第三单元　等式性质与不等式性质、基本不等式单元卷-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第三单元　等式性质与不等式性质、基本不等式 测试时间：120分钟　满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知P＝a2＋5，Q＝4a＋1，则P，Q的大小关系是(　　) A．P<Q B．P>Q C．P≤Q D．P≥Q 2．若实数a，b满足a>b，则下列不等式成立的是(　　) A．> B．a＋c>b＋c C．a2>b2 D．ac2>bc2 3．函数y＝4x＋(x>1)的最小值为(　　) A．12 B．10 C．8 D．4 4．铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130 cm，且体积不超过73 500 cm3，设携带品外部尺寸长、宽、高分别为a，b，c(单位：cm)，这个规定用数学关系式可表示为(　　) A．a＋b＋c<130且abc<73 500 B．a＋b＋c>130且abc>73 500 C．a＋b＋c≤130且abc≤73 500 D．a＋b＋c≥130且abc≥73 500 5．已知0<x<，则x的最大值是(　　) A． B． C． D． 6．已知x>0，y>0，条件p：x＋2y＝2xy，条件q：x＋y≥＋，则p是q的(　　) A.充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知实数x>0，y>0，＋＝2，且x＋y≥m恒成立，则实数m的取值范围为(　　) A. B． C． D． 8．《九章算术》中有“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问：勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形(黄)和两个小直角三角形(朱、青).将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为a＋b，宽为内接正方形的边长d.由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3，设D为斜边BC的中点，作直角三角形ABC的内接正方形对角线AE，过点A作AF⊥BC于点F，则下列推理正确的是(　　) A．由图1和图2面积相等得d＝ B．由AE≥AF可得 > C．由AD≥AE可得 ≥ D．由AD≥AF可得a2＋b2>2ab 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分．若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分． 9．(2024·湖南长沙一中高一期末)若a>b>0>c>d，则下列不等式恒成立的是(　　) A．> B．> C．a－d>b－c D．ac>bd 10.已知1≤a≤2，3≤b≤5，则(　　) A．4≤a＋b≤7 B．2≤b－a≤3 C．3≤ab≤10 D．≤≤ 11．若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则(　　) A．x＋y≤1 B．x＋y≥－2 C．x2＋y2≤2 D．x2＋y2≥1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知正数x，y满足x＝2(1－y)，则xy的最大值为 ________． 13．某光伏企业投资144万元用于太阳能发电项目，n(n∈N*)年内的总维修保养费用为(4n2＋20n)万元，该项目每年可给公司带来100万元的收入．假设到第n年年底，该项目的纯利润为y万元，则n＝________时，年平均利润最大(纯利润＝累计收入－总维修保养费用－投资成本). 14. 如图，在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，AD∥BC，AD ＝2，BC＝3，E为AB上一点，且DE⊥EC，则△DEC面积的最小值为________，此时AB＝________．(本题第一空2分，第二空3分) 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)已知2<a<3，－2<b<－1. (1)求2a－b的取值范围； (2)求ab的取值范围． 16．(15分)(1)已知0<x<，求y＝x(1－2x)的最大值； (2)已知a>0，b>0，且2a＋b＝1，求＋的最小值． 17.(15分)已知a>0，b>0，a＋b＝2. (1)求证：a2＋b2≥2； (2)求证： ≥1＋. 18．(17分)作为传统节日玩具之一的走马灯，常见于除夕、元宵、中秋等节日．灯内点上蜡烛，蜡烛燃烧产生的热力形成气流，令轮轴转动．轮轴上有剪纸，烛光将剪纸的影投射在屏上，图象便不断走动，因多在灯各个面上绘制古代武将骑马的图画，在灯转动时看起来好像几个人你追我赶一样，故名走马灯．现打算做一个体积为96 000 cm3的如图所示的长方体状的走马灯(题中不考虑木料的粗细). (1)若底面大矩形的周长为160 cm，当底面长、宽各为多少时，底面面积最大？ (2)若灯笼高为40 cm，现只考虑灯笼的主要框架，当底面长、宽各为多少时，框架用料最少？ 19．(17分)在“基本不等式”应用探究课中，甲和乙探讨了下面两个问题： (1)已知正实数x，y满足2x＋y＝1，求＋的最小值．甲给出的解法：由1＝2x＋y≥2，得≤，所以＋≥2＝≥4，所以＋的最小值为4.而乙却说甲的解法是错的．请你判断甲的解法是否正确，若错误，指出其中的问题，并给出正确的解法； (2)结合上述问题(1)的结构形式，试求函数y＝＋的最小值． 第三单元　等式性质与不等式性质、基本不等式 1．D　[∵P－Q＝a2＋5－4a－1＝(a－2)2≥0，当且仅当a＝2时取等号，∴P≥Q.] 2．B　[设a＝1，b＝－2，c＝0，则<，故A错误；a2<b2，故C错误；ac2＝bc2，故D错误；由不等式的性质易知B正确．] 3．C　[依题意x>1，x－1>0，y＝4(x－1)＋＋4≥2＋4＝8，当且仅当4(x－1)＝，即x＝时等号成立．故选C.] 4．C　[由长、宽、高之和不超过130 cm得a＋b＋c≤130，由体积不超过73 500 cm3得abc≤73 500.故选C.] 5．A　[已知0<x<，则x＝×≤×＝， 当且仅当3x＝2－3x，即x＝等号成立．故x的最大值是.] 6．A　[因为x>0，y>0，x＋ 2y＝2xy，所以＋＝1，则(x＋y)＝＋＋≥＋2＝＋，当且仅当＝，即x＝y＝时取等号，因此，p⇒q.反过来，由题意，x>0，y>0，x＋y≥＋，取x＝2，y＝2，则x＋2y＝6，2xy＝8，则x＋2y≠2xy，q⇒/p，所以p是q的充分不必要条件．故选A.] 7．A　[由＋＝2，可得：＋＝1，又因为x>0，y>0， 则x＋y＝·＝＋2＋＋≥＋2＝， 当且仅当＝，即y＝2x＝3时取等号，所以＝， 由x＋y≥m恒成立，可得m≤＝，即实数m的取值范围为.] 8．C　[对于A，由图1和图2面积相等得ab＝(a＋b)×d，所以d＝，故A错误；对于B，因为AF⊥BC，所以×a×b＝×AF，所以AF＝，AE＝d＝，因为AE≥AF，所以≥，整理得 ≥，故B错误；对于C，因为D为斜边BC的中点，所以AD＝，因为AD≥AE，所以≥，整理得 ≥，故C正确；对于D，因为AD≥AF，所以≥，整理得a2＋b2≥2ab，故D错误．故选C.] 9．BC　[因为d<c<0，所以<<0，故A错误；因为d<c<0，所以>，故B正确；因为d<c<0，所以－d>－c>0，又a>b，所以a－d>b－c，故C正确；令a＝1，b＝，c＝－1，d＝－2，满足a>b>0>c>d，但ac＝bd，故D错误．故选BC.] 10．AC　[因为1≤a≤2，3≤b≤5，所以4≤a＋b≤7，又－2≤－a≤－1，所以1≤b－a≤4，故A选项正确，B选项错误；因为1≤a≤2，3≤b≤5，所以3≤ab≤10，又≤≤，所以≤≤，故C选项正确，D选项错误．故选AC.] 11．BC　[对于A，B：由x2＋y2－xy＝1，得(x＋y)2－3xy＝1， 又xy＝－，所以(x＋y)2－3＝1，即1＝＋≥，所以－2≤x＋y≤2，所以A不正确，B正确；对于C，D：由x2＋y2－xy＝1，得x2＋y2－1＝xy≤，当且仅当x＝y时取等号，所以x2＋y2≤2，所以C正确，D不正确．故选BC.] 12．[解析]　因为正数x，y满足x＝2(1－y)，所以，解得0<y<1，故xy＝2(1－y)y≤2＝，当且仅当1－y＝y，即y＝时，等号成立，所以xy的最大值为. [答案]　 13．[解析]　由题意可知y＝100n－(4n2＋20n)－144＝－4n2＋80n－144(n∈N*)，设年平均利润为y1万元，则y1＝＝80－4≤80－4×2＝32，当且仅当n＝，即n＝6时等号成立，所以当n＝6时，y1取得最大值32. [答案]　6 14．[解析]　设AE＝x(x>0)，∵DE⊥EC，∴∠AED＋∠BEC＝90°，又∵∠ECB＋∠BEC＝90°，∴∠AED＝∠ECB， 又∵∠A＝∠B＝90°，∴△AED∽△BCE， ∴＝，即＝，得EB＝，∴△DEC的面积S＝－－×＝＋≥2＝2×3＝6，当且仅当＝，即x＝2时等号成立， ∴△DEC面积的最小值为6，此时AB＝2＋＝5. [答案]　6　5 15．[解]　(1)由2<a<3，－2<b<－1得4<2a<6，1<－b<2，则5<2a－b<8，即2a－b的取值范围为5<2a－b<8. (2)由2<a<3，－2<b<－1得－6<ab<－2. 即ab的取值范围为－6<ab<－2. 16．[解]　(1)∵0<x<， ∴1－2x>0， ∴y＝x(1－2x)＝×2x(1－2x)≤×＝×＝， 当且仅当2x＝1－2x，即x＝时取等号，故y＝x(1－2x)的最大值为. (2)＋＝(2a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即a＝b＝时，等号成立．所以＋的最小值为9. 17．证明：(1)由基本不等式，得a2＋b2≥2ab， 所以2a2 ＋2b2≥(a＋b)2＝4， 所以a2＋b2≥2，当且仅当a＝b＝1时等号成立． (2)＋＝× ＝＋＋ ≥＋2 ＝＋ ＝， 当且仅当＝时等号成立， 故 ≥1＋. 18．[解]　如图，设大矩形的长为x m，宽为y m. (1)依题意有2(x＋y)＝160，即x＋y＝80，则底面面积S＝xy≤＝1 600，当且仅当x＝y＝40时取等号， 所以当长、宽均为40 cm时，底面矩形面积最大． (2)依题意有底面面积S＝xy＝＝2 400， 框架用料最少等价于底面用料2x＋3y最小， 2x＋3y≥2＝240，当且仅当2x＝3y，即y＝40，x＝60时取等号， 故当长为60 cm，宽为40 cm时，框架用料最少． 19．[解]　(1)甲的解法中两次用到基本不等式，取到等号的条件分别是2x＝y和x＝2y，显然不能同时成立，故甲的解法是错的． 正确的解法如下： 因为x>0，y>0，且2x＋y＝1， 所以＋＝(2x＋y)＝＋＋ ≥＋2＝， 当且仅当＝，即x＝y＝时取“＝”， 所以＋的最小值为. (2)因为0<x<，所以0<2－3x<2， 所以y＝＋ ＝[3x＋(2－3x)] ＝ ≥ ＝2＋， 当且仅当＝，即x＝1－时取“＝”， 所以y＝＋的最小值为2＋. 学科网（北京）股份有限公司 $$