别不在，，，，，，上， 共有种排法. ②当不排在上时， 因为，，，，，，分别不在，，，，，，上， 所以，，，，，，共个元素 分别不在，，，，，，上， 共有种排法. 所以. 所以，， 即，. 综上，成立. （3）根据定义， 先从个元素中选出个元素，再对它们进行排列，并使它们均不排在对应位置上， 所以. 所以. 不妨记， 则，且，，， 得， 则， 故是等比数列，且公比为， 又，所以， 变形得， 则当时，，， ，， 累加得 经检验，也符合上式， 所以， 所以. 18．（24-25高三上·北京东城·期末）已知有穷正整数数列满足：，且当时，总有．定义数列，其中，．当时，称数列具有性质． (1)判断下列数列是否具有性质； ①4，3，2，1；②1，2，3，5，4． (2)已知数列具有性质，求的最小值； (3)是否存在数列具有性质，且？若存在，请找到使最小的一个数列；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①不具有性质，②具有性质 (2)的最小值为 (3) 【详解】（1） ①由题意得，，，， 因为，所以数列不具有性质； ②由题意得，，，，， 所以数列具有性质； （2）由已知，设，其中， 可得， 又，所以， 即， 因为，所以， 所以与的奇偶性相同， 因为， 所以为偶数， 又，所以， 又数列， 此时，， 综上，的最小值为； （3）由已知，，且， 则， 因为数列具有性质，即， 所以， 记，所以， 因为， 所以， 当时，， 所以， 当时，数列， 此时， ，， 所以数列满足题意. 19．（24-25高三上·北京海淀·期末）已知为各项均为整数的无穷递增数列，且. 对于中的任意一项，在中都存在两项，使得或. (1)若，，写出的所有可能值； (2)若. ①当时，求的最大值； ②当时，求的最小值. 【答案】(1)的所有可能值为7，9，15，17． (2)①1013；②的最小值为7. 【详解】（1）或， 当时，因为，符合条件； 则或或或， 又因为为各项均为整数的无穷递增数列，则或. 当时， 则或或或， 当时，，符合题意， 当时，，符合题意， 当或27，此时不满足数列为递增数列，故舍去， 综上，的所有可能值为7，9，15，17． （2）①的最大值为1013，理由如下： （i）当时符合题意且． （ii）假设中存在偶数，且首个偶数为， 因为为递增数列，所以存在，使得或，进而有． 所以为奇数，此时均不为偶数，与为偶数矛盾． 所以中各项均为正奇数， 又因为为递增数列，所以， 即． 综上的最大值为1013． ②的最小值为7，理由如下： （i）首先证明时存在符合条件的： 当前7项为$1，2，3，9，27，45，2025$时， 且可构造的后续项使其符合题意（如可取． （ii）其次证明． 由题，当时，， 所以， 进而有， 所以， 所以． （iii）最后证明． 假设存在符合题意且， 因为，所以当时，， 所以存在，有，从而， 所以，所以，从而，且因为， 所以当时，， 所以存在，有，从而为整数， 又因为，所以为5的倍数，与矛盾． 综上有的最小值为7． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$数列新定义专项训练 数列新定义专项训练 考点一 数列新定义 1．（2024·浙江温州·一模）已知数列的通项公式，在其相邻两项之间插入个，得到新的数列，记的前项和为，则使成立的的最小值为（    ） A．28 B．29 C．30 D．31 2．（2024·福建宁德·二模）若数列相邻两项的和依次构成等差数列，则称是“邻和等差数列”.例如，数列1，2，4，5，7，8，10为“邻和等差数列”.已知数列是“邻和等差数列”，是其前项和，且，，，则（   ） A．39700 B．39800 C．39900 D．40000 3．（2024·上海长宁·一模）数列为严格增数列，且对任意的正整数n，都有，则称数列满足“性质Ω”． ①存在等差数列满足“性质Ω”； ②任意等比数列，若首项，则满足“性质Ω”； 下列选项中正确的是（   ） A．①是真命题，②是真命题； B．①是真命题，②是假命题； C．①是假命题，②是真命题； D．①是假命题，②是假命题． 4．（2024·上海奉贤·一模）已知数列不是常数列，前项和为，．若对任意正整数，存在正整数，使得，则称是“可控数列”．现给出两个命题： ①若各项均为正整数的等差数列满足公差，则是“可控数列”； ②若等比数列是“可控数列”，则其公比． 则下列判断正确的是（    ） A．①与②均为真命题 B．①与②均为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为真命题，②为假命题 5．（24-25高三上·陕西咸阳·阶段练习）若数列中不超过的项数恰为，则称数列是数列的生成数列，称相应的函数是数列生成的控制函数.已知数列满足，且是数列生成的控制函数，数列的前项和为，若，则的值为（    ） A．19 B．21 C．22 D．23 6．（2024·新疆·模拟预测）定义：对于数列若存在，使得对一切正整数，恒有成立，则称为有界数列.设数列的前项和为，则下列选项中，满足为有界数列的是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·上海徐汇·一模）已知数列的前项和为，设（为正整数）.若存在常数，使得任意两两不相等的正整数，都有，则称数列为“轮换均值数列”.现有下列两个命题：①任意等差数列都是“轮换均值数列”.②存在公比不为1的等比数列是“轮换均值数列”.则下列说法正确的是（    ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①､②都是真命题 D．①､②都是假命题 8．（24-25高三上·北京朝阳·期末）设是无穷数列，若存在正整数使得对任意，均有，则称是间隔递减数列，其中称为数列的间隔数．给出下列三个结论： ①若，则是间隔递减数列； ②若，则是间隔递减数列； ③若，则是间隔递减数列且的间隔数的最小值是． 其中所有正确结论的序号是（    ） A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 9．（24-25高三上·陕西咸阳·阶段练习·多选）对于数列，若存在正数，使得对一切正整数，都有，则称数列是有界的，若这样的正数不存在，则称数列是无界的.记数列的前项和为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则数列是无界的 B．若，则数列是有界的 C．若，则数列是有界的 D．若，则数列是有界的 10．（24-25高三上·黑龙江绥化·阶段练习·多选）若数列前项和为，满足，其中、，则称是数列，则下面选项正确的是（    ） A．若，则是数列 B．若，则是数列 C．数列是等差数列 D．数列是等比数列 11．（24-25高三上·山东烟台·期末·多选）若数列满足，则称其为“数列”.给定数列，若为“数列”，定义上的变换：从中任取两项，将添加在所有项的最前面，然后删除，记新数列为（约定：一个数也视作数列），下列结论正确的有（    ） A．若，则数列为“数列” B．若，则数列为“数列” C．若无穷数列为“数列”，则为“数列” D．若数列为，则为 12．（24-25高三上·山东济宁·阶段练习）已知是各项均为正数，公差不为0的等差数列，其前n项和为，且成等比数列.则数列的通项公式为 ；若定义在数列中，使为整数的叫做“调和数”，则在区间内所有“调和数”之和为 . 13．（24-25高三上·湖南衡阳·阶段练习）已知是各项均为正整数的无穷递增数列，对于，定义集合，设为集合中元素的个数，若时，规定. （1）若，则 （2）若数列是等差数列，则数列的前50项之和为 14．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知函数，数列满足.给出下列4个结论： ①当时，为常数列； ②当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立； ③当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立； ④若，则存在，使得. 则所有正确的结论的序号为 . 15．（24-25高三上·湖北武汉·期末）数列满足对任意的正整数都成立，则称为数列. (1)设是等差数列，是正项等比数列，记，证明：数列是数列； (2)若为数列，且，求证：； (3)若正项数列的前项和为，求证：. 16．（24-25高三上·安徽阜阳·期末）记表示中第项除以整数所得的余数为，（其中，若关于的方程有解，则称数列为的数列. (1)若，判断数列是否为5的2数列，并说明理由. (2)若满足. （i）证明：. （ii）证明：若，则对任意，数列恒为的0数列. 17．（24-25高三上·湖南长沙·期末）错排问题最早由伯努利与欧拉系统研究，历史上称为伯努利一欧拉的装错信封问题.现在定义错排数为将，，，，共个元素排列在，，，，共个位置上，其中有个元素不在其对应位置上的情况数（的对应位置为，，）.容易得到，，，，规定. (1)计算：，； (2)记，的前项和为，证明：； (3)定义错排概率为随机将，，，，共个元素排列在，，，，共个位置上，其中恰有个元素不在其对应位置上的概率，证明：. 18．（24-25高三上·北京东城·期末）已知有穷正整数数列满足：，且当时，总有．定义数列，其中，．当时，称数列具有性质． (1)判断下列数列是否具有性质； ①4，3，2，1；②1，2，3，5，4． (2)已知数列具有性质，求的最小值； (3)是否存在数列具有性质，且？若存在，请找到使最小的一个数列；若不存在，请说明理由． 19．（24-25高三上·北京海淀·期末）已知为各项均为整数的无穷递增数列，且. 对于中的任意一项，在中都存在两项，使得或. (1)若，，写出的所有可能值； (2)若. ①当时，求的最大值； ②当时，求的最小值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$