第6章 实数（优质类型）-2024-2025学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（沪科版2024新教材）

第6章 实数思维导图 【类型覆盖】 类型一、估算无理数 【解惑】估算 的值应在（   ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 【答案】B 【分析】本题考查了估算无理数的大小，利用得到，从而可对进行估算． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：B． 【融会贯通】 1．估计的值在（    ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】A 【分析】本题主要考查了无理数的估算， 先根据无理数大小可得，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：A． 2．若，且a、b是两个连续的整数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了无理数的估算，求代数式的值；先确定a，b的值，再代入求出代数式的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 3．若整数满足条件，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可求解，掌握算术平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，，而整数满足条件， ∴， ∴， 故答案为：． 类型二、程序下的实数运算 【解惑】如图，这是一个数值转换器，当输入的值为时，则输出的值是（    ）    A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了数的算术平方根及立方根的计算方法和无理数、程序图，读懂程序框图的走向是解题关键．依据转换器流程，先求出的算术平方根是8，是有理数；取立方根为2，是有理数；再取算术平方根为，最后输出，即可求出y的值． 【详解】解：的算术平方根是8，是有理数， 取的立方根为，是有理数， 取的算术平方根为，是无理数，即可输出， 输出的值是． 故选：B． 【融会贯通】 1．有一个数值转换器，程序如下： 当输入时，输出的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数值转换器，先取的算术平方根，即求的算术平方根；再判断的算术平方根是无理数还是有理数，如果是无理数，直接输出即可，如果是有理数，继续求算术平方根，据此解答即可．解题的关键是正确理解数值转换器的原理 【详解】解：∵，为有理数， ∴把输入，，为有理数， ∴把输入，，为有理数， ∴把输入，的算术平方根为，是无理数， ∴输出的的值是． 故选：D． 2．如图，这是一个数值转换机，当输入的x值为时，输出的y值是 【答案】 【分析】本题考查了程序设计与实数运算，求一个数的算术平方根等知识点，当输入的x值为时，的算术平方根为，且为有理数；的算术平方根为，且为无理数；据此即可求解； 【详解】解：当输入的x值为时，的算术平方根为，且为有理数； 的算术平方根为，且为无理数； ∴输出的y值是， 故答案为： 3．如图，输入，则输出的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是程序框图与实数的运算，理解程序框图的含义是解本题的关键．按照程序运算的规则输入，逐步运算即可． 【详解】解：输入，可得， ∴， 再输入得：， ∴此时输出， 故答案为：． 类型三、新定义下的实数运算 【解惑】在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为：，如：，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数的运算，读懂题中新定义运算规则并熟练掌握实数运算法则是解题的关键．根据题中运算规则变形，再进行计算即可． 【详解】解： 故选：C． 【融会贯通】 1．对于任意的正数x，y定义运算“#”：，则计算的结果为（   ） A． B． C．14 D．10 【答案】D 【分析】此题考查了新定义，算术平方根的意义，弄清题中的新定义是解本题的关键．原式利用题中的新定义计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选D． 2．对于任意实数a、b，定义关于“@”的一种运算：，例如．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，新定义，根据新运算法则列出方程组，再解方程组求出x、y的值，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 3．对于正有理数，运算“*”定义为，则= ． 【答案】 【分析】本题主要考查新定义、有理数的混合运算等知识点，理清题意、理解所给运算法则是解题关键． 先根据新定义运算法则列式，然后再跟进有理数混合运算法则计算即可． 【详解】根据题意， , 由此 ． 故答案为： 类型四、算术平方根与立方根的规律问题 【解惑】估计与的大小关系是 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，实数的大小比较，首先估算出，再比较大小即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 【融会贯通】 1．的小数部分为的小数部分为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，先分别求出、的取值范围，即可求出、的值，再根据绝对值的性质化简即可． 【详解】解：， ， 的整数部分是1，小数部分是，即， ， ， ， ， 的整数部分是1，小数部分是，即， ， 故答案为：． 2．计算： 【答案】 【分析】本题考查了立方和差公式的逆用，以及求一个数的立方根，根据，，即可求解； 【详解】解：∵， ， ∴原式 故答案为： 3．观察表格并回答下列问题．      … 0.0001 0.01 1 100 10000 …      … 0.01      1      100 … (1)表格中________，________． (2)①已知，则________； ②已知，，求m的值． 【答案】(1)0.1，10 (2)①0.245；②600 【分析】本题考查数式规律问题、算术平方根的定义等知识点，从表格数据总结出数式变化规律是解题的关键． （1）利用算术平方根的定义即可得出答案； （2）①根据表格中数据总结规律，继而求得答案；②根据表格中数据总结规律，继而求得答案． 【详解】（1）根据算术平方根的定义得， 故答案为：0.1，10； （2）解：①由根据题意，由表格中数据可得，被开方数的小数点每往右移动两位，则它的算术平方根的小数点就向右移动一位， 所以由可知， 故答案为：0.245； ②∵， ∴根据表格中数据总结规律可知，0.03464的小数点向右移动了3位得到34.64， ∴由上述表格可知被开方数0.0012小数点需要向右移动6个单位得到2m， 解得，， 所以的值为600． 类型五、算术平方根的实际应用 【解惑】观察表格并回答下列问题． … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … (1)表格中________，________． (2)①已知，则________； ②已知，，求的值． 【答案】(1)0.1，10 (2)①0.245；②600 【分析】本题考查数式规律问题、算术平方根的定义等知识点，从表格数据总结出数式变化规律是解题的关键． （1）利用算术平方根的定义即可得出答案； （2）①根据表格中数据总结规律，继而求得答案；②根据表格中数据总结规律，继而求得答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：0.1，10； （2）解：①由表格中数据可得，被开方数的小数点每往右移动两位，则它的算术平方根的小数点就向右移动一位， ∴由可知， 故答案为：0.245； ②∵，， ∴可知0.03464的小数点向右移动了3位得到， ∴由上述表格可知被开方数小数点需要向右移动6个单位得到， ∴， ∴． 【融会贯通】 1．观察下表，并解答下列问题． 1 1000 1000000 1 10 100 【规律总结】 （1）根据上表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动__________位． 【规律应用】 （2）已知，，． ①__________． ②用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为3000立方米，则需要多大面积的铁皮？（参考数据：，，） 【答案】（1）一；（2）①；②1248平方米 【分析】本题主要考查了立方根的变化规律，熟练掌握立方根的变化规律是解决本题的关键． （1）从被开方数的小数点，以及相应的立方根的小数点的移动来找规律，回答即可； （2）①根据解析（1）中规律进行解答即可； ②先根据正方体的体积求出棱长，再求出正方体盒子的表面积即可． 【详解】解：（1）根据上表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动一位． （2）①∵， ∴； ②∵正方体的体积为3000立方米， ∴正方体的棱长为：米， ∴需要铁皮的面积为： （平方米）． 2．下表是a与的几组对应值： a … 1 1000 1000000 … … x 1 y 100 … (1)表格中________，________； (2)借助表格解决下列问题： ①若，则________； ②若，，则________（用含有b的代数式表示c）； ③当时，直接写出与a的大小关系． 【答案】(1)； (2)①；②；③当，；当时，；当， 【分析】本题考查了立方根的定义； （1）根据立方根定义直接计算即可； （2）观察表格得到规律，①被开方数扩大1000倍，，立方根扩大10倍；②立方根扩大10倍，则被开方数扩大1000倍；③根据表格规律进行分类讨论即可． 由定义推导并找到规律是解题的关键． 【详解】（1）解：， ，； （2）①与比较，被开方数扩大到1000倍， 立方根扩大到10倍 故答案为： ； ②立方根从边长，扩大到10倍， 被开方数扩大到倍 故答案为：； ③由题意得： 当， 当时， 当， 3．【阅读理解】在数学学习中，我们常常借助由边长为1的小正方形组成的网格来解决问题，并把由格点（小正方形的顶点）组成的正方形称为格点正方形．图①是由四个边长为1的小正方形组成的网格，容易发现格点正方形的面积为2，则这个格点正方形的边长为． 【问题解决】 (1)图②是由9个小正方形网格组成的图形，那么格点正方形的边_____． (2)在由个小正方形网格组成的图③中，画出边长为的格点正方形． (3)若是的小数部分，是的小数部分，求的值． 【答案】(1) (2)图见详解； (3)1； 【分析】本题考查平方根的定义及正方形边长与平方根的应用，根数小数部分规律题： （1）根据正方形图形得到的面积即可得到边长； （2）根据边长为的格点正方形得到面积为8，即可得到减去的三角形面积和也为8，每个三角形面积为2，即可得到边长为2即可得到答案； （3）根据得到与的小数部分代入求解即可得到答案； 【详解】（1）解：由图形可得， ， ∴， 故答案为：； （2）解：∵画边长为的格点正方形， ∴， ∴， ∴， ∴三角形的两直角边为2，故图形如图所示， （3）解：∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 类型六、平方根的实际应用 【解惑】如图，分别把两个面积为的小正方形沿一条对角线裁成4个小三角形，再将这4个小三角形拼成一个大正方形． (1)大正方形的边长是_____________． (2)若沿着大正方形边的方向裁出一个长方形，能否使裁出的长方形的长宽之比为，且面积为？ 【答案】(1)30 (2)能 【分析】本题考查了算术平方根，能根据题意列出算式是解此题的关键． （1）根据已知正方形的面积求出大正方形的边长即可； （2）先求出长方形的边长，再判断即可． 【详解】（1）解：大正方形的边长是； 故答案为：30； （2）解：能 设长方形纸片的长为，宽为， 则， 解得：（负值舍去）， ∴， 所以沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能使剪出的长方形纸片的长宽之比为，且面积为 【融会贯通】 1．如图，把两个面积均为的小正方形纸片分别沿图（1）中的虚线裁剪后拼成一个大的正方形纸片，如图（2）． (1)大正方形纸片的边长为______； (2)若沿此大正方形纸片边的方向裁剪出一个长方形纸片，能否使裁剪出的长方形纸片的长是宽的倍，且面积为？若能，求剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，试说明理由． 【答案】(1) (2)沿此大正方形纸片边的方向，不能裁剪出符合要求的长方形纸片，理由见解析 【分析】本题考查算术平方根，正方形面积公式，关键是由题意求出长方形纸片的长和宽． （1）由正方形的面积公式即可求解； （2）设长方形纸片的长和宽分别是，，得到，求出的值，即可解决问题． 【详解】（1）解：由题意得：大正方形的面积为， 大正方形纸片的边长为， 故答案为：； （2）沿此大正方形纸片边的方向，不能裁剪出符合要求的长方形纸片，理由如下： 长方形纸片的长是宽的倍， 设长方形纸片的长和宽分别是，， ， ， ， ， 长方形纸片的长是， ， 沿此大正方形纸片边的方向，不能裁剪出符合要求的长方形纸片． 2．为庆祝建校30周年，石外开展了30周年手抄报展览活动，为制作出精美的校庆主题展览作品，要求：用一张面积为的正方形卡纸（如图），沿着边的方向裁出一张面积为的长方形，用于制作展览作品的背景． (1)正方形卡纸的边长是______ ； (2)嘉琪设计了一种方案：使长方形的长宽之比为，嘉琪能用这张卡纸裁出符合要求的长方形吗？若能，请你帮助嘉琪设计裁剪方案；若不能，请说明理由； (3)请你也设计一种符合上面裁剪要求的方案：长方形的长是______ ．宽是______ ． 【答案】(1)20 (2)不能，理由见解析 (3)20；15（答案不唯一） 【分析】（1）直接利用算术平方根的定义求出正方形纸片的边长，进而得出答案； （2）直接利用算术平方根的定义求出长方形纸片的长与宽，进而得出答案； （3）根据裁剪要求求解即可． 此题主要考查了算术平方根的实际应用，正确开平方是解题关键． 【详解】（1）解：正方形卡纸的边长是， 故答案为：20； （2）解：不能，理由如下： 长方形纸片的长宽之比为， 设长方形纸片的长为，则宽为． ， ， ， ， 又：， ， 长方形纸片的长为， 又， 即：， 小华不能用这块纸片裁出符合要求的纸片． （3）解：由（1）得出正方形的边长是 ∵裁出一张面积为的长方形，且， ∴长方形的长是，宽是符合要求， 故答案为：20，15（答案不唯一）． 3．母亲节，是一个感恩母亲的节日．哥哥小宇和弟弟小旭准备自制节日礼物送给母亲．小旭自制了一张面积为的正方形贺卡，小宇自制了一个面积为的长方形信封，其长宽之比为．小旭自制的贺卡不折叠能完全放入小宇自制的信封中吗？请通过计算说明你的判断． 【答案】能，理由见解析 【分析】本题主要考查了平方根的应用．先求出正方形的边长为，然后设长方形的信封的长为，宽为，根据题意可得，从而确定长方形的长宽即可得出结果． 【详解】解：能，理由如下： ∵正方形贺卡的面积为， ∴正方形的边长为， 设长方形的信封的长为，宽为，依题得： ， 即， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴能将这张贺卡不折叠地放入此信封中． 类型七、立方根的实际应用 【解惑】请根据如图所示的对话内容回答下列问题． 我有一个正方体的魔方，它的体积是 我有一个长方体的纸盒，它的体积是，纸盒的宽与你的魔方的棱长相等，纸盒的长与高相等． (1)求该魔方的棱长． (2)求该长方体纸盒的长． 【答案】(1)该魔方的棱长 (2)该长方体纸盒的长为 【分析】此题考查了平方根、立方根的应用，熟练掌握立体图形的体积公式是解本题的关键． （1）设魔方的棱长为，由长方体的体积公式得方程为，利用立方根定义求解即可； （2）设该长方体纸盒的长为，则长方体纸盒的高为，由长方体的体积公式得方程为，利用平方根定义求解即可． 【详解】（1）解：设魔方的棱长为， 可得：， 解得：， 答：该魔方的棱长； （2）解：设该长方体纸盒的长为， 则， 故，解得：， 因为是正数，所以， 答：该长方体纸盒的长为． 【融会贯通】 1．已知一块面积为的正方形画布． (1)求该正方形画布的边长； (2)甲乙两名同学想沿着该正方形画布边的方向裁下一块长方形画布．其中，甲的方案是：长方形的面积为，且长宽之比为：；乙的方案是：长方形的面积为，且长宽之比为：．问甲乙两人的方案是否可行？并说明理由． 【答案】(1)该正方形画布的边长为 (2)甲方案不可行，乙方案可行，理由见解析 【分析】（1）根据算术平方根的定义即可求解； （2）甲方案中，设长方形纸片的长为，宽为，乙方案中，设长方形纸片的长为，宽为，分别列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）∵正方形画布的面积为400 ∴该正方形画布的边长为． （2）甲的方案不可行，乙方案可行 甲方案中，设长方形纸片的长为，宽为， 则，即， ， 解得：（负值舍去）， 长方形的长为． ，但正方形纸片的边长只有，故甲方案不可行； 乙方案中，设长方形纸片的长为，宽为， 则，即， 解得：（负值舍去）， 长方形的长为，故乙方案可行， 综上，甲方案不可行，乙方案可行． 【点睛】本题考查了算术平方根的实际应用，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键． 2．小明手中有块长方形的硬纸片如图所示，其中长比宽多，长方形的周长是． (1)求长方形的面积； (2)小明想用这块长方形的硬纸片，沿着边的方向裁出一块长与宽的比为，面积为的新纸片作为它用，试判断小明能否成功，并说明理由． 【答案】(1) (2)不能成功，理由见解析； 【分析】（1）设长方形的长为，宽为，根据长比宽多且长方形的周长是，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出得出的值，再利用长方形的面积公式即可求出答案； （2）设长方形纸片的长为，则宽为，根据新纸片的面积，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得知值，再由进一步分析即可得出小明不能成功． 【详解】（1）解：设长方形的长为，宽为， 根据题意得：， 解得：， ∴长方形面积为：， 答：长方形的面积为； （2）不能成功，理由如下： 设长方形纸片的长为，则宽为， 根据题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴，， ∵， 即纸片的宽大于原来硬纸片的宽， ∴小明不能成功． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组与平方根的综合运用，根据题意找出正确的等量关系以及利用平方根的概念解方程是解题关键． 3．把一个长、宽、高分别为，，的长方体铁块锻造成一个立方体铁块，求这个立方体铁块的棱长． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数运算中的开立方的应用，要求牢记并掌握：如果一个数的立方等于，这个数就叫做的立方根(或三次方根) ．设立方体铁块的棱长为，根据题意可得：，即可求解． 【详解】解:设立方体铁块的棱长为， 立方体铁块的体积等于长方体铁块的体积， ， 解得：， 答：立方体铁块的棱长为． 类型八、实数中的运算规律 【解惑】某地气象资料表明：当地雷雨持续的时间可以用公式来估计，其中d是雷雨区域的直径． (1)如果某场雷雨区域的直径是，那么这场雷雨大约能持续多长时间？（结果保留根号） (2)如果这场雷雨持续了，那么这场雷雨区域的直径大约是多少？（结果精确到；参考数据：） 【答案】(1)这场雷雨大约能持续 (2)这场雷雨区域的直径大约是 【分析】本题主要考查了算术平方根，立方根的应用，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键． （1）根据，其中是雷雨区域的直径，开算术平方，可得答案； （2）根据，其中，是雷雨持续时间，开立方，可得答案． 【详解】（1）解：把代入，得． ∴ 答：这场雷雨大约能持续； （2）解： 把代入，得． ∴． 答：这场雷雨区域的直径大约是． 【融会贯通】 1．一个长与宽均为，且高是的长方体容器中装满了水，现将其中的水全部倒入到另一个正方体容器中，恰好装满，则这个正方体容器的棱长是多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了立方根的概念的运用以及应用，设正方体容器的棱长为，由题意可得长方体容器和正方体容器的体积相等，根据正方体的体积等于棱长的立方，长方体的体积等于长、宽、高相乘列等式，再开立方计算即可． 【详解】解：设正方体容器的棱长为，由题意得： ， ， ∴， 答：正方体容器的棱长为． 2．如图，一个底面半径为的瓶子内装着一些溶液．当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为；倒放时，空余部分的高度为．瓶内的溶液正好倒满2个一样大的正方体容器（取3，容器的厚度不计）． (1)该瓶子的容积（装满时溶液的体积）是多少立方厘米？ (2)正方体容器的棱长是多少厘米？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算、求一个数的立方根，还涉及求常见几何体的体积，读懂题意，得出“瓶子的容积与同底、高为的圆柱体积相等”是解题的关键． （1）瓶子的容积与同底、高为的圆柱体积相等，由此可解； （2）首先求出瓶内的溶液的体积，然后根据瓶内的溶液正好倒满2个一样大的正方体容器求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：因为． 所以棱长． 3．阅读下列材料，回答问题． 如果一个数的n（n是大于1的整数）次方等于a，这个数就叫做a的n次方根．换句话说，如果，那么x叫做a的n次方根． 例如：因为，，所以2和叫做16的4次方根．即，，所以 ． 又如：因为，所以叫做 的5次方根．即：． (1)64的6次方根是 ，的5次方根是 ．（直接写出结果） (2)______； (3)归纳一个数的n次方根的情况． 【答案】(1)； (2)100 (3)见解析 【分析】本题主要考查了开方运算，解题的关键是理解题意，掌握提供中提供的信息． （1）根据，得出64的6次方根是；根据，得出的5次方根是； （2）根据得出； （3）根据题干中提供的信息，归纳一个数的n次方根的情况即可． 【详解】（1）解：∵， ∴64的6次方根是； ∵， ∴的5次方根是； （2）解：∵， ∴； （3）解：当n为偶数时，一个负数没有n次方根，一个正数的n次方根有两个，它们互为相反数；当n为奇数时，一个数的n次方根只有一个；0的n次方根是0． 类型九、实数运算的实际应用 【解惑】观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：______；… 解决下列问题： (1)请写出符合上述规律的第4个等式； (2)请写出符合上述规律的第个等式，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了算术平方根规律探究； （1）根据规律写出第4个等式，即可求解； （2）根据规律写出第个等式，进而根据算术平方根的意义，即可求解． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 故答案为：． （2），理由如下， ∵， ∴， 【融会贯通】 1．观察下列各式： ； ； ； 请你根据上面三个等式反映的规律，猜想： (1)______； (2)______（n为正整数）； (3)利用上面的规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查实数运算的数字型规律探索，探索出运算规律是解题的关键．分别将每个式子变形为和式子序列号有关的形式，即可发现规律，即可解答． 【详解】（1）解：根据规律可得：, 故答案为：； （2）解：根据规律可得：， 故答案为：； （3）解：． 2．设． (1)　　　　　　　　　； (2)， 求　　　　　　　　　； (3)求的值．(用含n的代数式表示，其中n为正整数) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字算式的变化规律．关键是观察几个结果的结果，由特殊到一般，得出规律． （1）观察题中的几个计算结果，得出一般规律． （2）观察第一步的几个计算结果，得出一般规律． （3）根据（2）中的规律解答即可； 【详解】（1）解：∵， ∴． （2）∵ ∴． （3）结合（2）可得： ． 3．团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为．完成扇面后，需对扇面边缘用缎带进行包边处理（接口处长度忽略不计），如图所示． (1)圆形团扇的半径为 （结果保留），正方形团扇的边长为 ； (2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短． 【答案】(1)， (2)圆的周长较小 【分析】本题考查扇形面积的计算，实数的运算，掌握圆周长，面积的计算方法以及扇形面积的计算方法是正确解答的关键． （1）根据圆面积、正方形面积公式进行计算即可； （2）求出两种形状的扇子的周长即可． 【详解】（1）解：设圆形扇的半径为，正方形的边长为， 由题意得，，， ，， 故答案为：，； （2）解：圆形扇的周长为：， 正方形扇的周长为：，， ∴圆的周长较小． 类型十、无理数中的整数部分与小数部分 【解惑】我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果，其中a，b为有理数，x为无理数，那么且．运用上述知识，解决下列问题： (1)如果，其中a，b为有理数，那么 ， ． (2)如果，其中a，b为有理数，求的值． 【答案】(1)2， (2) 【分析】本题考查了无理数与有理数、二元一次方程组的应用，熟练掌握无理数的运算是解题关键． （1）根据无理数的运算可得，由此即可得； （2）将已知等式可得，从而可得，解方程组即可得． 【详解】（1）解：∵为有理数， ∴为有理数， ∵， ∴， 解得， 故答案为：2，． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵为有理数， ∴， 解得， ∴． 【融会贯通】 1．如图，在面积为2平方米的正方形ABCD的木料中，挖去以边BC为直径的半圆，则剩下的木料的面积为多少平方米？（，结果精确到 ） 【答案】1.2平方米 【分析】根据题意，剩下的木料的面积等于正方形面积减去半圆面积。 【详解】解：由题意得，正方形的边长为米，则半圆的半径为米，则 剩下的木料的面积， ， ， ， （平方米） 答：剩下的木料的面积约为平方米． 【点睛】此题考查了实际问题中的实数的运算：正方形和圆形结合的阴影面积的求法，解题的关键是掌握图形面积之间的关系． 2．数学阅读是学生个体根据已有的知识经验，通过阅读数学材料建构数学意义和方法的学习活动，是学生主动获取信息，汲取知识，发展数学思维，学习数学语言的途径之一．请你先阅读下面的材料，然后再根据要求解答提出的问题： 问题情境：设a，b是有理数，且满足，求的值． 解：由题意得， ∵a，b都是有理数， ∴也是有理数， ∵是无理数， ∴， ∴， ∴ 解决问题：设x，y都是有理数，且满足，求的值． 【答案】8或0 【分析】根据题目中例题的方法，对所求式子进行变形，求出x、y的值，从而可以求得x+y的值． 【详解】解：∵， ∴（x2-2y-8）+（y-4）=0， ∴x2-2y-8=0，y-4=0， 解得，x=±4，y=4， 当x=4，y=4时，x+y=4+4=8， 当x=-4，y=4时，x+y=（-4）+4=0， 即x+y的值是8或0． 【点睛】本题考查实数的运算，解题的关键是明确题目中例题的解答方法，然后运用类比的思想解答所求式子的值． 3．我们知道，是一个无理数，无理数是无限不循环小数，若将这个数减去它的整数部分，差就是小数部分，即的整数部分是1，则小数部分是，请回答以下问题： (1)已知为的整数部分，是的小数部分，则___________，___________． (2)若，其中是整数，且，求的算术平方根． 【答案】(1)3； (2)4 【分析】本题考查了无理数的大小的估算和算术平方根，根据平方根的意义正确确定无理数的整数部分与小数部分是解题的关键． （1）根据，即可求出的值； （2）先求出的整数部分和分数部分，再求出x和y的值，把x和y值代入中，最后求出答案即可． 【详解】（1）解：∵，为的整数部分，是的小数部分， ∴，， 故答案为：3，． （2）解：，即， 的整数部分是2，小数部分是， ， ， 是整数，且， ，， ， 的算术平方根为4， 的算术平方根为4． 【一览众山小】 1．如图，面积为7的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，若，则数轴上点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查实数与数轴及两点间距离，根据两点间距离及点的位置判断出点所表示的数是关键． 根据正方形的边长是面积的算术平方根得，结合点所表示的数及间距离可得点所表示的数． 【详解】解：正方形的面积为7，且， ， 点表示的数是1，且点在点左侧， 点表示的数为：． 故选：C． 2．若a，b互为相反数，c，d互为倒数，e是9的平方根，则的值为（ ） A． B． C．5或 D．4或 【答案】C 【分析】本题考查了相反数和倒数的性质，以及求一个数的平方根，互为相反数的两数和为零，互为倒数的两数积为，9的平方根是，据此即可求解. 【详解】解：由题意得； 当时，； 当时，； 故选：C 3．若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查了估算无理数的大小和实数的混合运算，能估算出的范围是解此题的关键． 先估算出的范围，求出的值，再代入求出即可． 【详解】解：， ， ， 故选：C． 4．阅读下列材料： 通过探究知道：…，它是个无限不循环小数，也叫无理数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，又例如：，即，的整数部分是2，小数部分是 (1)的整数部分是______． (2)已知，其中x是一个整数，，求的值． 【答案】(1)1 (2)17 【分析】本题考查的是无理数的估算，无理数的整数部分的理解，熟练的确定无理数的范围是解本题的关键． （1）仿照材料估算即可得到答案； （2）结合（1）求出x，y的值，再代入计算即可． 【详解】（1）∵，即， ∴的整数部分为1， 故答案为：1； （2）， ， ， ， ， ， ， 5．阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，得到的差就是小数部分，因为的整数部分是1，于是用来表示的小数部分．又例如： ，即， 的整数部分是2，小数部分为． （参考性质：①不等式的两边都加上同一个数，所得的不等式仍成立； ②不等式的两边都乘同一个正数，所得的不等式仍成立） 根据上述材料，回答下列问题： (1)的整数部分是_____，小数部分是_____； (2)也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为，求的值； (3)已知，其中是整数，且，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了无理数的估算和实数的运算，平方根，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键． （1）仿照题中给出的方法估算的取值范围，即可得出其整数部分和小数部分； （2）先估算的取值范围，进而估算的取值范围，即可求出a、b的值，从而计算的值； （3）先估算的取值范围，进而估算的取值范围，即可求出x、y的值，从而计算出的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是4，小数部分是， 故答案为：4；； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴的整数部分：， ∵， ∴小数部分：， ∴． 6．【阅读与思考】我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部的写出来，而因为，即，于是的整数部分是2，将一个数减去其整数部分，差就是小数部分，故可用来表示的小数部分．结合以上材料，回答下列问题： (1)的小数部分是______，的整数部分是______； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了估算无理数的大小，平方根，熟练掌握无理数的估算方法是解此题的关键． （1）根据算术平方根的定义估算无理数的大小，即可得其的小数部分；同理估算无理数的大小，从而得出的大小，即可得出整数部分； （2）根据算术平方根的定义估算无理数的大小，即可得其的小数部分，同理估算无理数的大小，即可得出整数部分，再代入化简即可得出答案． 【详解】（1）解：， ， 的整数部分是， 的小数部分是， ， ， ， 的整数部分是， 故答案为：，； （2）解：， ， 的整数部分是， 的小数部分是， 即， ， ， 的整数部分为， 即， ． 7．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先算乘方，算术平方根，绝对值，再算加减即可； （2）利用乘法的分配律计算即可． 【详解】（1）解： （2）解：． 8．阅读材料： 学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算的近似值． 小明的方法：∵，设， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴． 问题： (1)请你依照小明的方法，估算的近似值； (2)已知非负整数，，，若，且，结合上述材料估算的近似值（用含，的代数式表示）． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据题目信息，找出前后的两个平方数，从而确定出，再根据题目信息近似求解即可； （）根据题目提供的求法，先求出值，然后再加上即可； 本题考查了无理数的估算，解题的关键是读懂题目提供信息，然后根据信息中的方法改变数据即可，找出一般性的方法解决问题． 【详解】（1）解：∵， 设， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴； （2）解：设， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 9．阅读以下信息，完成下列小题 材料一：对数是高中数学必修一中的一个重要知识点，是高中运算的基础． 材料二：对数的基本运算法则：对数公式是数学中的一种常见公式，如果（，且），则x叫做以a为底N的对数，记做，其中要写于右下．其中叫做对数的底，叫做真数．通常以10为底的对数叫做常用对数，记作；以e为底的对数称为自然对数，记作． (1)请把下列算式写成对数的形式：，， (2)平方运算是对数运算的基础．完成下列运算： (3)对数和我们在初中阶段学习的平方根的运算也有相似之处．请完成有关平方根的知识点的填空． 平方根，又叫二次方根，表示为〔 〕，其中属于 的平方根称之为算术平方根（arithmetic square root），是一种方根．一个正数有 个实平方根，它们互为 ，负数在 范围内没有平方根，0的平方根是0 【答案】(1)，， (2)，，27 (3)，，两，相反数，实数 【分析】本题考查了幂的运算，对数与幂的转化，平方根的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据对数的定义，结合示例即可求得写出； （2）根据对数的定义，结合示例即可求得写出； （3）根据平方根，算术平方根的定义填空即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∵， ∴， ∴； ∵， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，，27； （3）解：平方根，又叫二次方根，表示为，其中属于的平方根称之为算术平方根（arithmetic square root），是一种方根．一个正数有 两个实平方根，它们互为 相反数，负数在 实数范围内没有平方根，0的平方根是0， 故答案为：，，两，相反数，实数． 10．新定义：若无理数的被开方数(T为正整数)满足 (其中n为正整数)，则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请回答下列问题： (1)的“青一区间”为 ；的“青一区间”为 ； (2)若无理数(a为正整数)的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值． (3)实数x，y，满足关系式：，求的“青一区间”． 【答案】(1)， (2)2或 (3) 【分析】（1）根据“青一区间”的定义和确定方法，进行求解即可； （2）根据“青一区间”的定义求出的值，再根据立方根的定义，进行求解即可； （3）利用非负性求出的值，再进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的“青一区间”为； ∵， ∴的“青一区间”为； 故答案为：，； （2）∵无理数“青一区间”为， ∴， ∴，即， ∵无理数的“青一区间”为， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵为正整数， ∴或， 当时，， 当时，， ∴的值为2或． （3）∵ ∴， 即， ∴，， ∴， ∵， ∴的“青一区间”为． 【点睛】本题考查无理数的估算，非负性，求一个数的立方根．理解并掌握“青一区间”的定义和确定方法，是解题的关键． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第6章 实数思维导图 【类型覆盖】 类型一、估算无理数 【解惑】估算 的值应在（   ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 【融会贯通】 1．估计的值在（    ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 2．若，且a、b是两个连续的整数，则的值为 ． 3．若整数满足条件，则的值是 ． 类型二、程序下的实数运算 【解惑】如图，这是一个数值转换器，当输入的值为时，则输出的值是（    ）    A．2 B． C． D． 【融会贯通】 1．有一个数值转换器，程序如下： 当输入时，输出的值是（   ） A． B． C． D． 2．如图，这是一个数值转换机，当输入的x值为时，输出的y值是 3．如图，输入，则输出的值为 ． 类型三、新定义下的实数运算 【解惑】在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为：，如：，则的值为（　　） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．对于任意的正数x，y定义运算“#”：，则计算的结果为（   ） A． B． C．14 D．10 2．对于任意实数a、b，定义关于“@”的一种运算：，例如．若，则的值为 ． 3．对于正有理数，运算“*”定义为，则= ． 类型四、算术平方根与立方根的规律问题 【解惑】估计与的大小关系是 ．（填“”“”或“”） 【融会贯通】 1．的小数部分为的小数部分为，则 ． 2．计算： 3．观察表格并回答下列问题．      … 0.0001 0.01 1 100 10000 …      … 0.01      1      100 … (1)表格中________，________． (2)①已知，则________； ②已知，，求m的值． 类型五、算术平方根的实际应用 【解惑】观察表格并回答下列问题． … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … (1)表格中________，________． (2)①已知，则________； ②已知，，求的值． 【融会贯通】 1．观察下表，并解答下列问题． 1 1000 1000000 1 10 100 【规律总结】 （1）根据上表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动__________位． 【规律应用】 （2）已知，，． ①__________． ②用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为3000立方米，则需要多大面积的铁皮？（参考数据：，，） 2．下表是a与的几组对应值： a … 1 1000 1000000 … … x 1 y 100 … (1)表格中________，________； (2)借助表格解决下列问题： ①若，则________； ②若，，则________（用含有b的代数式表示c）； ③当时，直接写出与a的大小关系． 3．【阅读理解】在数学学习中，我们常常借助由边长为1的小正方形组成的网格来解决问题，并把由格点（小正方形的顶点）组成的正方形称为格点正方形．图①是由四个边长为1的小正方形组成的网格，容易发现格点正方形的面积为2，则这个格点正方形的边长为． 【问题解决】 (1)图②是由9个小正方形网格组成的图形，那么格点正方形的边_____． (2)在由个小正方形网格组成的图③中，画出边长为的格点正方形． (3)若是的小数部分，是的小数部分，求的值． 类型六、平方根的实际应用 【解惑】如图，分别把两个面积为的小正方形沿一条对角线裁成4个小三角形，再将这4个小三角形拼成一个大正方形． (1)大正方形的边长是_____________． (2)若沿着大正方形边的方向裁出一个长方形，能否使裁出的长方形的长宽之比为，且面积为？ 【融会贯通】 1．如图，把两个面积均为的小正方形纸片分别沿图（1）中的虚线裁剪后拼成一个大的正方形纸片，如图（2）． (1)大正方形纸片的边长为______； (2)若沿此大正方形纸片边的方向裁剪出一个长方形纸片，能否使裁剪出的长方形纸片的长是宽的倍，且面积为？若能，求剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，试说明理由． 2．为庆祝建校30周年，石外开展了30周年手抄报展览活动，为制作出精美的校庆主题展览作品，要求：用一张面积为的正方形卡纸（如图），沿着边的方向裁出一张面积为的长方形，用于制作展览作品的背景． (1)正方形卡纸的边长是______ ； (2)嘉琪设计了一种方案：使长方形的长宽之比为，嘉琪能用这张卡纸裁出符合要求的长方形吗？若能，请你帮助嘉琪设计裁剪方案；若不能，请说明理由； (3)请你也设计一种符合上面裁剪要求的方案：长方形的长是______ ．宽是______ ． 3．母亲节，是一个感恩母亲的节日．哥哥小宇和弟弟小旭准备自制节日礼物送给母亲．小旭自制了一张面积为的正方形贺卡，小宇自制了一个面积为的长方形信封，其长宽之比为．小旭自制的贺卡不折叠能完全放入小宇自制的信封中吗？请通过计算说明你的判断． 类型七、立方根的实际应用 【解惑】请根据如图所示的对话内容回答下列问题． 我有一个正方体的魔方，它的体积是 我有一个长方体的纸盒，它的体积是，纸盒的宽与你的魔方的棱长相等，纸盒的长与高相等． (1)求该魔方的棱长． (2)求该长方体纸盒的长． 【融会贯通】 1．已知一块面积为的正方形画布． (1)求该正方形画布的边长； (2)甲乙两名同学想沿着该正方形画布边的方向裁下一块长方形画布．其中，甲的方案是：长方形的面积为，且长宽之比为：；乙的方案是：长方形的面积为，且长宽之比为：．问甲乙两人的方案是否可行？并说明理由． 2．小明手中有块长方形的硬纸片如图所示，其中长比宽多，长方形的周长是． (1)求长方形的面积； (2)小明想用这块长方形的硬纸片，沿着边的方向裁出一块长与宽的比为，面积为的新纸片作为它用，试判断小明能否成功，并说明理由． 3．把一个长、宽、高分别为，，的长方体铁块锻造成一个立方体铁块，求这个立方体铁块的棱长． 类型八、实数中的运算规律 【解惑】某地气象资料表明：当地雷雨持续的时间可以用公式来估计，其中d是雷雨区域的直径． (1)如果某场雷雨区域的直径是，那么这场雷雨大约能持续多长时间？（结果保留根号） (2)如果这场雷雨持续了，那么这场雷雨区域的直径大约是多少？（结果精确到；参考数据：） 【融会贯通】 1．一个长与宽均为，且高是的长方体容器中装满了水，现将其中的水全部倒入到另一个正方体容器中，恰好装满，则这个正方体容器的棱长是多少？ 2．如图，一个底面半径为的瓶子内装着一些溶液．当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为；倒放时，空余部分的高度为．瓶内的溶液正好倒满2个一样大的正方体容器（取3，容器的厚度不计）． (1)该瓶子的容积（装满时溶液的体积）是多少立方厘米？ (2)正方体容器的棱长是多少厘米？ 3．阅读下列材料，回答问题． 如果一个数的n（n是大于1的整数）次方等于a，这个数就叫做a的n次方根．换句话说，如果，那么x叫做a的n次方根． 例如：因为，，所以2和叫做16的4次方根．即，，所以 ． 又如：因为，所以叫做 的5次方根．即：． (1)64的6次方根是 ，的5次方根是 ．（直接写出结果） (2)______； (3)归纳一个数的n次方根的情况． 类型九、实数运算的实际应用 【解惑】观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：______；… 解决下列问题： (1)请写出符合上述规律的第4个等式； (2)请写出符合上述规律的第个等式，并说明理由． 【融会贯通】 1．观察下列各式： ； ； ； 请你根据上面三个等式反映的规律，猜想： (1)______； (2)______（n为正整数）； (3)利用上面的规律计算：． 2．设． (1)　　　　　　　　　； (2)， 求　　　　　　　　　； (3)求的值．(用含n的代数式表示，其中n为正整数) 3．团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为．完成扇面后，需对扇面边缘用缎带进行包边处理（接口处长度忽略不计），如图所示． (1)圆形团扇的半径为 （结果保留），正方形团扇的边长为 ； (2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短． 类型十、无理数中的整数部分与小数部分 【解惑】我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果，其中a，b为有理数，x为无理数，那么且．运用上述知识，解决下列问题： (1)如果，其中a，b为有理数，那么 ， ． (2)如果，其中a，b为有理数，求的值． 【融会贯通】 1．如图，在面积为2平方米的正方形ABCD的木料中，挖去以边BC为直径的半圆，则剩下的木料的面积为多少平方米？（，结果精确到 ） 2．数学阅读是学生个体根据已有的知识经验，通过阅读数学材料建构数学意义和方法的学习活动，是学生主动获取信息，汲取知识，发展数学思维，学习数学语言的途径之一．请你先阅读下面的材料，然后再根据要求解答提出的问题： 问题情境：设a，b是有理数，且满足，求的值． 解：由题意得， ∵a，b都是有理数， ∴也是有理数， ∵是无理数， ∴， ∴， ∴ 解决问题：设x，y都是有理数，且满足，求的值． 3．我们知道，是一个无理数，无理数是无限不循环小数，若将这个数减去它的整数部分，差就是小数部分，即的整数部分是1，则小数部分是，请回答以下问题： (1)已知为的整数部分，是的小数部分，则___________，___________． (2)若，其中是整数，且，求的算术平方根． 【一览众山小】 1．如图，面积为7的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，若，则数轴上点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 2．若a，b互为相反数，c，d互为倒数，e是9的平方根，则的值为（ ） A． B． C．5或 D．4或 3．若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（   ） A． B． C．1 D． 4．阅读下列材料： 通过探究知道：…，它是个无限不循环小数，也叫无理数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，又例如：，即，的整数部分是2，小数部分是 (1)的整数部分是______． (2)已知，其中x是一个整数，，求的值． 5．阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，得到的差就是小数部分，因为的整数部分是1，于是用来表示的小数部分．又例如： ，即， 的整数部分是2，小数部分为． （参考性质：①不等式的两边都加上同一个数，所得的不等式仍成立； ②不等式的两边都乘同一个正数，所得的不等式仍成立） 根据上述材料，回答下列问题： (1)的整数部分是_____，小数部分是_____； (2)也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为，求的值； (3)已知，其中是整数，且，求的值． 6．【阅读与思考】我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部的写出来，而因为，即，于是的整数部分是2，将一个数减去其整数部分，差就是小数部分，故可用来表示的小数部分．结合以上材料，回答下列问题： (1)的小数部分是______，的整数部分是______； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； 7．计算： (1)． (2)． 8．阅读材料： 学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算的近似值． 小明的方法：∵，设， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴． 问题： (1)请你依照小明的方法，估算的近似值； (2)已知非负整数，，，若，且，结合上述材料估算的近似值（用含，的代数式表示）． 9．阅读以下信息，完成下列小题 材料一：对数是高中数学必修一中的一个重要知识点，是高中运算的基础． 材料二：对数的基本运算法则：对数公式是数学中的一种常见公式，如果（，且），则x叫做以a为底N的对数，记做，其中要写于右下．其中叫做对数的底，叫做真数．通常以10为底的对数叫做常用对数，记作；以e为底的对数称为自然对数，记作． (1)请把下列算式写成对数的形式：，， (2)平方运算是对数运算的基础．完成下列运算： (3)对数和我们在初中阶段学习的平方根的运算也有相似之处．请完成有关平方根的知识点的填空． 平方根，又叫二次方根，表示为〔 〕，其中属于 的平方根称之为算术平方根（arithmetic square root），是一种方根．一个正数有 个实平方根，它们互为 ，负数在 范围内没有平方根，0的平方根是0 10．新定义：若无理数的被开方数(T为正整数)满足 (其中n为正整数)，则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请回答下列问题： (1)的“青一区间”为 ；的“青一区间”为 ； (2)若无理数(a为正整数)的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值． (3)实数x，y，满足关系式：，求的“青一区间”． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$