6.1 平方根、立方根 -2024-2025学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（沪科版2024新教材）

6.1 平方根、立方根 一、平方根 定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，也叫做二次方根。 表示方法：正数a的平方根记作，读作“正负根号a”，a叫做被开方数。 性质： 正数的平方根有两个，且互为相反数。 0的平方根为0。 负数没有平方根。 开平方：求平方根的运算叫做开平方。平方根是开平方的结果，开平方与平方互为逆运算。 算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，0的算术平方根是0。 性质： 一个数a的算术平方根具有非负性，即≥0恒成立。 正数的算术平方根只有1个，且为正数。 0的算术平方根是0。 负数没有算术平方根。 二、立方根 定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，也叫做三次方根。 表示方法：a的立方根记作，读作“三次根号a”，a叫做被开方数，3叫根指数。 性质： 正数的立方根是1个正数。 负数的立方根是1个负数。 0的立方根是0。 注意：立方根的结果除0以外，在实数范围内只有一个值，在复数范围内有三个值，但这三个值在实数学习中通常不考虑。 巩固课内例1:求下列各数的平方根和算术平方根 1．的平方根是（   ） A． B． C． D． 2．的算术平方根是 ． 3．若，求的平方根． 巩固课内例2:用计算器求二次方根 1．若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，依次按键，对应的计算是（   ） A． B． C． D． 2．在计算器上按键，显示的结果是 ． 3．用计算器求下列各式的值： (1)； (2)． 巩固课内例3:平方根的实际应用 1．如果一个正方形木板的面积为，那么该木板的边长为（ ） A． B． C． D． 2．在做浮力实验时，小华用一根细线将一圆柱体铁块拴住，完全浸入盛满水的溢水杯中，并用量筒量得从溢水杯中溢出的水的体积为60立方厘米，小华又将铁块从溢水杯中拿出来，量得溢水杯的水位下降了0.8厘米，则溢水杯内部的底面半径为 厘米（取3）． 3．天气晴朗时，一个人能看到大海的最远距离S（单位：）可用公式估计，其中h（单位：）是眼睛离海平面的高度 (1)如果一个人站在岸边观察，当眼睛离海平面的高度是时，能看到多远？ (2)若登上一个观望台，使看到的最远距离是（1）中的4倍，已知眼睛到脚底的高度为，求观望台离海平面的高度？ 巩固课内例4:求下列各数的立方根 1．2的立方根是（   ） A． B． C． D． 2．的立方根是，则 ． 3．若，求的立方根． 巩固课内例5:用计算机求下列各数的立方根 1．用如图所示的计算器求的值，以下按键顺序不能求出正确结果的是（   ） A． B． C． D． 2．用科学计算器计算： (结果精确到0.01) 3．用计算器求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 类型一、平方根的概念 1．若数字有两个平方根，则一定是（   ） A．正数 B．负数 C．整数 D．分数 2．已知一个数的一个平方根是，则它的另一个平方根是 ． 3．若是平方等于其本身的有理数，，且，求的值． 类型二、立方根的概念 1．下列关于读法正确的是（   ） A．负的三次方根负3 B．负的负3的立方根 C．负3的立方根的相反数 D．负的3的相反数的立方根 2．若有意义，则x的取值范围是 ． 3．求下列各式的值： （1）；        （2）；        （3）；        （4）． 类型三、求一个数的平方根 1．16的平方根是（   ） A．2 B． C．4 D． 2．若，则 ． 3．求下列各数的平方根： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 类型四、求一个数的算术平方根 1．5的算术平方根是（   ） A．25 B． C． D． 2．计算： ． 3．求下列各数的算术平方根． (1)196 (2) (3)0.04 (4) 类型五、求一个数的立方根 1．的立方根是（） A． B． C． D． 2．如果，则的平方根是 ． 3．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 类型六、用计算器求平方根和立方根 1．利用教材中的计算器计算时，进行如下按键，显示，则若按键：，显示（    ） A． B． C． D． 2．利用计算器计算： ．（结果精确到0.01） 3．用计算器求下列各式的值（精确到）； (1)； (2)； (3)； (4)． 类型一、算术平方根的非负性 1．已知实数a，b，c满足 ，那么的值为（   ） A．0 B． C． D． 2．若，则 ． 3．已知满足，求的算术平方根． 类型二、平方根与立方根解方程 1．下列数中，能使方程成立的的值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．16 2．， 则 ． 3．解下列方程： (1)； (2) 类型三、算术平方根与立方根结合 1．已知的立方根是3，的算术平方根是4，则的值为（    ） A．5 B．3 C．2 D．9 2．已知的立方根是3，的算术平方根是6，则的平方根是 ． 3．已知的算术平方根是1，的立方根是，的平方根是． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 类型一、估算算术平方根的取值范围 1．小丽家有一块的正方形菜地，估计这块菜地的边长在（   ） A．之间 B．之间 C．之间 D．之间 2．的值介于整数4和5之间，则整数的值可以是 ． 3．已知的立方根为3，的算术平方根为4． (1)求m，n的值； (2)若a和b是连续的整数，且，求的值 类型二、算术平方根的应用 1．已知一个表面积为12平方分米的正方体，则这个正方体的棱长为（    ） A．分米 B．分米 C．分米 D．2分米 2．一个大正方形的周长是一个小正方形周长的2倍，若小正方形的面积为6，则大正方形的面积为 ． 3．先阅读材料，再解决问题． 阅读材料：有一间活动室地面由A和B两种正方形地砖铺成，活动室地面也是正方形，已知：A地砖使用了36块，每块面积为，每平米单价为50元；B地砖使用了块，每块面积为，每平米单价为元； (1)用x，y表示铺设活动室地面的费用． (2)试说出代数式 所表示的的实际含义． 类型三、平方根的应用 1．已知正方形的面积是5，那么它的边长是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在做浮力实验时，小明用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用量筒量得溢出水的体积为；然后小明将铁块从烧杯中提起至完全脱离水面，量得烧杯中的水位下降．当时，烧杯内部的底面半径为 ． 3．小明同学每次回家进入电梯时，总能看见物业在电梯内张贴的提示“高空抛物，害人害己，严禁高空抛物”，为进一步研究高空抛物的危害，小明请教了物理老师，得知高空抛物下落的时间（单位：秒）和高度（单位：米）近似满足公式，其中为重力加速度，米/平方秒．物体落地时产生的动能物体质量重力加速度高度，动能的单位名称为焦耳，例如：一个1千克重的花盆从30米高空坠落到地面产生的动能为：焦耳． (1)一个物品从80米的高楼坠落到地面需要几秒？ (2)一个0.5 千克的物品坠落到地面产生了200焦耳的动能，请推算该物品坠落到地面用了几秒？（结果精确到0.1 秒，） 类型四、立方根的应用 1．要制作一只如图所示容积为的小玻璃杯，涉及正方体内壁时，内壁边长大致长度在（   ） A．之间 B．之间 C．之间 D．之间 2．把一个长、宽、高分别为，，的长方体铁块锻造成一个立方体铁块，则锻造成的立方体铁块的棱长为 厘米． 3．小明有一个大正方体铁块，其体积为． (1)求这个大正方体铁块的棱长； (2)小明要将这个大正方体铁块熔化，重新锻造成两个小正方体铁块，其中一个小正方体铁块的体积为，求另一个小正方体铁块的棱长． 1．下列说法正确的是（   ） A．9的平方根是3 B． C．4的算术平方根是2 D．9的立方根是3 2．的值等于（   ） A． B． C． D． 3．将9个棱长为的正方体实心橡皮泥揉在一起，然后捏成2个高为，底面为正方形的实心长方体橡皮泥，则长方体的底面边长为（   ） A． B． C． D． 4． ． 5．一个正数的两个平方根分别是和，那么这个正数的立方根是 ． 6．已知，，那么 ． 7．求式子中的值：． 8．求下列各式中的： (1)； (2)． 9．已知一个正数m的两个不相等的平方根是与． (1)求a的值； (2)求这个正数m； 10．我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)求． ①由，，可以确定是 位数； ②由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是 ； ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，可以确定的十位上的数是 ，由此求得 ． (2)请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空： ① ，② ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.1 平方根、立方根 一、平方根 定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，也叫做二次方根。 表示方法：正数a的平方根记作，读作“正负根号a”，a叫做被开方数。 性质： 正数的平方根有两个，且互为相反数。 0的平方根为0。 负数没有平方根。 开平方：求平方根的运算叫做开平方。平方根是开平方的结果，开平方与平方互为逆运算。 算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，0的算术平方根是0。 性质： 一个数a的算术平方根具有非负性，即≥0恒成立。 正数的算术平方根只有1个，且为正数。 0的算术平方根是0。 负数没有算术平方根。 二、立方根 定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，也叫做三次方根。 表示方法：a的立方根记作，读作“三次根号a”，a叫做被开方数，3叫根指数。 性质： 正数的立方根是1个正数。 负数的立方根是1个负数。 0的立方根是0。 注意：立方根的结果除0以外，在实数范围内只有一个值，在复数范围内有三个值，但这三个值在实数学习中通常不考虑。 巩固课内例1:求下列各数的平方根和算术平方根 1．的平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方根和算术平方根的定义，熟练掌握平方根和算术平方根的定义是解题的关键．先根据算术平方根的定义化简，再根据平方根的定义即可解答． 【详解】解：， 的平方根是． 故选：D． 2．的算术平方根是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了算术平方根，根据算术平方根的定义的定义解答即可． 【详解】解：， ∵4的算术平方根是2， ∴的算术平方根是2． 故答案为：2． 3．若，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了平方根与立方根的定义，根据立方根的定义得出，则，代入代数式，求平方根，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， 的平方根是． 巩固课内例2:用计算器求二次方根 1．若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，依次按键，对应的计算是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查计算器—基础知识，解答本题的关键是明确第二能键是立方根．根据题目中的运算程序，可以计算出式子的运算结果． 【详解】解：根据按键顺序可知算式为． 故选A． 2．在计算器上按键，显示的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了熟练应用计算器，熟悉计算器的各个按键的功能，根据计算机的输入过程进行计算即可． 【详解】解：在计算器上依次按键转化为算式为， 计算可得结果为， 故答案为：． 3．用计算器求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)99 (2)8.78 【分析】在计算器中输入所求式子即可． 【详解】（1）解： （2） 【点睛】本题考查计算器的开方运算．能够准确使用计算器是解题的关键． 巩固课内例3:平方根的实际应用 1．如果一个正方形木板的面积为，那么该木板的边长为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设该木板边长为，根据题意可得，根据x为正数，得出x的值． 【详解】解：设该木板边长为， 根据题意可得， ∵， ∴， ∵x为正数， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平方根的实际应用，解题的关键是根据题意列出方程求解． 2．在做浮力实验时，小华用一根细线将一圆柱体铁块拴住，完全浸入盛满水的溢水杯中，并用量筒量得从溢水杯中溢出的水的体积为60立方厘米，小华又将铁块从溢水杯中拿出来，量得溢水杯的水位下降了0.8厘米，则溢水杯内部的底面半径为 厘米（取3）． 【答案】5 【分析】由圆柱的体积公式求出底面半径即可． 【详解】解：设溢水杯内部的底面半径为xcm， 根据题意得：πx2•0.8=60， 解得：x=5或x=-5（舍）， 答：溢水杯内部的底面半径约为5cm． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了平方根，弄清题意是解本题的关键． 3．天气晴朗时，一个人能看到大海的最远距离S（单位：）可用公式估计，其中h（单位：）是眼睛离海平面的高度 (1)如果一个人站在岸边观察，当眼睛离海平面的高度是时，能看到多远？ (2)若登上一个观望台，使看到的最远距离是（1）中的4倍，已知眼睛到脚底的高度为，求观望台离海平面的高度？ 【答案】(1)能看 (2)观望台离海平面的高度为 【分析】（1）将代入，即可求解； （2）根据题意可得，代入求出h的值，即可求解． 【详解】（1）解：将代入得：， 解得：或， ∴能看． （2）解：∵看到的最远距离是（1）中的4倍， ∴， ∴，解得：， ∵眼睛到脚底的高度为， ∴观望台离海平面的高度， 答：观望台离海平面的高度为． 【点睛】本题主要考查了求代数式的值和平方根，解题的关键是正确理解题意，掌握平方根的定义． 巩固课内例4:求下列各数的立方根 1．2的立方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，熟练掌握立方根定义，是解题的关键．根据立方根定义进行求解即可． 【详解】解：2的立方根是． 故选：C． 2．的立方根是，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了立方根，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据立方根的定义即可求解． 【详解】解：∵的立方根是， ∴， ∴， 故答案为：． 3．若，求的立方根． 【答案】 【分析】此题考查非负数的性质，立方根和绝对值，解题关键在于掌握非负数的性质．根据非负数的性质，求出，的值，代入即可得出结果． 【详解】解：， ，， 解得：，， ， 的立方根是， 巩固课内例5:用计算机求下列各数的立方根 1．用如图所示的计算器求的值，以下按键顺序不能求出正确结果的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一般使用科学型的计算器，注意是2÷7，切换三次根号时需要用到切换键2nd． 【详解】解：按键顺序依次为2，÷，7，2nd键，，=． （由于计算器的类型很多，可根据计算器的说明书使用） 故答案为：B 【点睛】此题主要考查了计算器的使用方法．由于计算器的类型很多，可根据计算器的说明书使用． 2．用科学计算器计算： (结果精确到0.01) 【答案】9.82 【分析】根据计算器的使用方法、精确度的定义即可得． 【详解】． 故答案为：9.82． 【点睛】本题考查了计算器的使用、精确度，熟练掌握计算器的使用方法是解题关键． 3．用计算器求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接根据计算器的开方运算顺序计算即可． （２）同（1）方法． （３）同（1）方法． 【详解】（1）按键顺序： 2 7 4 4 = 显示结果为：14，所以． （2）按键顺序： 1 2 1 6 7 = 显示结果为：23，所以． （3）按键顺序： 5 8 3 2 = 显示结果为：，所以． 【点睛】本题考查计算器的开方运算，能够准确使用计算器是解题的关键． 类型一、平方根的概念 1．若数字有两个平方根，则一定是（   ） A．正数 B．负数 C．整数 D．分数 【答案】A 【分析】本题主要考查了平方根的定义，解题的关键是熟练掌握平方根定义．根据一个正数有2个平方根，一个负数没有平方根，0的平方根是0，进行解答即可． 【详解】解：数字有两个平方根，则一定是正数，故A正确． 故选：A． 2．已知一个数的一个平方根是，则它的另一个平方根是 ． 【答案】2024 【分析】本题考查了平方根的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． 直接根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵一个数的平方根有两个，且互为相反数，一个平方根是， ∴它的另一个平方根是2024， 故答案为：2024． 3．若是平方等于其本身的有理数，，且，求的值． 【答案】 【分析】根据题意，利用有理数的乘方以及平方根定义求出与的值，即可求出的值． 【详解】解：∵是平方等于其本身的有理数， ∴或， ∵， ∴或， ∵， ∴，， ∴． ∴的值为． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，减法，平方根的定义．熟记运算性质和法则是解题的关键，难点在于确定与的对应关系． 类型二、立方根的概念 1．下列关于读法正确的是（   ） A．负的三次方根负3 B．负的负3的立方根 C．负3的立方根的相反数 D．负的3的相反数的立方根 【答案】C 【分析】本题考查了立方根，掌握立方根的表示方法是解题的关键． 【详解】解：读作负3的立方根的相反数， 故选：C． 2．若有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】全体实数 【解析】略 3．求下列各式的值： （1）；        （2）；        （3）；        （4）． 【答案】（1）-2；（2）0.4；（3）；（4）9 【分析】根据立方根的概念进行计算即可． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）． 【点睛】本题考查立方根，理解立方根的概念，掌握立方与开立方是互逆运算是解题的关键． 类型三、求一个数的平方根 1．16的平方根是（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查求一个数的平方根．根据题意可知16的平方根是，即可得到本题答案． 【详解】解：∵16的平方根是， 故选：D． 2．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的定义：如果，那么叫做的平方根，，根据平方根的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 3．求下列各数的平方根： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查的是求解一个数的平方根，根据平方根的含义逐一求解即可． （1）由，可得答案； （2）由，可得答案； （3）由，可得答案； （4））由，可得答案； （5）由，，可得答案； （6）由，可得答案； 【详解】（1）解：的平方根是； （2）解：的平方根是； （3）解：的平方根是； （4）解：的平方根是； （5）解：∵， ∴的平方根是； （6）解：的平方根是． 类型四、求一个数的算术平方根 1．5的算术平方根是（   ） A．25 B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误． 算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，由此即可求出结果． 【详解】解：∵的平方为5， ∴5的算术平方根为． 故选：B． 2．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键． 直接利用算术平方根的定义即可解答． 【详解】解：， ， 故答案为：． 3．求下列各数的算术平方根． (1)196 (2) (3)0.04 (4) 【答案】(1)14 (2) (3)0.2 (4)10 【分析】本题考查的是算术平方根的概念，根据定义，“如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根． 的算术平方根记为．”掌握算术平方根的概念即可解决问题． 【详解】（1）解： ， 196的算术平方根是14，即． （2）解： ， 的算术平方根是，即． （3）解： ， 的算术平方根是，即． （4）解： ， 的算术平方根是，即． 类型五、求一个数的立方根 1．的立方根是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求一个数的立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根． 根据立方根的定义即可求解． 【详解】解：∵， 的立方根是， 故选：C． 2．如果，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是平方根、立方根的定义，掌握平方根和立方根的定义是正确解决本题的关键． 先依据立方根的定义求得x的值，然后求得的值，最后再求平方根即可． 【详解】解：， ， ， ， 64的平方根是， 故答案为：． 3．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了考查了立方根的性质，正确化简各数是解题关键． （1）直接利用立方根的性质化简得出答案； （2）直接利用立方根的性质化简得出答案； （3）直接利用立方根以及二次根式的性质分别化简得出答案． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解：原式 类型六、用计算器求平方根和立方根 1．利用教材中的计算器计算时，进行如下按键，显示，则若按键：，显示（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了科学计算器的使用，求一个数的立方根，根据题意，再由立方根进行求解即可，读懂题意，掌握立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意得， 故选：． 2．利用计算器计算： ．（结果精确到0.01） 【答案】 【分析】本题考查了计算器的使用、精确度，熟练掌握计算器的使用方法是解题关键．根据计算器的使用方法、精确度的定义即可得． 【详解】解：． 故答案为：． 3．用计算器求下列各式的值（精确到）； (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】在计算器中输入对应的式子进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【点睛】本题主要考查了算术平方根和立方根，正确在计算器中输入是解题的关键． 类型一、算术平方根的非负性 1．已知实数a，b，c满足 ，那么的值为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值非负性、算术平方根的非负性，由题意得：，据此即可求解； 【详解】解：由题意得：， 解得：， ∴， 故选：C 2．若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查绝对值、二次根式的非负性以及二元一次方程组及其解法，根据互为相反数的和等于0列式，再根据非负数的性质列出关于x、y的二元一次方程组，求解得到x、y的值，然后代入进行计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴ 得，， 解得， 把代入①得，， 解得， ∴ 故答案为：． 3．已知满足，求的算术平方根． 【答案】． 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，非负数之和为，先根据算术平方根的非负性，得出，再由非负数之和为，求出，求得的值，进而求得的算术平方根，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴的算术平方根是． 类型二、平方根与立方根解方程 1．下列数中，能使方程成立的的值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．16 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解，利用开平方法解一元二次方程即可求解． 【详解】解：， ， ∴ 故选：B． 2．， 则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了利用平方根的性质解方程，熟知一个正数有两个平方根是正确解决本题的关键． 根据题意，得两个一元一次方程，再求解即可． 【详解】解：， ， 即或， 或． 故答案为：或． 3．解下列方程： (1)； (2) 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题主要考查平方根和立方根的应用，熟练掌握平方根和立方根的意义是解答本题的关键． （1）方程两边同时开方，得两个一元一次方程，解这两个一元一次方程即可； （2）方程移项后，两边同除以2，再开立方得一元一次方程，求解即可． 【详解】（1）解：， 开方得，， ∴ ∴或； （2）解：， ， ， ， ∴． 类型三、算术平方根与立方根结合 1．已知的立方根是3，的算术平方根是4，则的值为（    ） A．5 B．3 C．2 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根、立方根的应用，熟练掌握算术平方根，立方根的定义是解题的关键．根据算术平方根和立方根的定义得到m，n的值，然后得出代数式的值，即可求解． 【详解】解：的立方根是3， ， 解得， 的算术平方根是4， ， 将代入中， 有， 解得， 则的值为． 故选：C． 2．已知的立方根是3，的算术平方根是6，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查平方根以及算术平方根的计算，比较简单，注意运算时解方程要进行验算，确保计算的正确；区分算术平方根与平方根，一个正数的平方根有两个，但是算术平方根只有一个，并且是正的． 根据平方根的概念，可推出和的值，然后得到关于a和b的二元一次方程组，可解出a和b的值，再代入中得出的值即可得出答案． 【详解】解：∵的立方根是3， ∴， ∴， ∵的算术平方根是6， ∴， 解得：； ∴， ∴的平方根为； 故答案为． 3．已知的算术平方根是1，的立方根是，的平方根是． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了立方根、平方根和算术平方根的综合应用，掌握相关结论即可. （1）根据1的算术平方根是1，的立方根是，的平方根是，即可求解； （2）根据即可求解； 【详解】（1）解：∵1的算术平方根是1， ∴， ∴； ∵的立方根是， ∴， ∴； ∵的平方根是， ∴， ∴； （2）解：， ∵的平方根是， ∴的平方根是； 类型一、估算算术平方根的取值范围 1．小丽家有一块的正方形菜地，估计这块菜地的边长在（   ） A．之间 B．之间 C．之间 D．之间 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的估算，先求出这块菜地的边长为，再进行估算即可得解． 【详解】解：∵小丽家有一块的正方形菜地， ∴这块菜地的边长为， ∵， ∴，即， ∴估计这块菜地的边长在之间， 故选：B． 2．的值介于整数4和5之间，则整数的值可以是 ． 【答案】18（答案不唯一） 【分析】由可得，再确定整数即可． 【详解】解：根据题意知：， ∴， ∵是整数， ∴可以取18（答案不唯一） 【点睛】本题主要考查了算术平方根，求出的取值范围是解答本题的关键． 3．已知的立方根为3，的算术平方根为4． (1)求m，n的值； (2)若a和b是连续的整数，且，求的值 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了立方根和算术平方根，熟练掌握立方根和算术平方根的概念，实数的大小范围，是解本题的关键． （1）根据立方根与算术平方根的定义列出关于m与n的方程组，求出方程组的解即得m与n的值； （2）根据，，求出a与b，即可求出的值． 【详解】（1）∵的立方根为3，的算术平方根为4， ∴，解得， （2）∵，， ∴． ∵， ∴． ∵a和b是连续的整数，且， ∴，， ∴． 类型二、算术平方根的应用 1．已知一个表面积为12平方分米的正方体，则这个正方体的棱长为（    ） A．分米 B．分米 C．分米 D．2分米 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根的应用，求出一个正方形的面积，再根据算术平方根的定义，进行求解即可． 【详解】解：（平方分米）； ∴正方体的棱长为分米； 故选B． 2．一个大正方形的周长是一个小正方形周长的2倍，若小正方形的面积为6，则大正方形的面积为 ． 【答案】24 【分析】本题考查了算术平方根的应用，正确理解题意是解题的关键． 设小正方形的边长为，大正方形的边长为，则，由于小正方形的面积为6，则，继而可求，则大正方形的面积即可求解． 【详解】解：设小正方形的边长为，大正方形的边长为， 则由题意得， 则， ∵小正方形的面积为6， ∴， 则， ∴大正方形的面积为， 故答案为：24． 3．先阅读材料，再解决问题． 阅读材料：有一间活动室地面由A和B两种正方形地砖铺成，活动室地面也是正方形，已知：A地砖使用了36块，每块面积为，每平米单价为50元；B地砖使用了块，每块面积为，每平米单价为元； (1)用x，y表示铺设活动室地面的费用． (2)试说出代数式 所表示的的实际含义． 【答案】(1)元 (2)表示该正方形活动室地面的边长 【分析】题目主要考查列代数式及算术平方根的应用，理解题意，列代数式是解题关键． （1）根据题意得出A地砖一共面积为，花费（元）；B地砖一共面积为，花费（元），然后求和即可； （2）根据题意得表示的是活动室的地面面积，再由活动室是正方形的，即可得出结果． 【详解】（1）解：A地砖一共面积为，花费（元）； B地砖一共面积为，花费（元）， 一共元． （2）解：表示的是活动室的地面面积， 因为活动室是正方形的， 所以将其开平方是表示这个活动室的边长． 答：表示该正方形活动室地面的边长． 类型三、平方根的应用 1．已知正方形的面积是5，那么它的边长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根． 设正方形的边长为 ，根据题意可得，根据平方根的定义解出即可． 【详解】解：设正方形的边长为 ，根据题意得： ，解得： 或 （不合题意，舍去）． 故选：B． 2．如图，在做浮力实验时，小明用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用量筒量得溢出水的体积为；然后小明将铁块从烧杯中提起至完全脱离水面，量得烧杯中的水位下降．当时，烧杯内部的底面半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查平方根的应用，根据溢出的水的体积等于圆柱的体积建立方程求解即可．弄清题意并列出方程是解题的关键． 【详解】解：烧杯内部的底面半径为， 根据题意，得： ， ∴， ∴或， ∵， ∴ 即烧杯内部的底面半径为． 故答案为：． 3．小明同学每次回家进入电梯时，总能看见物业在电梯内张贴的提示“高空抛物，害人害己，严禁高空抛物”，为进一步研究高空抛物的危害，小明请教了物理老师，得知高空抛物下落的时间（单位：秒）和高度（单位：米）近似满足公式，其中为重力加速度，米/平方秒．物体落地时产生的动能物体质量重力加速度高度，动能的单位名称为焦耳，例如：一个1千克重的花盆从30米高空坠落到地面产生的动能为：焦耳． (1)一个物品从80米的高楼坠落到地面需要几秒？ (2)一个0.5 千克的物品坠落到地面产生了200焦耳的动能，请推算该物品坠落到地面用了几秒？（结果精确到0.1 秒，） 【答案】(1)大约需要4秒 (2)大约2.8秒 【分析】本题考查了平方根的应用，理解公式，正确代入求值是解此题的关键． （1）将米代入得：，即，计算即可得解； （2）先求出米，再将米代入得，即，计算即可得出答案． 【详解】（1）解：把米代入得：，即， 解得：（负值舍去）， 答：一个物品从80米的高楼坠落到地面大约需要4秒； （2）解：由题意得：， 解得， 把代入得：，即， 解得（负值舍去）， ∴秒， 答：该物品坠落地面用了大约2.8秒． 类型四、立方根的应用 1．要制作一只如图所示容积为的小玻璃杯，涉及正方体内壁时，内壁边长大致长度在（   ） A．之间 B．之间 C．之间 D．之间 【答案】C 【分析】本题考查立方根的应用，立方根的估算，熟练掌握立方根的估算方法是解题的关键．设正方体内壁的边长为，得，求出，再利用立方根的估算方法估算即可． 【详解】解：设正方体内壁的边长为， 根据题意，得：， 解得：， ∵，，，， ， 且， ∴， 故选：C． 2．把一个长、宽、高分别为，，的长方体铁块锻造成一个立方体铁块，则锻造成的立方体铁块的棱长为 厘米． 【答案】 【分析】本题主要考查了立方根的运用，熟练掌握相关概念是解题关键．根据题意，虽然形状发生了变化，但是其体积仍然是没有变化的，以此计算即可． 【详解】解：由题意得长方体体积为：（立方厘米） 所以立方体棱长（厘米） 故答案为：． 3．小明有一个大正方体铁块，其体积为． (1)求这个大正方体铁块的棱长； (2)小明要将这个大正方体铁块熔化，重新锻造成两个小正方体铁块，其中一个小正方体铁块的体积为，求另一个小正方体铁块的棱长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查立方根的应用、正方体的体积，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． （1）根据正方体的体积公式和立方根的定义进行解答； （2）根据题意先求得另一个小立方体铁块的体积，再根据立方根的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，铁块的棱长为， 答：这个铁块的棱长为． （2）解：根据题意，另一个小立方体铁块的体积为， ∴另一个小立方体铁块的棱长为． 答：另一个小立方体铁块的棱长为． 1．下列说法正确的是（   ） A．9的平方根是3 B． C．4的算术平方根是2 D．9的立方根是3 【答案】C 【分析】本题考查了平方根、算术平方根和立方根的定义，熟练掌握平方根、算术平方根和立方根的定义是解题的关键． 根据平方根、算式平方根和立方根的定义逐项判断即可． 【详解】解：A. 的平方根是，故该选项不符合题意; B.,故该选项不符合题意； C. 的算术平方根是，故该选项符合题意； D. 的立方根是，故该选项不符合题意； 故选：C ． 2．的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查立方根的定义，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．根据立方根的定义进行计算即可． 【详解】解：， ， 则的值等于， 故选：B． 3．将9个棱长为的正方体实心橡皮泥揉在一起，然后捏成2个高为，底面为正方形的实心长方体橡皮泥，则长方体的底面边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了利用平方根的意义解方程的应用．设长方体的底面边长为，根据橡皮泥的体积不变列方程，再根据平方根的意义解方程即可． 【详解】解：设长方体的底面边长为， 则， ∴， ∴或（不合题意，舍去）， 即长方体的底面边长为， 故选：B 4． ． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 根据求立方根的方法求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 5．一个正数的两个平方根分别是和，那么这个正数的立方根是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了平方根、立方根的定义与性质，根据一个正数的平方根有两个，且互为相反数求出x的值，进而确定出这个数，求出这个数的立方根即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根互为相反数， ∴， 解得， ∴， ∴这个数为64， ∴这个数的立方根是． 故答案为：4． 6．已知，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根，根据算术平方根的性质即可求解，解题的关键是掌握算术平方根的性质． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 故答案为：． 7．求式子中的值：． 【答案】或 【分析】本题考查利用平方根求未知数的值，理解直接开方法是解答关键． 将方程变形为，利用直接开方法来求解． 【详解】解：整理，得， ∴或， 解得或． 8．求下列各式中的： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了立方根、平方根的意义，解题的关键是掌握平方根、立方根的意义是正确解答的关键． （1）根据平方根的意义进行计算即可； （2）根据立方根的意义进行计算即可． 【详解】（1） ； （2） ． 9．已知一个正数m的两个不相等的平方根是与． (1)求a的值； (2)求这个正数m； 【答案】(1)2 (2)49 【分析】本题主要考查了平方根，熟练掌握一个正数的两个平方根互为相反数是解题关键． （1）根据正数的两个平方根互为相反数建立方程，解方程即可得； （2）根据（1）的结果可求出这个正数的算术平方根，由此即可得． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个不相等的平方根是与， ∴， 解得． （2）解：由（1）已得：， ∴， 即正数的算术平方根是7， ∴这个正数， 即的值为49． 10．我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)求． ①由，，可以确定是 位数； ②由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是 ； ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，可以确定的十位上的数是 ，由此求得 ． (2)请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空： ① ，② ． 【答案】(1)①两；②9；③3；39 (2)①；②0.81 【分析】本题主要考查了立方根的概念的运用，解题关键在于比较立方根的大小． 通过比较立方根的大小，即可得出答案． 【详解】（1）解：①，，， ， 是两位数， 故答案为：两； ②的个位上的数是9，而， 个位上都是9， 的个位上的数是9， 故答案为9； ③，，， 的十位上的数是3， 又的个位上的数是9， ， 故答案为：3，39； （2）解：①的立方根是负数， ，，， ， 是两位数， ∵的前三位为117，后三位为649，，， ， 十位上的数为4， ∵的个位上的数是9，而， 个位上是9， ∴的立方根为49， ∴； ②∵， ∵，，， ， 是两位数， ∵的前三位为531，后三位为441，而， ∴， ∴十位数为8， ∵， ∴个位数是1， ∴531441的立方根为81， ∴， 故答案为：，0.81． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$