福建省永春第一中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷

永春一中高二年期末考试数学试卷（2025.01） 考试时间：120分钟 满分：150分 一．单选选择题（每小题5分，共40分） 1.中国古代数学名著《张邱建算经》中有如下问题：今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之(等差数列)，上三人先入，得金四斤，持出；下四人后入，得金三斤，持出；中间三人未到者，亦依等次更给．则第一等人(得金最多者)得金斤数是(　　) A. B. C. D. 2.已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)等于(　　) A．－1 B．0 C．2 D．4 3.设曲线f(x)＝aex＋b和曲线g(x)＝cos ＋c在它们的公共点M(0,2)处有相同的切线，则b＋c－a的值为(　　) A．0 B．π C．－2 D．3 4.已知定义在R上的函数f(x)，其导函数为f′(x)，当x>0时，f′(x)－>0，若a＝2f(1)，b＝f(2)，c＝4f ，则a，b，c的大小关系是(　　) A．c<b<a B．c<a<b C．b<a<c D．a<b<c 5.若存在x，y∈(0，＋∞)使得xln(2ax)＋y＝xln y，则实数a的最大值为(　　) A. B. C. D. 6.设F为抛物线y2＝2x的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若F为△ABC的重心，则||＋||＋||的值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 7.已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为x－2y＝0，双曲线的左焦点在直线x＋y＋＝0上，A，B分别是双曲线的左、右顶点，点P为双曲线右支上位于第一象限的动点，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，则k1＋k2的取值范围为(　　) A．(1，＋∞) B．(，＋∞) C．(2，＋∞) D．[2，＋∞) 8.设F1，F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，若在直线x＝上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是(　　) A. B. C. D. 2． 多项选择题（每小题6分，共18分） 9.已知Sn是等差数列{an}(n∈N*)的前n项和，且S8>S9>S7，则下列结论正确的是(　　) A．公差d<0 B．在所有小于0的Sn中，S17最大 C．a8>a9 D．满足Sn>0的n的个数为15 10.已知函数f(x)＝xln x＋x2，x0是函数f(x)的极值点，以下几个结论中正确的是(　　) A．0<x0< B．x0> C．f(x0)＋2x0<0 D．f(x0)＋2x0>0 11.设F1，F2同时为椭圆C1：＋＝1(a>b>0)与双曲线C2：－＝1(a1>0，b1>0)的左、右焦点，设椭圆C1与双曲线C2在第一象限内交于点M，椭圆C1与双曲线C2的离心率分别为e1，e2，O为坐标原点，若(　　) A．|F1F2|＝2|MO|，则＋＝ B．|F1F2|＝2|MO|，则＋＝2 C．|F1F2|＝4|MF2|，则e1e2的取值范围是 D．|F1F2|＝4|MF2|，则e1e2的取值范围是 3． 填空题（每小题5分，共15分） 12.设Tn为正项等比数列{an}(公比q≠1)前n项的积，若T2 015＝T2 021，则＝________. 13.已知等比数列{an}满足：a1＋a2＝20，a2＋a3＝80.数列{bn}满足bn＝log2an，其前n项和为Sn，若≤λ恒成立，则λ的最小值为________． 14.已知函数f(x)＝2ln x，g(x)＝x＋2，若f(x1)＝g(x2)，则x1－x2的最小值为______． 四．解答题（共77分） 15.（13分）已知等比数列{an}的公比q>1，a1＝2，且a1，a2，a3－8成等差数列，数列{anbn}的前n项和为. (1)分别求出数列{an}和{bn}的通项公式； (2)设数列的前n项和为Sn，∀n∈N*，Sn≤m恒成立，求实数m的最小值． 16.（13分）已知函数f(x)＝xex－x. (1)讨论f(x)的单调性； (2)证明：当x>0时，f(x)－ln x≥1. 17.（15分）设函数f(x)＝ln x＋，m∈R. (1)当m＝e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值； (2)讨论函数g(x)＝f′(x)－零点的个数． 18.（17分）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，CD⊥平面PAD，E，F，G，O分别是PC，PD，BC，AD的中点． (1)求证：PO⊥平面ABCD； (2)求平面EFG与平面ABCD夹角的大小； (3)在线段PA上是否存在点M，使得直线GM与平面EFG所成的角为，若存在，求线段PM的长度；若不存在，请说明理由． 19.（17分）已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点E，F分别为其下顶点和右焦点，坐标原点为O，且△EOF的面积为. (1)求椭圆C的方程； (2)是否存在直线l，使得l与椭圆C相交于A，B两点，且点F恰为△EAB的垂心？若存在，求直线l的方程，若不存在，请说明理由． 永春一中高二年期末考试数学试卷参考答案（2025.01） 一．单选选择题（每小题5分，共40分） 1.A 2.B 3.D 4.B 5.B 6.C 7.A 8.D 二．多项选择题（每小题6分，共18分） 9.ABC 10.AD 11.BD 三．填空题（每小题5分，共15分） 12. 13. 14.4－2ln 2 四．解答题（共77分） 15.(1)因为a1＝2，且a1，a2，a3－8成等差数列， 所以2a2＝a1＋a3－8， 即2a1q＝a1＋a1q2－8，所以q2－2q－3＝0， 所以q＝3或q＝－1，又q>1，所以q＝3， 所以an＝2·3n－1(n∈N*)． 因为a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝， 所以a1b1＋a2b2＋…＋an－1bn－1＝(n≥2)， 两式相减，得anbn＝2n·3n－1(n≥2)， 因为an＝2·3n－1， 所以bn＝n(n≥2)， 当n＝1时，由a1b1＝2及a1＝2，得b1＝1(符合上式)，所以bn＝n(n∈N*)． (2)因为数列{an}是首项为2，公比为3的等比数列，所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以Sn＝＝<. 因为∀n∈N*，Sn≤m恒成立， 所以m≥，即实数m的最小值为. 16.(1)由题意得f′(x)＝(x＋1)ex－1， 设g(x)＝(x＋1)ex，则g′(x)＝(x＋2)ex， 当x≤－1时，g(x)≤0，f′(x)<0， f(x)在(－∞，－1]上单调递减； 当x>－1时，g′(x)>0，g(x)单调递增， 又因为g(0)＝1， 所以当x<0时，g(x)<1，即f′(x)<0， 当x>0时，g(x)>1，即f′(x)>0， 综上可知，f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． (2)证明　要证f(x)－ln x≥1， 即证xex－x－ln x≥1， 即证ex＋ln x－(x＋ln x)≥1， 令t＝x＋ln x，易知t∈R，待证不等式转化为 et－t≥1. 设u(t)＝et－t，则u′(t)＝et－1， 当t<0时，u′(t)<0，当t>0时，u′(t)>0， 故u(t)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． 所以u(t)≥u(0)＝1，原命题得证． 17.(1)当m＝e时，f(x)＝ln x＋， f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝－＝. 令f′(x)＝0，得x＝e. 当x∈(0，e)时，f′(x)<0； 当x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0， ∴f(x)在(0，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增， ∴当x＝e时，f(x)取得极小值f(e)＝2. (2)由题意知 g(x)＝f′(x)－＝－－(x>0)， 令g(x)＝0，得m＝－x3＋x(x>0)． 设φ(x)＝－x3＋x(x>0)， 则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)． 当x∈(0,1)时，φ′(x)>0，φ(x)在(0,1)上单调递增； 当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)<0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减． ∴x＝1是φ(x)的唯一极值点，且是极大值点， ∴x＝1也是φ(x)的最大值点， ∴φ(x)的最大值为φ(1)＝. 结合y＝φ(x)的图象(如图)可知， ①当m>时，函数g(x)无零点； ②当m＝时，函数g(x)有且只有一个零点； ③当0<m<时，函数g(x)有两个零点； ④当m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点． 综上所述，当m>时，函数g(x)无零点； 当m＝或m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点； 当0<m<时，函数g(x)有两个零点． 18.(1)证明　因为△PAD是正三角形，O是AD的中点， 所以PO⊥AD. 又因为CD⊥平面PAD，PO⊂平面PAD， 所以PO⊥CD. 又AD∩CD＝D，AD，CD⊂平面ABCD， 所以PO⊥平面ABCD. (2)解　如图，连接OG，以O点为坐标原点，分别以OA，OG，OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 则O(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,4,0)， C(－2,4,0)，D(－2,0,0)，G(0,4,0)， P(0,0,2)，E(－1,2，)，F(－1,0，)， ＝(0，－2,0)，＝(1,2，－)， 设平面EFG的法向量为m＝(x，y，z)， 则 即 令z＝1，则m＝(，0,1)， 又平面ABCD的法向量n＝(0,0,1)， 设平面EFG与平面ABCD的夹角为θ， 所以cos θ＝＝＝， 所以θ＝， 所以平面EFG与平面ABCD的夹角为. (3)解　不存在，理由如下： 假设在线段PA上存在点M， 使得直线GM与平面EFG所成的角为， 即直线GM的方向向量与平面EFG法向量m所成的锐角为， 设＝λ，λ∈[0,1]， ＝＋＝＋λ， 所以＝(2λ，－4,2－2λ)， 所以cos ＝|cos〈，m〉|＝， 整理得2λ2－3λ＋2＝0， Δ<0，方程无解， 所以不存在这样的点M. 19.(1)由题意可知 解得 所以椭圆C的方程为＋＝1. (2)假设满足条件的直线l存在， 由E(0，－2)，F(，0)， 得kEF＝， 因为点F为△EAB的垂心， 所以AB⊥EF， 所以kAB＝－， 设直线l的方程为y＝－x＋t， 代入＋＝1， 得7x2－6tx＋6(t2－4)＝0，① Δ＝(－6t)2－4×7×6(t2－4) ＝－96t2＋672>0， 即－<t<， 记A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 由AF⊥BE得·＝－1， 所以y1y2＋2y1＋x1x2－x2＝0， 将y1＝－x1＋t，y2＝－x2＋t代入上式， 得3x1x2－(t＋2)(x1＋x2)＋(2t2＋4t)＝0， 所以3×－(t＋2)·＋(2t2＋4t)＝0， 所以5t2＋t－18＝0，解得t＝ (t＝－2舍去)， 满足Δ>0， 所以直线l的方程为y＝－x＋. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$